數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第35課時(shí)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法第六單元數(shù)列01知識(shí)體系02考情回顧03課前自學(xué)目錄04課堂導(dǎo)學(xué)【單元概述】本單元學(xué)習(xí)數(shù)列的概念和表示方法，并研究?jī)深?lèi)特殊的

數(shù)列——等差數(shù)列和等比數(shù)列，探索它們的取值規(guī)律，掌握它們的通項(xiàng)

公式、前

n

項(xiàng)和公式，并運(yùn)用它們解決一些問(wèn)題.

年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷適應(yīng)性卷2023第7題數(shù)列與邏

輯第20題數(shù)列的通

項(xiàng)公式與求和公

式第8題等比數(shù)列的前

n

項(xiàng)和第18題數(shù)列的通項(xiàng)公式、前

n

項(xiàng)和及數(shù)列不等式的證明四

省第15題數(shù)列的遞推關(guān)系第19題數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式及不等式年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷適應(yīng)性卷2022第17題通項(xiàng)公

式、前

n

項(xiàng)和及

數(shù)列不等式的證

明第17題等差數(shù)列與等比數(shù)列2021第17題數(shù)列通

項(xiàng)、分組求和第17題數(shù)列的通項(xiàng)公式、前

n

項(xiàng)和及數(shù)列不等式八

省第17題等比數(shù)列的證明及通項(xiàng)公式年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷適應(yīng)性卷2020第14題公共項(xiàng)的

前

n

項(xiàng)和第18題

通項(xiàng)公式的前

n

項(xiàng)和第15題公共項(xiàng)的前

n

項(xiàng)和第18題通項(xiàng)公式、前

n

項(xiàng)和山

東第17題等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量及數(shù)

列不等式高考預(yù)測(cè)1.重點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式.2.熱點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式.3.關(guān)注點(diǎn)：數(shù)列與不等式的交匯.【課時(shí)目標(biāo)】了解數(shù)列的概念；了解數(shù)列的表示方法（表格法、圖象

法、通項(xiàng)公式法、遞推公式法）；了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù).【考情概述】數(shù)列是高考的必考內(nèi)容之一，既以選擇題、填空題的形

式進(jìn)行考查，也以解答題的形式進(jìn)行考查，常從函數(shù)的角度考查數(shù)列的

周期性和單調(diào)性等，難度中等.

知識(shí)梳理1.數(shù)列的概念（1）

數(shù)列的定義：按照

?排列的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列，數(shù)列

中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的

?.（2）

數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：數(shù)列{

an

}是從

?（或它的有限

子集{1，2，…，

n

}）到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號(hào)

n

，對(duì)應(yīng)的函

數(shù)值是數(shù)列的第

n

項(xiàng)

an

，記為

an

＝

f

（

n

）.也就是說(shuō)，當(dāng)自變量從1開(kāi)

始，按照從小到大的順序依次取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值

f

（1），

f

（2），…，

f

（

n

），…就是數(shù)列{

an

}.確定的順序項(xiàng)正整數(shù)集N*

（3）

數(shù)列的一般形式為

a

1，

a

2，

a

3，…，

an

，…，簡(jiǎn)記為{

an

}，其中

a

1稱(chēng)為數(shù)列{

an

}的第1項(xiàng)（或稱(chēng)為

），

a

2稱(chēng)為第2項(xiàng)，…，

an

稱(chēng)為第

n

項(xiàng).首項(xiàng)2.數(shù)列的表示方法（1）

表格法：用表格來(lái)表示數(shù)列{

an

}的第

n

項(xiàng)與序號(hào)

n

之間的關(guān)系，

如下表所示：

n

123…

n

…

an

a

1

a

2

a

3…

an

…（2）

圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中，用坐標(biāo)為（

n

，

an

）的一系列的

點(diǎn)表示數(shù)列.數(shù)列的圖象是

?.一群孤立的點(diǎn)（3）

通項(xiàng)公式法：如果數(shù)列{

an

}的第

n

項(xiàng)

an

與它的

?之間的

對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公

式.數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)以正整數(shù)集N*或它的有限子集{1，2，

