浙江省2021年中考真題匯編2：解答題壓軸題含解析

2021年浙江省中考真題匯編

專題2：解答題壓軸題

1.（2021?臺州）如圖，8。是半徑為3的。。的一條弦，BD=46，點A是。。上的一個動點（不與點B,

（1）如圖2,若點A是劣弧曲的中點.

①求證：是菱形；②求oABCD的面積.

（2）若點A運動到優(yōu)弧數上，且口AB8有一邊與。O相切.

①求AB的長；②直接寫出口ABCQ對角線所夾銳角的正切值.

2.（2021?紹興）如圖，矩形A8CQ中，44=4,點E是邊A。的中點，點尸是對角線上一動點,

/404=3。0.連結《凡作點。關于直線EF的對稱點P.

（1）若EF±BD,求QF的長.

（2）若PE.LBD，求。尸的長.

（3）直線尸￡交8。于點Q,若△曾心旦是銳角三角形，求。尸長的取值范圍.

3.（202卜衢州）如圖1,點C是半圓。的直徑A8上一動點（不包括端點），4石=6cni，過點C作CD±AB

交半圓于點。，連結AQ,過點C作虛//4D交半圓于點E,連結EB.牛牛想探究在點C運動過程中EC

與EB的大小關系.他根據學習函數的經驗，記4C=xcm，EC=yfm,懸石=丁產01.請你一起參與

探究函數片、力隨自變量x變化的規(guī)律.

通過幾何畫板取點、畫圖、測量，得出如下幾組對應值，并在圖2中描出了以各對對應值為坐標的點，畫

出了不完整圖象.

x...0.300.801.602.403.204.004.805.60...

片...2.012.983.463.332.832.111.270.38...

力…5.604.953.952.962.061.240.570.10...

（1）當工=3時，%=.

（2）在圖2中畫出函數Pi的圖象，并結合圖象判斷函數值%與力的大小關系.

（3）由（2）知“AC取某值時，有忿仁=與如圖3,牛牛連結了。E,嘗試通過計算EC,EB的長來驗

證這一結論，請你完成計算過程.

4.（2021?衢州）如圖,

（1）【推理】

如圖1,在正方形A8C。中，點E是C。上一動點，將正方形沿著BE折疊，點C落在點F處，連結BE,

CF,延長CF交AC于點G

求證：&BCE也X8G.

（2）【運用】

如圖2,在（推理）條件下，延長交AQ于點H.若驗=￡，

CE=9,求線段。E的長.

HPJ

（3）【拓展】

將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結CF,延長CF,BF交直線AZ）于G,兩點，若叁=上,

袈=■!，求餐的值（用含火的代數式表示）.

Hl*□XL

5.（2021?紹興）問題：如圖，在中，AB=E，〃笛=5，ZDAR,/Z/C的平分線AE,

BF分別與直線CO交于點E,F,求EF的長.

答案：商尸=2.

（1）探究：把“問題”中的條件"4B=g'去掉，其余條件不變.

①當點E與點尸重合時，求A8的長；②當點E與點C重合時，求EF的長.

（2）把“問題”中的條件"AB=^4曾=5'去掉，其余條件不變，當點C,D,E,尸相鄰兩點間的距離

相等時，求綿的值.

6.(2021?金華)在平面直角坐標系中，點A的坐標為(—標',())，點B在直線=上，過點8作

AB的垂線，過原點。作直線/的垂線，兩垂線相交于點C.

(1)如圖，點B,C分別在第三、二象限內，BC與AO相交于點D

①若BA=BO>求證：CD=CO

②若ZCBO=4Se.求四邊形4JSOC的面積.

(2)是否存在點B,使得以4耳？為頂點的三角形與△ECO相似？若存在，求。8的長；若不存在,

請說明理由.

7.(2021?麗水)如圖，已知拋物線L：y=x2+bx+c經過點A(0,-5),8(5,0).

(1)求b,c的值;

(2)連結4B,交拋物線L的對稱軸于點M.

①求點M的坐標；

②將拋物線L向左平移，w(m>0)個單位得到拋物線過點M作軸，交拋物線必于點N.P

是拋物線山上一點，橫坐標為-1,過點P作PE〃》軸，交拋物線乙于點E,點E在拋物線乙對稱軸

的右側.若PE+MN=10,求帆的值.

8.（2021?麗水）如圖，在菱形A8C。中，NABC是銳角，E是BC邊上的動點，將射線AE繞點A按逆時

針方向旋轉，交直線CD于點F.

