鄭州市2024屆數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

鄭州市2024屆數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在數(shù)列中，，則等于（）A．9 B．10 C．27 D．812．若3x+xn展開式二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則展開式中含xA．40 B．30 C．20 D．153．設(shè)隨機(jī)變量，若，則n=A．3 B．6 C．8 D．94．函數(shù)=的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B．C． D．5．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，若存在實(shí)數(shù)，使不等式對于任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．將3顆相同的紅色小球和2顆相同的黑色小球裝入四個(gè)不同盒子，每個(gè)盒子至少1顆，不同的分裝方案種數(shù)為（）A．40 B．28 C．24 D．167．甲球與某立方體的各個(gè)面都相切，乙球與這個(gè)立方體的各條棱都相切，丙球過這個(gè)立方體的所有頂點(diǎn)，則甲、乙、丙三球的半徑的平方之比為（）A．1∶2∶3 B．1∶∶C．1∶∶ D．1∶2∶38．若均為單位向量，且，則的最小值為（）A． B．1 C． D．9．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程，由到時(shí)，左邊增加了（）A．1項(xiàng) B．項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)10．設(shè)有下面四個(gè)命題若，則；若，則；若，則；若，則.其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．11．已知的展開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（）A． B． C． D．12．已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞增且，若為奇函數(shù)，則不等式的解集為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是__________；14．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為A，若A為線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，則該雙曲線離心率的值為______．15．在中，，，分別是角，，所對的邊，且，則的最大值為_________．16．已知，則____________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知：已知函數(shù)（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線的斜率為﹣6，求實(shí)數(shù)a；（Ⅱ）若a=1，求f（x）的極值；18．（12分）如圖，OA，OB是兩條互相垂直的筆直公路，半徑OA＝2km的扇形AOB是某地的一名勝古跡區(qū)域．當(dāng)?shù)卣疄榱司徑庠摴袍E周圍的交通壓力，欲在圓弧AB上新增一個(gè)入口P（點(diǎn)P不與A，B重合），并新建兩條都與圓弧AB相切的筆直公路MB，MN，切點(diǎn)分別是B，P．當(dāng)新建的兩條公路總長最小時(shí)，投資費(fèi)用最低．設(shè)∠POA＝，公路MB，MN的總長為．（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)為何值時(shí)，投資費(fèi)用最低？并求出的最小值．19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程：（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，求的最小值及此時(shí)的直角坐標(biāo).20．（12分）已知集合，設(shè)，判斷元素與的關(guān)系.21．（12分）已知．（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在及唯一正整數(shù)，使得，求的取值范圍．22．（10分）如圖所示,是邊長為3的正方形,平面與平面所成角為.(Ⅰ)求證：平面；(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)的位置,使得平面,并證明你的結(jié)論．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

利用題設(shè)中遞推公式，構(gòu)造等比數(shù)列，求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.【題目詳解】由題意，在數(shù)列中，，即可得數(shù)列表示首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，所以，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等比數(shù)列的定義，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

先根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得n＝5，可得二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于3，求得r的值，即可求得結(jié)果．【題目詳解】由3x+xn展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n＝32，求得可得3x+x5展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C5r?3x5-r?xr令5-r2＝3，求得r＝4，則展開式中含x3故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解題分析】

根據(jù)隨機(jī)變量，得到方程組，解得答案.【題目詳解】隨機(jī)變量，解得故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)分布的期望和方差，屬于常考基礎(chǔ)題型.4、D【解題分析】由五點(diǎn)作圖知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故單調(diào)減區(qū)間為（，），，故選D.考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像與性質(zhì)5、C【解題分析】

