相似三角形動(dòng)點(diǎn)問題（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練（北師大版）

專題4.33相似三角形動(dòng)點(diǎn)問題（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）

一、單選題

1.如圖1,在矩形ABCD中，點(diǎn)E在C￡>上，4EB=90°,點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿AfEfB

的路徑勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，作于點(diǎn)。，設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的路程為x,PQ長(zhǎng)為>,若y

與x之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2所示，當(dāng)x=6時(shí)，尸。的值是（）

96

A.2B.—C.—D.1

55

2.如圖，R3ABC中，ZACB=90°,CD平分NACB交AB于點(diǎn)D,按下列步驟作圖：

步驟1：分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于;8的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M,N兩點(diǎn);

步驟2：作直線MN,分別交AC,BC于點(diǎn)E,F；

步驟3：連接DE,DF；

若AC=4,BC=2,則線段DE的長(zhǎng)為（）

534

A.—B.—C.-y/2D.一

3273

3.如圖，在矩形ABCD中，AB=9,BO12,點(diǎn)E是邊BC上的一點(diǎn)，2EOBE,點(diǎn)P是對(duì)

角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PE,過點(diǎn)E作EQ_LEP交線段AC于點(diǎn)Q,則PQ的最小值

是（）

A.1B.-C.—D.3

55

4.如圖，在aABC中，BC=6,E,尸分別是A3,AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在射線所上，BP

交CE于點(diǎn)、D,/CBP的平分線交CE于點(diǎn)Q,當(dāng)CQ=：CE時(shí)，EP+BP的值為（）

A.6B.9C.12D.18

5.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,E、F分別是邊BC和CD上的動(dòng)點(diǎn)（不與正方形的頂

點(diǎn)重合），不管E、F怎樣動(dòng)，始終保持AELEF,設(shè)BE=x,DF=y,則y是x的函數(shù)，函數(shù)

關(guān)系式是（）

A.y=x+lB.y=x-lC.y=x2-x+1D.y=x2-x-I

6.如圖，在鈍角三角形ABC中，AB=6cm,ACD2cm,動(dòng)點(diǎn)D從A點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)止，

動(dòng)點(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)到A點(diǎn)止.點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為1cm/秒，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的速度為2cm秒.如果兩

點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是

)

A.3或2.8B.3或4.8C.1或4D.1或6

7.如圖，已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且PB=3,BKLBP于B,若在射

線BF上找一點(diǎn)M,使以點(diǎn)B,M,C為頂點(diǎn)的三角形與△ABP相似，BM的值為（）

A.3B.yC.3或1D.3或5

8.如圖，在菱形A3CD中，AC=12,BD=16,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度

的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)8時(shí)停止；動(dòng)點(diǎn)。同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速

度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ交AC于點(diǎn)那么在

點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，線段QH的最小值是（）

48c96〃144-48

A.—B.—C.D?—

5252525

9.如圖，在AABC中，ZC=90°,A8=10,8C=8.E是4c邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)后作所〃AB

交8c于點(diǎn)尸，。為線段E尸的中點(diǎn)，當(dāng)8。平分NABC時(shí)，AE的長(zhǎng)度是（）

16-30八40r48

A.—B.—C.—D.—

13131313

10.如圖，已知C是線段A8上的任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），分別以AC,BC為斜邊并且在A8

的同一側(cè)作等腰直角AACD和BCE,連接AE交CO于點(diǎn)M,連接交CE于點(diǎn)N,給出

以下三個(gè)結(jié)論：①M(fèi)N//AB；②上=工+」；③MN4；AB,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是

MNACBC4

（）

A.0B.1C.2D.3

11.在RSABC中,/C=90o,AC=3,BC=4,D是AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），DELAC于

點(diǎn)E,DF1BC于點(diǎn)F,點(diǎn)D由A向B移動(dòng)時(shí)，矩形DECF的周長(zhǎng)變化情況是（）

A.逐漸減小B,逐漸增大C.先增大后減小D.先減小后增大

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABC。的面積為定值，它的對(duì)稱中心恰與原點(diǎn)重合，

且AB〃y軸，CO交x軸于點(diǎn)過原點(diǎn)的直線EF分別交A。、BC邊于點(diǎn)E、F,以EF為

一邊作矩形EFG”，并使EF的對(duì)邊G”所在直線過點(diǎn)“，若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)逐漸增大，圖中

矩形EFG/7的面積的大小變化情況是（）

A.一直減小B.一直不變

C.先減小后增大D.先增大后減小

二、填空題

13.如圖，在RSABC中，NBAC=90。，AB=AC=16cm,AD為BC邊上的高.動(dòng)點(diǎn)P從

點(diǎn)A出發(fā)，沿ATD方向以0cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).設(shè)^ABP的面積為Si,矩形PDFE

的面積為S2,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0<t<8）,則1=秒時(shí)，SI=2S2.

