2024屆山東青島平度第三中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆山東青島平度第三中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量、、滿足，且，則、夾角為（）A． B． C． D．2．若,則A．－70 B．28 C．－26 D．403．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A．1 B．2 C．3 D．44．命題“任意”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A． B． C． D．5．如下圖所示的圖形中，每個(gè)三角形上各有一個(gè)數(shù)字，若六個(gè)三角形上的數(shù)字之和為36，則稱該圖形是“和諧圖形”，已知其中四個(gè)三角形上的數(shù)字之和為二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和.現(xiàn)從0，1，2，3，4，5中任取兩個(gè)不同的數(shù)字標(biāo)在另外兩個(gè)三角形上，則恰好使該圖形為“和諧圖形”的概率為（）A． B． C． D．6．設(shè)，向量，，且，則（）A． B． C． D．7．在一組樣本數(shù)據(jù)，，…，（，，…不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（）A．-3 B．0 C．-1 D．18．名同學(xué)合影，站成了前排人，后排人，現(xiàn)攝影師要從后排人中抽人站前排，其他人的相對(duì)順序不變，則不同的調(diào)整方法的種數(shù)為（）A． B． C． D．9．0πsinA．2 B．0 C．-2 D．110．過三點(diǎn)，，的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則（）A．2 B．8 C．4 D．1011．已知兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y滿足X+2Y=4，且X~N1，??A．32，2 B．12，1 C．32，1 D．12．展開式的常數(shù)項(xiàng)為（）A．112 B．48 C．-112 D．-48二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，是單位向量.若，則向量，夾角的取值范圍是_________.14．求曲線在點(diǎn)處的切線方程是________.15．有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形(如圖),，，，，則這塊菜地的面積為______．16．設(shè)是定義在上、以1為周期的函數(shù)，若在上的值域?yàn)?，則在區(qū)間上的值域?yàn)椋⒔獯痤}：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知且，（1）求的解析式；（2）判斷的奇偶性，并判斷當(dāng)時(shí)的單調(diào)性；（3）若是上的增函數(shù)且，求m的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，記函數(shù)在上的最大值為，證明：.19．（12分）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）求的取值范圍.20．（12分）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作垂直于x軸的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且以線段AB為直徑的圓過點(diǎn).（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線分別與拋物線C交于點(diǎn)D，E和點(diǎn)G，H，且，求四邊形面積的最小值.21．（12分）設(shè)函數(shù)，曲線通過點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線垂直于軸.（1）用分別表示和；（2）當(dāng)取得最小值時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.22．（10分）（1）求證：當(dāng)時(shí)，；（2）證明：不可能是同一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

對(duì)等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義得出，由此可求出、的夾角.【題目詳解】等式兩邊平方得，即，又，所以，，因此，、夾角為，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量夾角的計(jì)算，同時(shí)也考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律以及平面向量數(shù)量積的定義，考查計(jì)算能力，屬于中等題.2、C【解題分析】

令t＝x﹣3，把等式化為關(guān)于t的展開式，再求展開式中t3的系數(shù)．【題目詳解】令t＝x﹣3，則（x﹣2）5﹣3x4＝a0+a1（x﹣3）+a2（x﹣3）2+a3（x﹣3）3+a4（x﹣3）4+a5（x﹣3）5，可化為（t+1）5﹣3（t+3）4＝a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5，則a3＝＝10﹣36＝﹣1．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，指定項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得直線的斜率，列出a的方程即可求解【題目詳解】因?yàn)?，且在點(diǎn)處的切線的斜率為3，所以，即.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題4、C【解題分析】試題分析：對(duì)此任意性問題轉(zhuǎn)化為恒成立，當(dāng)，即，，若是原命題為真命題的一個(gè)充分不必要條件，那應(yīng)是的真子集，故選C.考點(diǎn)：1.集合；2.充分必要條件.5、B【解題分析】