對函數(shù)求導(dǎo)，分別求出和的值，得到，利用導(dǎo)數(shù)得函數(shù)的最小值為1，把存在實(shí)數(shù)，使不等式對于任意恒成立的問題轉(zhuǎn)化為對于任意恒成立，分離參數(shù)，分類討論大于零，等于零，小于零的情況，從而得到的取值范圍。【題目詳解】由題可得，分別把和代入與中得到，解得：；，，即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；要存在實(shí)數(shù)，使不等式對于任意恒成立，則不等式對于任意恒成立，即不等式對于任意恒成立；（1）當(dāng)時(shí)，顯然不等式不成立，舍去；（2）當(dāng)時(shí)，不等式對于任意恒成立轉(zhuǎn)化為對于任意恒成立，即，解得：；（3）當(dāng)時(shí)，不等式對于任意恒成立轉(zhuǎn)化為對于任意恒成立，即，解得：；綜述所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)解析式的求法，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值，分類參數(shù)法，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想，分類討論的能力，屬于中檔題。6、B【解題分析】分析：分兩類討論，其中一類是兩個(gè)黑球放在一個(gè)盒子中的，其中一類是兩個(gè)黑球不在一個(gè)盒子中的，最后把兩種情況的結(jié)果相加即得不同的分裝方案種數(shù).詳解：分兩種情況討論，一類是兩個(gè)黑球放在一個(gè)盒子中的有種，一類是兩個(gè)黑球不放在一個(gè)盒子中的:如果一個(gè)黑球和一個(gè)白球在一起，則有種方法；如果兩個(gè)黑球不在一個(gè)盒子里，兩個(gè)白球在一個(gè)盒子里，則有種方法.故不同的分裝方案種數(shù)為4+12+12=28.故答案為：B.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查排列組合綜合應(yīng)用題，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題時(shí)，要注意審題，黑球是一樣的，紅球是一樣的，否則容易出錯(cuò).7、A【解題分析】

設(shè)立方體為以2為邊長的正方體，分別求出甲乙丙的半徑，即可得出答案?！绢}目詳解】設(shè)立方體為以2為邊長的正方體，則，，所以【題目點(diǎn)撥】設(shè)立方體為以2為邊長的正方體，分別求出甲乙丙的半徑，即可得出答案。8、A【解題分析】

∴則當(dāng)與同向時(shí)最大，最小，此時(shí)=，所以=-1，所以的最小值為，故選A點(diǎn)睛：本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算律，考查向量模的求解，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，求出，表示出，由表達(dá)式可判斷當(dāng)與同向時(shí)，最小.9、D【解題分析】

分別計(jì)算和時(shí)不等式左邊的項(xiàng)數(shù)，相減得到答案.【題目詳解】時(shí)，不等式左邊：共有時(shí)，：共有增加了故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的項(xiàng)數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題型.10、C【解題分析】分析：對四個(gè)命題逐一分析即可.詳解：對若，則，故不正確；對若，則，故正確；對若，則，故正確；對若，對稱軸為，則，故正確.故選：C.點(diǎn)睛：本題考查了命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題.11、A【解題分析】由題意可得：，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：1．二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是展開式的第k＋1項(xiàng)，這是解決二項(xiàng)式定理有關(guān)問題的基礎(chǔ)．在利用通項(xiàng)公式求指定項(xiàng)或指定項(xiàng)的系數(shù)要根據(jù)通項(xiàng)公式討論對k的限制．2．因?yàn)槎?xiàng)式定理中的字母可取任意數(shù)或式，所以在解題時(shí)根據(jù)題意，給字母賦值，是求解二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)和的一種重要方法．3．二項(xiàng)式定理的應(yīng)用主要是對二項(xiàng)展開式正用、逆用，要充分利用二項(xiàng)展開式的特點(diǎn)和式子間的聯(lián)系．12、D【解題分析】

因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以關(guān)于對稱，根據(jù)條件結(jié)合數(shù)形結(jié)合可判斷的解集.【題目詳解】是奇函數(shù)，關(guān)于對稱，在單調(diào)遞增，在也是單調(diào)遞增，，時(shí)，時(shí)，又關(guān)于對稱，時(shí)，時(shí)的解集是.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用函數(shù)的性質(zhì)和圖像，解抽象不等式，這類問題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，將函數(shù)的性質(zhì)和圖像結(jié)合一起，這樣會(huì)比較簡單.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、；【解題分析】

令，，可將化為，根據(jù)三角函數(shù)值域可求得結(jié)果.【題目詳解】可令，本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用三角換元的方式求解取值范圍的問題，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域的求解.14、3.【解題分析】分析：由題根據(jù)A為線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，建立等式關(guān)系即可.詳解：由題可知：故雙曲線離心率的值為3.點(diǎn)睛：考查雙曲線的離心率求法，根據(jù)題意建立正確的等式關(guān)系為解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

利用正弦定理邊化角化簡可求得,則有,則借助正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)即可求出.【題目詳解】因?yàn)椋?，所以．所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最小值．故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理,三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),屬于?？碱}.16、【解題分析】

