高中數(shù)學常用公式性質(zhì)及常用結(jié)論

高中數(shù)學常用公式、性質(zhì)及常用結(jié)論集合中元素的特性：（1）確定性：（2）互異性：（3）無序性：元素與集合的關系：,.集合與集合的關系：(1)AA=AAΦ=Φ，AB=BA，ABA，ABB．(2)AA=A，AΦ=A，AB=BA，ABＡ，ABB（3）ΦABAAB．A(CUA)=U,A(CUA)=Φ．（4），（5）A(CuA)=U,②A(CuA)=Φ，CS（CSA）=A，CSS=，CS=S（6）德摩根律：(CUA)(CUB)=CU(AB),(CUA)(CUB)=CU(AB)．（7）容斥原理：card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).（把有限集A的元素個數(shù)記作card(A)）4．集合的子集個數(shù)：共有個；真子集有–1個；非空子集有–1個；非空的真子集有–2個5.二次函數(shù)的解析式的三種形式(1)一般式;(2)頂點式;(3)零點式.6.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只能在處或區(qū)間的兩端點處取得，具體如下：(1)當a>0時，若，則；，，.(2)當a<0時，若，則，，若，則.7.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)：(1)在給定區(qū)間I上含參數(shù)的二次不等式(為參數(shù))恒成立的充要條件是:或化為f(x)>g(t)形式，則(2)在給定區(qū)間I上含參數(shù)的二次不等式(為參數(shù))恒成立的充要條件是或化為f(x)>g(t)形式，則.恒成立a=b=0,且c>0,或者a>0且（或a=b=0且c<0,或者a<0且〕實系數(shù)一元二次方程有實數(shù)解：a=0時，b≠0,或者a≠0時，。.方程k=f(x)有解k∈D(D為f(x)的值域)；a≥f(x)恒成立a≥［f(x)］max,;a≤f(x)恒成立a≤［f(x)］min;8.一元二次方程的實根分布（1）.方程＝在上有且只有一個實根,與不等價,前者是后者的一個必要而不是充分條件.特別地,方程有且只有一個實根在內(nèi),等價于,或且,或且.（2）一元二次方程根的分布：根的情況等價命題在上有兩根在上有兩根在和上各有一根充要條件

9、命題的否定只否定結(jié)論；否命題是條件和結(jié)論都否定.13.命題的真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假即：P或q一真則真，全假才假，p且q一假便假，全真才真P與非p真假相反

10.常見結(jié)論的否定形式原結(jié)論反設詞原結(jié)論反設詞是不是至少有一個一個也沒有都是不都是至多有一個至少有兩個大于不大于至少有個至多有（）個小于不小于至多有個至少有（）個對所有，成立存在某，不成立或且對任何，不成立存在某，成立且或

即：“p且q”的否定是“非p或非q”；“p或q”的否定是“非p且非q”。11.四種命題的相互關系原命題互逆逆命題若ｐ則ｑ若ｑ則ｐ互互互為為互否否逆逆否否否命題逆否命題若非ｐ則非ｑ互逆若非ｑ則非ｐ12、命題真假判斷：.（1）一個語句是否為命題，關鍵要看能否判斷真假，陳述句、反詰問句都是命題，而祁使句、疑問句、感嘆句都不是命題；（2）.判斷命題的真假要以真值表為依據(jù)。原命題與其逆否命題是等價命題，逆命題與其否命題是等價命題，一真俱真，一假俱假，當一個命題的真假不易判斷時，可考慮判斷其等價命題的真假；（3）.判斷命題充要條件的三種方法：（1）定義法；（2）利用集合間的包含關系判斷，若，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件；（3）等價法：即利用等價關系判斷，對于條件或結(jié)論是不等關系（或否定式）的命題，一般運用等價法13.充要條件：（1）充分條件：若，則是充分條件.，q是p的必要條件，（2）必要條件：若，則是必要條件.q是p的充分條件。（3）充要條件：若，且，則是充要條件. 注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然. 14.函數(shù)的單調(diào)性判斷：設那么：上是增函數(shù)；上是減函數(shù).設函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)..如果函數(shù)和都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)也是減函數(shù);1/f(x)是增函數(shù)如果函數(shù)和都是增函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)也是增函數(shù)1/f(x)是減函數(shù)如果函數(shù)和在其對應的定義域上都是減函數(shù),則復合函數(shù)是增函數(shù).遵循同增異減原則（6）若奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則在區(qū)間上也是增函數(shù)；即奇函數(shù)對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同（7）若偶函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則在區(qū)間上則是減函數(shù)；即偶函數(shù)對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。8、用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性時，一定要注意“>0(或<0)是該函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增（減）的必要條件15.你知道函數(shù)的單調(diào)區(qū)間嗎？（該函數(shù)在或上單調(diào)遞增；在或上單調(diào)遞減，求導易證）這可是一個應用廣泛的函數(shù)！