2024屆甘肅武威市涼州區(qū)數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2024屆甘肅武威市涼州區(qū)數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件2．已知向量，且，則等于（）A．1 B．3 C．4 D．53．若函數(shù)對(duì)任意都有成立，則（）A．B．C．D．與的大小不確定4．從裝有3個(gè)白球,4個(gè)紅球的箱子中,隨機(jī)取出了3個(gè)球,恰好是2個(gè)白球,1個(gè)紅球的概率是()A． B． C． D．5．在等差數(shù)列{an}中，若S9=18，Sn=240，=30，則n的值為A．14 B．15 C．16 D．176．設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在單調(diào)遞減，則（）A．B．C．D．7．設(shè)0<p<1，隨機(jī)變量X，Y的分布列分別為（）X123Pp1-pp-Y123Pp1-p當(dāng)X的數(shù)學(xué)期望取得最大值時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望為（）A．2 B．3316 C．55278．存在實(shí)數(shù)，使成立的一個(gè)必要不充分條件是()A． B． C． D．9．已知命題，則命題的否定為（）A． B．C． D．10．已知，則“”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件11．點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則點(diǎn)的極坐標(biāo)為（）A．B．C．D．12．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“（，）”的過(guò)程中，由推導(dǎo)時(shí)，不等式的左邊增加的式子是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．現(xiàn)有顏色為紅、黃、藍(lán)的小球各三個(gè)，相同顏色的小球依次編號(hào)、、，從中任取個(gè)小球，顏色編號(hào)均不相同的情況有___________種．14．已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)且滿足，則_________.15．拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)是拋物線C上的一點(diǎn)滿足，則拋物線C的方程為________.16．設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且，，則該橢圓的離心率為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）己知拋物線：過(guò)點(diǎn)（1）求拋物線的方程：（2）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，直線：與拋物線交于，兩點(diǎn)，求的面積.18．（12分）已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，.（1）求；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng).19．（12分）設(shè)函數(shù).(Ⅰ)求不等式的解集；(Ⅱ)求證:，并求等號(hào)成立的條件.20．（12分）近年來(lái)，空氣質(zhì)量成為人們?cè)絹?lái)越關(guān)注的話題，空氣質(zhì)量指數(shù)（，簡(jiǎn)稱）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù).環(huán)保部門記錄了某地區(qū)7天的空氣質(zhì)量指數(shù)，其中，有4天空氣質(zhì)量為優(yōu)，有2天空氣質(zhì)量為良，有1天空氣質(zhì)量為輕度污染.現(xiàn)工作人員從這7天中隨機(jī)抽取3天進(jìn)行某項(xiàng)研究.（I）求抽取的3天中至少有一天空氣質(zhì)量為良的概率；（Ⅱ）用表示抽取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.21．（12分）某中學(xué)對(duì)高二甲、乙兩個(gè)同類班級(jí)進(jìn)行“加強(qiáng)‘語(yǔ)文閱讀理解’訓(xùn)練對(duì)提高‘?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用題’得分率有幫助”的試驗(yàn)，其中甲班為試驗(yàn)班（加強(qiáng)語(yǔ)文閱讀理解訓(xùn)練），乙班為對(duì)比班（常規(guī)教學(xué)，無(wú)額外訓(xùn)練），在試驗(yàn)前的測(cè)試中，甲、乙兩班學(xué)生在數(shù)學(xué)應(yīng)用題上的得分率基本一致，試驗(yàn)結(jié)束后，統(tǒng)計(jì)幾次數(shù)學(xué)應(yīng)用題測(cè)試的平均成績(jī)（均取整數(shù)）如下表所示：60分及以下61～70分71～80分81～90分91～100分甲班（人數(shù)）3612159乙班（人數(shù)）4716126現(xiàn)規(guī)定平均成績(jī)?cè)?0分以上（不含80分）的為優(yōu)秀.（1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“加強(qiáng)‘語(yǔ)文閱讀理解’訓(xùn)練對(duì)提高‘?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用題’得分率”有幫助；（2）對(duì)甲乙兩班60分及以下的同學(xué)進(jìn)行定期輔導(dǎo)，一個(gè)月后從中抽取3人課堂檢測(cè)，表示抽取到的甲班學(xué)生人數(shù)，求及至少抽到甲班1名同學(xué)的概率.22．（10分）某校在一次趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)的頒獎(jiǎng)儀式上，高一、高二、高三各代表隊(duì)人數(shù)分別為160人、120人、人.為了活躍氣氛，大會(huì)組委會(huì)在頒獎(jiǎng)過(guò)程中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng)，并用分層抽樣的方法從三個(gè)代表隊(duì)中共抽取20人到前排就坐，其中高二代表隊(duì)有6人.（1）求的值；（2）把到前排就坐的高二代表隊(duì)6人分別記為，，，，，，現(xiàn)隨機(jī)從中抽取2人上臺(tái)抽獎(jiǎng).求或沒有上臺(tái)抽獎(jiǎng)的概率.（3）抽獎(jiǎng)活動(dòng)的規(guī)則是：代表通過(guò)操作按鍵使電腦自動(dòng)產(chǎn)生兩個(gè)之間的均勻隨機(jī)數(shù)，，并按如圖所示的程序框圖執(zhí)行.若電腦顯示“中獎(jiǎng)”，則該代表中獎(jiǎng)；若電腦顯示“謝謝”，則不中獎(jiǎng)，求該代表中獎(jiǎng)的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】不能推出，反過(guò)來(lái)，若則成立，故為必要不充分條件.2、D【解題分析】