3，…，

n

}為定義域的函數(shù)的解析式.（4）

遞推公式法：如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用

一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.序號(hào)

n

3.數(shù)列的分類(lèi)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型滿(mǎn)足條件按項(xiàng)數(shù)分類(lèi)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)

?無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)

?按項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)

系分類(lèi)遞增數(shù)列

an

＋1

an

遞減數(shù)列

an

＋1

an

常數(shù)列

an

＋1＝

an

＝

c

（常數(shù)）有限無(wú)限＞＜4.數(shù)列的前

n

項(xiàng)和把數(shù)列{

an

}從第1項(xiàng)起到第

n

項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱(chēng)為數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)

和，記為

Sn

，即

Sn

＝

?.a

1＋

a

2＋…＋

an

常用結(jié)論1.在數(shù)列{

an

}中，若

ai

最大，

i

≥2，

i

∈N*，則

；若

ai

最小，則

?.

2.若數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和為

Sn

，通項(xiàng)公式為

an

，則

an

＝

?.

回歸課本1.判斷：（1）

（RA選二P3定義改編）數(shù)列是有規(guī)律的一列數(shù).

（

?

）（2）

（RA選二P5練習(xí)第1（2）題改編）當(dāng)自變量

x

依次取1，2，

3，…時(shí)，函數(shù)

f

（

x

）＝2

x

＋1的值構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式為

an

＝2

n

＋1.

（

√

）（3）

（RA選二P8習(xí)題4.1第2（2）題改編）－10是數(shù)列{（－1）

n

＋1

（

n

2＋1）}中的項(xiàng).

（

?

）

?√?√2.（RA選二P8練習(xí)第2（1）題改編）在數(shù)列{

an

}中，若

a

1＝1，

an

＋1＝

an

＋2

n

，則

a

4等于（

C

）A.8B.7C.15D.313.（RA選二P5例3改編）如果數(shù)列{

an

}的通項(xiàng)公式為

an

＝

n

2－8

n

＋

15，那么3是這個(gè)數(shù)列的（

C

）A.第2項(xiàng)B.第6項(xiàng)C.第2項(xiàng)或第6項(xiàng)D.不是數(shù)列{

an

}中的項(xiàng)CC

A.

是第3項(xiàng)B.{

an

}是遞增數(shù)列C.

an

≥

D.

an

＜1BCD5.（RA選二P8習(xí)題4.1第3題改編）數(shù)列{

an

}如下：

觀察數(shù)列{

an

}的規(guī)律，則

a

4的值可能為

?，此

時(shí)數(shù)列{

an

}的一個(gè)通項(xiàng)公式為

an

＝

?.

考點(diǎn)一

數(shù)列的表示例1（1）

（RA選二P6例4改編）如圖所示的一系列三角形圖案稱(chēng)為謝

爾賓斯基三角形，在所給的四個(gè)三角形圖案中，涂色的三角形的個(gè)數(shù)依

次構(gòu)成數(shù)列{

an

}的前4項(xiàng)，則{

an

}的通項(xiàng)公式可以是（

A

）A.

an

＝3

n

－1B.

an

＝2

n

－1C.

an

＝3

n

D.

an

＝2

n

－1A解：因?yàn)橥可娜切蔚膫€(gè)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{

an

}的前4項(xiàng)，所以結(jié)合題

圖可知，

a

1＝1＝30，

a

2＝3＝31，

a

3＝31×3＝32，

a

4＝32×3＝33.所以

{

an

}的通項(xiàng)公式可以是

an

＝3

n

－1.

