2024屆深圳大學(xué)師范學(xué)院附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2024屆深圳大學(xué)師范學(xué)院附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（）A．0 B． C．1 D．22．一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為，得2分的概率為，不得分的概率為（、、），已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2（不計(jì)其它得分情況），則的最大值為A． B． C． D．3．袋中裝有紅球3個(gè)、白球2個(gè)、黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是A．至少有一個(gè)白球；都是白球 B．至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球C．至少有一個(gè)白球；紅、黑球各一個(gè) D．恰有一個(gè)白球；一個(gè)白球一個(gè)黑球4．已知復(fù)數(shù)，則（）A．1 B． C． D．55．若函數(shù)f(x)=2x+12xA．(-∞,-1) B．(C．(0,1) D．(1,+∞)6．已知橢圓的離心率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓的方程為A． B．C． D．7．已知函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．8．“”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．已知函數(shù)，的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A．（1,2） B． C．（1,3） D．（1,4）10．下列集合中，表示空集的是（）A． B．C． D．11．已知函數(shù)，，若，則()A． B． C． D．12．某同學(xué)將收集到的6組數(shù)據(jù)對(duì)，制作成如圖所示的散點(diǎn)圖（各點(diǎn)旁的數(shù)據(jù)為該點(diǎn)坐標(biāo)），并由這6組數(shù)據(jù)計(jì)算得到回歸直線：和相關(guān)系數(shù)．現(xiàn)給出以下3個(gè)結(jié)論：①；②直線恰過(guò)點(diǎn)；③．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．兩個(gè)圓錐有等長(zhǎng)的母線，它們的側(cè)面展開(kāi)圖恰好拼成一個(gè)圓，若它們的側(cè)面積之比為，則它們的體積比是_____________．14．若一個(gè)直六棱柱的三視圖如圖所示，則這個(gè)直六棱柱的體積為．15．已知函數(shù)其中，若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f（x）=b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是________________.16．函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為_(kāi)_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的焦距為2，左右焦點(diǎn)分別為，以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn),若直線與的斜率分別為，且，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；18．（12分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求的取值范圍．19．（12分）如果，求實(shí)數(shù)的值.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為常數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，若，求的值.21．（12分）設(shè)函數(shù)，其中實(shí)數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)若在上無(wú)極值點(diǎn)，求的值；(2)若存在，使得是在上的最大或最小值，求的取值范圍.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)作直線分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點(diǎn)A，B.（1）若，求直線的一般式方程；（2）求當(dāng)取得最小值時(shí)直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)定積分的意義和性質(zhì)，，計(jì)算即可得出.【題目詳解】因?yàn)椋蔬xC.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了含絕對(duì)值的被積函數(shù)的定積分求值，定積分的性質(zhì)，屬于中檔題.2、D【解題分析】3a+2b+0c=2即3a+2b=2,所以，因此．3、C【解題分析】

由題意逐一考查所給的事件是否互斥、對(duì)立即可求得最終結(jié)果.【題目詳解】袋中裝有紅球3個(gè)、白球2個(gè)、黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，逐一分析所給的選項(xiàng)：在A中，至少有一個(gè)白球和都是白球兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A不成立．在B中，至少有一個(gè)白球和至少有一個(gè)紅球兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故B不成立；在C中，至少有一個(gè)白球和紅、黑球各一個(gè)兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生但能同時(shí)不發(fā)生，是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件，故C成立；在D中，恰有一個(gè)白球和一個(gè)白球一個(gè)黑球兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故D不成立；本題選擇C選項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】“互斥事件”與“對(duì)立事件”的區(qū)別：對(duì)立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對(duì)立事件，“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件．4、C【解題分析】.故選5、C【解題分析】

由f（x）為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義可求a，代入即可求解不等式．【題目詳解】∵f（x）=2x∴f（﹣x）=﹣f（x）即2整理可得，1+∴1﹣a?2x=a﹣2x∴a=1，∴f（x）=2∵f（x））=2x∴2x+12整理可得，2x∴1＜2x＜2解可得，0＜x＜1故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了奇函數(shù)的定義的應(yīng)用及分式不等式的求解，屬于基礎(chǔ)試題．6、D【解題分析】