先求得二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為.然后利用列舉法求得在一共個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)，和為的概率，由此得出正確選項(xiàng).【題目詳解】令代入得，即二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為.從0，1，2，3，4，5中任取兩個(gè)不同的數(shù)字方法有：共種，其中和為的有共兩種，所以恰好使該圖形為“和諧圖形”的概率為，故選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，考查列舉法求古典概型概率問題，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】試題分析：由知，則，可得．故本題答案應(yīng)選B．考點(diǎn)：1.向量的數(shù)量積；2.向量的模．7、C【解題分析】因?yàn)樗袠颖军c(diǎn)都在直線上，所以回歸直線方程是，可得這兩個(gè)變量是負(fù)相關(guān)，故這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為負(fù)值，且所有樣本點(diǎn)，都在直線上，則有相關(guān)系數(shù)，故選C.8、C【解題分析】分析：首先從后排的7人中選出2人，有C72種結(jié)果，再把兩個(gè)人在5個(gè)位置中選2個(gè)位置進(jìn)行排列有A52，利用乘法原理可得結(jié)論．詳解：由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問題，首先從后排的7人中選出2人，有C72種結(jié)果，再把兩個(gè)人在5個(gè)位置中選2個(gè)位置進(jìn)行排列有A52，∴不同的調(diào)整方法有C72A52，故選：C點(diǎn)睛：解答排列、組合問題的角度：解答排列、組合應(yīng)用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對(duì)某些元素的位置有、無限制等；(3)“分類”就是將較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題化成幾個(gè)互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡(jiǎn)單的排列、組合問題，然后逐步解決．9、A【解題分析】

根據(jù)的定積分的計(jì)算法則計(jì)算即可．【題目詳解】0πsinxdx＝（-cos故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了定積分的計(jì)算，關(guān)鍵是求出原函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】

由已知得，，所以，所以，即為直角三角形，其外接圓圓心為AC中點(diǎn)，半徑為長(zhǎng)為，所以外接圓方程為，令，得，所以，故選C．考點(diǎn)：圓的方程．11、C【解題分析】

先由X~N1，??22，得E(X)=1，D(X)=4，然后由【題目詳解】由題意X~N1，??22因?yàn)閄+2Y=4，所以Y=2-1所以E(Y)=2-12E(X)=故選C.【題目點(diǎn)撥】該題考查的正態(tài)分布的期望與方差，以及兩個(gè)線性關(guān)系的變量的期望與方差之間的關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題目.12、D【解題分析】

把按照二項(xiàng)式定理展開，可得的展開式的常數(shù)項(xiàng)．【題目詳解】由于故展開式的常數(shù)項(xiàng)為，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了二項(xiàng)式展開式，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設(shè)向量、的夾角為，在不等式兩邊平方，利用數(shù)量積的運(yùn)算律和定義求出的取值范圍，于此可求出的取值范圍．【題目詳解】設(shè)向量、的夾角為，，兩邊平方得，、都是單位向量，則有，得，，，因此，向量、的夾角的取值范圍是，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查平面數(shù)量積的運(yùn)算，考查平面向量夾角的取值范圍，在涉及平面向量模有關(guān)的計(jì)算時(shí)，常將等式或不等式進(jìn)行平方，結(jié)合數(shù)量積的定義和運(yùn)算律來進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題．14、【解題分析】因?yàn)椋?，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，即所求切線方程為，即.15、【解題分析】

首先由斜二測(cè)圖形還原平面圖形，然后求解其面積即可.【題目詳解】由幾何關(guān)系可得，斜二測(cè)圖形中：，由斜二測(cè)圖形還原平面圖形，則原圖是一個(gè)直角梯形，其中上下底的長(zhǎng)度分別為1,2，高為，其面積.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查斜二測(cè)畫法，梯形的面積公式等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.16、【解題分析】略三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析；（3）【解題分析】