（1）當AEJ_BC,NEAF=/ABC時，

①求證：AE=AF；

②連結8。，EF,若祟=&，求盧絲一的值；

皿、QjSJSNtCD

（2）當/EAF=時，延長BC交射線AF于點M,延長OC交射線AE于點N，連結AC,

MN,若A8=4,AC=2,則當CE為何值時，AAMN是等腰三角形.

9.（2021?金華）背景：點A在反比例函數歹=4（左＞0）的圖象上，4B_Lx軸于點從dC_Ly軸于點

C,分別在射線4G石。上取點QN,使得四邊形4JSED為正方形.如圖1,點A在第一象限內，當

4c=4時，小李測得CD=3

探究：通過改變點A的位置，小李發(fā)現點Q,A的橫坐標之間存在函數關系.請幫助小李解決下列問題.

圖1E2

（1）求Z的值.

（2）設點4Q的橫坐標分別為X.Z,將Z關于x的函數稱為“Z函數”.如圖2,小李畫出了X〉。時“Z

函數''的圖象.

①求這個“Z函數”的表達式.

②補畫X＜。時“Z函數”的圖象，并寫出這個函數的性質（兩條即可）.

③過點（馬2）作一直線，與這個“Z函數”圖象僅有一個交點，求該交點的橫坐標.

10.(2021?杭州)在直角坐標系中，設函數y=ax^+bx+l(a,b是常數，a/0)?

(1)若該函數的圖象經過(1,0)和(2,1)兩點，求函數的表達式，并寫出函數圖象的頂點坐標；

(2)寫出一組〃、〃的值，使函數產以2+公+1的圖象與x軸有兩個不同的交點，并說明理由.

(3)已知a=b=1-當x=P，7(P,，是實數，p/g)時，該函數對應的函數值分別為P,。。

若p+q=2,求證：P+Q>6=

11.(2021?湖州)已知在AAC。中，尸是C。的中點,8是A。延長線上的一點，連結8C,AP。

(1)如圖1,若NACD=30。，ZCAD=60°,BD=AC,AP=百,求8C的長；

(2)過點。作OE〃AC,交AP延長線于點E,如圖2所示，若NCAQ=60。，BD=AC,求證：BC=2AP；

(3)如圖3,若NC4￡>=45。，是否存在實數，小當時，BC=2AP?若存在，請京談號出機的值;

若不存在，請說明理由。

12.（2021?湖州）已知在平面直角坐標系xOy中，點A是反比例函數歹=8圖像上的一個動點，連

結AO,A。的延長線交反比例函數y=i（上>0，XV。）的圖像于點瓦過點A作AE_L>軸于點瓦

（1）如圖1,過點B作引」X軸于點F,連結EF,

①若fc=L求證：四邊形AEF。是平行四邊形；

②連結BE,若七=4，求ABOE的面積。

（2）如圖2,過點E作EP〃A8,交反比例函數y=t（k>0,x<0）的圖像于點P,連結。P。

試探究：對于確定的實數匕動點A在運動過程中，APOE的面積是否會發(fā)生變化？請說明理由。

13.（2021?杭州）如圖，銳角三角形ABC內接于。O,/BAC的平分線AG交。。于點G,交BC邊于點F,

連結BG。

（1）求證：AASGS/VIFC；

（2）已知AB=a,AC=AF=b，求線段FG的長（用含a,占的代數式表示）；

（3）已知點E在線段AF上（不與點A,點尸重合），點。在線段AE上（不與點A,點E重合），ZABD=

NCBE,求證：B（f-=GE-GD?

14.（2021?嘉興）已知二次函數y=-/+6x-5.

（1）求二次函數圖象的頂點坐標；

（2）當1-4時―，函數的最大值和最小值分別為多少？

（3）當時，函數的最大值為〃？,最小值為〃，若〃?-〃=3,求f的值.

15.（2021?寧波）如圖

（1）（證明體驗）

如圖1,AD為的角平分線，/4QC=60。，點E在44上，=求證：口氏平分

LADE

（2）（思考探究）

如圖2,在（1）的條件下，F為4J5上一點，連結FC交4曾于點G.若FB=FC，ZX?=2，8=3,

求ao的長.

（3）（拓展延伸）

如圖3,在四邊形4B8中，對角線4c平分/方皿UC4=2/曾C4,點E在ACh,

/懸DC=/ABC.若BC=5,CD=2^,AD=2AE，求4C的長.