請你著重復習它的特例“對勾函數(shù)”15、復合函數(shù)的有關問題（1）復合函數(shù)定義域求法：若已知f(x)的定義域為［a，b］,求其復合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可；若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求f(x)的定義域，相當于x∈[a,b]時，求出g(x)的值域即為f(x)的定義域；研究函數(shù)的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則。2．求函數(shù)值域的方法（1）分離常量法如果函數(shù)可以被分解成一個常數(shù)和一個只在分母含有x的式子，則只需再研究分母的取值范圍即可．（2）反函數(shù)法利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域．形如y=(a≠0)的函數(shù)的值域，均可使用反函數(shù)法．此外，這種類型的函數(shù)值域也可使用“分離常數(shù)法”求解．（3）配方法配方法是求“二次函數(shù)類”值域的基本方法，形如F(x)=a［f2(x)+bf(x)+c］的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法．（4）換元法運用代數(shù)或三角代換，將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域，形如y=ax+b±(a、b、c、d均為常數(shù)，且a≠0)的函數(shù)常用此法求解．（5）判別式法把函數(shù)轉(zhuǎn)化為關于x的二次方程F(x，y)=0，通過方程有實根，判別式△≥0，從而求得原函數(shù)的值域，形如y=（a1，a2不同時為零）的函數(shù)的值域常用此法求解．注意事項：①函數(shù)的定義域應為R；②分子、分母沒有公因式．（6）利用函數(shù)的有界性形如sinα=f(y)，x2=g(y)等，因為|sinα|≤1，x2≥0，可解出y的范圍，從而求出其值域或最值．（7）數(shù)形結(jié)合法若函數(shù)的解析式的幾何意義較明顯，諸如距離、斜率等，可利用數(shù)與形結(jié)合的方法．（8）重要不等式利用基本不等式：a+b≥2，ab≤，a2+b2≥2ab．用此法求函數(shù)值域時，要注意條件“一正二定三相等”．如：利用a+b≥2求某些函數(shù)值域（或最值）時應滿足三個條件：①a＞0，b＞0;②a+b(或ab)為定值；③取等號條件a=b．三個條件缺一不可．（9）利用函數(shù)的單調(diào)性①關于自變量x的一次根式，如y=ax+b+，若ad＞0，則用單調(diào)性求值域或最值；若ad＜0，則用換元法．②形如y=x+(k＞0)的函數(shù)，在不能用重要不等式的情況下（等號不成立），可考慮用函數(shù)的單調(diào)性，當x＞0時，函數(shù)y=x+(k＞0)的單調(diào)減區(qū)間為（0，]，單調(diào)增區(qū)間為［，+∞)．平時，大家把函數(shù)y=x+(k>0，x>0)叫做“對號函數(shù)”（圖象形如“√”），其分界點為（，2），至于x＜0的情況，可根據(jù)函數(shù)的奇偶性加以解決．（10）求導法：求出所有極值再與端點值作比較即得。（2）復合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”判定（注意：內(nèi)層函數(shù)的值域要滿足外層函數(shù)的定義域）16．函數(shù)的奇偶性：（1）、奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱;逆命題也成立，即：如果一個函數(shù)的圖象關于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)（2）奇函數(shù)的性質(zhì)f(x)=-f(-x),偶函數(shù)的性質(zhì)：f(x)=f(—x)=f(|x|)（3）切記定義在R上的奇函數(shù)y=f(x)必定過原點（3）多項式函數(shù)的奇偶性多項式函數(shù)是奇函數(shù)的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零.多項式函數(shù)是偶函數(shù)的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零.17、函數(shù)圖象的對稱性：<1>一個函數(shù)的對稱：（1）若函數(shù)是偶函數(shù)，則的圖象關于x=0對稱且有：；若函數(shù)是偶函數(shù)，則y=f(x)關于x=a對稱，y=f(x+a)關于x=0對稱且有：.（2）、若對于一切都有，那么函數(shù)的圖象關于直線對稱，特例1、如果函數(shù)對于一切，都有，那么函數(shù)的圖象關于直線對稱是偶函數(shù)；特例2、,a=b=0時，f(x)=f(-x),圖像關于x=0對稱。y=f(x)稱為偶函數(shù)（3）如果函數(shù)對于一切，都有，即f(x)=2b-f(2a-x),那么函數(shù)關于點（）對稱,特例：a=b=0時，f(x)=—f(—x),f(x)的圖像關于原點對稱，稱為奇函數(shù)。<2>兩個函數(shù)的對稱性質(zhì)：函數(shù)與函數(shù)的圖象關于直線（方法：求a-x=b+x）對稱；特例1:函數(shù)與函數(shù)的圖象關于直線x=0對稱.特例2、函數(shù)與函數(shù)的圖象關于直線y軸（x=0）對稱。函數(shù)與函數(shù)的圖象關于直線x軸（）對稱；函數(shù)與函數(shù)的圖象關于直線y軸對稱，函數(shù)與函數(shù)的圖象關于坐標原點（0,0）對稱；y=f(x)與互為反函數(shù)，關于y=x對稱，對于函數(shù)(),恒成立,則函數(shù)的對稱軸是函數(shù);兩個函數(shù)與的圖象關于直線對稱.若,則函數(shù)的圖象關于點（）對稱;函數(shù)的圖象關于直線對稱.函數(shù)的圖象關于直線對稱.函數(shù)與函數(shù)的圖象關于直線對稱.