江西省撫州市臨川二中、臨川二中實驗學校2024屆高二數(shù)學第二學期期末教學質(zhì)量檢測模擬試題含解析

江西省撫州市臨川二中、臨川二中實驗學校2024屆高二數(shù)學第二學期期末教學質(zhì)量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，設D是邊長為l的正方形區(qū)域，E是D內(nèi)函數(shù)與所構(gòu)成(陰影部分)的區(qū)域，在D中任取一點，則該點在E中的概率是（）A．B．C．D．2．現(xiàn)有四個函數(shù)：①；②；③；④的圖象（部分）如下，則按照從左到右圖象對應的函數(shù)序號安排正確的一組是（）A．①④②③ B．①④③② C．④①②③ D．③④②①3．已知各項不為的等差數(shù)列，滿足，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則（）A． B． C． D．4．若實數(shù)滿足約束條件，且最大值為1，則的最大值為（）A． B． C． D．5．設且，則“”是“”的()A．必要不充分條件B．充要條件C．既不充分也不必要條件D．充分不必要條件6．已知，，，則（）A． B． C． D．7．設平面向量，則與垂直的向量可以是（）A． B． C． D．8．從10名大學畢業(yè)生中選3人擔任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為()A．85 B．56C．49 D．289．對于實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，，則10．下列隨機試驗的結(jié)果，不能用離散型隨機變量表示的是()A．將一枚均勻正方體骰子擲兩次，所得點數(shù)之和B．某籃球運動員6次罰球中投進的球數(shù)C．電視機的使用壽命D．從含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，其中抽到次品的件數(shù)11．已知是定義在上的可導函數(shù)，的圖象如下圖所示，則的單調(diào)減區(qū)間是（）A． B． C． D．12．某人射擊一次命中目標的概率為，且每次射擊相互獨立，則此人射擊7次，有4次命中且恰有3次連續(xù)命中的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)f(x)滿足：f(1)＝2，f(x＋1)＝，則f(2018)=________.14．給出定義：對于三次函數(shù)設是函數(shù)的導數(shù)，是的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”，經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.已知函數(shù).設.若則__________．15．某市有1200名中學生參加了去年春季的數(shù)學學業(yè)水平考試，從中隨機抽取了100人的考試成績統(tǒng)計得到如圖所示的頻率分布直方圖，據(jù)此可以估計這1200名學生中考試成績超過80分的人數(shù)為___________人。16．若的展開式中，奇數(shù)項的系數(shù)之和為-121，則n=___________。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，平面，，，，，是的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）為了調(diào)查我市在校中學生參加體育運動的情況，從中隨機抽取了16名男同學和14名女同學，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，男、女同學中分別有12人和6人喜愛運動，其余不喜愛.（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下列聯(lián)表：（2）根據(jù)列聯(lián)表的獨立性檢驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認為性別與喜愛運動有關(guān)？（3）將以上統(tǒng)計結(jié)果中的頻率視作概率，從我市中學生中隨機抽取3人，若其中喜愛運動的人數(shù)為，求的分布列和均值.參考數(shù)據(jù)：19．（12分）設數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求;（2）猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明．20．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小值；（2）當時，記函數(shù)的所有單調(diào)遞增區(qū)間的長度為，所有單調(diào)遞減區(qū)間的長度為，證明：．（注：區(qū)間長度指該區(qū)間在軸上所占位置的長度，與區(qū)間的開閉無關(guān)．）21．（12分）已知向量a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα,5sinα－4cosα)，α∈，且a⊥b.(1)求tanα的值；(2)求cos的值．22．（10分）函數(shù)，，實數(shù)為常數(shù).（I）求的最大值；（II）討論方程的實數(shù)根的個數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】試題分析：正方形面積為1，陰影部分的面積為，所以由幾何概型概率的計算公式得，點在E中的概率是，選A.考點：定積分的應用，幾何概型.2、A【解題分析】

根據(jù)各個函數(shù)的奇偶性、函數(shù)值的符號，判斷函數(shù)的圖象特征，即可得到．【題目詳解】解：①為偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于軸對稱，故第一個圖象即是；

