2024屆江西省吉安市峽江縣峽江中學數(shù)學高二下期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2024屆江西省吉安市峽江縣峽江中學數(shù)學高二下期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知不等式x-b≥alnx(a≠0)對任意x∈(0,+∞)恒成立，則A．1-ln2 B．1-ln32．已知向量，，若與垂直，則（）A．-1 B．1 C．土1 D．03．已知,,,則實數(shù)的大小關系是()A． B． C． D．4．函數(shù)f（x）=，則不等式f（x）＞2的解集為（）A． B．（，-2）∪（，2）C．（1，2）∪（，+∞） D．（，+∞）5．已知隨機變量的分布如下表所示，則等于（）A．0 B．－0.2 C．－1 D．－0.36．設，，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知雙曲線的方程為，則下列說法正確的是（）A．焦點在軸上 B．漸近線方程為C．虛軸長為4 D．離心率為8．小明早上步行從家到學校要經(jīng)過有紅綠燈的兩個路口，根據(jù)經(jīng)驗，在第一個路口遇到紅燈的概率為0.4，在第二個路口遇到紅燈的概率為0.5，在兩個路口連續(xù)遇到紅燈的概率是0.2.某天早上小明在第一個路口遇到了紅燈，則他在第二個路口也遇到紅燈的概率是（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.59．正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高和底面邊長均為，則該球的體積為A． B． C． D．10．已知全集U=R，集合A={0,1,2,3,4,5}，B={x∈R|x≥3}，則A∩CA．{4,5} B．{3,4,5} C．{0,1,2} D．{0,1,2,3}11．設集合，，則()A． B． C． D．12．已知兩條不同直線a、b，兩個不同平面、，有如下命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，，則以上命題正確的個數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平面向量，，滿足，，，則的最大值為___________．14．一個總體有200個個體，利用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為20的樣本，則分組間隔為___________.15．直線與拋物線圍成的封閉圖形的面積等于___________.16．若，則的值為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，已知ABCD是直角梯形，，．（1）證明：；（2）若，求三棱錐的體積．18．（12分）現(xiàn)計劃用兩張鐵絲網(wǎng)在一片空地上圍成一個梯形養(yǎng)雞場，，，已知?兩段是由長為的鐵絲網(wǎng)折成，?兩段是由長為的鐵絲網(wǎng)折成.設上底的長為，所圍成的梯形面積為.（1）求S關于x的函數(shù)解析式，并求x的取值范圍；（2）當x為何值時，養(yǎng)雞場的面積最大?最大面積為多少?19．（12分）已知以橢圓的焦點和短軸端點為頂點的四邊形恰好是面積為4的正方形.(1)求橢圓的方程：(2)若是橢圓上的動點,求的取值范圍；(3)直線：與橢圓交于異于橢圓頂點的,兩點,為坐標原點,直線與橢圓的另一個交點為點,直線和直線的斜率之積為1,直線與軸交于點.若直線,的斜率分別為,試判斷,是否為定值,若是,求出該定值；若不是,說明理由.20．（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，，三邊，，成等比數(shù)列，且面積為，在等差數(shù)列中，，公差為.（I）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）數(shù)列滿足，設為數(shù)列的前項和，求.21．（12分）“公益行”是由某公益慈善基金發(fā)起并主辦的一款將用戶的運動數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為公益步數(shù)的捐助公益項目的產(chǎn)品，捐助規(guī)則是滿10000步方可捐助且個人捐出10000步等價于捐出1元，現(xiàn)粗略統(tǒng)計該項目中其中200名的捐助情況表如下：捐款金額(單位：元)捐款人數(shù)4152261035(1)將捐款額在200元以上的人稱為“健康大使”，請在現(xiàn)有的“健康大使”中隨機抽取2人，求捐款額在之間人數(shù)的分布列；(2)為鼓勵更多的人來參加這項活動，該公司決定對捐款額在100元以上的用戶實行紅包獎勵，具體獎勵規(guī)則如下：捐款額在的獎勵紅包5元；捐款額在的獎勵紅包8元；捐款額在的獎勵紅包10元；捐款額大于250的獎勵紅包15元.已知該活動參與人數(shù)有40萬人，將頻率視為概率，試估計該公司要準備的紅包總金額.22．（10分）已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，證明：關于的不等式在上恒成立．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)gx=x-alnx-b，利用導數(shù)求出函數(shù)y=gx的最小值，由gxmin≥0得出【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)gx=x-alnx-b，由題意知①當a<0時，?x>0，g'x>0，此時，函數(shù)y=g當x→0時，gx→-∞，此時，②當a>0時，令g'x=當0<x<a時，g'x<0；當x>a所以，函數(shù)y=gx在x=a處取得極小值，亦即最小值，即g∴b≤a-alna，構(gòu)造函數(shù)ha=1-lna-2令h'a=0，得a=2。當0<a<2時，h'a此時，函數(shù)y=ha在a=2處取得極大值，亦即最大值，即h因此，b-2a的最大值為-ln2【題目點撥】本題考查函數(shù)恒成立問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性，訓練了導數(shù)在求最值中的應用，滲透了分類討論的思想，構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)研究函數(shù)的最值是解決函數(shù)不等式恒成立的常用方法，考查分析問題的能力，屬于難題。2、C【解題分析】分析：首先根據(jù)題中所給的向量垂直的條件，得到向量數(shù)量積等于零，從而得到，之后利用相應的公式得到所滿足的條件，從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)與垂直，可得，即，所以有，解得，故選C.點睛：該題考查的是有關向量的問題，涉及到的知識點有用向量的數(shù)量積等于零來體現(xiàn)向量垂直，再者就是向量的平方和向量模的平方是相等的，最后列出相應的等量關系式求得結(jié)果.3、A【解題分析】