總結(jié)提煉

由前幾項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式的具體策略（1）

觀察：①

分式中分子、分母的特征；②

相鄰項(xiàng)的變化特征；③

各項(xiàng)的符號(hào)特征；④

對(duì)于分式可以分別考慮分子、分母，或?qū)ふ曳?/p>

子、分母之間的關(guān)系.（2）

對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可用（－1）

k

或（－1）

k

＋1，

k

∈N*

處理.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]

A.①③B.②④C.②③D.②③④B

2.（多選）數(shù)列1，2，1，2，…的通項(xiàng)公式可能為（

ACD

）A.

an

＝

B.

an

＝

C.

an

＝

D.

an

＝

ACD

考點(diǎn)二

數(shù)列的通項(xiàng)公式與項(xiàng)

9

（2）

（RA選二P9習(xí)題4.1第5題改編）傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)

學(xué)家用沙粒和小石子來(lái)研究數(shù).他們根據(jù)沙粒或小石子所排列的形狀把

數(shù)分成許多類(lèi)，如圖中第一行的1，3，6，10稱(chēng)為三角形數(shù)，第二行的

1，5，12，22稱(chēng)為五邊形數(shù)，則三角形數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列的第7項(xiàng)

為

，五邊形數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列{

an

}的通項(xiàng)公式為

an

＝

?.28

總結(jié)提煉

1.數(shù)列的通項(xiàng)公式的兩個(gè)作用：（1）

求出數(shù)列中任意一項(xiàng)的值；

（2）

判斷一個(gè)數(shù)是否為該數(shù)列中的項(xiàng).2.根據(jù)項(xiàng)的變化，找出相鄰項(xiàng)的變化規(guī)律，寫(xiě)出遞推關(guān)系，進(jìn)而求出

通項(xiàng)公式.

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]3.傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家在沙灘上研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，把

1，3，6，10，…叫做三角形數(shù)；把1，4，9，16，…叫做正方形數(shù).下

列各數(shù)中，既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的為（

A

）A.36B.49C.64D.81A

4.如圖，第

n

個(gè)圖形是由正

n

＋2邊形“擴(kuò)展”而來(lái)（

n

＝1，2，

3，…），其中第1個(gè)圖形共有12個(gè)頂點(diǎn)，第2個(gè)圖形共有20個(gè)頂

點(diǎn)，…，則第

n

個(gè)圖形共有

個(gè)頂點(diǎn).解：由題意，得第

n

個(gè)圖形含有正

n

＋2邊形的（

n

＋2）個(gè)頂點(diǎn)以及每

條邊多出來(lái)的（

n

＋2）個(gè)頂點(diǎn)，所以第

n

個(gè)圖形共有

n

＋2＋（

n

＋2）2＝（

n

2＋5

n

＋6）個(gè)頂點(diǎn).（

n

2＋5

n

＋6）考點(diǎn)三

數(shù)列的函數(shù)屬性考向1

數(shù)列的周期性

A.－2B.－

C.

D.3D

（2）

已知在數(shù)列{

an

}中，

a

1＝1，

a

2＝2，

an

·

an

＋2＝

an

＋1（

n

∈N*），則

a

1

a

2

a

3

a

4…

a

2024＝

?.2

總結(jié)提煉

1.判斷周期數(shù)列的一般方法（1）

利用三角函數(shù)的周期性，即所給通項(xiàng)公式或遞推公式中含有三

角函數(shù)；（2）

列舉尋找相鄰多項(xiàng)之間的遞推關(guān)系.2.解決此類(lèi)題目的一般方法根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過(guò)觀察歸納出數(shù)列的周期，

進(jìn)而求出有關(guān)項(xiàng)的值或者前

n

項(xiàng)的和或積等.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]5.斐波那契數(shù)列{

an

}可以用如下方法定義：

an

＋2＝

an

＋1＋

an

，且

a

1＝

a

2＝1.若此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列{

bn

}，則數(shù)列{

bn

}

的第100項(xiàng)為（

D

）A.0B.1C.2D.36.在數(shù)列{

an

}中，

a

1＝3，

a

2＝6，且

an

＋2＝

an

＋1－

an

，則數(shù)列{

an

}的

前2024項(xiàng)和為

?.D9

考向2

數(shù)列的單調(diào)性

A.（3，＋∞）B.（2，＋∞）C.（1，＋∞）D.