根據(jù)排列數(shù)計(jì)算公式可求得，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)即可化簡求值.【題目詳解】根據(jù)排列數(shù)計(jì)算公式可得，，所以，化簡可解得，則由組合數(shù)性質(zhì)可得，故答案為：462.【題目點(diǎn)撥】本題考查了排列數(shù)公式的簡單應(yīng)用，組合數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)-2；(2)極小值為，極大值為.【解題分析】分析：（1）求出曲線y=f（x）在點(diǎn)P（2，f（2））處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率為﹣6，即可求出；（2）通過a=1時(shí)，利用導(dǎo)函數(shù)為0，判斷導(dǎo)數(shù)符號，即可求f（x）的極值.詳解：（Ⅰ）因?yàn)閒′（x）=﹣x2+x+2a，曲線y=f（x）在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線的斜率k=f′（2）=2a﹣2，2a﹣2=﹣6，a=﹣2（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，，f′（x）=﹣x2+x+2=﹣（x+1）（x﹣2）x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，2）2（2，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）單調(diào)減

單調(diào)增

單調(diào)減所以f（x）的極大值為，f（x）的極小值為．點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，切線方程以及極值的求法，注意導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)并不一定就是原函數(shù)的極值點(diǎn)．所以在求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)后一定要注意分析這個(gè)零點(diǎn)是不是原函數(shù)的極值點(diǎn)．18、(1);(2)當(dāng)時(shí)，投資費(fèi)用最低，此時(shí)的最小值為.【解題分析】

（1）由題意，設(shè)，利用平面幾何的知識和三角函數(shù)的關(guān)系式及三角恒等變換的公式，即可得函數(shù)的關(guān)系式；（2）利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式和恒等變換的公式，求得的解析式，再利用基本不等式，即可求得投資的最低費(fèi)用，得到答案.【題目詳解】（1）連接，在中，，故，據(jù)平面幾何知識可知,在中，，故，所以，顯然，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，即函?shù)關(guān)系式為，且．（2）化簡（1）中的函數(shù)關(guān)系式可得：令，則，代入上式得：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”，此時(shí)求得，又，所以∴當(dāng)時(shí)，投資費(fèi)用最低，此時(shí)的最小值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，以及基本不等式求最值問題，其中根據(jù)平面幾何的知識和三角函數(shù)的關(guān)系式和恒等變換的公式，得到函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵，著重靠考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力.19、（Ⅰ）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為；（Ⅱ）最小值為，此時(shí)的直角坐標(biāo)為.【解題分析】

（Ⅰ）曲線，利用消掉參數(shù)即可，曲線，利用化簡即可。（Ⅱ）利用點(diǎn)到直線的距離公式，代入化簡即可求出最小值?！绢}目詳解】解：（I）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為.（II）由題意，可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.因?yàn)槭侵本€，所以的最小值即為到的距離的最小值，，當(dāng)且僅當(dāng)（）時(shí)，取得最小值，最小值為，此時(shí)的直角坐標(biāo)為.【題目點(diǎn)撥】本題考查直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，掌握互化公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。20、當(dāng)，且時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，.【解題分析】

分析：對變形并對分類討論即可.詳解：根據(jù)題意，故當(dāng)，且時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，.點(diǎn)睛：本題考查集合與元素的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于正確的分類討論.21、（1）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是;(2)的取值范圍是.【解題分析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過對導(dǎo)函數(shù)符號的討論可得函數(shù)的單調(diào)性．（2）由題意得函數(shù)在上的值域?yàn)椋Y(jié)合題意可將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，滿足的正整數(shù)解只有1個(gè)．通過討論的單調(diào)性可得只需滿足，由此可得所求范圍．試題解析：（1）由題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以，令，則，所以當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，又，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，取得最小值，又，所以在上的值域?yàn)椋驗(yàn)榇嬖诩拔ㄒ徽麛?shù)，使得，所以滿足的正整數(shù)解只有1個(gè)．因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，解得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．點(diǎn)睛：本題中研究方程根的情況時(shí)，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲?、函數(shù)圖象的變化趨勢等，根據(jù)題目畫出函數(shù)圖象的草圖，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，使問題的解決有一個(gè)直觀的形象，然后在此