容易得出30.6＞1，0＜0.63＜1，log0.63＜0，從而可得出a，b，c的大小關系．【題目詳解】∵30.6＞30＝1，0＜0.63＜0.60=1，log0.63＜log0.61＝0；∴a＞b＞c．故選：A．【題目點撥】本題考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，熟記單調(diào)性是關鍵，是基礎題4、C【解題分析】當時，有，又因為，所以為增函數(shù)，則有，故有；當時，有，因為是增函數(shù)，所以有，解得，故有．綜上．故選C5、B【解題分析】

先根據(jù)題目條件求出值，再由離散型隨機變量的期望公式得到答案?！绢}目詳解】由題可得得，則由離散型隨機變量的期望公式得故選B【題目點撥】本題考查離散型隨機變量的分布列和期望公式，屬于一般題。6、C【解題分析】

分別求解出集合和，根據(jù)交集的結(jié)果可確定的范圍.【題目詳解】，本題正確選項：【題目點撥】本題考查根據(jù)交集的結(jié)果求解參數(shù)范圍的問題，屬于基礎題.7、B【解題分析】

根據(jù)雙曲線方程確定雙曲線焦點、漸近線方程、虛軸長以及離心率，再判斷得到答案.【題目詳解】雙曲線的方程為，則雙曲線焦點在軸上；漸近線方程為；虛軸長為；離心率為，判斷知正確.故選：【題目點撥】本題考查了雙曲線的焦點，漸近線，虛軸長和離心率，意在考查學生對于雙曲線基礎知識的掌握情況.8、D【解題分析】

根據(jù)條件概率，即可求得在第一個路口遇到紅燈，在第二個路口也遇到紅燈的概率．【題目詳解】記“小明在第一個路口遇到紅燈”為事件，“小明在第二個路口遇到紅燈”為事件“小明在第一個路口遇到了紅燈，在第二個路口也遇到紅燈”為事件則，，故選D.【題目點撥】本題考查了條件概率的簡單應用，屬于基礎題．9、A【解題分析】分析：設球的半徑為R,再根據(jù)圖形找到關于R的方程，解方程即得R的值，再求該球的體積.詳解：設球的半徑為R,由題得所以球的體積為.故答案為：A.點睛：（1）本題主要考查球的內(nèi)接幾何體問題和球的體積的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和空間想象能力.(2)解題的關鍵是從圖形中找到方程.10、C【解題分析】

通過補集的概念與交集運算即可得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意得CUB=x|x<3，故【題目點撥】本題主要考查集合的運算，難度很小.11、D【解題分析】函數(shù)有意義，則，函數(shù)的值域是，即.本題選擇D選項.12、C【解題分析】

直接利用空間中線線、線面、面面間的位置關系逐一判定即可得答案．【題目詳解】①若a∥α，b?α，則a與b平行或異面，故①錯誤；②若a∥α，b∥α，則a∥b，則a與b平行，相交或異面，故②錯誤；③若，a?α，則a與β沒有公共點，即a∥β，故③正確；④若α∥β，a?α，b?β，則a與b無公共點，∴平行或異面，故④錯誤．∴正確的個數(shù)為1．故選C．【題目點撥】本題考查命題真假的判斷，考查直線與平面之間的位置關系，涉及到線面、面面平行的判定與性質(zhì)定理，是基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