14.在△ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PELAB于E,PF±AC

于F,M為EF中點(diǎn)，則AM的最小值為.

15.在。ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，且點(diǎn)E將AD分為2：3的兩部分，連接BE、AC相

交于F,則SMEF：S^CBF是?

16.如圖，在直角三角形A8C中，ZA=90°,AB=8,AC=15,8c=17.D,P分別是線

段AC,BC上的動(dòng)點(diǎn)，則BQ+QP的最小值是.

17.如圖，有一正方形ABC。，邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E是邊CO上的中點(diǎn)，對(duì)角線BO上有一動(dòng)點(diǎn)F,

當(dāng)頂點(diǎn)為A、B、F的三角形與頂點(diǎn)為D、E、F的三角形相似時(shí)，8尸的值為.

18.如圖，在△ABC中,AB=AC=10,點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B,C重合），ZADE=ZB=a,

4

DE交AC于點(diǎn)E,且cosa=-.下列結(jié)論：?AADE^AACD：②當(dāng)BD=6時(shí)，△ABD

25

與ADCE全等；③4DCE為直角三角形時(shí)，BD為8或：■；?CD2=CE<A.其中正確的

結(jié)論是（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）

19.如圖，矩形硬紙片ABCD的頂點(diǎn)A在V軸的正半軸及原點(diǎn)上滑動(dòng)，頂點(diǎn)B在x軸的正

半軸及原點(diǎn)上滑動(dòng)，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，AB=24,BC=5,給出下歹lj結(jié)論：①點(diǎn)A從點(diǎn)0出發(fā)，

到點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)O為止，點(diǎn)E經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為1271；0AOAB的面積的最大值為144；③

當(dāng)0D最大時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（生叵，竺返），其中正確的結(jié)論是（填寫序號(hào)）.

2626

20.如圖，在矩形48co中，A8=4,8C=3,點(diǎn)P、。分別為直線AB、8C上的動(dòng)點(diǎn)，且

PDA.PQ,當(dāng)△PDQ為等腰三角形時(shí)，則AP的長(zhǎng)為.

21.如圖，在△ABC中，BCn2,BC上的高AH=8,矩形DEFG的邊EF在邊BC上，頂

點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC±.設(shè)DE=x,矩形DEFG的面積為那么y關(guān)于x的函數(shù)

關(guān)系式是.（不需寫出x的取值范圍）.

22.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2,0）,點(diǎn)伏0,1）,過點(diǎn)4的直線/垂直于線段AB,點(diǎn)尸是

直線/上在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)戶作PC，x軸，垂足為C,把△ACP沿AP翻折180。，

使點(diǎn)C落在點(diǎn)。處，若以A,D,尸為頂點(diǎn)的三角形與AABP相似，則滿足此條件的點(diǎn)尸的

坐標(biāo)為?

23.如圖，矩形A8CD中，45=4,8c=8,E為CO的中點(diǎn)，點(diǎn)尸、。為8c上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

且PQ=3,當(dāng)CQ=時(shí)，四邊形APQE的周長(zhǎng)最小.

24.如圖，在矩形Q4HC中，0c=8,。4=12,8為C”中點(diǎn)，連接A8.動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)。出

發(fā)沿。4邊向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)沿A8邊向點(diǎn)5運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度

都是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，連接CM,CN,MN,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(秒)(0<f<10).貝"=

時(shí)，ACMN為直角三角形

三、解答題

25.已知：如圖，四邊形ABCD,AB〃DC,CB1AB,AB=16cm,BC=6cm,CD=8cm,動(dòng)

點(diǎn)P從點(diǎn)D開始沿DA邊勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿AB邊勻速運(yùn)動(dòng)，它們的運(yùn)動(dòng)速

度均為2cm/s.點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，以QA、QP為邊作平行四邊形AQPE,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

為t(s),0<t<5.

根據(jù)題意解答下列問題：

(1)用含t的代數(shù)式表示AP；

(2)設(shè)四邊形CPQB的面積為S(cm2),求$與t的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)QPLBD時(shí)，求t的值；

(4)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t,使點(diǎn)E在NABD的平分線上？若存在，求出t

的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

26.如圖，中，ZACB=90°,AC=6cm,8c=8cm,點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)，沿邊BAfAC

以2cm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)。作。E〃8C,交邊AC(或A8)于點(diǎn)區(qū)設(shè)點(diǎn)。的

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為代)，△口)￡的面積為S(cn?).

(1)當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)A重合時(shí)，求/的值；

(2)求S關(guān)于r的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量f的取值范圍.