②為奇函數(shù)，它的圖象關(guān)于原點對稱，它在上的值為正數(shù)，

在上的值為負數(shù)，故第三個圖象滿足；

③為奇函數(shù)，當時，，故第四個圖象滿足；

④，為非奇非偶函數(shù)，故它的圖象沒有對稱性，故第二個圖象滿足，

故選A．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的圖象，函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的值的符號，屬于中檔題．3、B【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得：，變?yōu)椋?，解得（舍去），所以，因為?shù)列是等比數(shù)列，所以，故選B.4、A【解題分析】

首先畫出可行域，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義得到，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得到的最大值.【題目詳解】由題知不等式組表示的可行域如下圖所示：目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為，由圖易得，直線在時，軸截距最大.所以.因為，即，當且僅當，即，時，取“”.故選：A【題目點撥】本題主要考查基本不等式求最值問題，同時考查了線性規(guī)劃，屬于中檔題.5、C【解題分析】或;而時,有可能為.所以兩者沒有包含關(guān)系,故選.6、D【解題分析】

根據(jù)指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可確定臨界值，從而得到大小關(guān)系.【題目詳解】；；且本題正確選項：【題目點撥】本題考查利用指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】分析：先由平面向量的加法運算和數(shù)乘運算得到，再利用數(shù)量積為0進行判定．詳解：由題意，得，因為，，，，故選D．點睛：本題考查平面向量的坐標運算、平面向量垂直的判定等知識，意在考查學生的邏輯思維能力和基本計算能力．8、C【解題分析】試題分析：根據(jù)題意：，故選C.考點：排列組合.9、D【解題分析】試題分析：對于A．若，若則故A錯；對于B．若，取則是假命題；C．若，取，則是錯誤的，D．若，則取，又，所以，又因為同號，則考點：不等式的性質(zhì)的應用10、C【解題分析】分析：直接利用離散型隨機變量的定義逐一判斷即可.詳解：隨機取值的變量就是隨機變量，隨機變量分為離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量兩種，隨機變量的函數(shù)仍為隨機變量，有些隨機變量，它全部可能取到的不相同的值是有限個或可列無限多個,這種隨機變量稱為“離散型隨機變量”，題目中都屬于離散型隨機變量，而電視機的使用壽命屬于連續(xù)型隨機變量，故選C.點睛：隨機取值的變量就是隨機變量，隨機變量分為離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量兩種（變量分為定性和定量兩類，其中定性變量又分為分類變量和有序變量；定量變量分為離散型和連續(xù)型），隨機變量的函數(shù)仍為隨機變量，本題考的離散型隨機變量.11、B【解題分析】分析：先根據(jù)圖像求出，即得，也即得結(jié)果.詳解：因為當時，，所以當時，，所以的單調(diào)減區(qū)間是，選B.點睛：函數(shù)單調(diào)性問題，往往轉(zhuǎn)化為導函數(shù)符號是否變號或怎樣變號問題，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為解方程或不等式.12、B【解題分析】

由于射擊一次命中目標的概率為，所以關(guān)鍵先求出射擊7次有4次命中且恰有3次連續(xù)命中的所有可能數(shù)，即根據(jù)獨立事件概率公式得結(jié)果.【題目詳解】因為射擊7次有4次命中且恰有3次連續(xù)命中有種情況，所以所求概率為.選B.【題目點撥】本題考查排列組合以及獨立事件概率公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-1【解題分析】

由已知分析出函數(shù)f（x）的值以4為周期，呈周期性變化，可得答案．【題目詳解】∵函數(shù)f（x）滿足：f（1）=2，f（x+1）=，∴f（2）=﹣1，f（1）=﹣，f（4）=，f（5）=2，……即函數(shù)f（x）的值以4為周期，呈周期性變化，∵2018=504×4+2，故f（2018）=f（2）=﹣1，故答案為：﹣1．【題目點撥】本題考查的知識點是函數(shù)求值，函數(shù)的周期性，難度不大，屬于中檔題．14、-4037【解題分析】

由題意對已知函數(shù)求兩次導數(shù),令二階導數(shù)為零,即可求得函數(shù)的中心對稱,即有,,借助倒序相加的方法,可得進而可求的解析式,求導,當代入導函數(shù)解得,計算求解即可得出結(jié)果.【題目詳解】函數(shù)函數(shù)的導數(shù)由得解得,而故函數(shù)關(guān)于點對稱,故，兩式相加得，則.同理,,,令,則,,故函數(shù)關(guān)于點對稱,,兩式相加得,則.所以當時,解得:,所以則.故答案為:-4037.【題目點撥】本題考查對新定義的理解,考查二階導數(shù)的求法,仔細審題是解題的關(guān)鍵,考查倒序法求和,難度較難.15、420【解題分析】