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關系：.27.若函數(shù)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為,并不是,而函數(shù)是的反函數(shù).11.原函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則一定存在反函數(shù)，且反函數(shù)也單調(diào)遞增；但一個函數(shù)存在反函數(shù)，此函數(shù)不一定單調(diào)．判斷一個函數(shù)的奇偶性時，你注意到函數(shù)的定義域是否關于原點對稱這個必要非充分條件了嗎？特例:3.方程曲線的對稱性：(1)證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；（2）證明圖像C1與C2的對稱性，即證明C1上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在C2上，反之亦然；（3）曲線C1：f(x,y)=0,關于y=x+a(y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);（4）曲線C1:f(x,y)=0關于點（a,b）的對稱曲線C2方程為：f(2a－x,2b－y)=0;（5）若函數(shù)y=f(x)對x∈R時，f(a+x)=f(a－x)恒成立，則y=f(x)圖像關于直線x=a對稱；（6）函數(shù)y=f(x－a)與y=f(b－x)的圖像關于直線x=對稱18、函數(shù)圖象的平移：1、函數(shù)的圖象是把的圖象沿x軸向左平移a個單位得到的；函數(shù)(的圖象是把的圖象沿x軸向右平移個單位得到的；2、函數(shù)+a的圖象是把助圖象沿y軸向上平移a個單位得到的；函數(shù)+a的圖象是把助圖象沿y軸向下平移個單位得到的。3.若將函數(shù)的圖象右移、上移個單位，得到函數(shù)的圖象（特點：上+下－）；若將曲線的圖象右移、上移個單位，得到曲線的圖象4、若y=f(x)向量（a,b）平移，得y=g(x),若求y=g(x),將點（x-a,y-b）代入y=f(x)即可，若求y=f(x),將點（x+a,y+b）代入y=g(x)即可19、函數(shù)圖象的伸縮與翻折變換：1,y=f(|x|)的圖象：法1,保留y=f(x)位于y軸右則的圖象，再作出關于y軸對稱的圖象即得；法2,作出y=f(x)(x》0)與y=f(-x)(x<0)的圖象即得。2、y=|f(x)|圖象：法1,作出y=f(x)的圖象，再將位于x軸下方的圖象翻折到x軸上方即可。法2，作出y=f(x)(f(x)》0)與y=-f(x)(f(x)<0)的圖象即得。3、y=f(ax)的圖象：將y=f(x)的圖象的縱坐標不變，坐標變?yōu)樵瓉淼?/a.4、y=af(x)的圖象：將y=f(x)的圖象有橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腶倍。20、.函數(shù)的周期性：1、定義：如果函數(shù)對于一切，都有f(x)=f(x+a),那么函數(shù)是周期函數(shù)，T=a；2周期函數(shù)的性質(zhì)：（1）、周期函數(shù)的定義域一定是無限集，2、若a是f(x)的周期，則ka也是f(x)的周期。（2）、若,則函數(shù)為周期為的周期函數(shù).(3)y=f(x)對x∈R時，f(x+a)=f(x－a)或f(x－2a)=f(x)(a>0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù)；（4）若y=f(x)是偶函數(shù)，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為2︱a︱的周期函數(shù)；（5）若y=f(x)奇函數(shù)，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為4︱a︱的周期函數(shù)；（6）若y=f(x)關于點(a,0),(b,0)對稱，則f(x)是周期為2|a-b|的周期函數(shù)；（7）y=f(x)的圖象關于直線x=a,x=b(a≠b)對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期為2|a-b|的周期函數(shù)；（8）y=f(x)對x∈R時，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)=，則y=f(x)是周期為2|a|的周期函數(shù)3、幾個函數(shù)方程的周期判斷(約定a>0)（1），則的周期T=a；（2），或，或,或,則的周期T=2a；(3)，則的周期T=3a；(4)且，則的周期T=4a；（5），則的周期T=6a.9.判斷對應是否為映射時，抓住兩點：（1）A中元素必須都有象且唯一；（2）B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象；10.反函數(shù)知識：掌握以下一些結(jié)論：（1）定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)；（2）奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)；（3）定義域為非單元素集的偶函數(shù)不存在反函數(shù);（4）周期函數(shù)不存在反函數(shù)；（5）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性；（6）求反函數(shù)的一般步驟分：一反解、二交換、三注明定義域，分段函數(shù)分別求解，(7)y=f(x)與互為反函數(shù)，設f(x)的定義域為A，值域為B，則有.常用解題方法：點（a,b）在y=f(x)上，則點(b,a)在上。同底的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，圖像關于y=x對稱。幾個常見的函數(shù)方程(1)正比例函數(shù),性質(zhì)：.(2)指數(shù)函數(shù),性質(zhì)：.