16.（2021嚀波）如圖1,四邊形due內接于。O，HQ為直徑，7萬上存在點E,滿足2=a，

連結H超并延長交8的延長線于點下，H直與WJD交于點G

（1）若ZDBC=a請用含以的代數式表列￡AGB

（2）如圖2,連結CE,CK=4G.求證；EF=DG

（3）如圖3,在（2）的條件下，連結CGAG=2

17.（202卜溫州）如圖，在平面直角坐標系中，經過原點O,分別交X軸、P軸于X2.0）1的8），

連結4耳直線CM1分別交于點D，松（點ZJ在左側），交X軸于點C（17,0）-連結AE.

（1）求的半徑和直線CM■的函數表達式.

（2）求點D，檢的坐標.

（3）點尸在線段4c上，連結尸況當/4E/與△。右。的一個內角相等時，求所有滿足條件的OP

的長.

18.（2021?嘉興）小王在學習浙教版九上課本第72頁例2后，進一步開展探究活動：將一個矩形ABCQ繞

點A順時針旋轉a（0°<a<90°）,得到矩形連結BQ.

［探究1］如圖1,當a=90。時，點C恰好在。B延長線上.若AB=1,求8C的長.

［探究2］如圖2,連結AC,過點。作。加〃AC交BO于點M.線段。M與OM相等嗎？請說明理由.

［探究3］在探究2的條件下，射線分別交A。，4c于點尸，N（如圖3）,發(fā)現線段。N,MN,

PN存在一定的數量關系，請寫出這個關系式，并加以證明.

2021年浙江省中考真題匯編解析版

專題2：解答題壓軸題

1.（2021?臺州）如圖，8。是半徑為3的。。的一條弦，BD=46，點A是。。上的一個動點（不與點B,

（1）如圖2,若點A是劣弧曲的中點.

①求證：是菱形；②求的面積.

（2）若點A運動到優(yōu)弧數上，且0ABs有一邊與。O相切.

①求AB的長；②直接寫出。ABCQ對角線所夾銳角的正切值.

【答案】（1）解：①二?點A是劣弧曲的中點，；.AD=AB'=

；四邊形ABCD是平行四邊形，...平行四邊形ABCD是菱形；

②連接A。，交BD于點E,連接?！辏?

?.?點A是劣弧數的中點，0A為半徑，.?.OA±BD^OA平分BQ,DE=BE=2^'

???平行四邊形A8CD是菱形，為兩對角線的交點，

在Ri/\QD￥3OE=^OD^-D^=bd&=2,,S皿口=）皿AEx2=啦;

（2）解：①如圖，當CO與0。相切時，連接。0并延長，交AB于點F,

A

與0。相切，DF±CD<AAB=2BF，

?.?四邊形ABC。是平行四邊形，...AB//CD，???DF±AB，

在尸中，jjF1=JSb1-DF1=32-（OF+S）2>

在Ri△石OF中，01^=9-OF1'--32-（。尸+3?=9-OF2*解得。產=，，

:.b尸=/亞，二數=25產=號亞；

如圖，當BC與。。相切時，連接B。并延長，交AO于點G,

同理可得AG=DG=母也,OG=%所以AB=\jEG1+AGl=4^

綜上所述，AB的長為號亞或4夜；

②過點A作

由（2）得：5。=4亞dD=g亞3G=3+彳=號，根據等面積法可得^BD-AH=^AD-BG>

解得/7=等，在在RtZ\HD日中，DH=^ADl-AHi=|^&/=班一看亞=號亞,

,tanN==g有.

【解析】【分析】（1）①利用弧的中點可證得弧4。=弧48,利用圓心角、弧、弦之間的關系定理可證得

AD=AB；利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可證得結論；②連接A0,交BD于點、E,連接。。,

利用垂徑定理可求出。E的長，利用菱形的性質及勾股定理求出0E的長，即可得到AE的長；然后利用三

角形的面積公式可求出四邊形ABCD的面積.

（2）①當CQ與O。相切時，連接。。并延長，交AB于點、F,利用切線的性質可證得OFLCZ）,利

用垂徑定理，可得至IJAB=28R再利用平行四邊形的性質可推出AB〃C￡>,同時可證得。FLAB；然后利

用勾股定理建立關于O尸的方程，解方程求出0尸的長，繼而可求出BF、AB的長；當BC與（3。相切

時，連接80并延長，交A。于點G,先求出4G、0G的長；利用勾股定理求出A8的長；②過點A作

AH±BD,可求出BO,AD,BG的長，利用面積法求出AH的長；再利用勾股定理求出OH的長，從而可

求出出的長；然后利用銳角三角函數的定義求出的值.

