甘肅省武威市第四中學2024屆數學高二第二學期期末教學質量檢測模擬試題含解析

甘肅省武威市第四中學2024屆數學高二第二學期期末教學質量檢測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．給出以下命題，其中真命題的個數是若“或”是假命題，則“且”是真命題命題“若，則或”為真命題已知空間任意一點和不共線的三點，若，則四點共面；直線與雙曲線交于兩點，若，則這樣的直線有3條；A．1 B．2 C．3 D．42．曲線在處的切線的傾斜角是（）A． B． C． D．3．為了調查胃病是否與生活規(guī)律有關，某同學在當地隨機調查了500名30歲以上的人，并根據調查結果計算出了隨機變量的觀測值，則認為30歲以上的人患胃病與生活無規(guī)律有關時，出錯的概率不會超過()附表：A．0.001 B．0.005 C．0.010 D．0.0254．已知向量，且，則等于（）A．1 B．3 C．4 D．55．已知甲口袋中有個紅球和個白球，乙口袋中有個紅球和個白球，現從甲，乙口袋中各隨機取出一個球并相互交換，記交換后甲口袋中紅球的個數為，則（）A． B． C． D．6．如圖，某幾何體的三視圖是三個邊長為1的正方形，及每個正方形中的一條對角線，則該幾何體的表面積是()A．4+2 B．9+32 C．7．己知三邊，，的長都是整數，，如果，則符合條件的三角形的個數是（）A． B． C． D．8．隨機變量的分布列如下：-101若，則的值是（）A． B． C． D．9．某校有1000人參加某次模擬考試，其中數學考試成績近似服從正態(tài)分布，試卷滿分150分，統計結果顯示數學成績優(yōu)秀（高于120分）的人數占總人數的，則此次數學考試成績在90分到105分之間的人數約為（）A．150 B．200 C．300 D．40010．下列命題:①在一個列聯表中,由計算得,則有的把握確認這兩類指標間有關聯②若二項式的展開式中所有項的系數之和為，則展開式中的系數是③隨機變量服從正態(tài)分布,則④若正數滿足，則的最小值為其中正確命題的序號為()A．①②③ B．①③④ C．②④ D．③④11．已知函數的圖象如圖所示，若，且，則的值為（）A． B． C．1 D．012．在△中，為邊上的中線，為的中點，則A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的展開式中的系數與常數項相等，則正數______.14．甲和乙玩一個猜數游戲，規(guī)則如下：已知六張紙牌上分別寫有1﹣六個數字，現甲、乙兩人分別從中各自隨機抽取一張，然后根據自己手中的數推測誰手上的數更大．甲看了看自己手中的數，想了想說：我不知道誰手中的數更大；乙聽了甲的判斷后，思索了一下說：我知道誰手中的數更大了．假設甲、乙所作出的推理都是正確的，那么乙手中可能的數構成的集合是_____15．已知復數，則復數的實部和虛部之和為______.16．的展開式中的有理項共有__________項．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）全民健身倡導全民做到每天參加一次以上的體育健身活動，旨在全面提高國民體質和健康水平.某市的體育部門對某小區(qū)的4000人進行了“運動參與度”統計評分（滿分100分），得到了如下的頻率分布直方圖：（1）求這4000人的“運動參與度”的平均得分（同一組中數據用該組區(qū)間中點作代表）；（2）由直方圖可認為這4000人的“運動參與度”的得分服從正態(tài)分布，其中，分別取平均得分和方差，那么選取的4000人中“運動參與度”得分超過84.81分（含84.81分）的人數估計有多少人？（3）如果用這4000人得分的情況來估計全市所有人的得分情況，現從全市隨機抽取4人，記“運動參與度”的得分不超過84.81分的人數為，求.（精確到0.001）附：①，；②，則，；③.18．（12分）在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為＝（＞0），過點的直線的參數方程為（t為參數），直線與曲線C相交于A，B兩點．（Ⅰ）寫出曲線C的直角坐標方程和直線的普通方程；（Ⅱ）若，求的值．19．（12分）如圖，平面，，，，，是的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）已知拋物線，過點的直線交拋物線于兩點，坐標原點為，.（1）求拋物線的方程；（2）當以為直徑的圓與軸相切時，求直線的方程.21．（12分）某學校1800名學生在一次百米測試中，成績全部介于13秒與18秒之間，抽取其中50名學生組成一個樣本，將測試結果按如下方式分成五組：第一組，第二組……，第五組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.（1）請估計學校1800名學生中，成績屬于第四組的人數；（2）若成績小于15秒認為良好，求該樣本中在這次百米測試中成績良好的人數；（3）請根據頻率分布直方圖，求樣本數據的眾數、平均數.22．（10分）如圖所示,在三棱柱中,是邊長為4的正方形,，.(l)求證:；(2)求二面角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】(1)若“或”是假命題，則是假命題p是真命題，是假命題是真命題，故且真命題,選項正確.(2)命題“若，則或”的逆否命題是若a=2,且b=3,則a+b=5.這個命題是真命題，故原命題也是真命題.（3）∵++=1，∴P，A，B，C四點共面，故（3）正確，（4）由雙曲線方程得a=2，c=3，即直線l：y=k（x﹣3）過雙曲線的右焦點，∵雙曲線的兩個頂點之間的距離是2a=4，a+c=2+3=5，∴當直線與雙曲線左右兩支各有一個交點時，當k=0時2a=4，則滿足|AB|=5的直線有2條，當直線與實軸垂直時，當x=c=3時，得，即=，即則y=±，此時通徑長為5，若|AB|=5，則此時直線AB的斜率不存在，故不滿足條件．綜上可知有2條直線滿足|AB|=5，故（4）錯誤，故答案為C.2、B【解題分析】分析：先求導數，再根據導數幾何意義得斜率，最后得傾斜角.詳解：因為，所以所以曲線在處的切線的斜率為因此傾斜角是，選B.點睛：利用導數的幾何意義解題，主要是利用導數、切點坐標、切線斜率之間的關系來進行轉化.3、D【解題分析】