(3)對數(shù)函數(shù),性質(zhì)：.(4)冪函數(shù),性質(zhì)：.(5)余弦函數(shù),正弦函數(shù)，，.30.分數(shù)指數(shù)冪(1)（，且）.(2)（，且）.31．根式的性質(zhì)（1）.（2）當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，.32．有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1).(2).(3).注：若a＞0，p是一個無理數(shù)，則ap表示一個確定的實數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.33.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式.34.對數(shù)的換底公式(,且,,且,).推論(,且,,且,,).35．對數(shù)的四則運算法則若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則(1);(2);(3).36.設函數(shù),記.若的定義域為,則，且;若的值域為,則，且.對于的情形,需要單獨檢驗.37.對數(shù)換底不等式及其推廣若,,,,則函數(shù) (1)當時,在和上為增函數(shù).，(2)當時,在和上為減函數(shù).推論:設，，，且，則（1）.（2）.38.平均增長率的問題如果原來產(chǎn)值的基礎數(shù)為N，平均增長率為，則對于時間的總產(chǎn)值，有.39.數(shù)列的通項公式與前n項的和的關系(數(shù)列的前n項的和為).用求數(shù)列的通項公式時，an一般是分段形式對嗎？你注意到了嗎40.等差數(shù)列的通項公式：；22等差數(shù)列中的重要性質(zhì)：；若，則；成等差。其前n項和公式為：.等差數(shù)列的一個性質(zhì)：設是數(shù)列的前n項和，為等差數(shù)列的充要條件是（a,b為常數(shù)），（即Sn是n的二次式，且不含常數(shù)項）其公差是2a。4.首項為正（或為負）的遞減（或遞增）的等差數(shù)列前n項和的最大（或最小）問題，轉(zhuǎn)化為解不等式解決7.當時，對等差數(shù)列有；對等比數(shù)列有；等比數(shù)列中的重要性質(zhì)：；若，則；成等比41.等比數(shù)列的通項公式；其前n項的和公式為或.你是否注意到在應用等比數(shù)列求前n項和時，需要分類討論．（時，；時，）在等比數(shù)列中你是否注意了42.等比差數(shù)列:的通項公式為；其前n項和公式為.你知道怎樣的數(shù)列求和時要用“錯位相減”法嗎？（若，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求的前n項的和）你還記得裂項求和嗎？（如）疊加法：疊乘法：43.分期付款(按揭貸款)每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為).48.你知道儲蓄、貸款問題嗎？△零存整取儲蓄（單利）本利和計算模型：若每期存入本金p元，每期利率為r，n期后，本利和為：△若按復利，如貸款問題——按揭貸款的每期還款計算模型（按揭貸款——分期等額歸還本息的借款種類）若貸款（向銀行借款）p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，第n次還清。如果每期利率為r（按復利），那么每期應還x元，滿足p——貸款數(shù)，r——利率，n——還款期數(shù)44．常見三角不等式（1）若，則.(2)若，則.(3).物殊角的三角函數(shù)值45.同角三角函數(shù)的基本關系式，=，.46.正弦、余弦的誘導公式（奇變偶不變，符號看象限）(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))47.和角與差角公式;;.(平方正弦公式);.=(輔助角所在象限由點的象限決定,).輔助角公式：，要弄清時對應的角，在求最值、化簡時起著重要作用.48.二倍角公式...49.三倍角公式...積化和公式：,,和化積公式：1、2sinxsiny=-[cos(x+y)-cos(x-y)]2.2sinxcosy=sin(x+y)+sin(x-y) 3.2cosxsiny=sin(x+y)-sin(x-y)4.2cosxcoy=cos(x+y)+cos(x-y)50.三角函數(shù)的周期公式函數(shù)，x∈R及函數(shù)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期；函數(shù)，(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期.51.正弦定理

.52.余弦定理;;.53.面積定理（1）（分別表示a、b、c邊上的高）.（2）.(3).54.三角形內(nèi)角和定理在△ABC中，有.55.簡單的三角方程的通解...特別地,有...56.最簡單的三角不等式及其解集......，

，，無對稱軸，求單調(diào)區(qū)間：遵循同增異減原則，由替換y=sinx（或y=cosx）中的x代入y=sinx的增（減）區(qū)間即得。（x，y）作圖象。在求直線的傾斜角、兩向量的夾角、兩條異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角等時，你是否注意到它們各自的取值范圍及意義？①異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍依次是；②直線的傾斜角、；③向量的夾角的取值范圍是[0，π]57.實數(shù)與向量的積的運算律設λ、μ為實數(shù)，那么(1)結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.58.向量的數(shù)量積的運算律：(1)a·b=b·a（交換律）;(2)（a）·b=（a·b）=a·b=a·（b）;(3)（a+b）·c=a·c+b·c.59.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．60．向量平行的坐標表示

