常熟中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

常熟中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，，都為正數(shù)，那么，用反證法證明“三個(gè)數(shù)，，至少有一個(gè)不小于2”時(shí)，做出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)是（）A．這三個(gè)數(shù)都不大于2 B．這三個(gè)數(shù)都不小于2C．這三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)不大于2 D．這三個(gè)數(shù)都小于22．從甲地去乙地有3班火車，從乙地去丙地有2班輪船，則從甲地去丙地可選擇的旅行方式有（）A．5種 B．6種 C．7種 D．8種3．設(shè)集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若，則（）A．{3，1} B．{3，2，1} C．{3，2} D．{3，0，1，2}4．若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，則為A． B． C． D．05．已知復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則（）A．1 B．2 C． D．6．定積分（）A． B． C． D．7．已知，則（）A． B． C． D．8．一物體做直線運(yùn)動，其位移s(單位:m)與時(shí)間t(單位:s)的關(guān)系是s=5t-t2，則該物體在A．-1m/s B．1m9．已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和圖2所示．為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取4%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為()A．400，40 B．200，10 C．400，80 D．200，2010．二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A． B．C． D．11．設(shè)函數(shù)，則的圖象大致為（）A． B．C． D．12．已知全集U＝{x∈Z|0<x<10}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，則(?UA)∩B＝()A．{6，8} B．{2，4} C．{2，6，8} D．{4，8}二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，，則．14．已知集合，集合，那么集合的子集個(gè)數(shù)為___個(gè)．15．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在拋物線上，且，過弦的中點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最小值為__________．16．在中，角，，的對邊分別是，，，，若，則的周長為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面與面所成二面角的正弦值．18．（12分）給出如下兩個(gè)命題：命題，；命題已知函數(shù)，且對任意，，，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍，使命題為假，為真.19．（12分）在各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}中，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足.(1)求(2)由(1)猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．20．（12分）如圖,在四棱錐中,底面是邊長為2的正方形,側(cè)面是等腰直角三角形,且,側(cè)面⊥底面.(1)若分別為棱的中點(diǎn),求證:∥平面；(2)棱上是否存在一點(diǎn),使二面角成角，若存在,求出的長；若不存在,請說明理由.21．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．22．（10分）已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)．（1）求復(fù)數(shù)；（2）在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析：利用反證法和命題的否定分析解答.詳解：“三個(gè)數(shù)，，至少有一個(gè)不小于2”的否定是“這三個(gè)數(shù)都小于2”，所以做出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)是這三個(gè)數(shù)都小于2.故答案為：D.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查反證法，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平.(2)三個(gè)數(shù)a,b,c至少有一個(gè)不小于m的否定是三個(gè)數(shù)都小于m.2、B【解題分析】由分步計(jì)數(shù)原理得，可選方式有2×3＝6種．故選B．考點(diǎn)：分步乘法計(jì)數(shù)原理．3、B【解題分析】分析：由求出a的值，再根據(jù)題意求出b的值，然后由并集運(yùn)算直接得答案.詳解：由，，即，，則.故選：B.點(diǎn)睛：本題考查了并集及其運(yùn)算，考查了對數(shù)的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的極限定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【題目詳解】，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的極限定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．5、D【解題分析】

先求出復(fù)數(shù)z，然后根據(jù)公式，求出復(fù)數(shù)的模即可.【題目詳解】，，.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的模計(jì)算，較基礎(chǔ).6、A【解題分析】

先根據(jù)定積分的幾何意義計(jì)算定積分，即求被積函數(shù)與，所圍成的圖形的面積，在求出，可得答案.【題目詳解】解：由定積分的幾何意義可知是由曲線與，所圍成的圖形的面積，也就是單位圓的，故，，故，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查定積分的有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題，注意運(yùn)算準(zhǔn)確.7、D【解題分析】

利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式即可求值得解．【題目詳解】∵cosθ?tanθ＝sinθ，∴sin（）＝cos2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣2．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解題分析】

先對s求導(dǎo)，然后將t=3代入導(dǎo)數(shù)式，可得出該物體在t=3s時(shí)的瞬時(shí)速度?！绢}目詳解】對s=5t-t2求導(dǎo)，得s'因此，該物體在t=3s時(shí)的瞬時(shí)速度為-1m/s，故選：A?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查瞬時(shí)速度的概念，考查導(dǎo)數(shù)與瞬時(shí)變化率之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。9、A【解題分析】

由扇形圖能得到總數(shù)，利用抽樣比較能求出樣本容量；由分層抽樣和條形圖能求出抽取的高中生近視人數(shù).【題目詳解】用分層抽樣的方法抽取的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，樣本容量為：，抽取的高中生近視人數(shù)為：，故選A.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)概率統(tǒng)計(jì)的問題，涉及到的知識點(diǎn)有扇形圖與條形圖的應(yīng)用，以及分層抽樣的性質(zhì)，注意對基礎(chǔ)知識的靈活應(yīng)用，屬于簡單題目.10、B【解題分析】

求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，使得的指數(shù)為，即可得出常數(shù)項(xiàng).【題目詳解】通項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)為故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用二項(xiàng)式定理求常數(shù)項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解題分析】

根據(jù)可知函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)，排除；根據(jù)時(shí)，的符號可排除，從而得到結(jié)果.【題目詳解】，為上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，可排除，；又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可排除，知正確.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)圖象的辨析問題，解決此類問題通常采用排除法來進(jìn)行求解，排除依據(jù)通常為：奇偶性、特殊值符號和單調(diào)性.12、A【解題分析】