2.（2021?紹興）如圖，矩形ABCD中，44=4,點E是邊A。的中點，點尸是對角線BQ上一動點,

ZADB=30e.連結EF,作點D關于直線EF的對稱點P.

（1）若KF±BD，求QF的長.

（2）若PE_LBD，求。F的長.

（3）直線PE交BQ于點Q,若△工）百色是銳角三角形，求。F長的取值范圍.

【答案】（1）解：如圖1,矩形ABC。中，

KI

^BAD=9Qe，VZADB=300，AB=4,二加）=4百，

點E是中點，_-.ZJ￡=2^..學產JL&3，???△￡「￡）為直角三角形,

,:座=志，^ADB=30-：.cos￡ADB=^=^--DF=3

U1LZ

（2）解：第一種情況，如圖2,

/尸即=60°，由對稱性可得，EF平分ZPKD,1DEF=3Qe>￡DEF=￡EDF=3Q0

△￡）邱?是等腰三角形，過點如￡等,

?.?在/?也。例尸中，DM=&^ADB=30°ADF=7.

第二種情況，如圖3,

BC

圖3

延長PE交8。于M

PK±RD'.ZEMD=90°-：￡ADB=30eZDEM=6QaAZPED=l20a，

?點D關于直線EF的對稱點P：.FE垂直平分PD交PD于H：./HED=60。,NHDE=30°；.ZWDF=60°

：.ZEFD=3O0.-.△普斯是等腰三角形，...FE垂直平分。F

?.?在出△￡＞〃￡中，DE=2^3'^ADB=30eDM=3

,/DF=2DM=e管尸=6綜上：。尸的長為2或6.

（3）解：：△曾方旦是銳角三角形.?.當PE_L8￡＞時。F最小，當PEL4。時，DF最大

由（2）可得當/力0￡=9。0時，曾產=2（如圖2）或6（如圖3）.

當/曾￡0=90"時，第①種情況，如圖4,

N4

EF平分/FEZ），^DEF=4Sa.

過點尸作/MJ-ZZ）于點〃，設EM=a<則FM=a-DM=^3a'；.后a+a=2^，

.4=3-E，DF=6一痘,.2<DF<6-2^3

第②種情況，如圖5,

EF平分4AEQ,￡MEF=45°-過點F作產”L4曾于點M,

設EM=a＞則FM=a，口”=E。，...后4一”=域，二.”=3+E，DF=6+域，

=6+油＞8,。尸最大值為8,「.6＜曾產近&

綜上：2VZJ尸V6—動'或6〈曾產￡3

【解析】【分析】（1）根據矩形的性質，結合中點的性質，根據含30。直角三角形的性質求解即可；

（2）由根據對稱的性質可得AOEF是等腰三角形，分兩種情況討論，叩尸在矩形內或矩形外，分別畫出圖

形，根據含30。直角三角形的性質求解即可；

（3）當尸￡，8。時。尸最小，當尸EL4O時，。尸最大，過點F作產M_LZZ）于點M,連接PD,分兩

種情況畫出圖形，根據中點的定義以及特殊角的直角三角形的性質分別求出EM、FM、QM的值，然后利

用勾股定理求出。尸的值，結合（2）中求得的QF的值即可得出a的范圍.

3.（202卜衢州）如圖1,點C是半圓。的直徑A8上一動點（不包括端點），4石=6cni，過點C作CD±AB

交半圓于點。，連結AQ,過點C作虛//4D交半圓于點E,連結EB.牛牛想探究在點C運動過程中EC

與EB的大小關系.他根據學習函數的經驗，記4C=xcm，EC=yfm,懸石=丁產01.請你一起參與

探究函數片、力隨自變量x變化的規(guī)律.

通過幾何畫板取點、畫圖、測量，得出如下幾組對應值，并在圖2中描出了以各對對應值為坐標的點，畫

出了不完整圖象.

x...0.300.801.602.403.204.004.805.60...

片...2.012.983.463.332.832.111.270.38...

力…5.604.953.952.962.061.240.570.10...

D.____F?---4

6》(cm)

（1）當工=3時，%=________.

（2）在圖2中畫出函數上!的圖象，并結合圖象判斷函數值K與力的大小關系.

（3）由（2）知“AC取某值時，有忿仁=與如圖3,牛牛連結了。E,嘗試通過計算EC,EB的長來驗

證這一結論，請你完成計算過程.

【答案】（1）3

（2）解:函數”的圖象如圖2所示,過兩圖象的交點M作x軸的垂線,垂足為N,則垂足N表示的數x~2.