先根據(jù)已知求出x,y的值，再求出的坐標(biāo)和的值.【題目詳解】由向量，且，則，解得，所以，所以，所以，故答案為D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.3、A【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可判斷g（x）的單調(diào)性，由單調(diào)性可得g（ln3）與g（ln5）的大小關(guān)系，整理即可得到答案．【題目詳解】解：令，則，因?yàn)閷?duì)任意都有，所以，即在R上單調(diào)遞增，又，所以，即，即，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)選項(xiàng)及已知條件合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題.4、C【解題分析】分析：根據(jù)古典概型計(jì)算恰好是2個(gè)白球1個(gè)紅球的概率.詳解：由題得恰好是2個(gè)白球1個(gè)紅球的概率為.故答案為:C.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查古典概型，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2)古典概型的解題步驟:①求出試驗(yàn)的總的基本事件數(shù)；②求出事件A所包含的基本事件數(shù)；③代公式=.5、B【解題分析】試題分析：由等差數(shù)列的性質(zhì)知；．考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)、前項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式．6、C【解題分析】

由已知函數(shù)為偶函數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，再比較大?。绢}目詳解】是R的偶函數(shù)，．，又在(0，+∞)單調(diào)遞減，∴，，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，解題關(guān)鍵在于利用中間量大小比較同一區(qū)間的取值．7、D【解題分析】

先利用數(shù)學(xué)期望公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得出EX的最小值，并求出相應(yīng)的p，最后利用數(shù)學(xué)期望公式得出EY的值?！绢}目詳解】∵EX=p∴當(dāng)p=14時(shí)，EX取得最大值.此時(shí)EY=-2p【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，考查二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵就是數(shù)學(xué)期望公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題。8、D【解題分析】分析：先求成立充要條件，即的最小值，再根據(jù)條件之間包含關(guān)系確定選擇.詳解：因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，使成立，所以的最小值,因?yàn)?，所?因?yàn)椋虼诉xD.點(diǎn)睛：充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價(jià)法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．9、A【解題分析】

根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，即可直接得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)槊}，所以命題的否定為：故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查含有一個(gè)量詞的命題的否定，只需改寫量詞與結(jié)論即可，屬于?？碱}型.10、A【解題分析】

“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，由此能求出結(jié)果．【題目詳解】a∈R，則“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要條件．故選A．【題目點(diǎn)撥】充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價(jià)法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．11、A【解題分析】試題分析：,,又點(diǎn)在第一象限,,點(diǎn)的極坐標(biāo)為.故A正確.考點(diǎn)：1直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的互化.【易錯(cuò)點(diǎn)睛】本題主要考查直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的互化,屬容易題.根據(jù)公式可將直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間互化,當(dāng)根據(jù)求時(shí)一定要參考點(diǎn)所在象限,否則容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.12、D【解題分析】

把用替換后兩者比較可知增加的式子．【題目詳解】當(dāng)時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)，左邊，所以由推導(dǎo)時(shí)，不等式的左邊增加的式子是，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)學(xué)歸納法，掌握數(shù)學(xué)歸納法的概念是解題基礎(chǔ)．從到時(shí)，式子的變化是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設(shè)紅色的三個(gè)球分別為、、，黃色的三個(gè)球分別為、、，藍(lán)色的三個(gè)球分別為、、，列出所有符合條件的選法組合，可得出結(jié)果.【題目詳解】設(shè)紅色的三個(gè)球分別為、、，黃色的三個(gè)球分別為、、，藍(lán)色的三個(gè)球分別為、、，現(xiàn)從中任取個(gè)小球，顏色編號(hào)均不相同的情況有：、、、、、，因此，從中任取個(gè)小球，顏色編號(hào)均不相同的情況有種，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，在求解排列組合問(wèn)題時(shí)，若符合條件的基本事件數(shù)較少時(shí)，可采用列舉法求解，考查分類討論數(shù)學(xué)思想，屬于中等題.14、0【解題分析】

