湖北省武漢市新洲一中陽邏校區(qū)2024屆高二數(shù)學第二學期期末達標測試試題含解析

湖北省武漢市新洲一中陽邏校區(qū)2024屆高二數(shù)學第二學期期末達標測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知展開式的常數(shù)項為15，則（）A． B．0 C．1 D．-12．已知函數(shù)，則函數(shù)g（x）＝xf（x）﹣1的零點的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．53．已知點在橢圓上，、分別是橢圓的左、右焦點，的中點在軸上，則等于（）A． B． C． D．4．若函數(shù)，設，，，則，，的大小關(guān)系A． B．C． D．5．將4名志愿者分別安排到火車站、輪渡碼頭、機場工作，要求每一個地方至少安排一名志愿者，其中甲、乙兩名志愿者不安排在同一個地方工作，則不同的安排方法共有A．24種 B．30種 C．32種 D．36種6．對于兩個平面和兩條直線，下列命題中真命題是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．已知橢圓（為參數(shù)）與軸正半軸，軸正半軸的交點分別為，動點是橢圓上任一點，則面積的最大值為（）A． B． C． D．8．某醫(yī)療機構(gòu)通過抽樣調(diào)查(樣本容量n=1000)，利用2×2列聯(lián)表和統(tǒng)計量研究患肺病是否與吸煙有關(guān).計算得，經(jīng)查閱臨界值表知，下列結(jié)論正確的是()0.0500.0100.001k3.8416.63510.828A．在100個吸煙的人中約有95個人患肺病 B．若某人吸煙，那么他有的可能性患肺病C．有的把握認為“患肺病與吸煙有關(guān)” D．只有的把握認為“患肺病與吸煙有關(guān)”9．如果函數(shù)在上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，那么“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．函數(shù)的部分圖象可能是（）A． B．C． D．11．已知隨機變量,且,則與的值分別為A．16與0.8 B．20與0.4C．12與0.6 D．15與0.812．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線的焦點是，若雙曲線上存在點，使是有一個內(nèi)角為的等腰三角形，則的離心率是______；14．一個總體分為A，B兩層，其個體數(shù)之比為4：1，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本.已知B層中甲、乙都被抽到的概率為，則總體中的個體數(shù)為_____．15．在上海高考改革方案中，要求每位高中生必須在物理、化學、生物、政治、歷史、地理6門學科（3門理科，3門文科）中選擇3門學科參加等級考試，小李同學受理想中的大學專業(yè)所限，決定至少選擇一門理科學科，那么小李同學的選科方案有________種.16．在正四面體P-ABC，已知M為AB的中點，則PA與CM所成角的余弦值為____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，．（1）令，當時，求實數(shù)的取值范圍；（2）令的值域為，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)在，數(shù)集上都有定義，對任意的，當時或成立，則稱是數(shù)集上的限制函數(shù)；令函數(shù)，求其在上的限制函數(shù)的解析式，并求在上的單調(diào)區(qū)間．18．（12分）如圖所示，已知是橢圓：的右焦點，直線：與橢圓相切于點．（1）若，求；（2）若，，求橢圓的標準方程．19．（12分）給出如下兩個命題：命題，；命題已知函數(shù)，且對任意，，，都有，求實數(shù)的取值范圍，使命題為假，為真.20．（12分）時下，租車自駕游已經(jīng)比較流行了．某租車點的收費標準為：不超過天收費元，超過天的部分每天收費元（不足天按天計算）．甲、乙兩人要到該租車點租車自駕到某景區(qū)游覽，他們不超過天還車的概率分別為和，天以上且不超過天還車的概率分別為和，兩人租車都不會超過天．（1）求甲所付租車費比乙多的概率；（2）設甲、乙兩人所付的租車費之和為隨機變量,求的分布列和數(shù)學期望.21．（12分）已知在的展開式中，第6項為常數(shù)項．求n的值；求展開式的所有項的系數(shù)之和；求展開式中所有的有理項．22．（10分）設函數(shù)f（x）=，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