..從圖象可以看出：當XH2時，片=%；當0令＜2時，為＜%;當x＞2時，

（3）解：如圖3,連結O。，過點E作于點

HB

圖3

由⑵的初步判斷，當XH2時，％=%，HPEC=EB.

不妨取AC=x=2,此時，OC=l，OD=3

???在Ri/\ODC'^,CD=^OZJ^-OC1=I2=2^"

設OH=m，則S=l+m，EH=Joi?2-Off2==g_R

,:AD〃CE,：.乙DAC=4EC0.又丫/U仁4=/QC=90。，；.△ZUC-△gCH.

兩邊平方并整理得，3m1+4m—7=。.解得，m]=l方2=一，（不合題意，舍去）

：.HC=0H+0C=l+\=2,EH=^9-mi=*-P=班

EC=^C^+EH1=e+^y=厄=期

1

又：HB=0B-0H=3-1=2,：.EB=^BH^+EH=也=眄=域二EC=EB.

,通過以上計算可知，當取AC=2時，（2）中的結論EC=EB成立.

【解析】【解答】解：（1）當x=3時，動點C與圓心。重合，此時，第=?！?3.

故答案為：3

【分析】（1）當43時，動點C與圓心。重合，即可求出OE（yi）的值.

（2）過點M作MNLt軸于點M可得到點M的橫坐標約等于2,分情況討論：當XH2時;當04<2時;

當x>2時，利用函數圖象，可得到yi與戶的大小關系.

（3）連結?！?gt;,過點E作E&JL多于點“，利用（2）的判斷可知EC=BE,取AC=x=2,此時，可求

出OC,。。的長；利用勾股定理求出CD的長，設。”=，小可表示出CH的長，利用勾股定理表示出E”

的長；再證明△D4CS/\ECH,利用相似三角形的性質可建立關于山的方程，解方程求出符合題意的皿的

值；由此可求出”C,E”的長；然后利用勾股定理求出EC的長及E8的長，由此可證得結論.

4.（2021?衢州）如圖，

「“jGH

圖1圖2備用圖

（1）【推理】

如圖1,在正方形ABCC中,點、E是CD上一動點,將正方形沿著BE折疊，點C落在點F處，連結BE,

CF,延長CF交A。于點G

求證：RBCK限b8G.

（2）【運用】

如圖2,在（推理）條件下,延長BF交AD于點H.若駁=J，庭=9,求線段QE的長.

H1*□

（3）【拓展】

將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結CF,延長CF,BF交直線A。于G,兩點，若叁=上，

駭=1,求萼的值（用含火的代數式表示）.

HI*□XL

【答案】（1）證明：如圖1,

:△J3FF由△bC百折疊得到，.\BE±CF<：.^ECF+￡BEC=9Qe

又;四邊形ABC。是正方形，」./笛=/石庭=9。。，J.Z￡CF+ZCGD=900，

..￡BEC=￡CGD，又\?正方形4BCQ，bC=CD.,△bCE色△80（449

（2）解：如圖，連接EH，

由（1）得&BCE些&8G,，CE=DG=%

由折疊得2JC=4f，CE=FE=9^￡BCF=￡BFC

?四邊形ABCD是正方形，；.4D"BC，ZBCG=￡HGF>

又￡BFC=￡HFG，：.LHFG=￡HGF，：.HF=HG

?.能=§，DG=9,二《71=4,HF=HG=5'：￡D=￡HFE=9Qa

ffFl+Fif1=DJJ^+DJ?2*.,.S1+91=41+D￡2-..DE=3jio（Q君=一司高舍去）

（3）解：如圖，連結HE,

由已知可設DH=4m<HG=5m>可令=x>

①當點”在。點左邊時，如圖，

同（2）可得，HF=HG>..DG=9m>由折疊得BE±CF，ZECF+ZBEC=90°，

又V^D=90°.ZECF+^CGD=90e-，士BEC=/CGD，

又?./石廢=/曾=90。，△8G-△石庭，..怨=賽，

-C0_幺?_『?_上-OR_物3_?rjEi_

,BC-BC一.CE_1'?.16―E??un—丘?

：6=LHFE=90°.：.HFL+FEi-=￡）〃+ZU?2，」.（Sn，+（智）'=（4才+（誓『，

.（審3舍去）..DE

-x~3x~3"EC~3

②當點后在D點右邊時，如圖，

同理得HG=HF，..DG=m同理可得^BCE-XCDG,

可得CE=^=FE,，ZXE=胃，

'：HFl+FK1=ZM71+以序，」.（渥+（等）"=（4才+（華『,

,-.x=^5?+7（x=-?P+1舍去）.二薨=迪壯+1

【解析】【分析】（1）利用折疊的性質可證得BE，CF,利用正方形的性質可得到BC=CQ,ZD=ZBCE,

利用余角的性質可得到NBEC=NCG￡＞；然后利用AAS可證得結論.

