廣東省廣州市廣東二師番禺附中2024屆數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考模擬試題含解析

廣東省廣州市廣東二師番禺附中2024屆數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．32．已知函數(shù)在其定義域內(nèi)既有極大值也有極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要4．已知變量x，y滿(mǎn)足約束條件則的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．45．若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A． B． C． D．6．若二項(xiàng)式的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和是64，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為A． B． C．160 D．2407．函數(shù)的最小值為0，則m的取值范圍是()A．(1，2) B．(－1，2)C．[1，2) D．[－1，2)8．已知函數(shù)滿(mǎn)足，與函數(shù)圖象的交點(diǎn)為，則=（）A．0 B． C． D．9．某市某校在秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)中，安排了籃球投籃比賽.現(xiàn)有20名同學(xué)參加籃球投籃比賽，已知每名同學(xué)投進(jìn)的概率均為0.4，每名同學(xué)有2次投籃機(jī)會(huì)，且各同學(xué)投籃之間沒(méi)有影響.現(xiàn)規(guī)定：投進(jìn)兩個(gè)得4分，投進(jìn)一個(gè)得2分，一個(gè)未進(jìn)得0分，則其中一名同學(xué)得2分的概率為（）A．0.5 B．0.48 C．0.4 D．0.3210．曲線(xiàn)的參數(shù)方程是(是參數(shù),),它的普通方程是(

)A． B．C． D．11．是單調(diào)函數(shù),對(duì)任意都有，則的值為（）A． B． C． D．12．在的展開(kāi)式中，系數(shù)為有理數(shù)的系數(shù)為A．336項(xiàng) B．337項(xiàng) C．338項(xiàng) D．1009項(xiàng)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)是上奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則__________．14．某地環(huán)保部門(mén)召集6家企業(yè)的負(fù)責(zé)人座談，其中甲企業(yè)有2人到會(huì)，其余5家企業(yè)各有1人到會(huì)，會(huì)上有3人發(fā)言，則發(fā)言的3人來(lái)自3家不同企業(yè)的可能情況的總數(shù)為_(kāi)______．15．二項(xiàng)展開(kāi)式，兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，令，可得，類(lèi)比上述方法，則______．16．為等比數(shù)列，若，則_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知四棱錐的底面為菱形，且，，，與相交于點(diǎn).（1）求證：底面；（2）求直線(xiàn)與平面所成的角的值；（3）求平面與平面所成二面角的值.（用反三角函數(shù)表示）18．（12分）已知函數(shù)，為實(shí)數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）當(dāng)，且恒成立時(shí)，求的最大值.19．（12分）設(shè),圓:與軸正半軸的交點(diǎn)為,與曲線(xiàn)的交點(diǎn)為,直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為.(1)用表示和;(2)求證:;(3)設(shè),,求證:.20．（12分）已知函數(shù)f(x)＝alnx＋(a∈R)．(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)在x∈[1，＋∞)內(nèi)的最小值；(2)若f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；(3)求證ln(n＋1)>(n∈N*)．21．（12分）在中，已知的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，.（1）求與的面積之比；（2）若，，求和.22．（10分）已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為；（1）計(jì)算；（2）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】，如圖，由圖可知，兩個(gè)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，所以原函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選C．2、D【解題分析】

根據(jù)函數(shù)在其定義域內(nèi)既有極大值也有極小值，則.在有兩個(gè)不相等實(shí)根求解.【題目詳解】因?yàn)樗?因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域內(nèi)既有極大值也有極小值，所以只需方程在有兩個(gè)不相等實(shí)根.即，令，則.在遞增，在遞減.其圖象如下:∴，∴.故選：:D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題.3、B【解題分析】

時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)不平行，所以直線(xiàn)與直線(xiàn)平行的充要條件是，即且，所以“”是直線(xiàn)與直線(xiàn)平行的必要不充分條件．故選B．4、B【解題分析】畫(huà)出二元一次不等式所示的可行域，目標(biāo)函數(shù)為截距型，，可知截距越大值越大，根據(jù)圖象得出最優(yōu)解為，則的最大值為2，選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，首先由不等式組作出相應(yīng)的可行域，作圖時(shí)，可將不等式轉(zhuǎn)化為（或），“”取下方，“”取上方，并明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域、分界線(xiàn)是實(shí)線(xiàn)還是虛線(xiàn)，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線(xiàn)的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線(xiàn)的斜率、還是點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍．5、B【解題分析】

恒成立等價(jià)于恒成立，令，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)求其最大值，進(jìn)而得到答案?！绢}目詳解】恒成立等價(jià)于恒成立，令，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，，令，則，所以當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減且，所以在上單調(diào)遞增，在上的單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，，所以故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)解答恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，屬于一般題。6、D【解題分析】