在頻率分布直方圖中，求出成績超過80分的小組的面積之和，求出頻率，最后估計這1200名學生中考試成績超過80分的人數(shù).【題目詳解】成績超過80分的小組分別是，面積之和為，因此這1200名學生中考試成績超過80分的人數(shù)估計為.【題目點撥】本題考查了頻率直方圖的性質(zhì)及應用，考查了數(shù)學運算能力.16、5【解題分析】

令和，作和即可得到奇數(shù)項的系數(shù)和，從而構(gòu)造出方程解得結(jié)果.【題目詳解】令得：令得：奇數(shù)項的系數(shù)和為：，解得：本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)應用問題，關(guān)鍵是采用賦值的方式快速得到系數(shù)和.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

可以以為軸、為軸、為軸構(gòu)建空間直角坐標系，寫出的空間坐標，通過證明得證平面通過求平面和平面的法向量得證二面角的余弦值．【題目詳解】（1）根據(jù)題意，建立以為軸、為軸、為軸的空間直角坐標系，則，，，因為，所以．因為平面，且，所以平面．（2）設平面的法向量為，則因為，所以．令，則．所以是平面的一個法向量．因為平面，所以是平面的法向量．所以由此可知，與的夾角的余弦值為．根據(jù)圖形可知，二面角的余弦值為．【題目點撥】在計算空間幾何以及二面角的時候，可以借助空間直角坐標系．18、（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解題分析】分析：（1）本題是一個簡單的數(shù)字的運算，根據(jù)a，b，c，d的已知和未知的結(jié)果，做出空格處的結(jié)果；（2）假設是否喜愛運動與性別無關(guān)，由已知數(shù)據(jù)可求得觀測值，把求得的觀測值同臨界值進行比較，得到在犯錯的概率不超過0.10的前提下不能判斷喜愛運動與性別有關(guān)；（3）喜愛運動的人數(shù)為ξ，ξ的取值分別為0，1，2，3，結(jié)合變量對應的事件利用等可能事件的概率公式做出概率，寫出分布列和期望．詳解：（1）（2）假設：是否喜愛運動與性別無關(guān)，由已知數(shù)據(jù)可求得，因此，在犯錯的概率不超過0.10的前提下不能判斷喜愛運動與性別有關(guān).（3）統(tǒng)計結(jié)果中喜愛運動的中學生所占的頻率為.喜愛運動的人數(shù)為的取值分別為：0,1,2,3，則有：喜愛運動的人數(shù)為的分布列為：因為，所以喜愛運動的人數(shù)的值為.點睛：求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式求得.19、（1），，；（2），證明見解析【解題分析】

（1）先求得的值，利用求得的表達式，由此求得的值.（2）根據(jù)（1）猜想，用數(shù)學歸納法證明數(shù)列的體積公式為.【題目詳解】（1）且于是從而可以得到，猜想通項公式（2）下面用數(shù)學歸納法證明.①當時，滿足通項公式；②假設當時，命題成立，即由（1）知即證當時命題成立；由①②可證成立.【題目點撥】本小題主要考查已知求，考查數(shù)學歸納法證明與數(shù)列的通項公式.20、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）首先求函數(shù)的導數(shù)，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后求最值；（2）根據(jù)（1）首先求函數(shù)的零點，從而去掉的絕對值，分段求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后再比較單調(diào)區(qū)間的長度.【題目詳解】解（1）因為，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以.（2）由（1）可知，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增又，，所以存在，使得，則當時，，當時，所以，記，當時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.當或時，當時即在單調(diào)遞增.因為，所以則當時，令，有所以當時，，在單調(diào)遞減綜上，在與單調(diào)遞減，在與單調(diào)遞增.所以，又所以，即【題目點撥】本題考查了利用函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題型，本題的一個難點是函數(shù)的零點，其中一個是，另一個不確定，只能估算其范圍，設為，所以再求當或時，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，也需估算比較的范圍，確定時函數(shù)的減區(qū)間，這種估算零點存在性問題，是導數(shù)?？碱}型.21、（1）－（2）【解題分析】(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.而a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα，5s