（2）利用全等三角形的性質可求出。G的長，利用折疊的性質可得到BC=8尸，CE=EF=9；再證明N"FG=

NHGF,利用等角對等邊可證得HF="G,結合已知條件可求出“尸的長；再利用勾股定理建立關于

QE的方程，解方程求出。E的長.

（3）連結”E,設?！?4機，HG=5m,黑=m，①當點”在。點左邊時，同理可證得”尸=HG,可得

到。G=9,利用折疊的性質及余角的性質可推出NBEC=/CGD,利用有兩組對應角相等的兩三角形相似,

可證得△CCGS/^BCE,利用相似三角形的性質，可表示出CE的長，即可得到。E的長；然后利用勾股定

理，可求出x的值，即可得到。E與EC的比值；②當點后在口點右邊時，如圖，同理可證得ACOGs

△BCE,利用相似三角形的性質，可表示出CE的長，即可得到OE的長；然后利用勾股定理，可求出x

的值，即可得到QE與EC的比值.

5.（2021?紹興）問題：如圖，在口疑CD中，"=8，4Q=5，ZDAB,14BC的平分線AE,

8尸分別與直線CQ交于點E,F,求EF的長.

答案：忌產=2

（1）探究：把“問題”中的條件"d石=§’去掉，其余條件不變.

①當點E與點尸重合時，求A8的長；②當點E與點C重合時，求EF的長.

（2）把“問題”中的條件"4石=8，血=5’去掉，其余條件不變，當點C,D,E,尸相鄰兩點間的距離

相等時，求維的值.

AB

【答案】（1）解：①如圖1,四邊形ABCQ是平行四邊形，

圖1

..AB/fCD>：.￡DEA=￡EAB.

?.M平分工DAB，±DAE=2EAB.：.￡DAK=IDEA：.DE=AD=5

同理可得：后？=￡?產=5，,點￡與點尸重合，「.融=^曾=1。

②如圖2,點E與點C重合，

圖2

同理可證DE=DC=AD=5,：.°ABCD是菱形，

'：CF=BC=5,二.點F與點。重合，：.EF=DC=5

（2）解：情況1,如圖3,

圖3

可得AD=DE=EF=CF，--'^=5

情況2,如圖4,

==

又DF=FE=CE<T

由上，同理可以得到HD=Q￡,Cb=CF,又\FD=DC=CE<?■^=^=2

綜上：^的值可以是彳，,，2

【解析】【分析】（1）①根據角平分線的定義，結合平行線的性質得出/D4E=N￡?E4則知OE=">=5,

同理求出BC=CF=5,從而求出0c的長，即可解答；

②根據①的方法求得Q/BCD的四條邊相等，得出-ABCD是菱形，則知點尸與點。重合，即可解

答；

（2）由于E、/點的位置不可確定，則應分情況討論，根據每種情況，利用A￡>=Z）E,CF=CB,結合點

C,D,E,尸相鄰兩點間的距離相等分別構建等式求解即可.

6.（2021.金華）在平面直角坐標系中，點A的坐標為（一標",0），點8在直線/：j=|X±,過點3作

A8的垂線，過原點。作直線/的垂線，兩垂線相交于點C.

①若BA=BO<求證：CD=CO

②若^CBO=45°>求四邊形的面積.

（2）是否存在點8,使得以4耳C為頂點的三角形與△2JC。相似？若存在，求。8的長；若不存在,

請說明理由.

【答案】（1）解：①證明：如圖1,

,/BA=BQ，：.Z1=2?/.BA1.BC，AZ2+25=90°

而N4=/5，,Z2+24=90°

■:OB工OC，:.Z1+23=90°/./3=14，:.CD=CO

②如圖1,過點A作M_LOB于點”.由題意可知tan/1=卷，

Ct

ATI%

在△中,；.設

RtAHOtan/1=7\J5f5iA=maAH=3&irOH=8na

21^+。必=0/,；?(加>+(防)2=(^?7]“，解得m=l--AH=3.OH=^

,:ZCBO=45a，/ABC=9N,：.￡ABH=4Sa，

BH=^^=*AB=^^=班；.OB=OH-BH=5

?:OB±OC^.CBO=A5a,：.OC=O5xtan450=52?C="￡^p'=5\^>

t'COrt-T?