27.如圖，在AABC中，BA=BC=20cm,AC=30cm,點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿A8以4aw/s的

速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿C4以3c機(jī)/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到

達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs.

(1)當(dāng)x為何值時(shí)，PQ//BC2

(2)AAP。與能否相似？若能，求出AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由.

28.如圖，在矩形ABC。中，AB=8cm,BC=16cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A沿邊AB向點(diǎn)8以lcm/s的

速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)8沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，有一點(diǎn)到終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)即停

止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.

(l)r為何值時(shí)，△P8Q的面積為12cm2；

(2)若PQ_LOQ,求f的值.

參考答案

1.B

【分析】

由圖象可知：AE=3,BE=4,根據(jù)勾股定理可得AB=5,當(dāng)x=6時(shí)，點(diǎn)P在BE上，設(shè)此時(shí)

的PQ為PQ，先求出P'E的長(zhǎng)，再根據(jù)△P'Q'E~AAEB,求出P'Q'的長(zhǎng)，即PQ的長(zhǎng).

【詳解】

解：由圖象可知：

AE=3,BE=4,ZA￡B=90°,

-,.AB=732+42=5

當(dāng)x=6時(shí)，點(diǎn)P在BE上，設(shè)此時(shí)的PQ為P'Q'如圖

圖1

止匕時(shí)P'E=4-(7-x)=x-3=6-3=3

VABCD是矩形，

/.AB//CD

/.^QEP=ZABE

?：NAEB=NPQ'E=90。

：./XPQE~AAEB

.PQEP

.PQ=3

，u~3~~5

9

???也飛

即PQ=^9

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查的是動(dòng)點(diǎn)問題函數(shù)圖象，涉及到三角形相似，勾股定理和矩形的性質(zhì)，解

題關(guān)鍵是深刻理解動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖象，了解圖象中關(guān)鍵點(diǎn)所代表的實(shí)際意義，理解動(dòng)點(diǎn)的完整

運(yùn)動(dòng)過程.

2.D

【分析】

先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到/ECD=/DCF=45。，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到CE=DE,

ZECD=ZEDC=45°,進(jìn)而得到NCED=90。，證得DE〃CB,所以△AEDs/\ACB,設(shè)

ED=x,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例列式求出x即可.

【詳解】

：CD平分NACB,；.NECD=NDCF=45。，：MN垂直平分CD,；.CE=DE,/.ZECD

=/EDC=45°,.,.NCED=90°,又：/ACB=90°,；.DE〃CB,.,.△AED^AACB,

荒=器，設(shè)ED=x，則EC=x,AE=4—x,...三=],解得x=],故選D.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線，垂直平分線，相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明

DE〃CB.

3.C

【詳解】

解析:在RSABC中,

AC=y/AB2+BC2=A/92+122=15，

取PQ中點(diǎn)M,在RSPEQ中,

PQ=2EM,

當(dāng)EM_LAC時(shí)，EM最小，

,/ZEMC=ZABC=90°,

ZECM=ZACB,

.,.△EMC^AABC

.EMEC

-AC

EM4

E[J—=—

915

.\EM=y,

?T

故選：C

4.C

【分析】

根據(jù)平行線和角平分線的性質(zhì)得到相等的角，然后利用等角對(duì)等邊，得出BP=PM,從而用

其它的線段長(zhǎng)表示出EP+BP,再根據(jù)線段CQ和CE的關(guān)系，得出EQ和CQ的關(guān)系，再綜合

根據(jù)平行線得出三角形相似得出EM和BC的關(guān)系，從而解決EP+BP的值.

【詳解】

如圖，延長(zhǎng)8Q交射線EF于

F分另IJ是AB、AC的中點(diǎn)，

：.EF//BC,

：.ZM=ZCBM,

??,8。是NC8尸的平分線，

:.NPBM=NCBM,

；.NM=NPBM,

：.BP=PM,

：.EP+BP=EP+PM=EM,

?；CQ=；CE,

：?EQ=2CQ,

由EF//BC得，△MEQs^BCQ,

.EM_EQ

"^BC~"CQ

=2,

:.EM=2BC=2x6=12,

g|JEP+BP=12.

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了了平行線和角平分線的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)

鍵是利用平行線和角平分線的性質(zhì)得出相等的角，根據(jù)題意判定量三角形相似.

5.C

【詳解】

試題分析：易證△ABES/SECF,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求解.

解：；NBAE和NEFC都是NAEB的余角.

AZBAE-ZFEC.

.,.△ABE^AECF

那么AB：EC=BE：CF,

VAB=1,BE=x,EC=1-x,CF=1-y.