由二項(xiàng)式定義得到二項(xiàng)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，由此得到，然后求通項(xiàng)，化簡(jiǎn)得到常數(shù)項(xiàng)，即可得到答案.【題目詳解】由已知得到，所以，所以展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得到，所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二項(xiàng)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)以及特征項(xiàng)的求法，其中熟記二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)問(wèn)題和二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)是解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】

化簡(jiǎn)函數(shù)為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及在時(shí)取得最小值0，求出的范圍.【題目詳解】函數(shù)在區(qū)間(－1，＋∞)上是減函數(shù)．當(dāng)x＝2時(shí)，y＝0.根據(jù)題意x∈(m，n]時(shí)，.所以m的取值范圍是－1＜m＜2，故選B.【題目點(diǎn)撥】該題所考查的是利用函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最值，來(lái)確定區(qū)間對(duì)應(yīng)的位置，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有反比例型函數(shù)的單調(diào)性，確定最值在哪個(gè)點(diǎn)處取，從而求得對(duì)應(yīng)的參數(shù)的取值范圍，屬于簡(jiǎn)單題目.8、B【解題分析】

由題意知函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象都關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，可知它們的交點(diǎn)也關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，于此可得出的值。【題目詳解】設(shè)，由于，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且函數(shù)的圖象也關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以，函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)也關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以，，令，則，所以，，因此，，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)之和，考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，抓住函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)性是解題的關(guān)鍵，同時(shí)也要注意抽象函數(shù)關(guān)系與性質(zhì)之間的關(guān)系，如下所示：（1），則函數(shù)的周期為；（2）或，則函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)；（3），則函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為.9、B【解題分析】

事件“第一次投進(jìn)球”和“第二次投進(jìn)球”是相互獨(dú)立的，利用對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件可求“其中一名同學(xué)得2分”的概率.【題目詳解】設(shè)“第一次投進(jìn)球”為事件，“第二次投進(jìn)球”為事件，則得2分的概率為.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件，注意互斥事件、對(duì)立事件和獨(dú)立事件三者之間的區(qū)別，互斥事件指不同時(shí)發(fā)生的事件，對(duì)立事件指不同時(shí)發(fā)生的事件且必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件，而獨(dú)立事件指一個(gè)事件的發(fā)生與否與另一個(gè)事件沒(méi)有關(guān)系.10、B【解題分析】

將曲線(xiàn)的參數(shù)方程利用代入法消去參數(shù)，即可得到它的普通方程.【題目詳解】由,得,故,又,,故,因此所求的普通方程為，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化，屬于簡(jiǎn)單題.消去參數(shù)方程中的參數(shù)，就可把參數(shù)方程化為普通方程，消去參數(shù)的常用方法有：①代入消元法；②加減消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法.11、A【解題分析】

令，根據(jù)對(duì)任意都有，對(duì)其求導(dǎo)，結(jié)合是單調(diào)函數(shù)，即可求得的解析式，從而可得答案.【題目詳解】令，則，.∴∵是單調(diào)函數(shù)∴∴，即.∴故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的值，函數(shù)解析式的求法，其中解答的關(guān)鍵是求出抽象函數(shù)解析式，要注意對(duì)已知條件及未知條件的湊配思想的應(yīng)用．12、A【解題分析】

根據(jù)題意，求出的展開(kāi)式的通項(xiàng)，即可得項(xiàng)的系數(shù)，進(jìn)而分析可知若系數(shù)為有理數(shù)，必有，、2、、，即可得出答案．【題目詳解】根據(jù)題意，的展開(kāi)式的通項(xiàng)為；其系數(shù)為若系數(shù)為有理數(shù)，必有，、、共有336項(xiàng)，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握二項(xiàng)式定理的形式，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：先求，再根據(jù)奇函數(shù)得.詳解：因?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)是上奇函數(shù)，所以點(diǎn)睛：已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值或解析式，首先抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于的方程，從而可得的值或解析式.14、30種【解題分析】

對(duì)發(fā)言的3人進(jìn)行討論，一類(lèi)是3個(gè)中有來(lái)自甲企業(yè)，一類(lèi)是3人中沒(méi)有來(lái)自甲企業(yè).【題目詳解】（1）當(dāng)發(fā)言的3人有來(lái)自甲企業(yè)，則共有：；（2）當(dāng)發(fā)言的3人沒(méi)有來(lái)自甲企業(yè)，則共有：；所以可能情況的總數(shù)為種.【題目點(diǎn)撥】本題考查分類(lèi)與分步計(jì)數(shù)原理，解題的關(guān)鍵在于對(duì)3個(gè)發(fā)言人來(lái)自企業(yè)的討論，即有來(lái)自甲和沒(méi)有來(lái)自甲.15、【解題分析】

依據(jù)類(lèi)比推理觀察式子的特點(diǎn)，可得，然后進(jìn)行求導(dǎo)并對(duì)取特殊值，可得結(jié)果.【題目詳解】，兩邊對(duì)求導(dǎo)，左邊右邊令，．故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查類(lèi)比推理以及二項(xiàng)式定理與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合，難點(diǎn)在于找到式子，屬中檔題.16、【解題分析】