.,.+x班X5亞=15SMJ?=￥"XOC=Gx5x5=亨:

?，?$四邊flU?OC=SA41c+SFjBO=等

(2)解：過點A作4H■_L0B于點凡則有AH=3<OH=8.

①如圖2,當點C在第二象限內，/4Cb=/CBO時，設OB=t

￡ACB=￡CB。，：?ACI!OB

又,:AH±OBrOC±OB,：.AH=OC=3

?：AH^OB,AB^BC,：.2：1+22=90°,22+23=90°,A/l=/3，

...AJH5-/\BOC,：.甥=卷，，彳=號，整理得、一毆+9=0,解得f=4±

0石=4±標

②如圖3,當點C在第二象限內，/4庭=/石^。時，延長交于點G,

圖3

則△48典△GCB,???AB=GB

又?/yJ_CW.OC_LO!B,￡AHB=ZGOB=90e.

而2ABH=2GBO，：?RASH些&GBO,：.OB^HB=^OH=A

③當點C在第四象限內，時，4c與05相交于點E，則有BE=CE

3）如圖4,點B在第三象限內.

圖4

在亞△JJ3C中，21+22=90°,2JCJ+2C^B=90°,/.￡2=￡CAB

,AE=BE=CE^又,:AH±OB,OC±OB,￡AHE=￡COE=9C°

而2AEH=￡CEO：.△JHN"△COE,；.HE=OE=^OH=A

■-AE==5-二BE=5，：*OB=BE+OE=9

S）如圖5,點B在第一象限內.

在拉C中^ACB+^CAB=9Ce^￡CBO+￡ABE=9Qa

:.￡CAB=￡AB￡，???AE=BE=CE

又?.8_LCW,???￡AHE=^COE=9Q0

而￡AEH=￡CRO，：?A/\COE：.HE=OE=^OH=4

AE=I1AH1+HE1=5--**BE=5>?*.OB=BE-OE=\

綜上所述，OS的長為4+64-斫,4>%1.

【解析】【分析】(1)①利用等腰三角形的性質可證得/1=/2,利用垂直的定義及余角的性質可證得/

3=/4,利用等角對等邊可證得結論；②過點A作于點”，利用解直角三角形求出A“與?！钡谋戎?，因

此設A/7=3m,0H=8m,利用勾股定理建立關于加的方程，解方程求出，”的值，可得到A”，0H的長；再

利用解直角三角形求出84，0C,利用三角形的面積公式求出AABC的面積和ACBO的面積；然后根據四

邊形ABOC的面積等于"BC和ACB。的面積之和，即可求解.

(2)過點A作A乩LOB于點4,當點C在第二象限內，NACB=NCBO,設。8=r,易證AC〃B。，再求

出0C的長，同時可證得/1=/3,；再證明△A”BSZ\BOC,利用相似三角形的性質，建立關于f的方程賣

家發(fā)錯求出f的值，即可得到。8的長；當點C在第二象限內，NACB=NBCO,延長AB,C。交于點G,

利用全等三角形的性質和判定，可求出。8的長；當點C在第四象限內，NACB=NCBO,可得到8E=C民

點8在第三象限內，利用全等三角形的性質和勾股定理求出BE的長，根據。B=8E+0E,代入計算求出

0B的長；點B在第一象限內，利用全等三角形的判定和性質可求出HE的長,利用勾股定理求出AE的長；

然后根據OB=BE-OE,代入計算求出B0的長.

7.(2021?麗水)如圖，已知拋物線L：丫=爐+法+。經過點A(0,-5),B(5,0).

(1)求匕，c的值；

(2)連結AB,交拋物線L的對稱軸于點M.

①求點M的坐標；

②將拋物線L向左平移m(m>0)個單位得到拋物線L.過點M作軸，交拋物線h于點N.P

是拋物線心上一點，橫坐標為-1,過點尸作「后〃》軸，交拋物線乙于點E,點E在拋物線乙對稱軸

的右側.若PE+MN=10,求”的值.

【答案】(1)解：由題意得:

答：b,c?的值分別為-4,-5.