把相關指數的觀測值與臨界值比較，可得判斷30歲以上的人患胃病與生活無規(guī)律有關的可靠性程度及犯錯誤的概率．【題目詳解】∵相關指數的觀測值，∴在犯錯誤的概率不超過的情況下，判斷歲以上的人患胃病與生活無規(guī)律有關．故選：D．【題目點撥】本題考查了獨立性檢驗思想方法，熟練掌握在獨立性檢驗中，觀測值與臨界值大小比較的含義是解題的關鍵．4、D【解題分析】

先根據已知求出x,y的值，再求出的坐標和的值.【題目詳解】由向量，且，則，解得，所以，所以，所以，故答案為D【題目點撥】本題主要考查向量的坐標運算和向量的模的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.5、A【解題分析】

先求出的可能取值及取各個可能取值時的概率，再利用可求得數學期望.【題目詳解】的可能取值為.表示從甲口袋中取出一個紅球，從乙口袋中取出一個白球，故.表示從甲、乙口袋中各取出一個紅球，或從甲、乙口袋中各取出一個白球，故.表示從甲口袋中取出一個白球，從乙口袋中取出一個紅球，故.所以.故選A.【題目點撥】求離散型隨機變量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果離散型隨機變量服從二項分布，也可以直接利用公式求期望.6、B【解題分析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數據，求解幾何體的表面積即可．【題目詳解】幾何體的直觀圖如圖：所以幾何體的表面積為：3+3×1故選：B．【題目點撥】本題考查了根據三視圖求解幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關鍵，屬于中檔題.7、D【解題分析】

根據題意，可取的值為1、2、3、…25，由三角形的三邊關系，有，對分情況討論，分析可得可取的情況，即可得這種情況下符合條件的三角形的個數，由分類計數原理，結合等差數列的前項和公式，計算可得答案．【題目詳解】解：根據題意，可取的值為1、2、3、…25，

根據三角形的三邊關系，有，

當時，有25≤＜26，則＝25，有1種情況，

當時，有25≤＜27，則＝25、26，有2種情況，

當時，有25≤＜28，則＝25、26、27，有3種情況，

當時，有25≤＜29，則＝25、26、27、28，有4種情況，

…

當時，有有25≤＜50，則＝25、26、27、28…49，有25種情況，

則符合條件的三角形共有1＋2＋3＋4＋…＋25＝；

故選：D．【題目點撥】本題考查分類計數原理的運用，涉及三角形三邊的關系，關鍵是發(fā)現變化時，符合條件的三角形個數的變化規(guī)律．8、D【解題分析】由題設可得，，所以由隨機變量的方差公式可得，應選答案D。9、C【解題分析】

求出，即可求出此次數學考試成績在90分到105分之間的人數．【題目詳解】∵，，所以，所以此次數學考試成績在90分到105分之間的人數約為．故選C．【題目點撥】本小題主要考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想．屬于基礎題．10、B【解題分析】