只有不等號左邊有，當為定值時，相當于存在的一個方向使得不等式成立．適當選取使不等號左邊得到最小值，且這個最大值不大于右邊．【題目詳解】當為定值時，當且僅當與同向時取最小值，此時，所以．因為，所以，所以所以，當且僅當且與同向時取等號．故答案為．【題目點撥】本題考察平面向量的最值問題，需要用到轉(zhuǎn)化思想、基本不等式等，綜合性很強，屬于中檔題．14、10【解題分析】

系統(tǒng)抽樣的抽樣間隔為200÷20=10，可得答案．【題目詳解】利用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為20的樣本.所以應該將總體編號后分成20組，每組200÷20=10個所以分組間隔為10.故答案為：10.【題目點撥】本題考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法，考查系統(tǒng)抽樣的抽樣間隔，屬于基礎題.15、【解題分析】直線與拋物線的交點坐標為，據(jù)此可得：直線與拋物線圍成的封閉圖形的面積等于:.16、【解題分析】令，得，令，得，則.點睛：本題考查二項式定理的應用；在利用二項式定理求二項展開式的系數(shù)和時，往往采用賦值法或整體賦值法，要靈活注意展開式中未知數(shù)的系數(shù)的特點合理賦值，往往是1，0,或.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）由題可得：,，可得：，即可證得，再利用證得，即可證得平面，問題得證．（2）利用及錐體體積公式直接計算得解．【題目詳解】（1）由題可得：,所以所以又所以，又所以平面，又平面所以（2）【題目點撥】本題主要考查了線線垂直的證明，考查了轉(zhuǎn)化能力及線面垂直的定義，還考查了錐體體積公式及計算能力，屬于中檔題．18、（1），，（2）當x為時，養(yǎng)雞場的面積最大，最大為.【解題分析】

（1）由已知條件的該梯形為等腰梯形，作出高，用含的代數(shù)式表示出上、下底和高，從而表示出面積；（2）利用導數(shù)最值求出最大值【題目詳解】解：（1）由題意，，，過A點作，垂足為E，則，梯形的高由，解得.綜上，，（2）設，，令，得（，舍去）時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減.∴當時，的最大值是1080000，此時.∴當為時，養(yǎng)雞場的面積最大，最大為.【題目點撥】本題主要考察用函數(shù)模型解決實際問題，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題．19、(1)；(2)；(3)是定值,為0.【解題分析】

(1)由題意可知：,解這個方程組即可；(2)把橢圓的方程化為參數(shù)方程,根據(jù)輔助角公式可以求出的取值范圍；(3)直線方程與橢圓的標準方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)關系,可以判斷出為定值.【題目詳解】(1)因為以橢圓的焦點和短軸端點為頂點的四邊形恰好是面積為4的正方形.所以有,解得,所以橢圓的方程為：(2)橢圓橢圓的參數(shù)方程為：(為參數(shù)且).因為是橢圓上的動點,所以,其中..(3)設,則,.直線：與橢圓的方程聯(lián)立為：消去得,由根與系數(shù)關系可得：直線的方程為：,令,因為,所以.。.【題目點撥】本題考查了求橢圓的標準方程,考查了橢圓參數(shù)方程的應用,考查了直線與橢圓的位置關系,考查了數(shù)學運算能力.20、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）先利用已知求出b,再求數(shù)列的通項公式.(2)先求出，再利用裂項相消求．詳解：（1）由，，成等比數(shù)列得，因為，所以，所以是以4為首項，以4為公差的等差數(shù)列，解得．（2）由（1）可得，．點睛：(1)本題主要考查三角形的面積公式，考查等差數(shù)列的通項，考查等比中項和裂項相消求和,意在考查學生對等差等比數(shù)列的基礎知識和數(shù)列求和的基礎知識的掌握能力和基本運算能力.(2)一般如果數(shù)列的通項為分式結(jié)構(gòu)，可以考慮裂項相消法求和，如：21、(1)答案見解析；(2)大約為63萬元.【解題分析】試題分析：(1)的所有情況是0，1，2，結(jié)合超幾何分布的概率公式即可求得分布列；(2)結(jié)合分布列考查平均值，據(jù)此可得該公司要準備的紅包總額大約為63萬元.試題解析：(1)捐款額在之間人數(shù)的所有情況是0，1，2，，，，所以捐款額在之間人數(shù)的分布列為：012(2)設紅包金額為，可得的分布列為：0581015所以.又.故該公司要準備的紅包總額大約為63萬元.22、（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）證明見解析.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)導數(shù)求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟，確定定義域，