2024屆吉林省長春市數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典試題含解析

2024屆吉林省長春市數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，則中（）A．至少有一個(gè)不小于1 B．至少有一個(gè)不大于1C．都不大于1 D．都不小于12．已知某隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為則隨機(jī)變量落在區(qū)間內(nèi)在概率為()A． B． C． D．3．直線（為參數(shù)）被圓截得的弦長為（）A． B． C． D．4．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，，，若三棱錐體積的最大值為2，則球的表面積為()A． B． C． D．5．知是定義在上的偶函數(shù)，那么（）A． B． C． D．6．函數(shù)f(x)＝ex－3x－1(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的圖象大致是()A．B．C．D．7．下列四個(gè)不等式：①；②；③；④，其中恒成立的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．48．設(shè)函數(shù)f（x）＝xlnx的圖象與直線y＝2x+m相切，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．e B．﹣e C．﹣2e D．2e9．函數(shù)的最小正周期是（）A． B． C． D．10．已知等差數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．11．函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是（）．A．0 B．1 C．2 D．312．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，若，則14．根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出S的值為.15．已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)開_________16．若對(duì)任意，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某教師調(diào)查了名高三學(xué)生購買的數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書的數(shù)量，將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)制成如下表格：男生女生總計(jì)購買數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書超過本購買數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書不超過本總計(jì)（Ⅰ）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，是否有的把握認(rèn)為購買數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書的數(shù)量與性別相關(guān)；（Ⅱ）從購買數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書不超過本的學(xué)生中，按照性別分層抽樣抽取人，再從這人中隨機(jī)抽取人詢問購買原因，求恰有名男生被抽到的概率.附：，.18．（12分）已知的圖象上相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離為1．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，且，求的值．19．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；（2）在（1）的條件下，若存在實(shí)數(shù)使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)的定義域?yàn)?（1）若，解不等式；（2）若，求證：.21．（12分）如圖，四核錐中，，是以為底的等腰直角三角形，，為中點(diǎn)，且．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．22．（10分）已知數(shù)列是公差不為的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

用反證法證明，假設(shè)同時(shí)大于，推出矛盾得出結(jié)果【題目詳解】假設(shè)，，，三式相乘得，由，所以，同理，，則與矛盾，即假設(shè)不成立，所以不能同時(shí)大于，所以至少有一個(gè)不大于，故選【題目點(diǎn)撥】本題考查的是用反證法證明數(shù)學(xué)命題，把要證的結(jié)論進(jìn)行否定，在此基礎(chǔ)上推出矛盾，是解題的關(guān)鍵，同時(shí)還運(yùn)用了基本不等式，本題較為綜合2、B【解題分析】

求概率密度函數(shù)在（1，3）的積分，求得概率．【題目詳解】由隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)的意義得，故選B．【題目點(diǎn)撥】隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)在某區(qū)間上的定積分就是隨機(jī)變量在這一區(qū)間上概率．3、B【解題分析】分析：先消去參數(shù)，得到直線的普通方程，再求出圓心到直線的距離，得到弦心距，根據(jù)勾股定理求出弦長，從而得到答案.詳解：直線（為參數(shù)），，即，圓，圓心到直線的距離為.直線（為參數(shù)）被圓截得的弦長為.故選：B.點(diǎn)睛：本題考查了參數(shù)方程與普通方程的互化、點(diǎn)到直線的距離公式、弦心距與弦長的關(guān)系，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】分析：根據(jù)棱錐的最大高度和勾股定理計(jì)算球的半徑，從而得出外接球的表面積．詳解：因?yàn)椋?，過的中點(diǎn)作平面的垂下，則球心在上，設(shè)，球的半徑為，則棱錐的高的最大值為，因?yàn)?，所以，由勾股定理得，解得，所以球的表面積為，故選D．點(diǎn)睛：本題考查了有關(guān)球的組合體問題，以及三棱錐的體積的求法，解答時(shí)要認(rèn)真審題，注意球的性質(zhì)的合理運(yùn)用，求解球的組合體問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長方體，利用長方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）利用球的截面的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理列出方程求解球的半徑．5、A【解題分析】分析：偶函數(shù)的定義域滿足關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且由此列方程解詳解：是定義在上的偶函數(shù)，所以，解得，故選A點(diǎn)睛：偶函數(shù)的定義域滿足關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，二次函數(shù)為偶函數(shù)對(duì)稱軸為軸。6、D【解題分析】由題意，知f(0)＝0，且f′(x)＝ex－3，當(dāng)x∈(－∞，ln3)時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x∈(ln3，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，ln3)上單調(diào)遞減，在(ln3，＋∞)上單調(diào)遞增，結(jié)合圖象知只有選項(xiàng)D符合題意，故選D.7、C【解題分析】

依次判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤，得到答案.【題目詳解】①，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，正確②，時(shí)不成立，錯(cuò)誤③，時(shí)等號(hào)成立.正確④，時(shí)等號(hào)成立，正確故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了不等式性質(zhì)，絕對(duì)值不等式，均值不等式，綜合性較強(qiáng)，是不等式的?？碱}型.8、B【解題分析】

設(shè)切點(diǎn)為（s，t），求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由切線方程可得s，t，進(jìn)而求得m．【題目詳解】設(shè)切點(diǎn)為（s，t），f（x）＝xlnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝1+lnx，可得切線的斜率為1+lns＝2，解得s＝e，則t＝elne＝e＝2e+m，即m＝﹣e．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，考查直線方程的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解題分析】

