河北省永清一中2024屆數(shù)學高二下期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

河北省永清一中2024屆數(shù)學高二下期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一個盒子里有6支好晶體管，5支壞晶體管，任取兩次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶體管時，則第二支也是好晶體管的概率為（）A．23B．512C．72．對相關(guān)系數(shù)，下列說法正確的是（）A．越大，線性相關(guān)程度越大B．越小，線性相關(guān)程度越大C．越大，線性相關(guān)程度越小，越接近0，線性相關(guān)程度越大D．且越接近1，線性相關(guān)程度越大，越接近0，線性相關(guān)程度越小3．已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，，，若三棱錐體積的最大值為2，則球的表面積為()A． B． C． D．4．4名學生報名參加語、數(shù)、英興趣小組，每人選報1種，則不同方法有（）A．種 B．種 C．種 D．種5．把4個蘋果分給兩個人，每人至少一個，不同分法種數(shù)有()A．6 B．12 C．14 D．166．若直線l不平行于平面α，且l?α，則（）A．α內(nèi)所有直線與l異面B．α內(nèi)只存在有限條直線與l共面C．α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D．α內(nèi)存在無數(shù)條直線與l相交7．設(shè)定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足xf′(x)－f(x)＝xlnx，，則f(x)()A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值，又有極小值 D．既無極大值，又無極小值8．已知函數(shù)()在上的最大值為3，則()A． B． C． D．9．在橢圓內(nèi)，通過點，且被這點平分的弦所在的直線方程為（）A． B．C． D．10．若,則A．－70 B．28 C．－26 D．4011．一次數(shù)學考試后，甲說：我是第一名，乙說：我是第一名，丙說:乙是第一名。丁說：我不是第一名，若這四人中只有一個人說的是真話且獲得第一名的只有一人，則第一名的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁12．已知函數(shù)，若曲線在點處的切線方程為，則實數(shù)的取值為（）A．-2 B．-1 C．1 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）的虛部是_______．14．方程的正整數(shù)解的個數(shù)__________.15．已知向量與共線且方向相同，則_____.16．用分層抽樣的方法從某校學生中抽取一個容量為45的樣本，其中高一年級抽20人，高三年級抽10人，已知該校高二年級共有學生300人，則該校學生總數(shù)是_____人.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，0≤α＜π且），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．已知直線l與曲線C交于A、B兩點，且．（1）求α的大??；（2）過A、B分別作l的垂線與x軸交于M，N兩點，求|MN|．18．（12分）從某工廠的一個車間抽取某種產(chǎn)品50件，產(chǎn)品尺寸（單位：）落在各個小組的頻數(shù)分布如下表：數(shù)據(jù)分組頻數(shù)（1）根據(jù)頻數(shù)分布表，求該產(chǎn)品尺寸落在的概率；（2）求這件產(chǎn)品尺寸的樣本平均數(shù)；（3）根據(jù)頻率分布對應(yīng)的直方圖，可以認為這種產(chǎn)品尺寸服從正態(tài)分布；其中近似為樣本平均值，近似為樣本方差，經(jīng)計算得，利用正態(tài)分布，求．19．（12分）已知函數(shù)f(x)=x（1）求不等式f(x)≤10的解集；（2）記f(x)的最小值為m，若正實數(shù)a，b，c滿足a+b+c=m，求證：a+20．（12分）已知.猜想的表達式并用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論.21．（12分）已知函數(shù).(1)若,解不等式;(2)若不等式對任意的實數(shù)恒成立，求的取值范圍.22．（10分）近來國內(nèi)一些互聯(lián)網(wǎng)公司為了贏得更大的利潤、提升員工的奮斗姿態(tài)，要求員工實行“996”工作制，即工作日早9點上班，晚上21點下班，中午和傍晚最多休息1小時，總計工作10小時以上，并且一周工作6天的工作制度，工作期間還不能請假，也沒有任何補貼和加班費.消息一出，社交媒體一片嘩然，有的人認為這是違反《勞動法》的一種對員工的壓榨行為，有的人認為只有付出超越別人的努力和時間，才能夠?qū)崿F(xiàn)想要的成功，這是提升員工價值的一種有效方式.對此，國內(nèi)某大型企業(yè)集團管理者認為應(yīng)當在公司內(nèi)部實行“996”工作制，但應(yīng)該給予一定的加班補貼（單位：百元），對于每月的補貼數(shù)額集團人力資源管理部門隨機抽取了集團內(nèi)部的1000名員工進行了補貼數(shù)額（單位：百元）期望值的網(wǎng)上問卷調(diào)查，并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表：（1）求所得樣本的中位數(shù)（精確到百元）；（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認為員工的加班補貼服從正態(tài)分布，若該集團共有員工40000人，試估計有多少員工期待加班補貼在8100元以上；（3）已知樣本數(shù)據(jù)中期望補貼數(shù)額在范圍內(nèi)的8名員工中有5名男性，3名女性，現(xiàn)選其中3名員工進行消費調(diào)查，記選出的女職員人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.附：若，則，，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】試題分析：由題意，知取出一好晶體管后，盒子里還有5只好晶體管，4支壞晶體管，所以若已知第一支是好晶體管，則第二支也是好晶體管的概率為59考點：等可能事件的概率．2、D【解題分析】