先化簡已知條件,再求.【題目詳解】由題得,因?yàn)?,故答案為A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查集合的化簡，考查集合的補(bǔ)集和交集運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.8【解題分析】分析：先根據(jù)正態(tài)分布曲線對稱性求，再根據(jù)求結(jié)果.詳解：因?yàn)檎龖B(tài)分布曲線關(guān)于對稱，所以,因此點(diǎn)睛：利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，及曲線與x軸之間的面積為1.14、1．【解題分析】

可以求出集合M，N，求得并集中元素的個(gè)數(shù)，從而得出子集個(gè)數(shù)．【題目詳解】∵M(jìn)＝{﹣1，1}，N＝{1，2}；∴M∪N＝{﹣1，1，2}；∴M∪N的子集個(gè)數(shù)為23＝1個(gè)．故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查描述法、列舉法的定義，以及并集的運(yùn)算，子集的定義，以及集合子集個(gè)數(shù)的求法．15、.【解題分析】分析：過P、Q分別作準(zhǔn)線的垂線PA、QB，垂足分別是A、B，設(shè)，，可得，由余弦定理得：，進(jìn)而根據(jù)基本不等式，求得的取值范圍，從而得到本題答案.詳解：如圖：過P、Q分別作準(zhǔn)線的垂線PA、QB，垂足分別是A、B，設(shè)，，由拋物線定義，得，在梯形中，，，由余弦定理得：，則的最小值為.故答案為：.點(diǎn)睛：本題考查拋物線的定義、簡單幾何性質(zhì)，基本不等式求最值，余弦定理的應(yīng)用等知識，屬于中檔題.16、【解題分析】由題意，所以，且由余弦定理，得，所以所以的周長為.點(diǎn)睛：本題主要考查了利用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換求解三角形問題，對于解三角形問題，通常利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）先證平面CMD,得,再證，進(jìn)而完成證明．（2）先建立空間直角坐標(biāo)系，然后判斷出的位置，求出平面和平面的法向量，進(jìn)而求得平面與平面所成二面角的正弦值．【題目詳解】解：（1）由題設(shè)知,平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD.因?yàn)锽C⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn),且DC為直徑，所以DM⊥CM.又BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D?xyz.當(dāng)三棱錐M?ABC體積最大時(shí)，M為的中點(diǎn).由題設(shè)得，設(shè)是平面MAB的法向量,則即可取.是平面MCD的法向量,因此，，所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查面面垂直的證明，利用線線垂直得到線面垂直，再得到面面垂直，第二問主要考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角，考查數(shù)形結(jié)合，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力，屬于中檔題．18、【解題分析】

判斷命題的否定為真時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍，從而得到命題為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍，化簡不等式可知只需在上是減函數(shù)。取絕對值討論在不同區(qū)間內(nèi)的解集即可?！绢}目詳解】由已知，若命題，，是真命題令則在區(qū)間沒有零點(diǎn)令，可得，其對稱軸為要使得在區(qū)間沒有零點(diǎn)即解得實(shí)數(shù)的取值范圍為則當(dāng)命題p為真時(shí)，因?yàn)?，所以，。設(shè)，依題意，在上是減函數(shù)，。①當(dāng)時(shí)，

，。令，得：對恒成立。設(shè)，則。因?yàn)?，所以。所以在上是增函?shù)，則當(dāng)時(shí)，有最大值為，所以。②當(dāng)時(shí)，

，。令，得：。設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)。所以，所以。綜合①②，又因?yàn)樵谏鲜菆D形連續(xù)不斷的，所以。故若q為真，則則p真q假為則q真p假綜上【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，存在性的命題可將其轉(zhuǎn)化為否定命題，進(jìn)而得到原命題的真假，屬于難題.19、(1)見解析.(2)見解析.【解題分析】試題分析：（I）由，n分別取1，2，3，代入計(jì)算，即可求得結(jié)論，猜想；（II）用數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵是n=k+1時(shí)，變形利用歸納假設(shè)．試題解析：(1)當(dāng)時(shí)，，∴或(舍,).當(dāng)時(shí)，，∴．當(dāng)時(shí)，，∴．猜想：.(2)證明：①當(dāng)時(shí)，顯然成立．②假設(shè)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，,即∴.由①、②可知，，.點(diǎn)睛：數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟的關(guān)系：第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的根據(jù)，兩個(gè)步驟缺一不可，有第一步無第二表，屬于不完全歸納法，論斷的普遍性是不可靠的；有第二步無第一步中，則第二步中的假設(shè)就失去了基礎(chǔ)．只有把第一步結(jié)論與第二步結(jié)論聯(lián)系在一起，才可以斷定命題對所有的自然數(shù)n都成立．20、(1)見解析(2)【解題分析】

分析：（1）取中點(diǎn),連結(jié),由三角形中位線定理可得,可證明四邊形為平行四邊形,可得,由線面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）取中點(diǎn),連結(jié)、,先證明、、兩兩垂直.以為原點(diǎn),分別以、、正方向?yàn)檩S、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組，求出平面的法向量，平面的法向量為，由空間向量夾角余弦公式列方程可得結(jié)果.詳解：(1)取中點(diǎn),連結(jié),∵分別為、中點(diǎn)，∴//,,又點(diǎn)為中點(diǎn),∴且,∴四邊形為平行四邊形,∴∥,又平面,平面,∴∥平面.(2)取中點(diǎn),連結(jié)、,∵是以為直角的等腰直角三角形,又為的中點(diǎn),∴,又平面⊥平面,由面面垂直的性質(zhì)定理得⊥平面,又平面,∴⊥,由已知易得:、、兩兩垂直.以為原點(diǎn),分別以、、正方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖示,則,設(shè),則:,.設(shè)平面ABF的法向量為,則,∴,令,則,∴.又平面的法向量為,由二面角成角得:,∴,解得:,或不合題意,舍去.