先求出二項式展開式的通項公式，再令的冪指數(shù)等于0，求得的值，即可求得展開式中的常數(shù)項，再根據(jù)常數(shù)項為15，求得的值．【題目詳解】解：二項式的展開式的通項公式為，令，求得，可得展開式中的常數(shù)項為，由此求得，故選：．【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，屬于基礎題．2、B【解題分析】

由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得f（x），根據(jù)條件作出函數(shù)f（x）與h（x）的圖象，研究兩個函數(shù)的交點個數(shù)即可得到結(jié)論．【題目詳解】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，當x＝0時，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，則等價為f（x）＝，當2＜x≤4時，0＜x﹣2≤2，此時f（x）＝f（x﹣2）＝（1﹣|x﹣2﹣1|）＝﹣|x﹣3|，當4＜x≤6時，2＜x﹣2≤4，此時f（x）＝f（x﹣2）＝[﹣|x﹣2﹣3|]＝﹣|x﹣5|，作出f（x）的圖象如圖，則f（1）＝1，f（3）＝f（1）＝，f（5）＝f（3）＝，設h（x）＝，則h（1）＝1，h（3）＝，h（5）＝＞f（5），作出h（x）的圖象，由圖象知兩個函數(shù)圖象有3個交點，即函數(shù)g（x）的零點個數(shù)為3個，故選：B．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)與方程的應用，利用條件轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．3、A【解題分析】由題意可得，設P，且，所以=，選A.【題目點撥】若，是橢圓的左、右焦點，且，則點P的坐標為．4、D【解題分析】

根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得在上為增函數(shù)，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)可得，進而可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，是二次函數(shù)，其對稱軸為y軸，且在上為增函數(shù)，，，，則有，則；故選：D．【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性的判定以及應用，涉及對數(shù)的運算，屬于基礎題．5、B【解題分析】

利用間接法，即首先安排4人到三個地方工作的安排方法數(shù)N，再求出當甲、乙兩名志愿者安排在同一個地方時的安排方法數(shù)n，于是得出答案N-n?！绢}目詳解】先考慮安排4人到三個地方工作，先將4人分為三組，分組有C42種，再將這三組安排到三個地方工作，則安排4人到三個地方工作的安排方法數(shù)為當甲、乙兩名志愿者安排在同一個地方時，則只有一個分組情況，此時，甲、乙兩名志愿者安排在同一個地方工作的安排方法數(shù)為n=A因此，所求的不同安排方法數(shù)為N-n=36-6=30種，故選：B?！绢}目點撥】本題考查排列組合綜合問題的求解，當問題分類情況較多或問題中帶有“至少”時，宜用間接法來考查，即在總體中減去不符合條件的方法數(shù)，考查分析問題的能力和計算能力，屬于中等題。6、D【解題分析】

根據(jù)線面平行垂直的位置關(guān)系判斷．【題目詳解】A中可能在內(nèi)，A錯；B中也可能在內(nèi)，B錯；與可能平行，C錯；，則或，若，則由得，若，則內(nèi)有直線，而易知，從而，D正確．故選D．【題目點撥】本題考查線面平行與垂直的關(guān)系，在說明一個命題是錯誤時可舉一反例．說明命題是正確時必須證明．7、B【解題分析】分析：根據(jù)橢圓的方程算出A（4，1）、B（1，3），從而得到|AB|=5且直線AB：3x+4y﹣12=1．設點P（4cosθ，3sinθ），由點到直線的距離公式算出P到直線AB距離為d=|sin﹣1|，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)算出dmax=（），由此結(jié)合三角形面積公式，即可得到△PAB面積的最大值．詳解：由題得橢圓C方程為：，∴橢圓與x正半軸交于點A（4，1），與y正半軸的交于點B（1，3），∵P是橢圓上任一個動點，設點P（4cosθ，3sinθ）（θ∈[1，2π]）∴點P到直線AB：3x+4y﹣12=1的距離為d==|sin﹣1|，由此可得：當θ=時，dmax=（）∴△PAB面積的最大值為S=|AB|×dmax=6（）.點睛：(1)本題主要考查橢圓的參數(shù)方程和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力計算能力.(2)對于|sin﹣1|，不是sin=1時，整個函數(shù)取最大值，而應該是sin=-1，要看后面的“-1”.8、C【解題分析】