設a=,b=，且b0，則ab(b0).53.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)a·b=|a||b|cosθ．61.a·b的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．62.平面向量的坐標運算(1)設a=,b=，則a+b=.(2)設a=,b=，則a-b=.(3)設A，B,則.(4)設a=，則a=.(5)設a=,b=，則a·b=.63.兩向量的夾角公式(a=,b=).64.平面兩點間的距離公式=(A，B).65.向量的平行與垂直設a=,b=，且b0，則A||bb=λa.ab(a0)a·b=0.66.線段的定比分公式

設，，是線段的分點,是實數(shù)，且，則（）.67.三角形的重心坐標公式△ABC三個頂點的坐標分別為、、,則△ABC的重心的坐標是.68.點的平移公式.注:圖形F上的任意一點P(x，y)在平移后圖形上的對應點為，且的坐標為.69.“按向量平移”的幾個結(jié)論（1）點按向量a=平移后得到點.(2)函數(shù)的圖象按向量a=平移后得到圖象,則的函數(shù)解析式為.(3)圖象按向量a=平移后得到圖象,若的解析式,則的函數(shù)解析式為.(4)曲線:按向量a=平移后得到圖象,則的方程為.(5)向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然為m=.70.三角形五“心”向量形式的充要條件設為所在平面上一點，角所對邊長分別為，則（1）為的外心.（2）為的重心.（3）為的垂心.（4）為的內(nèi)心.（5）為的的旁心.含絕對值不等式的解法：絕對值的定義：|a|=|a|的幾何意義：數(shù)軸上表示數(shù)a的點離開原點的距離不等式的解集是;不等式的解集是不等式的解集為;不等式的解集為不等式a|x|b《＝》|x|>a且|x|<b,《＝》axb或-bx-a(a0).對于含有字母參數(shù)絕對值的不等式,則根據(jù)基本的絕對值不等式的解法進行分類討論,討論時,不重復,也不要遺漏，也可對字母部分進行討論。對于含有多個絕對值的不等式，利用零點分斷法分斷去絕對值解答。．特殊的一元高次不等式右邊化為0，左邊可分解為一次或二次式的因式的形式不等式，一般用區(qū)間法解或根軸法求解。注意：①左邊各因式中x的系數(shù)化為“+”，若有因式為二次的（不能再分解了）二次項系數(shù)也化為“+”，再按我們總結(jié)的規(guī)律作；②注意邊界點能取或是不能取，（3）出現(xiàn)相同因式，奇穿偶不穿（過）.2．分式不等式，切忌去分母，一律移項通分化等價化為（或<0)的形式，轉(zhuǎn)化為：，即轉(zhuǎn)化為一次、二次或特殊一元高次不等式形式再用用根軸法（零點分段法）求解4．含參數(shù)的不等式注意必要的討論.34.不等式的基本性質(zhì)有：71.常用不等式：（1）(當且僅當a＝b時取“=”號)．（2）(當且僅當a＝b時取“=”號)．（3）（4）柯西不等式（5）.72.極值定理已知都是正數(shù)，則有（1）若積是定值，則當時和有最小值；（2）若和是定值，則當時積有最大值.推廣已知，則有（1）若積是定值,則當最大時,最大；當最小時,最小.（2）若和是定值,則當最大時,最小；當最小時,最大.42.不等式恒成立問題，常用的處理方式是什么？（可轉(zhuǎn)化為最值問題，或“△”問題）73.一元二次不等式，如果與同號，則其解集在兩根之外；如果與異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.；.74.含有絕對值的不等式當a>0時，有.或.75.無理不等式（1）.（2）.（3）.76.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式(1)當時,;.(2)當時,;77.斜率公式（、）.78.直線的五種方程（1）點斜式(直線過點，且斜率為)．（2）斜截式(b為直線在y軸上的截距).（3）兩點式()(、()).(4)截距式(分別為直線的橫、縱截距，)（5）一般式(其中A、B不同時為0).79.兩條直線的平行和垂直(1)若，①; ②.(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不為零,①；②；80.夾角公式(1).(，,)(2).(,,).直線時，直線l1與l2的夾角是.81.到的角公式(1).(，,)(2).(,,).直線時，直線l1到l2的角是.82．四種常用直線系方程(1)定點直線系方程：經(jīng)過定點的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數(shù);經(jīng)過定點的直線系方程為,其中是待定的系數(shù)．(2)共點直線系方程：經(jīng)過兩直線,的交點的直線系方程為(除)，其中λ是待定的系數(shù)．(3)平行直線系方程：直線中當斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程．與直線平行的直線系方程是()，λ是參變量．(4)垂直直線系方程：與直線(A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是,λ是參變量．83.點到直線的距離(點,直線：).84.或所表示的平面區(qū)域設直線，則或所表示的平面區(qū)域是：若，當與同號時，表示直線的上方的區(qū)域；當與異號時，表示直線的下方的區(qū)域.簡言之,同號在上,異號在下.若，當與同號時，表示直線的右方的區(qū)域；當與異號時，表示直線的左方的區(qū)域.簡言之,同號在右,異號在左.85.或所表示的平面區(qū)域設曲線（），則或所表示的平面區(qū)域是：所表示的平面區(qū)域上下兩部分；所表示的平面區(qū)域上下兩部分.86.圓的四種方程（1）圓的標準方程.（2）圓的一般方程(＞0).（3）圓的參數(shù)方程.（4）圓的直徑式方程(圓的直徑的端點是、).87.圓系方程(1)過點,的圓系方程是,其中是直線的方程,λ是待定的系數(shù)．(2)過直線:與圓:的交點的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)．