根據(jù)正切型函數(shù)的周期公式可求出函數(shù)的最小正周期.【題目詳解】由題意可知，函數(shù)的最小正周期，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查正切型函數(shù)周期的求解，解題的關(guān)鍵在于利用周期公式進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】分析：根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求得首項(xiàng)和公差，然后可求出值。詳解：數(shù)列為等差數(shù)列，，，所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，解方程組得所以所以選C點(diǎn)睛：本題考查了等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于簡單題。11、C【解題分析】

求導(dǎo)后代入即可.【題目詳解】易得,故函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解題分析】

化簡復(fù)數(shù)，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，判斷象限.【題目詳解】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為：在第四象限故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

14、1．【解題分析】試題分析：這是循環(huán)結(jié)構(gòu)，計(jì)算時(shí)要弄明白循環(huán)條件，什么時(shí)候跳出循環(huán)，循環(huán)結(jié)構(gòu)里是先計(jì)算，第一次計(jì)算時(shí)，循環(huán)結(jié)束前，此時(shí)，循環(huán)結(jié)束，故輸出值為1．考點(diǎn)：程序框圖，循環(huán)結(jié)構(gòu)．15、【解題分析】

化為，時(shí)，，時(shí)，，從而可得結(jié)果.【題目詳解】,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)?故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的值域，屬于中檔題.求函數(shù)值域的常見方法有①配方法：若函數(shù)為一元二次函數(shù)，常采用配方法求函數(shù)求值域，其關(guān)鍵在于正確化成完全平方式，并且一定要先確定其定義域；②換元法：常用代數(shù)或三角代換法，用換元法求值域時(shí)需認(rèn)真分析換元參數(shù)的范圍變化；③不等式法：借助于基本不等式求函數(shù)的值域，用不等式法求值域時(shí)，要注意基本不等式的使用條件“一正、二定、三相等”；④單調(diào)性法：首先確定函數(shù)的定義域，然后準(zhǔn)確地找出其單調(diào)區(qū)間，最后再根據(jù)其單調(diào)性求凼數(shù)的值域，⑤圖象法：畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象的最高和最低點(diǎn)求最值.16、【解題分析】

根據(jù)（）代入中求得的最大值，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)的取值范圍?！绢}目詳解】因?yàn)椋裕ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；所以，即的最大值為，即實(shí)數(shù)的取值范圍是；故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式恒成立問題的解題方法，解題關(guān)鍵是利用基本不等式求出的最大值，屬于中檔題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解題分析】試題分析：（I）根據(jù)表格數(shù)據(jù)利用公式：求得的值，與鄰界值比較，即可得到結(jié)論；（II）利用列舉法，確定基本事件的個(gè)數(shù)以及滿足條件的事件個(gè)數(shù)，利用古典概型概率公式可求出恰有名男生被抽到的概率.試題解析：（Ⅰ）的觀測(cè)值，故有的把握認(rèn)為購買數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書的數(shù)量與性別有關(guān).（Ⅱ）依題意，被抽到的女生人數(shù)為，記為，；男生人數(shù)為，記為，，，，則隨機(jī)抽取人，所有的基本事件為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共個(gè).滿足條件的有，，，，，，，，，，，，共個(gè)，故所求概率為18、（1），．（2）【解題分析】

（1）利用半角公式和輔助角公式可得，根據(jù)相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離為1求解周期T，即得，再令，求解即得單調(diào)遞增區(qū)間；（2）代入，可得，轉(zhuǎn)化，結(jié)合即得解.【題目詳解】（1）解：．由題意，最小正周期，所以．所以．由，，得，．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，．（2）因?yàn)?，由?）知，即．因?yàn)?，所以．從而．所以．【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦型函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析、轉(zhuǎn)化劃歸、數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）．【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)不等式解的端點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)方程的根即可求解；（2）分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求的最小值即可解決.試題解析：（1），，即得，得.（2）∵，∴.∵，且存在實(shí)數(shù)使，∴.20、(1)(2)見解析【解題分析】分析：（1）由可得，然后將不等式中的絕對(duì)值去掉后解不等式可得所求．（2）結(jié)合題意運(yùn)用絕對(duì)值的三角不等式證明即可．詳解：（1），即，則，∴，∴不等式化為．①當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得；②當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得.綜上可得．∴原不等式的解集為.（2）證明：∵，∴.又，∴.點(diǎn)睛：含絕對(duì)值不等式的常用解法（1）基本性質(zhì)法：當(dāng)a>0時(shí)，|x|＜a?－a＜x＜a，|x|＞a?x＜－a或x＞a．（2）零點(diǎn)分區(qū)間法：含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分區(qū)間法去掉絕對(duì)值符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組)求解．（3）幾何法：利用絕對(duì)值的幾何意義，畫出數(shù)軸，將絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離求解．（4）數(shù)形結(jié)合法：在直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象求解．21、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）過作垂線，垂足為，由得，．又，可得平面，即可證明．（Ⅱ）易得到平面距離等于到平面距離．過作垂線，垂足為，在中，過作垂線，垂足為，可證得：平面．求得：，從而，即可求解.【題目詳解】(Ⅰ)過作垂線，垂足為，由得，．又，∴平面，