（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合換元法，令則，求出的表達(dá)式即可；（2）結(jié)合（1）中的解析式，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的定義域和與的關(guān)系；利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則即可求解；（3）利用函數(shù)在上的單調(diào)性和奇偶性得到關(guān)于m的不等式，解不等式即可.【題目詳解】（1）令，則，所以，即.（2）由（1）知，，其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)槭巧系臏p函數(shù)，是上的增函數(shù)，所以函數(shù)為上的減函數(shù)，為上的減函數(shù)，又因?yàn)?，∴為上的增函?shù).（3）∵，∴，又為上的奇函數(shù)，∴，因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，∴，解之得：，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題考查換元法求函數(shù)解析式、函數(shù)奇偶性的判斷、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷、利用函數(shù)在給定區(qū)間上的奇偶性和單調(diào)性解不等式；考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力；屬于綜合性試題、中檔題.18、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）見解析.【解題分析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）對(duì)求導(dǎo)，得，因?yàn)?，所以，令，求?dǎo)得在上單調(diào)遞增，，使得，進(jìn)而得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以，令，求導(dǎo)得在上單調(diào)遞增，進(jìn)而求得m的范圍.【題目詳解】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以存在，使得，即，?故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí).即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.則.令，，則.所以在上單調(diào)遞增，所以，.故成立.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和取值范圍，也考查了構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.19、（1）（2）【解題分析】試題分析：（1）將點(diǎn)代入橢圓方程,結(jié)合關(guān)系式和,組成方程組,可解得的值,從而可得橢圓的方程.（2）由題意分析可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為.將直線方程和橢圓方程聯(lián)立,消去整理為關(guān)于的一元二次方程.由題意可知其判別式大于0,可得的范圍.設(shè)，的坐標(biāo)分別為，.由韋達(dá)定理可得的值.根據(jù)數(shù)量積公式用表示.根據(jù)的范圍求得范圍.試題解析：解：（1）由題意得解得，．橢圓的方程為．（2）由題意顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由得.直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，，解得.設(shè)，的坐標(biāo)分別為，，則，，，．．，．的取值范圍為．考點(diǎn)：1橢圓的簡(jiǎn)單基本性質(zhì);2直線與橢圓的位置關(guān)系;3值域問題.20、（1）；（2）1.【解題分析】

（1）根據(jù)題意可得：圓的半徑，從而求出值，得到拋物線方程；（2）設(shè)出和的方程，分別與拋物線聯(lián)立方程，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，寫出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式求出、的長(zhǎng)，從而表示出四邊形面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值?！绢}目詳解】由于過點(diǎn)作垂直于軸的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則，以線段為直徑的圓過點(diǎn)，則圓的半徑，解得：,故拋物線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得：，設(shè)點(diǎn)，則，，所以，同理可得：，則四邊形的面積：.令，則當(dāng)，即時(shí)，，四邊形DGEH面積的最小值為1．【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線方程的求法以及圓錐曲線中的弦長(zhǎng)公式，考查學(xué)生設(shè)而不求的思想，有一定難度。21、（1），；（2）的減區(qū)間為和；增區(qū)間為.【解題分析】分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用已知條件和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可用分別表示和；（2）當(dāng)取得最小值時(shí)，求得，和的值.寫出函數(shù)的解析式，根據(jù)求導(dǎo)法則求出，令=0求出的值，分區(qū)間討論的正負(fù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.詳解：解：（1）因?yàn)椋杂忠驗(yàn)榍€通過點(diǎn),故，而，從而.又曲線在處的切線垂直于軸，故，即，因此.（2）由（1）得，故當(dāng)時(shí)，取得最小值.此時(shí)有.從而，，，所以.令，解得.當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù).當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù).由此可見，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和；單調(diào)遞增區(qū)間為.點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及二次函數(shù)的最值問題，做題時(shí)要注意函數(shù)的求導(dǎo)法則的正確運(yùn)用.22、（1）證明過程詳見試題解析；（2）證明過程詳見試題解析.【解題分析】

（1）利用綜合法證明即可；（2）利用反證法證明，假設(shè)是同一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)，分別設(shè)為am，an，ap，推出為無理