AAB?CF=EC?BE,

即lx(1-y)=(1-x)x.

化簡(jiǎn)得：y=x2-x+l.

故選C.

考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式.

6.B

【解析】

【分析】

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，由題意可知有兩種相似形式，△AQEs/viBC和

可求運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是3秒或4.8秒.

【詳解】

根據(jù)題意得：設(shè)當(dāng)以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是x秒，①

若△A￡>ES/\A8C,則AO：A8=AE：AC,即x：6=(12-20：12,解得：x=3；

②若△A￡>Es/\AC8,則A。：AC=AE：AB,即x：12=(12-2x)：6,解得：x=4.8.

所以當(dāng)以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是3秒或4.8秒.

故選B.

【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題時(shí)要注意此題有兩種情況，不要漏解；還要注

意運(yùn)用方程思想解題.

7.C

【分析】

由于/ABC=/PBF=90。，同時(shí)減去/PBC后可得到/ABP=NCBF,若以點(diǎn)B,M,C為頂

點(diǎn)的三角形與△ABP相似，那么必有：AB：PB=BC：BM或AB：BP=BM：BC,可據(jù)此求

得BM的值.

【詳解】

???四邊形ABCD是正方形，

.,.ZABC=90°,AB=BC=5；

XVZPBF=90°,

/.ZABP=ZCBF=90°-ZCBP；

若以點(diǎn)B,M,C為頂點(diǎn)的三角形與△ABP相似，

EI不43BM5BM25

則：①=-ZTT，即nrl彳=-L-?解得BM=—;

rnDCS33

②生蹤艮喘粉解得BM=3；

故選c.

【點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是應(yīng)注意相似三角形的對(duì)

應(yīng)頂點(diǎn)不明確時(shí)，要分類討論，不要漏解.

8.B

【分析】

2

由C0//AP得到△CQH^/XAPH,得?！保篜H=2：3,進(jìn)而得QH=,PQ,再求PQ的最小值，

即當(dāng)PQ與菱形ABCD的高相等時(shí)PQ最小，根據(jù)面積求出菱形的高即PQ的最小值，從而

得出。”的最小值.

【詳解】

解：在菱形ABC。中，CDMAB,

：.CQ//AP,

:.XCQHsXAPH；

設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為r（秒），貝UCQ=2f,AP=3t,

.QH_=CQ=2t_=2

"PH~AP~3t~3'

：.QH=^PQ；

當(dāng)PQ_LCD時(shí)，即當(dāng)P。與菱形ABC。的高相等時(shí)，P。的長(zhǎng)最小，

設(shè)菱形ABC。的高為〃，

ZCOD=900,DO=^BD=S,C0=^AC=6,

CD=yjDCP+CO1=^82+62=10.-

10/?=yxl2x6,

48

解得/?=y,

故選：B.

【點(diǎn)撥】此題應(yīng)用的知識(shí)有菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理及平行線間的

距離等，方法主要是面積法，難度中等.

9.B

【分析】

根據(jù)角平分線、中點(diǎn)及平行線的性質(zhì)，得出FD=ED=FB,設(shè)FD=ED=FB=x,再根據(jù)

△CEF-ACAB,得出x的值，根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】

解：平分NABC

AZABD=ZFBD

'：EF//AB

ZFDB=ZABD

.\ZFDB=ZFBD

???△FBD為等腰三角形

???FB=FD

???。為線段EF的中點(diǎn)

AFD=ED

.'.FD=ED=FB

設(shè)FD=ED=FB=x

EF=2x

*：EF//AB

.'.△CEF^ACAB

.CFEF

CBAB

.CB-FBEF

CBAB

解得：X=4￡0

4064

.\CF=8-BF=8—

1313

?八4080

EF=2x——=

1313

VZC=90°,AB=10,BC=8

；?AC=7AB2-BC2=>/102-82=6

在RSCEF中

4830

.,.AE=AC-CE=6—=

13

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線、中點(diǎn)及平行線的性質(zhì)，也考察了相似三角形的性質(zhì)，勾

股定理的應(yīng)用；解題關(guān)鍵是熟練掌握角平分線、平行線以及相似三角形的性質(zhì)以及利用方程

解決實(shí)際問題.

10.D

【分析】

（1）用平行線分線段成比例定理；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，化簡(jiǎn)分式可得;

（3）要利用二次函數(shù)最值即可求解.