根據(jù)兩個變量之間的相關(guān)系數(shù)r的基本特征，直接選出正確答案即可．【題目詳解】用相關(guān)系數(shù)r可以衡量兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系的強弱，|r|≤1，r的絕對值越接近于1，表示兩個變量的線性相關(guān)性越強，r的絕對值接近于0時，表示兩個變量之間幾乎不存在相關(guān)關(guān)系，故選D．【題目點撥】本題考查兩個變量之間相關(guān)系數(shù)的基本概念應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．3、D【解題分析】分析：根據(jù)棱錐的最大高度和勾股定理計算球的半徑，從而得出外接球的表面積．詳解：因為，所以，過的中點作平面的垂下，則球心在上，設(shè)，球的半徑為，則棱錐的高的最大值為，因為，所以，由勾股定理得，解得，所以球的表面積為，故選D．點睛：本題考查了有關(guān)球的組合體問題，以及三棱錐的體積的求法，解答時要認真審題，注意球的性質(zhì)的合理運用，求解球的組合體問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復(fù)為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）利用球的截面的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理列出方程求解球的半徑．4、B【解題分析】

直接根據(jù)乘法原理計算得到答案.【題目詳解】每個學生有3種選擇，根據(jù)乘法原理共有種不同方法.故選：.【題目點撥】本題考查了乘法原理，屬于簡單題.5、C【解題分析】

給兩個人命名為甲、乙，根據(jù)甲分的蘋果數(shù)進行分類即可求出．【題目詳解】按照分給甲的蘋果數(shù)，有種分法，故選C．【題目點撥】本題主要考查分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用．6、D【解題分析】

通過條件判斷直線l與平面α相交，于是可以判斷ABCD的正誤.【題目詳解】根據(jù)直線l不平行于平面α，且l?α可知直線l與平面α相交，于是ABC錯誤，故選D.【題目點撥】本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，直線與直線的位置關(guān)系，難度不大.7、D【解題分析】因為xf′(x)－f(x)＝xlnx，所以，所以，所以f(x)＝xln2x＋cx.因為f()＝ln2＋c×＝，所以c＝，所以f′(x)＝ln2x＋lnx＋＝(lnx＋1)2≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(0，＋∞)上既無極大值，也無極小值，故選D.點睛：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求原函數(shù)，常常需構(gòu)造輔助函數(shù)，一般根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等8、B【解題分析】

對函數(shù)進行求導(dǎo)，得，，令，，對進行分類討論，求出每種情況下的最大值，根據(jù)已知條件可以求出的值.【題目詳解】解:，，令，，①當時，，，，在上單調(diào)遞增，，即（舍去），②當時，，，；時，，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即，令()，，在上單調(diào)遞減，且，，故選B.【題目點撥】本題考查了已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值求參數(shù)問題，求導(dǎo)、進行分類討論函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.9、A【解題分析】試題分析：設(shè)以點為中點的弦的端點分別為，則，又，兩式相減化簡得，即以點為中點的弦所在的直線的斜率為，由直線的點斜式方程可得，即，故選A.考點：直線與橢圓的位置關(guān)系.10、C【解題分析】

令t＝x﹣3，把等式化為關(guān)于t的展開式，再求展開式中t3的系數(shù)．【題目詳解】令t＝x﹣3，則（x﹣2）5﹣3x4＝a0+a1（x﹣3）+a2（x﹣3）2+a3（x﹣3）3+a4（x﹣3）4+a5（x﹣3）5，可化為（t+1）5﹣3（t+3）4＝a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5，則a3＝＝10﹣36＝﹣1．故選C．【題目點撥】本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，指定項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．11、C【解題分析】