(2)解：①設直線AB的解析式為產自+〃(原0),

VA(0,-5),8(5,0).\

?.y/-4x-5=(x-2)2-9拋物線乙的對稱軸是直線42,

當42時，產x-5=-3,..點M的坐標是(2,-3)；

②：將拋物線L向左平移加(m>0)個單位得到拋物線...設拋物線L的解析式為y=(x-2+m)-9,

:MN/)，軸，.點N的坐標是(2,加2-9),點P的橫坐標為-1,.P點的坐標是(-1,

設PE交拋物線Li于另一點。，.拋物線口的對稱軸是直線：x=2-m,PE//x

點。(5-2機，加當點N在點M的下方時ovmgjg，如圖1，

PQ=5-2m-（-1）=6-2/7?,MN=?3-（m2-9）=-m2+6

2

利用平移可知QE=m,/.PE=6-2m+ni=6-mfVPE+MN=\O.*.6-m-/?7+6=10

解之：團尸1,m2=2（不符合題意，舍去）；

當點N在點M的上方時，點Q在點尸右側，如圖2,

*<JR<mPE=6-m,MN=m2-9+3=rn2-6PE+MN=10,6-m+m2-6=10

解之：E_獨1（舍去），「雨（舍去），

m

叫一22-2

當點N在點M的上方，點。在點P的左側時

m>3,PE=6m,MN=m1-9+3=m2-6

?"E+MN=10,....+〃_6=10解之：_曲慢.（舍去），_-1+y65,...，〃的值為1或

m\=2ml-2

【解析】【分析】（1）利用待定系數法，利用點A,8的坐標，建立關于b,c的方程組，解方程組求出

b,c的值.

（2）①利用待定系數法求出直線AB的函數解析式；將k2代入直線4B的函數解析式，求出對應的函

數值，可得到點例的坐標；②利用二次函數平移的規(guī)律可得到拋物線心的解析式為y=（x-2+%）-9,利用函

數解析式表示出點N,點、P的坐標；設PE交拋物線L于另一點Q,可表示出點Q的坐標；再分情況討論：

當點N在點M的下方時ovmwjg,如圖1；當點N在點M的上方時，點Q在點尸右側，如圖2；當

點N在點M的上方，點。在點P的左側時；分別表示出PE,MN的長，根據PE+MN=10,建立關于，力的

方程，解方程求出，〃的值，即可得到符合題意的，"的值.

8.（2021?麗水）如圖，在菱形ABC。中，NABC是銳角，E是BC邊上的動點，將射線AE繞點A按逆時

針方向旋轉，交直線CD于點F.

(1)當AE_LBC，時,

①求證：AE-AF-,

②連結,EF,若祟=看，求&%叱，的值;

(2)當/EAF=時，延長BC交射線AF于點M,延長OC交射線AE于點N,連結AC

MN,若A8=4,AC=2,則當CE為何值時，AAMN是等腰三角形.

【答案】(1)解：①：菱形A8C￡>,：.AB=AD,ZABC=ZADC,AD//BC,

\'AELBC,J.AELAD,：.ZEAF+XDAF=ZBAE+ZABE=()0o,

"：公AF=AABC,：.NDAF=NBAE,

在AABE和△AOF中

(/￡ADC

\￡DAF=￡BAE

：./\ABE^/\ADF(A5A)

：.AE=AF.

②連接AC,

:菱形ABC。，:.AB=BC=CD,AC1BD,VAABE^AADF,：.BE=CF,：.CE=CF

：尸：：△.ECEF2

4E=A.AC1EF.BD//FE,:.CEFs/\CBD,BC~BD~S

設EC=2mAB=BC=5x,BE=3a,=電&】_9az=%,:嚼=能'NEAF=NABC,

…"妊=（籌），佬『春號:娑少緊套

(2)解：：菱形ABC。，；.NBAC=*/BAD,?：ZEAF^^ZBAD,J.ZBAC^ZEAF,:.NBAE=N

CAM,

：：同理可知：△

'AB//CD,.NBAE=NANC,NAMC=NNAC,.,.MACs/MNC,'"CN~"NA'

當AAMN時等腰三角形，當4W=AN時,

(^ANC=ZCAM

在"NC和AM4c中^AM^AN.?.△4NC絲△MAC(AS4):.CN=AC=2,

\￡AMC=￡NAC

■:ABHCN,：./\CEN^/\BEA,.\-~='：AB=BC=4：.1解之:

C￡=1:

當NA=MN時

NNMA=NNAM,"：AB=BC,ZBAC=ZBCA,VZBAC=ZEAF,:.NNMA=NNAM=NBAC=N

BCA,

:.AANMs/\ABC,：.=嗡=，，等==2?**CN=2AC=4=AB

解之：4c=2"：/\CEN^/\BEA(AAS):.CE=BE=2；

當M4=MN時，

圖4

易證NMV4=NMAN=NB4C=/BC4,，/XAMN^^ABC：.=靠==2.，（2界。=1

△CEN