【詳解】

解：（1）：CD〃BE,

,.△CND^AENB,

=史①，

NEBE

ZCE//AD,

'.△AMD^AEMC,

?MECE)

??等腰直角△ACD和ABCE,

\CD=AD,BE二CE,

CNAM

~NE~~ME

???MN〃AB；

(2)VCD#BE,

.'.△CND^AENB,

.CNDN

^~NE~~NB'

CNDN

設(shè)VL——==k,

NENB

則CN=kNE,DN=kNB,

VMN/7AB,

.MN_NENE1

**AC-CE-NE+CN_1+7

MNDNDNk

~BC~^B-DN+NB-I7T，

.MNMN、

??-<----=1,

ACBC

.1-11

??-1:

MNACBC

ACx3cACxBC

AMN=

AC+BCAB

設(shè)AB=a(常數(shù))，AC=x,

則MN=，x(a-x)=--

aa

...正確的結(jié)論有3個(gè),

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握相似三角形的判定

與性質(zhì).

11.A

【詳解】

試題分析：:DELAC于點(diǎn)E,ZC=90°,

；.ED〃BC,

.,.△AED^AACB,

.AEED

"~AC~'BC'

；AC=3,BC=4,

4

AED=-AE；

3

3

同理可得DF=—BF；

4

4343

J矩形DECF的周長(zhǎng)C為=2(ED+DF)=2(-AE+-BF)=2[-AE+-(BC-CF)]

3434

43341

=2[-AE+-x4—x-AE]=2(3+-AE),

34433

???AE是從0到3逐漸增大，所以DECF的周長(zhǎng)也逐漸增大.

故選A.

考點(diǎn)：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.矩形的性質(zhì).

12.B

【分析】

QPOF

設(shè)G”交4。于K,AC與軸交于點(diǎn)P.由△OPEsAEHK,推出一=—,推出OP?EK

HEEK

=HE-OE,易證四邊形。MKE是平行四邊形，推出EK=OM,推出0戶。加="4?！?由矩

形ABC。的面積為定值，推出。尸0M是定值，推出HE，0E是定值，由矩形EFG”的面積

=2HE?E0,推出矩形EFG”的面積是定值.

【詳解】

如圖，設(shè)G”交4)于K,與軸交于點(diǎn)尸.

:N0EP+NHEK=9Q。,NHEK+NHKE=9Q°,

：.NHKE=ZOEP,

"：ZOPE=ZH=90°,

:.△OPEsAEHK,

.OP_OE

??=,

HEEK

OP?EK=HE*OE,

易證四邊形OMKE是平行四邊形，

：.EK=OM,

：.OP-OM=HE-OE,

?.?矩形48CQ的面積為定值，

是定值，

是定值，

:矩形EFGH的面積=2HE?E0,

...矩形EFGH的面積是定值.

故選8.

【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

13.6.

【詳解】

「RSABC中，ZBAC=90°,AB=AC=16cm,AD為BC邊上的高,

AD=BD=CD=8^/2cm.

又?.?AP=0r，AS.=-APBD=-->/2tS>j2=St,PD=8亞一五t.

22

ppAPpp5t

???PE〃BC,/.AAPE^AADC.—=—,CP—==^-==>PE=V2t.

DCAD8A/28A/2

PE=AP=yf2t.

2

S2=PDPE=(8^->/2t)-V2t=16t-2t.

:

VSI=2S2,.,.8t=2（16t-2t）,解得：t=6.

14.2.4

【分析】

根據(jù)已知得當(dāng)AP_LBC時(shí)，AP最短，同樣AM也最短，從而不難根據(jù)相似比求得其值.

【詳解】

連結(jié)AP,

在△ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,

.?.NBAC=90。，

VPE±AB,PF_LAC,

???四邊形AFPE是矩形，

；.EF=AP.

：M是EF的中點(diǎn)，

.*.AM=gAP,

根據(jù)直線外一點(diǎn)到宜線上任一點(diǎn)的距離，垂線段最短，即APJ_BC時(shí)，AP最短，同樣AM

也最短，

.,.當(dāng)AP_LBC時(shí)，△ABP^ACAB,

AAP：AC=AB：BC,

AAP：8=6：10,

；.AP最短時(shí)，AP=4.8,

當(dāng)AM最短時(shí)，AM=AP+2=2.4.

故答案為2.4

【點(diǎn)撥】解決本題的關(guān)鍵是理解直線外一點(diǎn)到直線上任一點(diǎn)的距離，垂線段最短，利用相似

求解.

15.4:25或9:25

【分析】

分/㈤皮>=2：3、AE：￡?=3：2兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】

解：①當(dāng)AE：￡?=2：3時(shí)，

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,AE：80=2:5,

②當(dāng)E￡>=3：2時(shí)，

同理可得，％"%?"=(9=9：25,

故答案為4：25或9:25.

【點(diǎn)撥】考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比

等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.

,,240

16.