(3)過圓:與圓:的交點的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)．88.點與圓的位置關系點與圓的位置關系有三種若，則點在圓外;點在圓上;點在圓內(nèi).89.直線與圓的位置關系直線與圓的位置關系有三種:;;.其中.90.兩圓位置關系的判定方法設兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，;;;;.91.圓的切線方程(1)已知圓．①若已知切點在圓上，則切線只有一條，其方程是.當圓外時,表示過兩個切點的切點弦方程．②過圓外一點的切線方程可設為，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．③斜率為k的切線方程可設為，再利用相切條件求b，必有兩條切線．(2)已知圓．①過圓上的點的切線方程為;②斜率為的圓的切線方程為.68.分清圓錐曲線的定義92.橢圓的參數(shù)方程是.93.橢圓焦半徑公式，.94．橢圓的的內(nèi)外部（1）點在橢圓的內(nèi)部.（2）點在橢圓的外部.95.橢圓的切線方程(1)橢圓上一點處的切線方程是.（2）過橢圓外一點所引兩條切線的切點弦方程是.（3）橢圓與直線相切的條件是.96.雙曲線的焦半徑公式，.97.雙曲線的內(nèi)外部(1)點在雙曲線的內(nèi)部.(2)點在雙曲線的外部.98.雙曲線的方程與漸近線方程的關系(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.(2)若漸近線方程為雙曲線可設為.(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設為（，焦點在x軸上，，焦點在y軸上）.99.雙曲線的切線方程(1)雙曲線上一點處的切線方程是.（2）過雙曲線外一點所引兩條切線的切點弦方程是.（3）雙曲線與直線相切的條件是.100.拋物線的焦半徑公式拋物線焦半徑.過焦點弦長.101.拋物線上的動點可設為P或P，其中.102.二次函數(shù)的圖象是拋物線：（1）頂點坐標為；（2）焦點的坐標為；（3）準線方程是.103.拋物線的內(nèi)外部(1)點在拋物線的內(nèi)部.點在拋物線的外部.(2)點在拋物線的內(nèi)部.點在拋物線的外部.(3)點在拋物線的內(nèi)部.點在拋物線的外部.(4)點在拋物線的內(nèi)部.點在拋物線的外部.104.拋物線的切線方程(1)拋物線上一點處的切線方程是.（2）過拋物線外一點所引兩條切線的切點弦方程是.（3）拋物線與直線相切的條件是.105.兩個常見的曲線系方程(1)過曲線,的交點的曲線系方程是(為參數(shù)).(2)共焦點的有心圓錐曲線系方程,其中.當時,表示橢圓;當時,表示雙曲線.106.直線與圓錐曲線相交的弦長公式或（弦端點A，由方程消去y得到，,為直線的傾斜角，為直線的斜率）.107.圓錐曲線的兩類對稱問題（1）曲線關于點成中心對稱的曲線是.（2）曲線關于直線成軸對稱的曲線是.108.“四線”一方程對于一般的二次曲線，用代，用代，用代，用代，用代即得方程，曲線的切線，切點弦，中點弦，弦中點方程均是此方程得到.59.立體幾何中平行、垂直關系證明的思路清楚嗎？平行垂直的證明主要利用線面關系的轉(zhuǎn)化：109．證明直線與直線的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點；（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.110．證明直線與平面的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點；（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.111．證明平面與平面平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點；（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直.112．證明直線與直線的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.113．證明直線與平面垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面；（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.114．證明平面與平面的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.115.空間向量的加法與數(shù)乘向量運算的運算律(1)加法交換律：a＋b=b＋a．(2)加法結(jié)合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．(3)數(shù)乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．116.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣始點相同且不在同一個平面內(nèi)的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量.117.共線向量定理對空間任意兩個向量a、b(b≠0)，a∥b存在實數(shù)λ使a=λb．三點共線.、共線且不共線且不共線.118.共面向量定理向量p與兩個不共線的向量a、b共面的存在實數(shù)對,使．推論空間一點P位于平面MAB內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對,使，或?qū)臻g任一定點O，有序?qū)崝?shù)對，使.119.對空間任一點和不共線的三點A、B、C，滿足（），則當時，對于空間任一點，總有P、A、B、C四點共面；當時，若平面ABC，則P、A、B、C四點共面；若平面ABC，則P、A、B、C四點不共面．四點共面與、共面（平面ABC）.120.