將計算出的與臨界值比較即可得答案。【題目詳解】由題得，且由臨界值表知，所以有的把握認為“患肺病與吸煙有關(guān)”，故選C.【題目點撥】本題考查獨立性檢驗，解題的關(guān)鍵是將估計值與臨界值比較，屬于簡單題。9、A【解題分析】

由零點存在性定理得出“若，則函數(shù)在內(nèi)有零點”舉反例即可得出正確答案.【題目詳解】由零點存在性定理可知，若，則函數(shù)在內(nèi)有零點而若函數(shù)在內(nèi)有零點，則不一定成立，比如在區(qū)間內(nèi)有零點，但所以“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點”的充分而不必要條件故選：A【題目點撥】本題主要考查了充分不必要條件的判斷，屬于中檔題.10、B【解題分析】∵，∴，∴函數(shù)的定義域為，又，∴函數(shù)為偶函數(shù)，且圖象關(guān)于軸對稱，可排除、．又∵當時，，可排除．綜上，故選．點睛：有關(guān)函數(shù)圖象識別問題的常見題型及解題思路(1)由解析式確定函數(shù)圖象的判斷技巧：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復．(2)由實際情景探究函數(shù)圖象．關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學問題求解，要注意實際問題中的定義域問題．11、D【解題分析】因為隨機變量，且，且，解得，故選D.12、B【解題分析】

模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化即可得到答案.【題目詳解】由題意，輸入值，，第一次執(zhí)行，，，不成立；第二次執(zhí)行，，，不成立；第三次執(zhí)行，，，不成立；第四次執(zhí)行，，，不成立；第五次執(zhí)行，，，成立，輸出.故選：B【題目點撥】本題主要考查循環(huán)框圖的應用，按照框圖的程序運行即可得出正確答案，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)雙曲線的對稱性可知，等腰三角形的腰應該為與或與，不妨設等腰三角形的腰為與，故可得到的值，再根據(jù)等腰三角形的內(nèi)角為，求出的值，利用雙曲線的定義可得雙曲線的離心率.【題目詳解】解：根據(jù)雙曲線的對稱性可知，等腰三角形的兩個腰應為與或與，不妨設等腰三角形的腰為與，且點在第一象限，故，等腰有一內(nèi)角為，即，由余弦定理可得，，由雙曲線的定義可得，，即，解得：.【題目點撥】本題考查了雙曲線的定義、性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是要能準確判斷出等腰三角形的腰所在的位置.14、40【解題分析】設B層中的個體數(shù)為，則，則總體中的個體數(shù)為15、19【解題分析】

6門學科（3門理科，3門文科）中選擇3門學科可以分為全為理科，有理科有文科，全為文科，決定至少選擇一門理科學科包括前兩種，考慮起來比較麻煩，故用間接法：用總數(shù)減去全為文科的數(shù)量.【題目詳解】根據(jù)題意，從物理、化學、生物、政治、歷史、地理6門學科任選3門，有種選取方法，其中全部為文科科目，沒有理科科目的選法有種，所以至少選擇一門理科學科的選法有20－1＝19種；故答案為：19，【題目點撥】本題考查排列組合.方法：1、直接考慮，適用包含情況較少時；2、間接考慮，當直接考慮情況較多時，可以用此法.16、【解題分析】分析：取的中點，連接，由三角形中位線定理可得即為與所成的角或其補角，利用余弦定理可得結(jié)果.詳解：取的中點，連接，由三角形中位線定理可得，，故即為與所成的角或其補角，因為是正四面體，不妨設令其棱長為，則由正四面體的性質(zhì)可求得，故，故答案為.點睛：本題主要考查余弦定理的應用以及異面直線所成角的求法，求異面直線所成的角的做題步驟分為三步，分別為：作角、證角、求角，尤其是第二步證明過程不可少，是本題易失點分，切記.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）增區(qū)間為在【解題分析】