17

【分析】

作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E,過E作EPLBC于P,交4。于D則AE=AB=S,此時(shí)，BD+DP

的值最小，BD+DP的最小值=改，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】

作B關(guān)于4c的對(duì)稱點(diǎn)E,過E作EPJ_BC于尸，交4。于。，

則AE=A8=8,此時(shí)，BD+DP的值最小，8￡>+。尸的最小值=EP,

；N84C=N8PE=90°,NC=NE,

△ABCs/\PBE,

,BEPE

?就一就

.16PE

,,—―----

1715

240

~n~

故答案為：得240

【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形的動(dòng)點(diǎn)問題與相似三角形的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概

念是解題關(guān)鍵.

17.2&或逑.

3

【分析】

分AABFSAFDE和AABFSA￡D尸兩種情形求解即可.

【詳解】

依題意可得：BD=yjAB2+AD2=^42+42=472>

設(shè)3尸=》，則有力F=40-x;

①當(dāng)△A3尸s^FDE時(shí)，（如圖I）

由誓=黑得逑H=解得…=電=2應(yīng)：

BABF4x

②當(dāng)AABFSA￡￡>尸時(shí)，（如圖2）

由史="得越二=2,

BFBAx4

解得：x=—：

3

綜上所述，8尸的值為2夜或逑.

3

故答案為：2母或也.

3

【點(diǎn)撥】本題考查了正方形背景下的三角形相似，熟練掌握三角形相似的判定定理，靈活運(yùn)

用分類思想求解是解題的關(guān)鍵.

18.①②③

【分析】

山AB=AC可知/B=NC,再由/ADE=/B可判斷①；由三角形外角和定理可得

ZADB=ZDAC+ZC,/DEC=/DAC+/ADE,而/B=/C=/ADE=/a,再由AB=AC且

4

cosa=g可求解出BC=16,則CD=I6-6=IO=AB,據(jù)此可判斷②；由上問可知NADB=NDEC,

分NDEC=90。和/EDC=90。這兩種情況進(jìn)行求解即可判斷③;若CD2=CE?CA,則三=空，

CDCA

再由/C是公共角，可得△ADEsAACD,而根據(jù)題干條件并不能得到該相似結(jié)論，據(jù)此

可判斷④.

【詳解】

解：由AB=AC可知NB=NC,再由/ADE=NB可知△ADEs^ACD,故①正確；由三角

形外角和定理可得NADB=NDAC+NC,NDEC=NDAC+NADE,而NB=NC=/ADE,故

4

/ADB=/DEC.由AB=AC=10ftcosa=-,uj"求解BC=16,則CD=16-6=10=AB.綜合上述，

由/B=NC、/ADB=NDEC、CD=AB可證明△ABD^ADCE；由上問可知NADB=NDEC,

當(dāng)/DEC=90。時(shí)，/ADB=90。，則D點(diǎn)為BC中點(diǎn)，BD=8.當(dāng)/EDC=90。時(shí)，，貝lJ/BAD=90。，

貝ljBD=10x3=g,故③正確；若CD2=CE?CA,則要=冬，再由NC是公共角，可得

△ADE-AACD,而根據(jù)題干條件并不能得到該相似結(jié)論，故④錯(cuò)誤；

故答案為①②③.

【點(diǎn)撥】本題綜合考查了三角形全等和相似，對(duì)其判定方法要非常熟悉.

19.②③

【分析】

①由條件可知AB=24,則AB的中點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可計(jì)算出

點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)；②當(dāng)△OAB的面積最大時(shí)，因?yàn)锳B=24,所以AOAB為等腰直角三

角形，即OA=OB,可求出最大面積為144：③當(dāng)O、E、D三點(diǎn)共線時(shí)，0D最大，過點(diǎn)D

作DF_Ly軸于點(diǎn)F,可求出OD=25,證明ADFA^AAOB和4DFOS^BOA,可求出DF

長(zhǎng)，則D點(diǎn)坐標(biāo)可求出.

【詳解】

解：??,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，AB=24,

???AB的中點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)O為圓心，12為半徑的一段圓弧，

,/ZAOB=90°,

Qf)X1X

...點(diǎn)E經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為二:=6式,故①錯(cuò)誤;

180

當(dāng)AOAB的面積最大時(shí)，因?yàn)锳B=24,所以△OAB為等腰直角三角形，即OA=OB,

YE為AB的中點(diǎn)，

???5AOfi=^x24xl2=144,故②正確；

如圖，當(dāng)O、E、D三點(diǎn)共線時(shí)，OD最大，過點(diǎn)D作DFLy軸于點(diǎn)F,

.,.OD=DE+OE=13+12=25,

設(shè)DF=x,

；四邊形ABCD是矩形，

??.ZDAB=90°,

?.ZDFA=ZAOB,

ZDAF=ZABO,

.'.△DFA^AAOB

?E為AB的中點(diǎn),ZAOB=90°,

.-.AE=OE,

.?.ZAOE=ZOAE,

/.△DFO^ABOA,

解得、=等4一誓舍去‘

D,故③正確.