空間向量基本定理如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．推論設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x，y，z，使.121.射影公式已知向量=a和軸，e是上與同方向的單位向量.作A點在上的射影，作B點在上的射影，則〈a，e〉=a·e122.向量的直角坐標運算設a＝，b＝則(1)a＋b＝；(2)a－b＝；(3)λa＝(λ∈R)；(4)a·b＝；123.設A，B，則=.124．空間的線線平行或垂直設，，則；.125.夾角公式設a＝，b＝，則cos〈a，b〉=.推論，此即三維柯西不等式.126.四面體的對棱所成的角四面體中,與所成的角為,則.127．異面直線所成角=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）128.直線與平面所成角(為平面的法向量).129.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個內(nèi)角，則.特別地,當時,有：.130.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個內(nèi)角，則.特別地,當時,有：.131.二面角的平面角或（，為平面，的法向量）.132.三余弦定理設AC是α內(nèi)的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設AO與AB所成的角為，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為．則.133.三射線定理若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個半平面所成的角是,,與二面角的棱所成的角是θ，則有;(當且僅當時等號成立).134.空間兩點間的距離公式若A，B，則=.135.點到直線距離(點在直線上，直線的方向向量a=，向量b=).136.異面直線間的距離(是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離).137.點到平面的距離（為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.138.異面直線上兩點距離公式..（）.(兩條異面直線a、b所成的角為θ，其公垂線段的長度為h.在直線a、b上分別取兩點E、F，,,).139.三個向量和的平方公式140.長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為，夾角分別為,則有.（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.141.面積射影定理.(平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的為).142.斜棱柱的直截面已知斜棱柱的側(cè)棱長是,側(cè)面積和體積分別是和,它的直截面的周長和面積分別是和,則①.②.143．作截面的依據(jù)三個平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點或互相平行.144．棱錐的平行截面的性質(zhì)如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比（對應角相等，對應邊對應成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應邊的比的平方）；相應小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比．145.歐拉定理(歐拉公式)(簡單多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).（1）=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個面的邊數(shù)為的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關系：；（2）若每個頂點引出的棱數(shù)為，則頂點數(shù)V與棱數(shù)E的關系：.146.球的半徑是R，則其體積,其表面積．147.球的組合體(1)球與長方體的組合體:長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.(2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長,正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.(3)球與正四面體的組合體:棱長為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為.148．柱體、錐體的體積（是柱體的底面積、是柱體的高）.（是錐體的底面積、是錐體的高）.13.求軌跡的常用方法：（1）直接法：直接通過建立x、y之間的關系，構(gòu)成F(x,y)＝0，是求軌跡的最基本的方法；（2）待定系數(shù)法：所求曲線是所學過的曲線：如直線，圓錐曲線等，可先根據(jù)條件列出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)，代回所列的方程即可；（3）代入法（相關點法或轉(zhuǎn)移法）：若動點P(x,y)依賴于另一動點Q(x1,y1)的變化而變化，并且Q(x1,y1)又在某已知曲線上，則可先用x、y的代數(shù)式表示x1、y1，再將x1、y1帶入已知曲線得要求的軌跡方程；（4）定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某已知曲線的定義，則可由曲線的定義直接寫出方程；（5）參數(shù)法：當動點P（x,y）坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可考慮將x、y均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程。九、直線、平面、簡單幾何體1.