2024屆北京市東城區(qū)匯文中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2024屆北京市東城區(qū)匯文中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的最大值為（）A． B．1 C．4033 D．2．在一次數(shù)學(xué)測試中，高一某班50名學(xué)生成績的平均分為82，方差為8.2，則下列四個數(shù)中不可能是該班數(shù)學(xué)成績的是（）A．60 B．70 C．80 D．1003．函數(shù)在區(qū)間的圖像大致為（）．A． B．C． D．4．已知函數(shù)，若方程有三個實數(shù)根，且，則的取值范圍為（）A． B．C． D．5．12名同學(xué)合影，站成前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是()A． B． C． D．6．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是()A． B． C． D．7．已知函數(shù)，將其圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為（）A． B． C． D．8．已知復(fù)數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位），若在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為Z，則點Z的軌跡為（）A．雙曲線的一支 B．雙曲線 C．一條射線 D．兩條射線9．已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則不等式的解集為（）A． B．C． D．10．某校實行選科走班制度，張毅同學(xué)的選擇是物理、生物、政治這三科，且物理在A層班級，生物在B層班級，該校周一上午課程安排如下表所示，張毅選擇三個科目的課各上一節(jié)，另外一節(jié)上自習(xí)，則他不同的選課方法有第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)地理B層2班化學(xué)A層3班地理A層1班化學(xué)A層4班生物A層1班化學(xué)B層2班生物B層2班歷史B層1班物理A層1班生物A層3班物理A層2班生物A層4班物理B層2班生物B層1班物理B層1班物理A層4班政治1班物理A層3班政治2班政治3班A．8種 B．10種 C．12種 D．14種11．已知定義在上的函數(shù)滿足，且函數(shù)在上是減函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．12．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為A． B． C．1 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面幾何中，若正方形的內(nèi)切圓面積為外接圓面積為則，推廣到立體幾何中，若正方體的內(nèi)切球體積為外接球體積為，則_______．14．在實數(shù)范圍內(nèi)，不等式的解集為___________.15．復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部是_________16．二項式展開式中含項的系數(shù)是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）．以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）求曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）已知曲線的極坐標(biāo)方程為：，點是曲線與的交點，點是曲線與的交點，且，均異于極點，且，求實數(shù)的值．18．（12分）已知，p：；q：不等式對任意實數(shù)x恒成立.（1）若q為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；（2）如果“”為真命題，且“”為假命題，求實數(shù)m的取值范圍.19．（12分）已知直線的參數(shù)方程：（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程：（為參數(shù)），且直線交曲線于，兩點．（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，并求時，的長度；（2）已知點，求當(dāng)直線傾斜角變化時，的范圍．20．（12分）已知函數(shù).（1）求的最小值；（2）證明：對一切，都有成立.21．（12分）已知遞增等比數(shù)列滿足：，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，，求數(shù)列的通項公式及前10項的和；22．（10分）已知曲線的極坐標(biāo)方程為（1）若以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若是曲線上一個動點，求的最大值，以及取得最大值時點的坐標(biāo).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】,選C.2、A【解題分析】

假設(shè)分?jǐn)?shù)為時，可知，可知分?jǐn)?shù)不可能為，得到結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)為該班某學(xué)生的成績時，則，則與方差為矛盾不可能是該班成績故選：【題目點撥】本題考查平均數(shù)、方差的相關(guān)運算，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】分析：判斷的奇偶性，在上的單調(diào)性，計算的值，結(jié)合選項即可得出答案.詳解：設(shè)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，排除B；由當(dāng)時，，排除D；因為，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，排除C，故選A.點睛：本題主要考查了函數(shù)圖象的識別，其中解答中涉及到函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的應(yīng)用，試題有一定綜合性，屬于中檔試題，著重考查了分析問題和解答問題的能力.4、B【解題分析】