故答案為②③.

【點(diǎn)撥】本題考查四邊形綜合題、直角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等

知識(shí).解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題.

20.1或7

【分析】

當(dāng)P點(diǎn)在A8上，如圖1,先根據(jù)等角的余角相等得到則可證明

ADPD

RtABPQ,利用相似比得到而=而=1,則P8=A￡>=3,然后計(jì)算AB-P8

即可.當(dāng)尸點(diǎn)在43的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2,同樣方法得到RSAOPsRs8PQ,利用相似

比得到P8=AO=3,然后計(jì)算AB+PB即可.

【詳解】

解：當(dāng)尸點(diǎn)在邊A8上，如圖1,

???四邊形A8CO為矩形，

：.AD=BC=3fNA=N8=90。，

?；PDUQ,

???NDPQ=90。，

VZAPD+ZADP=90°fZAPD+ZBPQ=90°f

???/ADP=/BPQ,

ARtAADP^RtABPQ,

.AD_PD

""~BP~~PQJ，

：.PB^AD=3,

：.AP=AB-PB=4-3=1.

當(dāng)尸點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2,

同樣方法得到RtAAOPsRsBPQ,

.AD_PD

''~BP~~PQ葭

：.PB^AD=3,

：.AP=AB+PB=4+3=1.

綜上所述，AP的長(zhǎng)度為1或7.

故答案為1或7.

【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形

中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般

方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形，靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)表示線段之間的關(guān)系；也

考查了矩形的性質(zhì).

3

21.y=——x2+\2x；

2

【分析】

根據(jù)題意和三角形相似，可以用含x的代數(shù)式表示出。G,然后根據(jù)矩形面枳公式，即可得

到y(tǒng)與X的函數(shù)關(guān)系式.

【詳解】

解：???四邊形DEFG是矩形，BC=12.BC上的高AH=8,DE=x,矩形OEFG的面積為

：.DG//EF,

??.AADGSAABC,

.8-x_DG

??=,

812

得DG=3(8；x),

...…自―、⑵,

22

故答案為：y=--x+I2x.

【點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的

關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

22.（1」）或（4,4）

【分析】

求出直線1的解析式，證出AAOBsaPCA,得出段=坐=1,設(shè)AC=m（m>0）,貝U

AOPC2

AnAC1

PC=2m,根據(jù)APCAgZXPDA,得出一=—=一，當(dāng)APADS/^PBA時(shí)，根據(jù)

PDPC2

黑=普=；,AP=2區(qū)m?+（2"i）2=（2非）2,得出m=2,從而求出P點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,4）、

iL/iZ

（。,⑷，若APADS^PA,得出pA式A而n可i求出吁冬R從而得出川+（2人

求出初=;,即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)為（I』

【詳解】

；點(diǎn)A(2,0),點(diǎn)B(0,1),

??直線AB的解析式為y=-；x+1

.?直線1過點(diǎn)A(4,0),且1_LAB,

??直線1的解析式為：y=2x-4,ZBAO+ZPAC=90°,

,?PC_Lx軸,

??ZPAC+ZAPC=90°,

??ZBAO=ZAPC,

/ZAOB=ZACP,

,.△AOB^APCA,

.BOAO

，a~CA~~PC9

.BOAC\

??-----=------~.

AOPC2

設(shè)AC=m(m>0),貝ijPC=2m,

VAPCA^APDA,

???AC=AD,PC=PD,

,ADAC\

??==一?

PDPC2

如圖1：當(dāng)^PAD^APBA時(shí),

nd。PD

則一=—，

BAPA

nilADBA1

PDPA2

,;AB=fE+22=5

；.AP=2石,

...>+(2㈤2=(26)2,

；.m=±2,(負(fù)失去)

/.m=2,

當(dāng)m=2時(shí)，PCM,OC=4,P點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,4),

如圖2,若APADsaBPA,

PAAD1

貝nillj—=—=-，

BAPD2

PA=-AB=—,

22

m=±y,(負(fù)舍去)

.1

..m=—,

2

當(dāng)m=L時(shí)，PC=1,0C=—,

22

，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(g,1),

故答案為：P(4,4),P(1,1).

【點(diǎn)撥】此題考查了一次函數(shù)的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形和全等三角形的判定與性

質(zhì)、勾股定理、一次函數(shù)等，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意點(diǎn)P在第一象限有兩個(gè)點(diǎn).