從一點O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，則點A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分線上；A2.已知:直二面角M－AB－N中，AEM，BFN,∠EAB=,∠ABF=，異面直線AE與BF所成的角為，則A3.立平斜公式：如圖，AB和平面所成的角是，AC在平面內(nèi)，AC和AB的射影AB成，設∠BAC=,則coscos=cos；4.異面直線所成角的求法：（1）平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；（2）補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關系；5.直線與平面所成的角斜線和平面所成的是一個直角三角形的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面上的射影。通常通過斜線上某個特殊點作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線，是產(chǎn)生線面角的關鍵；6.二面角的求法（1）定義法：直接在二面角的棱上取一點（特殊點），分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時，要認真觀察圖形的特性；（2）三垂線法：已知二面角其中一個面內(nèi)一點到一個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；（3）垂面法：已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直；（4）射影法：利用面積射影公式S射＝S原cos,其中為平面角的大小，此方法不必在圖形中畫出平面角；特別:對于一類沒有給出棱的二面角，應先延伸兩個半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其要考慮射影法）。7.空間距離的求法（1）兩異面直線間的距離，高考要求是給出公垂線，所以一般先利用垂直作出公垂線，然后再進行計算；（2）求點到直線的距離，一般用三垂線定理作出垂線再求解；（3）求點到平面的距離，一是用垂面法，借助面面垂直的性質(zhì)來作，因此，確定已知面的垂面是關鍵；二是不作出公垂線，轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高，利用等體積法列方程求解；8.正棱錐的各側(cè)面與底面所成的角相等，記為，則S側(cè)cos=S底；9.已知:長方體的體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為因此有cos2+cos2+cos2=1;若長方體的體對角線與過同一頂點的三側(cè)面所成的角分別為則有cos2+cos2+cos2=2;10.正方體和長方體的外接球的直徑等與其體對角線長；11.歐拉公式：如果簡單多面體的頂點數(shù)為V,面數(shù)為F,棱數(shù)為E.那么V+F－E=2；并且棱數(shù)E＝各頂點連著的棱數(shù)和的一半＝各面邊數(shù)和的一半；12.球的體積公式V=，表面積公式；掌握球面上兩點A、B間的距離求法：（1）計算線段AB的長，（2）計算球心角∠AOB的弧度數(shù)；(3)用弧長公式計算劣弧AB的長；149.分類計數(shù)原理（加法原理）：.150.分步計數(shù)原理（乘法原理）：.151.排列數(shù)公式==.(，∈N*，且)．注:規(guī)定.152.排列恒等式(1）;（2）;（3）;（4）;（5）.(6).153.組合數(shù)公式===(∈N*，，且).154.組合數(shù)的兩個性質(zhì)(1)=;(2)+=.注:規(guī)定.155.組合恒等式（1）;（2）;（3）;（4）=;（5）.(6).(7).(8).(9).(10).156.排列數(shù)與組合數(shù)的關系：.87解排列組合問題的規(guī)律是：元素分析法、位置分析法——相鄰問題捆綁法；不鄰問題插空法；多排問題單排法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；有序分配問題法；選取問題先取后排法；至多至少問題間接法。88二項式定理中，“系數(shù)最大的項”、“項的系數(shù)的最大值”、“項的二項式系數(shù)的最大值”是同一個概念嗎157．單條件排列以下各條的大前提是從個元素中取個元素的排列.（1）“在位”與“不在位”①某（特）元必在某位有種；②某（特）元不在某位有（補集思想）（著眼位置）（著眼元素）種.（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）①定位緊貼：個元在固定位的排列有種.②浮動緊貼：個元素的全排列把k個元排在一起的排法有種.注：此類問題常用捆綁法；③插空：兩組元素分別有k、h個（），把它們合在一起來作全排列，k個的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有種.（3）兩組元素各相同的插空個大球個小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？當時，無解；當時，有種排法.（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個和n個，各組元素分別相同的排列數(shù)為.158．分配問題（1）(平均分組有歸屬問題)將相異的、個物件等分給個人，各得件，其分配方法數(shù)共有.（2）(平均分組無歸屬問題)將相異的·個物體等分為無記號或無順序的堆，其分配方法數(shù)共有.（3）(非平均分組有歸屬問題)將相異的個物體分給個人，物件必須被分完，分別得到，，…，件，且，，…，這個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有.（4）(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的個物體分給個人，物件必須被分完，分別得到，，…，