根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知，由可求得周期和，利用周期化簡(jiǎn)所求式子可求得結(jié)果.【題目詳解】為定義在上的奇函數(shù)，.由得：，是周期為的周期函數(shù)，令得：..故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和周期性求解函數(shù)值的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)抽象函數(shù)關(guān)系式推導(dǎo)得到函數(shù)的周期.15、【解題分析】

由在拋物線C上,結(jié)合拋物線的定義,即可求拋物線C的方程.【題目詳解】當(dāng)時(shí),,解得,則拋物線C的方程為:;當(dāng)時(shí),,解得,則拋物線C的方程為:;故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用拋物線的定義求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,難度較易.16、【解題分析】試題分析：在中，，，設(shè)，則.考點(diǎn)：橢圓的定義.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題的考點(diǎn)是橢圓定義的考查，即的等式關(guān)系和幾何意義.由給定的條件可知三角形不僅是直角三角形，也可以得到其中一個(gè)銳角，由此可用來(lái)表示直角三角形的三個(gè)邊，再根據(jù)橢圓的定義便可建立等式關(guān)系，求得橢圓的離心率.橢圓中研究的關(guān)系不僅選擇填空會(huì)考有時(shí)解答題也會(huì)出，它是研究橢圓基礎(chǔ).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）12.【解題分析】

（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程中即可；（2）聯(lián)立方程組先求出，點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用兩點(diǎn)間距離公式求出，然后利用點(diǎn)到直線距離公式求出的高，最后代入三角形面積公式求解即可.【題目詳解】（1）點(diǎn)在拋物線上，將代入方程中，有，解得，拋物線的方程為.（2）如圖所示，由拋物線方程可知焦點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為，聯(lián)立方程組，可解得，，所以，，所以，.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線的位置關(guān)系以及拋物線性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到的知識(shí)點(diǎn)包括兩點(diǎn)的之間的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和分析推理能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）；（2）.【解題分析】

(1)利用正弦定理把邊轉(zhuǎn)化為角，再由兩角和的正弦可求出角；(2)利用三角形面積公式可得到，再由余弦定理可求出的周長(zhǎng)；【題目詳解】(1)由正弦定理知，∴，∴，.（或用余弦定理將換掉求解）(2)由(1)及已知可得，解得，由余弦定理知，∴，∴的周長(zhǎng)為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理、余弦定理以及面積公式，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于較易題.19、(Ⅰ)(Ⅱ)見證明【解題分析】

(Ⅰ)利用零點(diǎn)分類法，進(jìn)行分類討論，求出不等式的解集；(Ⅱ)法一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，再根據(jù)三角絕對(duì)值不等式，可以證明出，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，最后可以證明出，以及等號(hào)成立的條件；法二：利用零點(diǎn)法把函數(shù)解析式寫成分段函數(shù)形式，求出函數(shù)的單調(diào)性，最后求出函數(shù)的最小值，以及此時(shí)的的值.【題目詳解】解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，，解得當(dāng)時(shí)，，解得當(dāng)時(shí)，，無(wú)實(shí)數(shù)解原不等式的解集為(Ⅱ)證明:法一:，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，等號(hào)成立的條件是法二:在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，等號(hào)成立的條件是【題目點(diǎn)撥】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法以及證明絕對(duì)值不等式，利用零點(diǎn)法，分類討論是解題的關(guān)鍵.20、（I）；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）可先計(jì)算對(duì)立事件“抽取的3天空氣質(zhì)量都不為良”的概率，再利用相關(guān)公式即得答案；（Ⅱ）找出隨機(jī)變量的所有可能取值，分別計(jì)算相關(guān)概率，從而列出分布列計(jì)算數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】（Ⅰ）解：設(shè)事件為“抽取的3天中至少有一天空氣質(zhì)量為良”，事件的對(duì)立事件為“抽取的3天空氣質(zhì)量都不為良”，從7天中隨機(jī)抽取3天共有種不同的選法，抽取的3天空氣質(zhì)量都不為良共有種不同的選法，則,所以，事件發(fā)生的概率為.（Ⅱ）解：隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3.，所以，隨機(jī)變量的分布列為0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查對(duì)立事件的相關(guān)概念與計(jì)算，超幾何分布的分布列與數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的分析能力，邏輯推理能力和計(jì)算能力.21、（1）見解析；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)題意得到列聯(lián)表，然后由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得到的值，再結(jié)合臨界值表可得結(jié)論．（2）由題意得到隨機(jī)變量的所有可能取值，并分別求出對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而得到的分布列，于是可得所求．【題目詳解】（1）由題意可得列聯(lián)表如下:優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)總計(jì)甲班212445乙班271845合計(jì)484290由表中數(shù)據(jù)可得，所以沒有95%的把握認(rèn)為“加強(qiáng)‘語(yǔ)文閱讀理解’訓(xùn)練對(duì)提高‘?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用題’得分率”有幫助．（2）由題意得60分以下共有7人，其中甲班有3人，所以隨機(jī)變量顯然