（1）由分段函數(shù)求值問題，討論落在哪一段中，再根據(jù)函數(shù)值即可得實數(shù)的取值范圍；（2）由分段函數(shù)值域問題，由函數(shù)的值域可得，再求出實數(shù)的取值范圍；（3）先閱讀題意，再由導數(shù)的幾何意義求得，再利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可.【題目詳解】解:（1）由,且時，當時,有時,,與題設矛盾,當時,有時,,與題設相符,故實數(shù)的取值范圍為:;（2）當，，因為，所以，即，當，，因為，所以，即，又由題意有，所以，故實數(shù)的取值范圍為；（3）由的導函數(shù)為，由導數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在任一點處的導數(shù)即為曲線在這一點處切線的斜率，由限制函數(shù)的定義可知，由，即函數(shù)在為增函數(shù)，故函數(shù)在為增函數(shù).【題目點撥】本題考查了分段函數(shù)求值問題、分段函數(shù)值域問題及導數(shù)的幾何意義，重點考查了閱讀理解能力，屬中檔題.18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去得的一元二次方程，直線與橢圓相切，則，結(jié)合可求得；（2）利用（1）中結(jié)論可求得點坐標，作軸于點,軸于點,由,,則有，因此,,這樣可由點坐標表示出點坐標，由在直線上可得，這樣結(jié)合，可解得得橢圓標準方程．【題目詳解】（1）由直線與橢圓方程聯(lián)立得，①，因直線與橢圓相切，則，因此可得；若，則；（2）將代入方程①式可得，因此，，因此點，作軸于點,軸于點,∵,,則有，因此,,∴，，∴，∵在直線上，因此，化簡得；又由，則可得，即有，∵，∴，則，，因此所求的橢圓方程為.【題目點撥】本題考查求橢圓的標準方程．考查直線與橢圓位置關(guān)系．直線與橢圓相切，只能由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后得二次方程，則有結(jié)論．第（2）小題有一定的難度，關(guān)鍵是還要一個的關(guān)系式，題中解法是通過幾何方法，由點坐標表示出點坐標，僄代入直線方程得到關(guān)系式．另一種方法是，然后取中點為，則有（不需要再求線段長了），這樣兩個垂直也可以建立起的關(guān)系式．19、【解題分析】

判斷命題的否定為真時，實數(shù)的取值范圍，從而得到命題為真時實數(shù)的取值范圍，化簡不等式可知只需在上是減函數(shù)。取絕對值討論在不同區(qū)間內(nèi)的解集即可?！绢}目詳解】由已知，若命題，，是真命題令則在區(qū)間沒有零點令，可得，其對稱軸為要使得在區(qū)間沒有零點即解得實數(shù)的取值范圍為則當命題p為真時，因為，所以，。設，依題意，在上是減函數(shù)，。①當時，

，。令，得：對恒成立。設，則。因為，所以。所以在上是增函數(shù)，則當時，有最大值為，所以。②當時，

，。令，得：。設，則，所以在上是增函數(shù)。所以，所以。綜合①②，又因為在上是圖形連續(xù)不斷的，所以。故若q為真，則則p真q假為則q真p假綜上【題目點撥】本題主要考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想以及導數(shù)的應用，存在性的命題可將其轉(zhuǎn)化為否定命題，進而得到原命題的真假，屬于難題.20、（1）；（2）見解析【解題分析】

（1）將情況分為甲租天以上，乙租不超過天；甲租天，乙租天兩種情況；分別在兩種情況下利用獨立事件概率公式可求得對應概率，加和得到結(jié)果；（2）首先確定所有可能的取值，再求得每個取值所對應的概率，從而得到分布列；利用數(shù)學期望計算公式求得期望.【題目詳解】（1）若甲所付租車費比乙多，則分為：甲租天以上，乙租不超過天；甲租天，乙租天兩種情況①甲租天以上，乙租不超過天的概率為：②甲租天，乙租天的概率為：甲所付租車費比乙多的概率為：（2）甲、乙兩人所付