根據可知①正確；代入可求得，利用展開式通項，可知時，為含的項，代入可求得系數為，②錯誤；根據正態(tài)分布曲線的對稱性可知③正確；由，利用基本不等式求得最小值，可知④正確.【題目詳解】①，則有的把握確認這兩類指標間有關聯，①正確；②令，則所有項的系數和為：，解得：則其展開式通項為：當，即時，可得系數為：，②錯誤；③由正態(tài)分布可知其正態(tài)分布曲線對稱軸為，③正確；④，，（當且僅當，即時取等號），④正確.本題正確選項：【題目點撥】本題考查命題真假性的判斷，涉及到獨立性檢驗的基本思想、二項展開式各項系數和與指定項系數的求解、正態(tài)分布曲線的應用、利用基本不等式求解和的最小值問題.11、C【解題分析】由題意得，，則，又，即，解得，所以，令，即，，解得該函數的對稱軸為，則，即，所以，故選C.12、A【解題分析】分析：首先將圖畫出來，接著應用三角形中線向量的特征，求得，之后應用向量的加法運算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應用相反向量，求得，從而求得結果.詳解：根據向量的運算法則，可得，所以，故選A.點睛：該題考查的是有關平面向量基本定理的有關問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認真對待每一步運算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據二項展開式的通項公式，求出展開式中的系數、展開式中的常數項，再根據它們相等，求出的值.【題目詳解】解：因為的展開式的通項公式為，令，求得，故展開式中的系數為.令，求得，故展開式中的系數為，所以，因為為正數，所以.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題.14、【解題分析】

根據題意，先推出甲不是最大與最小的數，再討論乙的所有情形，即可得出答案.【題目詳解】由題意，六個數字分別為.由甲說他不知道誰手中的數更大，可推出甲不是最大與最小的數，若乙取出的數字是或，則他知道甲的數字比他大還是?。蝗粢胰〕龅臄底质腔?，則他知道甲的數字比他大還是小；若乙取出的數字是或，則他不知道誰的數字更大.故乙手中可能的數構成的集合是.【題目點撥】本題考查了簡單的推理，要注意仔細審題，屬于基礎題.15、0【解題分析】

先化簡求得再計算實部和虛部的和即可.【題目詳解】,故實部和虛部之和為.故答案為：0【題目點撥】本題主要考查復數的基本運算與實部虛部的概念,屬于基礎題型.16、3【解題分析】，，因為有理項，所以，共三項。填3.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）平均成績?yōu)?0.5分（2）人（3）【解題分析】

（1）先計算中間值和對應概率，相乘再相加得到答案.（2）先計算服從正態(tài)分布，根據公式得到答案.（3）先計算概率，再利用二項分布公式得到答案.【題目詳解】（1）由題意知：中間值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1∴，∴這4000人“運動參與度”得分的平均成績?yōu)?0.5分．（2）依題意服從正態(tài)分布，其中，，，∴服從正態(tài)分布，而，∴．∴這4000人中“運動參與度”得分超過84.81分的人數估計為人人．（3）全市所有人的“運動參與度”得分不超過84.81分的概率．而，∴．【題目點撥】本題考查了平均值，正態(tài)分布，二項分布，概率.綜合性較強，意在考查學生解決問題的能力.18、（Ⅰ），（Ⅱ）．【解題分析】試題分析：（Ⅰ）根據可將曲線C的極坐標方程化為直角坐標，兩式相減消去參數得直線的普通方程為．（Ⅱ）由直線參數方程幾何意義有，因此將直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程中，得,由韋達定理有．解之得：或（舍去）試題解析：（Ⅰ）由得,∴曲線的直角坐標方程為．直線的普通方程為．（Ⅱ）將直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程中，得,設兩點對應的參數分別為,則有．∵,∴,即．∴．解之得：或（舍去）,∴的值為．考點：極坐標方程化為直角坐標，參數方程化普通方程，直線參數方程幾何意義19、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

可以以為軸、為軸、為軸構建空間直角坐標系，寫出的空間坐標，通過證明得證平面通過求平面和平面的法向量得證二面角的余弦值．【題目詳解】（1）根據題意，建立以為軸、為軸、為軸的空間直角坐標系，則，，，因為，所以．因為平面，且，所以平面．（2）設平面的法向量為，則因為，所以．令，則．所以是平面的一個法向量．因為平面，所以是平面的法向量．所以由此可知，與的夾角的余弦值為．根據圖形可知，二面角的余弦值為．【題目點撥】在計算空間幾何以及二面角的時候，可以借助空間直角坐標系．20、（1）；（2）或【解題分析】試題分析：本題主要考查拋物線的標準方程、直線與拋物線的相交問題、直線與圓相切問題等基礎知識，同時考查考生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、運算求解能力以及數形結合思想.第一問，設出直線方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理得到y1＋y2，y1y2，，代入到中解出P的值；第二問，結合第一問的過程，利用兩種方法求出的長，聯立解出m的值，從而得到直線的方程.試題解析：（Ⅰ）設l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝1．（*）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，則．因為，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，得p＝2，拋物線的方程為y2＝4x．…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）（*）化為y2－4my＋2＝1．y1＋y2＝4m，y1y2＝2．…6分設AB的中點為M