通過假設(shè)法來進行判斷?！绢}目詳解】假設(shè)甲說的是真話，則第一名是甲，那么乙說謊，丙也說謊，而丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，故甲說的不是真話，第一名不是甲；假設(shè)乙說的是真話，則第一名是乙，那么甲說謊，丙說真話，丁也說真話，而已知只有一個人說的是真話，故乙說謊，第一名也不是乙；假設(shè)丙說的是真話，則第一名是乙，所以乙說真話，甲說謊，丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，故丙在說謊，第一名也不是乙；假設(shè)丁說的是真話，則第一名不是丁，而已知只有一個人說的是真話，那么甲也說謊，說明甲也不是第一名，同時乙也說謊，說明乙也不是第一名，第一名只有一人，所以只有丙才是第一名，故假設(shè)成立，第一名是丙。本題選C?！绢}目點撥】本題考查了推理能力。解決此類問題的基本方法就是假設(shè)法。12、B【解題分析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線方程通過f′（0），求解即可；【題目詳解】f（x）的定義域為（﹣1，+∞），因為f′（x）a，曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y＝2x，可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，故選：B．【題目點撥】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，考查計算能力．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-1【解題分析】

由題意，根據(jù)復(fù)數(shù)的運算，化簡得，即可得到復(fù)數(shù)的虛部．【題目詳解】由題意，復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的虛部為．【題目點撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運算及復(fù)數(shù)的分類，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的四則運算，正確化簡、運算復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的概念求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

本題轉(zhuǎn)化為把10個球放在三個不同的盒子里，有多少種方法，利用隔板法，即可求得答案.【題目詳解】問題中的看作是三個盒子，問題則轉(zhuǎn)化為把個球放在三個不同的盒子里，有多少種方法．將個球排一排后，中間插入兩塊隔板將它們分成三堆球，使每一堆至少一個球．隔板不能相鄰，也不能放在兩端，只能放在中間的個空內(nèi)．共有種．

故答案為：【題目點撥】本題解題關(guān)鍵是掌握將正整數(shù)解的問題轉(zhuǎn)化為組合數(shù)問題，考查了分析能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.15、3【解題分析】

先根據(jù)向量平行，得到，計算出t的值，再檢驗方向是否相同．【題目詳解】因為向量與共線且方向相同所以得．解得或．當時，，不滿足條件；當時，，與方向相同，故．【題目點撥】本題考查兩向量平行的坐標表示，屬于基礎(chǔ)題.16、900【解題分析】

計算可得樣本中高二年級人數(shù)，從而可計算得到抽樣比，從而可求得學生總數(shù).【題目詳解】由題意可知，高二年級抽?。喝顺闃颖葹椋涸撔W生總數(shù)為：人本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查分層抽樣的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠明確每層在樣本中占比與該層在總體中的占比相同.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）4.【解題分析】

（1）直接利用參數(shù)方程和極坐標方程與直角坐標方程進行轉(zhuǎn)化，再利用點到直線的距離公式求出結(jié)果．（2）直接利用關(guān)系式求出結(jié)果．【題目詳解】（1）由已知直線l的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)，0≤α＜π且），則：，∵，，∴O到直線l的距離為3，則，解之得．∵0＜α＜π且，∴（2）直接利用關(guān)系式，解得：．【題目點撥】本題主要考查了參數(shù)方程和極坐標方程與直角坐標方程的轉(zhuǎn)化，點到直線的距離公式的應(yīng)用．18、（1）；（2）；（3）.【解題分析】分析：（1）根據(jù)條件得到概率為；（2）由平均數(shù)的概念得到數(shù)值；（3）結(jié)合第二問得到的均值，以條件中所給的得到，S=4.73，由得到結(jié)果.詳解：（1）根據(jù)頻數(shù)分布表可知，產(chǎn)品尺寸落在內(nèi)的概率.（2）樣本平均數(shù).（3）依題意.而，，則....即為所求.點睛：這個題目考查了平均數(shù)的計算，概率的理解，以及正態(tài)分布的應(yīng)用，正態(tài)分布是一種較為理想的分布狀態(tài)，常見的概率.19、（Ⅰ）[-2,8];（Ⅱ）見解析.【解題分析】試題分析:（Ⅰ）利用絕對值的意義，寫出分段函數(shù)，即可求不等式f（x）≤10的解集；（Ⅱ）利用絕對值不等式，求出m，再利用柯西不等式進行證明．試題解析：（Ⅰ）f當x≤0時，由-2x+6≤10，解得-2≤x≤0；當0<x≤6時，因為6<10，所以0<x≤6；當x>6時，由2x-6≤10，解得6<x≤8綜上可知，不等式fx≤10的解集為（Ⅱ）由（Ⅰ）知，fx的最小值為6，即m=6.（或者x+x-6≥由柯西不等式可得a+b+c1+2+3=a2+因此a+2b+20、證明見解析【解題分析】

首先計算，猜想，再用數(shù)學歸納法證明.【題目詳解】猜想，下面用數(shù)學歸納法證明：①時，猜想成立；②假設(shè)時猜想成立，即則時，由及得又=,時猜想成立.由①②知.【題目點撥】本題考查了數(shù)學歸納法，意在考查學生的歸納推理能力和計算能力.21、（1）；（2）【解題分析