23.|

【分析】

要使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小.AE與PQ長(zhǎng)均為定值，只需AP+QE最短即可，為此將AP

向右平移3,使P點(diǎn)與Q點(diǎn)從何，A點(diǎn)平移到A，，過A作BC對(duì)稱點(diǎn)A",連結(jié)AA"交BC

于F,由對(duì)稱性A，Q=A"Q,AQ"+QE最短,此時(shí)A"、Q、E三點(diǎn)共線，可推得△AFQ^AECQ,

AFFQ2

則葭=&=rCQ可求.

【詳解】

在4）上截取=PQ=3,作A'關(guān)于8C的對(duì)稱點(diǎn)A"對(duì)稱中心記為F。連接"E交BC于

點(diǎn)Q,此時(shí)四邊形4尸。后的周長(zhǎng)最小,

.?./A"=NQEC,NA"QF=NEQC,

VCE=-CD=2,AAC=BF=3,

2

\C尸=8-3=5,

\△CEQ~AFA“Q,

\CQ--C--E-—^―T

QFAT2'

/.FQ=2CQ,FQ+CQ=CF=5,

\CQ=gcF=g.

故答案為：

【點(diǎn)撥】本題考查四邊形周長(zhǎng)最短問題，由AE與PQ長(zhǎng)為定值，利用平移AP,將點(diǎn)P與

點(diǎn)Q重合,A點(diǎn)平移到A',過A，作BC對(duì)稱點(diǎn)A",A，A"交BC于F,由對(duì)稱性知AQ=A"Q,

A"、Q、E三點(diǎn)共線時(shí)最短，利用△AFQS/\ECQ性質(zhì)解決FQ=2CQ,構(gòu)造方程解決問題.

g或41■-衣I

24.

4

【分析】

△CMN是宜角三角形時(shí)，有三種情況，一是NCMN=90。，二是/MNC=90。，三是NMCN=90。,

然后進(jìn)行分類討論求出t的值.

【詳解】

解:

過點(diǎn)N作OA的垂線，交OA于點(diǎn)F,交CH于點(diǎn)E,如圖1,

TB點(diǎn)是CH的中點(diǎn)，

.'.BH=-CH=-OA=6,

22

VAH=OC=8,

???由勾股定理可求：AB=10,

VAN=t,

ABN=10-t,

VNE/7AH,

.'.△BEN^ABHA,

.BNEN

.10—EN

10~~T'

?匚z4（1。7）

..EN=----------

5

4

AFN=8-EN=-r,

當(dāng)NCMN=90。，

3

山勾股定理可求：AF=-r,

VOM=t,

AAM=12-t,

38

/.MF=AM-AF=12-t-

55

VZOCM+ZCMO=90°,ZCMO+ZFMN=90°,

.'.ZOCM=ZFMN,

VZO=ZNFM=90°,

.'.△COM^AMFN,

?PCOM

8_J_

當(dāng)NMNO90。,

4

FN=-r

5

4

AEN=8—r

5

Q

VMF=12--f

5

3

???CE=OF=OM+MF=12-T

5

VZMNF+ZCNE=90°,

ZECN+ZCNE=90°,

.'.ZMNF=ZECN,

ZCEN=ZNFM=90°,

/.△CEN^ANFM,

.CEEN

??麗一贏’

34

\2--t8--r

?5_5

—t12—t

55

.41±>/24T

??t=-------------,

4

V0<t<5,

.41-衣7

??t=------:

當(dāng)NNCM=90°,

由題意知：此情況不存在，

綜上所述，4CMN為直角三角形時(shí)，t=J或41一同

24

【點(diǎn)撥】本題主要考查r相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，有一定的綜合性.

25.(1)AP=10-2t；(2)S=-t2-121+78；(3)當(dāng)1=三$時(shí)，PQ1BD；(4)存在.當(dāng)t="

53618

s時(shí)，點(diǎn)E在NABD的平分線.理由見解析.

【分析】

(1)如圖作DH_LAB于H則四邊形DHBC是矩形，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)即可解決

問題；

(2)作PN_LAB于N.連接PB,根據(jù)S=SAPQB+SABCP，計(jì)算即可;

(3)當(dāng)PQ_LBD時(shí)，ZPQN+ZDBA=90°,ZQPN+ZPQN=90°,推出NQPN=NDBA,推

出tan/QPN淺咯，由此構(gòu)建方程即可解解題問題；

FN5

(4)存在,連接BE交DHTK,作KM1BD于M.當(dāng)BE平分NABD時(shí)，△KBH^AKBM,

Q

推出KH=KM,BH=BM=8,設(shè)KH=KM=x,在RsDKM中，(6-x)2=22+x2,解得x=9,