將這兩式中的量全部用表示出來(lái)，正好有兩個(gè)方程，兩個(gè)未知數(shù)，解方程組即可求出。【題目詳解】相當(dāng)于，相當(dāng)于，上面兩式相除得代入就得，【題目點(diǎn)撥】基本量法是解決數(shù)列計(jì)算題最重要的方法，即將條件全部用首項(xiàng)和公比表示，列方程，解方程即可求得。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）【解題分析】

（1）由已知中四棱錐P?ABCD的底面ABCD為菱形，且∠ABC＝60°，PB＝PD＝AB＝2，PA＝PC，AC與BD相交于點(diǎn)O，根據(jù)平行四邊形兩條對(duì)角線(xiàn)互相平分及等腰三角形三線(xiàn)合一，結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理，我們易得到結(jié)論；

（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，分別求出各頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線(xiàn)

PB的方向向量與平面PCD的法向量，代入線(xiàn)面夾角的向量法公式，即可求出答案；（3）求出平面的法向量，代入面面夾角的向量法公式，即可求出答案.【題目詳解】（1）證明：因?yàn)锳BCD為菱形，

所以O(shè)為AC，BD的中點(diǎn)

因?yàn)镻B＝PD，PA＝PC，

所以PO⊥BD，PO⊥AC

所以PO⊥底面ABCD；

（2）解：因?yàn)锳BCD為菱形，所以AC⊥BD，

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

又∠ABC＝60°，PA＝AB＝2

得，

所以則，

設(shè)平面PCD的法向量

有，所以，令

得，

，

直線(xiàn)與平面所成的角的值為；（3）設(shè)平面的法向量,因?yàn)?/p>

有，所以，令

得，，

由圖知，平面與平面所成二面角為鈍角，.【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求直線(xiàn)與平面的夾角，直線(xiàn)與平面垂直的判定，直線(xiàn)與平面所成的角，其中選擇合適的點(diǎn)及坐標(biāo)軸方向，建立空間坐標(biāo)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)向量問(wèn)題是解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.18、(1)(2)【解題分析】分析：（1）當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)函數(shù)研究切線(xiàn)方程可得函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.（2）原問(wèn)題等價(jià)于恒成立，二次求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)研究的性質(zhì)可知，滿(mǎn)足，，，，則.據(jù)此討論可得的最大值為.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，∴，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即為.（2）恒成立，則恒成立，又，令，所以，所以在為單調(diào)遞增函數(shù).又因?yàn)椋?，所以使得，即，，，，所?又因?yàn)椋?，所以，，令，，，所以，即，又，所以，因?yàn)?，，所以的最大值?點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，本專(zhuān)題在高考中的命題方向及命題角度從高考來(lái)看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．19、（1）,(2)根據(jù)題意，由于,進(jìn)而得到證明．(3)先證:當(dāng)時(shí),.然后借助于不等式關(guān)系放縮法求和比較大?。窘忸}分析】試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)在圓上，在直線(xiàn)上，即可求得，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可得證；（2）首先證明不等式，進(jìn)而可證得，累加求和即可得證．試題解析：（1）由點(diǎn)在曲線(xiàn)上可得，又點(diǎn)在圓上，則，，從而直線(xiàn)的方程為，由點(diǎn)在直線(xiàn)上得：，將代入，化簡(jiǎn)得：，∵，，∴，，又∵，，∴；（2）先證：當(dāng)時(shí)，，事實(shí)上，不等式，后一個(gè)不等式顯然成立，而前一個(gè)不等式，故當(dāng)時(shí)，不等式成立，∴，∴(等號(hào)僅在時(shí)成立)，求和得：，∴．考點(diǎn)：1．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式；2．?dāng)?shù)列與不等式綜合題．【方法點(diǎn)睛】解決數(shù)列與不等式相結(jié)合的綜合題常用的解題策略有：1．關(guān)注數(shù)列的通項(xiàng)公式，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，考查該函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)（單調(diào)性，值域，有界性）加以放縮；2．重視題目設(shè)問(wèn)的層層遞進(jìn)，最后一小問(wèn)常常要用到之前的中間結(jié)論；3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法．20、（1）最小值為f(1)＝1.（2）a<.（3）見(jiàn)解析【解題分析】試題分析：（1）可先求f′（x），從而判斷f（x）在x∈[1，+∞）上的單調(diào)性，利用其單調(diào)性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（2）求h′（x），可得，若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，需h′（x）＜0有正數(shù)解．從而轉(zhuǎn)化為：有x＞0的解．通過(guò)對(duì)a分a=0，a＜0與當(dāng)a＞0三種情況討論解得a的取值范圍；（3）可用數(shù)學(xué)歸納法予以證明．當(dāng)n=1時(shí)，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1?，即時(shí)命題成立；設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即成立，再去證明n=k+1時(shí)，成立即可（需用好歸納假