由題意，雙曲線的漸近線方程為，∵以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，其面積為16，故邊長(zhǎng)為4，∴（2，2）在橢圓C：上，∴，∵，∴，∴，∴∴橢圓方程為：.故選D.考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)；雙曲線的幾何性質(zhì).7、D【解題分析】

求得導(dǎo)數(shù)，根據(jù)在上單調(diào)，得出或在上恒成立，分離參數(shù)構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解?！绢}目詳解】由題意，函數(shù)，則，因?yàn)椋谏蠁握{(diào)，所以①當(dāng)在上恒成立時(shí)，在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，則在上恒成立，令，，則在為增函數(shù)，∴．②當(dāng)在上恒成立時(shí)，在上單調(diào)遞減，即在上恒成立，則在上恒成立，同①可得，綜上，可得或．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值問(wèn)題，用到了分離參數(shù)法求參數(shù)的范圍，恒成立問(wèn)題的處理及轉(zhuǎn)化與化歸思想是本題的靈魂，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于偏難題．8、C【解題分析】

根據(jù)充分必要條件的定義結(jié)合復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而得到答案．【題目詳解】若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則解得，故“”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限”的充要條件.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了充分必要條件，考查了復(fù)數(shù)的與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題．9、B【解題分析】

先求出當(dāng)x≤2時(shí)，f（x）≥4，則根據(jù)條件得到當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）=3+logax≥4恒成立，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．【題目詳解】當(dāng)x≤2時(shí)，f（x）=﹣x+6≥4，要使f（x）的值域是[4，+∞），則當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）=3+logax≥4恒成立，即logax≥1，若0＜a＜1，則不等式logax≥1不成立，當(dāng)a＞1時(shí)，則由logax≥1=logaa，則a≤x，∵x＞2，∴a≤2，即1＜a≤2，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)值域的應(yīng)用，利用分段函數(shù)的表達(dá)式先求出當(dāng)x≤2時(shí)的函數(shù)的值域是解決本題的關(guān)鍵．10、C【解題分析】

沒(méi)有元素的集合是空集，逐一分析選項(xiàng)，得到答案.【題目詳解】A.不是空集，集合里有一個(gè)元素，數(shù)字0，故不正確；B.集合由滿足條件的上的點(diǎn)組成，不是空集，故不正確；C.，解得：或，都不是自然數(shù)，所以集合里沒(méi)有元素，是空集，故正確；D.滿足不等式的解為，所以集合表示，故不正確.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查空集的判斷，關(guān)鍵是理解空集的概念，意在考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.11、A【解題分析】分析：先求出g（1）=a﹣1，再代入f[g（1）]=1，得到|a﹣1|=0，問(wèn)題得以解決．詳解：∵f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），f[g（1）]=1，∴g（1）=a﹣1，∴f[g（1）]=f（a﹣1）=5|a﹣1|=1=50，∴|a﹣1|=0，∴a=1，故答案為：A．點(diǎn)睛：本題主要考查了指數(shù)的性質(zhì)，和函數(shù)值的求出，屬于基礎(chǔ)題．12、A【解題分析】