先將方程有三個實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為與的圖象交點問題，得到的范圍，再用表示，令，利用導(dǎo)數(shù)法求的取值范圍即可.【題目詳解】已知函數(shù)，其圖象如圖所示：因為方程有三個實數(shù)根，所以，令，得，令，所以，所以，令，所以，令，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得極小值.又，所以的取值范圍是：.即的取值范圍為.故選：B【題目點撥】本題主要考查函數(shù)與方程，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值最值，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于難題.5、C【解題分析】試題分析：第一步從后排8人中選2人有種方法，第二步6人前排排列，先排列選出的2人有種方法，再排列其余4人只有1種方法，因此所有的方法總數(shù)的種數(shù)是考點：排列組合點評：此類題目的求解一般遵循先選擇后排列，結(jié)合分步計數(shù)原理的方法6、B【解題分析】由三視圖判斷底面為等腰直角三角形，三棱錐的高為2，則，選B.【考點定位】三視圖與幾何體的體積7、B【解題分析】

由平移變換得到，由偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求.【題目詳解】由題意得：，因為為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最大值或最小值，所以，所以，解得：，因為，所以當(dāng)時，，故選B.【題目點撥】平移變換、伸縮變換都是針對自變量而言的，所以函數(shù)向右平移個單位長度后得到函數(shù)，不能錯誤地得到.8、C【解題分析】分析：利用兩個復(fù)數(shù)的差的絕對值表示兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)點之間的距離，來分析已知等式的意義．詳解：∵復(fù)數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位），在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為Z，則點Z到點（1，2）的距離減去到點（﹣2，﹣1）的距離之差等于3，而點（1，2）與點（﹣2，﹣1）之間的距離為3，故點Z的軌跡是以點（1，2）為端點的經(jīng)過點（﹣2，﹣1）的一條射線．故選C．點睛：本題考查兩個復(fù)數(shù)的差的絕對值的意義，兩個復(fù)數(shù)的差的絕對值表示兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)點之間的距離．9、D【解題分析】

求導(dǎo)得到，函數(shù)單調(diào)遞減，故，解得答案.【題目詳解】，則恒成立，故函數(shù)單調(diào)遞減，，故，解得或.故選：.【題目點撥】本題考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性解不等式，意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運用.10、B【解題分析】

根據(jù)表格進(jìn)行邏輯推理即可得到結(jié)果.【題目詳解】張毅不同的選課方法如下：（1）生物B層1班，政治1班，物理A層2班；（2）生物B層1班，政治1班，物理A層4班；（3）生物B層1班，政治2班，物理A層1班；（4）生物B層1班，政治2班，物理A層4班；（5）生物B層1班，政治3班，物理A層1班；（6）生物B層1班，政治3班，物理A層2班；（7）生物B層2班，政治1班，物理A層3班；（8）生物B層2班，政治1班，物理A層4班；（9）生物B層2班，政治3班，物理A層1班；（10）生物B層2班，政治3班，物理A層3班；共10種，故選B.【題目點撥】本題以實際生活為背景，考查了邏輯推理能力與分類討論思想，屬于中檔題.11、B【解題分析】

利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性可得，距離y軸近的點，對應(yīng)的函數(shù)值較小，可得選項.【題目詳解】因為函數(shù)滿足，且函數(shù)在上是減函數(shù)，所以可知距離y軸近的點，對應(yīng)的函數(shù)值較小；，且，所以，故選B.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng).12、A【解題分析】，虛部為．【考點】復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)的定義．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由面積比為半徑比的平方，體積比為半徑的立方可得結(jié)果．【題目詳解】正方形的內(nèi)切圓半徑為外接圓半徑為，半徑比，面積比為半徑比的平方，類比正方正方體內(nèi)切球半徑為外接球半徑為，徑比，所以體積比是半徑比的立方=，填．【題目點撥】立體幾何中一個常見的猜想類比為面積比為半徑比的平方，體積比為半徑的立方可得結(jié)果．14、【解題分析】因此解集為.考點：本題主要考查絕對值不等式的解法，考查運用能力.15、【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的結(jié)果，直接判斷出其虛部是多少.【題目詳解】因為，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為：.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的虛部的辨別，難度容易.已知復(fù)數(shù)，則為復(fù)數(shù)的實部，為復(fù)數(shù)的虛部.16、210.【解題分析】分析：先根據(jù)二項展開式通項公式得含項的項數(shù)，再代入得系數(shù)詳解：因為，所以因此含項的系數(shù)是.點睛：求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數(shù).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；．（2）或．【解題分析】