結(jié)合圖像，計(jì)算，由求出，對(duì)選項(xiàng)中的命題判斷正誤即可得出結(jié)果.【題目詳解】由圖像可得，從左到右各點(diǎn)是上升排列的，變量具有正相關(guān)性，所以，①正確；由題中數(shù)據(jù)可得:，，所以回歸直線過(guò)點(diǎn)，②正確；又，③錯(cuò)誤.故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查回歸分析，以及變量間的相關(guān)性，熟記線性回歸分析的基本思想即可，屬于?？碱}型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為，小圓錐半徑為、高為，大圓錐半徑為，高為，根據(jù)側(cè)面積之比可得，再由圓錐側(cè)面展幵扇形圓心角的公式得到，利用勾股定理得到關(guān)于的式子，從而將兩個(gè)圓錐的體積都表示成的式子，，求出它們的比值.【題目詳解】設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為，側(cè)面積較小的圓錐半徑為，側(cè)面積較大的圓錐半徑為，它們的高分別為，則，得，兩圓錐的側(cè)面展幵圖恰好拼成一個(gè)圓，，得，再由勾股定理，得，同理可得，，兩個(gè)圓錐的體積之比為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查圓錐的性質(zhì)與側(cè)面積，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與應(yīng)用，屬于中檔題.14、4【解題分析】試題分析：由題意，．考點(diǎn)：三視圖與體積．15、【解題分析】試題分析：由題意畫(huà)出函數(shù)圖象如下圖所示，要滿足存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f（x）=b有三個(gè)不同的根，則，解得，故m的取值范圍是.【考點(diǎn)】分段函數(shù)，函數(shù)圖象【名師點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)與方程、分段函數(shù)的概念.解答本題，關(guān)鍵在于能利用數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)對(duì)函數(shù)圖象的分析，轉(zhuǎn)化得到代數(shù)不等式.本題能較好地考查考生數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、基本運(yùn)算求解能力等.16、3【解題分析】

先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在閉區(qū)間上，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，然后與進(jìn)行比較，求出最大值.【題目詳解】，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，即，，，所以函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為3.【題目點(diǎn)撥】本題考查了閉區(qū)間上函數(shù)的最大值問(wèn)題.解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是在閉區(qū)間上先利用導(dǎo)數(shù)求出極值，然后求端點(diǎn)的函數(shù)值，最后進(jìn)行比較，求出最大值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）線恒過(guò)定點(diǎn)，詳見(jiàn)解析【解題分析】

（1）根據(jù)焦距得到，根據(jù)圓心到直線的距離得到，由得到，從而得到橢圓方程；（2）直線，聯(lián)立得到，然后表示，代入韋達(dá)定理，得到和的關(guān)系，從而得到直線過(guò)的定點(diǎn).【題目詳解】(1)由題意可得，即，由直線與圓相切，可得，解得，即有橢圓的方程為；(2)證明：設(shè)，將直線代入橢圓，可得，即有，，由，即有，代入韋達(dá)定理，可得，化簡(jiǎn)可得，則直線的方程為，即，故直線恒過(guò)定點(diǎn)；【題目點(diǎn)撥】本題考查求橢圓方程，直線與橢圓的關(guān)系，橢圓中的定點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題.18、（1）見(jiàn)解析；（2）．【解題分析】

（1）求出，分或兩種情況討論（2）由，得恒成立，則恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)求出右邊的最大值即可【題目詳解】解：（1）易知，，（i）當(dāng)時(shí)對(duì)任意的恒成立；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，若，得若，得，綜上，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由，得恒成立，則恒成立，令，，則令，，則，∴在上單調(diào)遞減，又∵，∴在上，即；在上，即，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，故，即的取值范圍為．【題目點(diǎn)撥】恒成立問(wèn)題首選的方法是通過(guò)分離變量，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題.19、【解題分析】分析：由復(fù)數(shù)相等的充分必要條件得到關(guān)于x,y的方程組，求解方程組可得.詳解：由題意得，解得.點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)相等的充分必要條件及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.20、（1）；（2）【解題分析】

(1)消去參數(shù)可得的普通方程,再根據(jù)兩邊乘以,根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系化簡(jiǎn)即可.(2)聯(lián)立直線的參數(shù)方程與曲線的直角坐標(biāo)方程,利用直線參數(shù)的幾何意義與韋達(dá)定理求解即可.【題目詳解】解：（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù),為常數(shù)）,消去參數(shù)得的普通方程為.由,得即,整理得.故曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線中得,于是由,解得,且,,,解得.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了極坐標(biāo)與參數(shù)方程和直角坐標(biāo)的互化,同時(shí)也考查了直線參數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.21、（1）（2）【解題分析】試題分析：(1)結(jié)合的導(dǎo)函數(shù)與極值的關(guān)系可得；(2)結(jié)合的解析式分類(lèi)討論①或；②兩種情況可得的取值范圍是