（1）由曲線的參數(shù)方程為，消去參數(shù)可得,曲線的極坐標(biāo)方程為,,可得，整理可得答案.(2)由曲線的極坐標(biāo)方程為，點是曲線與的交點，點是曲線與的交點，且，均異于極點，且，可得，，，，可得的值.【題目詳解】解：（1），（2），聯(lián)立極坐標(biāo)方程，得，，，，，或.【題目點撥】本題主要考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程及參數(shù)方程化為普通方程，注意運算的準(zhǔn)確性.18、（1）（2）【解題分析】

（1）解不等式即得解；（2）由“”為真，且“”為假知p，q一真假，再分兩種情況分析討論得解.【題目詳解】（1）由“不等式對任意實數(shù)x恒成立”為真得，解得，故實數(shù)m的取值范圍為.（2）由“”為真得m的取值范圍為，由“”為真，且“”為假知p，q一真假，當(dāng)p真q假時，有，此時m無解；當(dāng)p假q真時，有，解得或；綜上所述，m的取值范圍為.【題目點撥】本題主要考查二次不等式的恒成立問題，考查復(fù)合命題真假的判斷，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.19、(1)(2)【解題分析】分析：（1）聯(lián)立直線和橢圓方程得到，∴，由點點距離公式得到AB的長度；（2）聯(lián)立直線和橢圓得到t的二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到，進(jìn)而得到范圍.詳解：（1）曲線的參數(shù)方程：（為參數(shù)），曲線的普通方程為．當(dāng)時，直線的方程為，代入，可得，∴.∴；（2）直線參數(shù)方程代入，得．設(shè)對應(yīng)的參數(shù)為，∴．點睛：這個題目考查了參數(shù)方程化為普通方程的方法，極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的方法，以及極坐標(biāo)中極徑的幾何意義，極徑代表的是曲線上的點到極點的距離，在參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程中，能表示距離的量一個是極徑，一個是t的幾何意義，其中極徑多數(shù)用于過極點的曲線，而t的應(yīng)用更廣泛一些.20、(I).（Ⅱ）見解析.【解題分析】

（1）先求出函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可求出最小值．（2）對一切，都有成立，即，結(jié)合（1）中結(jié)論可知，構(gòu)造新函數(shù)，分析其最大值，可得答案．【題目詳解】（1）的定義域為，的導(dǎo)數(shù)．令，解得；令，解得．從而在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增．所以，當(dāng)時，取得最小值．（2）若則，由（1）得：，當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值；設(shè)，則，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取最大值故對一切，都有成立．【題目點撥】本題考查的知識點是函數(shù)在某點取得極值的條件，導(dǎo)數(shù)在最值問題中的應(yīng)用，屬于難題．21、（1）；（2），數(shù)列前10項的和.【解題分析】

（1）利用等比數(shù)列的通項公式，結(jié)合已知，，可以求出公比，這樣就可以求出數(shù)列的通項公式；（2）由數(shù)列的通項公式，可以求出和的值，這樣也就求出和的值，這樣可以求出等差數(shù)列的公差，進(jìn)而可以求出通項公式，利用前項和公式求出數(shù)列前10項的和.【題目詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，，所以，即數(shù)列的通項公式為；（2）由（1）知，所以，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，設(shè)數(shù)列前10項的和為，則，所以數(shù)列的通項公式，數(shù)列前10項的和.【題