排列組合的好題目

[例題分析]排列組合思維方法選講

1．首先明確任務(wù)的意義

例1.從1、2、3、……、20這二十個(gè)數(shù)中任取三個(gè)不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等差數(shù)列有________個(gè)。

分析首先要把復(fù)雜的生活背景或其它數(shù)學(xué)背景轉(zhuǎn)化為一個(gè)明確的排列組合問(wèn)題。

設(shè)a,b,c成等差，∴2b=a+c,可知b由a,c決定，

又∵2b是偶數(shù)，∴a,c同奇或同偶，即：從1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20這十個(gè)數(shù)中選出兩個(gè)數(shù)進(jìn)行排列，由此就可確定等差數(shù)列，因而本題為C(10,2)*2*2=180

例2.某城市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的間距相同，若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿圖中路線前進(jìn)，則從M到N有多少種不同的走法?

分析：對(duì)實(shí)際背景的分析可以逐層深入

（一）從M到N必須向上走三步，向右走五步，共走八步。

（二）每一步是向上還是向右，決定了不同的走法。

（三）事實(shí)上，當(dāng)把向上的步驟決定后，剩下的步驟只能向右。

從而，任務(wù)可敘述為：從八個(gè)步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數(shù)，

∴本題答案為：C(8.3)=56。

2．注意加法原理與乘法原理的特點(diǎn)，分析是分類(lèi)還是分步，是排列還是組合

例3．在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A，B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長(zhǎng)，要求A，B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有______種。

分析：條件中“要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個(gè)條件不容易用一個(gè)包含排列數(shù)，組合數(shù)的式子表示，因而采取分類(lèi)的方法。

第一類(lèi)：A在第一壟，B有3種選擇；

第二類(lèi)：A在第二壟，B有2種選擇；

第三類(lèi)：A在第三壟，B有1種選擇，

同理A、B位置互換，共12種。

例4．從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有________。

(A)240(B)180(C)120(D)60

分析：顯然本題應(yīng)分步解決。

（一）從6雙中選出一雙同色的手套，有6種方法；

（二）從剩下的十只手套中任選一只，有10種方法。

（三）從除前所涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只，有8種方法；

（四）由于選取與順序無(wú)關(guān)，因而（二）（三）中的選法重復(fù)一次，因而共240種。

例5．身高互不相同的6個(gè)人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個(gè)人都比他同列的身后的人個(gè)子矮，則所有不同的排法種數(shù)為_(kāi)______。

分析：每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法，因而每一縱列的排隊(duì)方法只與人的選法有關(guān)系，共有三縱列，從而有C(6.2)*C(4.2)*C(2.2)=90種。

例6．在11名工人中，有5人只能當(dāng)鉗工，4人只能當(dāng)車(chē)工，另外2人能當(dāng)鉗工也能當(dāng)車(chē)工?，F(xiàn)從11人中選出4人當(dāng)鉗工，4人當(dāng)車(chē)工，問(wèn)共有多少種不同的選法?

分析：采用加法原理首先要做到分類(lèi)不重不漏，如何做到這一點(diǎn)？分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)必須前后統(tǒng)一。

以兩個(gè)全能的工人為分類(lèi)的對(duì)象，考慮以他們當(dāng)中有幾個(gè)去當(dāng)鉗工為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)。

第一類(lèi)：這兩個(gè)人都去當(dāng)鉗工，C(5.2)*C(4.4)=10

第二類(lèi)：這兩人有一個(gè)去當(dāng)鉗工，C(2.1)*C(5.3)*C(5.4)=100

第三類(lèi)：這兩人都不去當(dāng)鉗工，C(5.4)*C(6.4)=75

因而共有185種。

例7．現(xiàn)有印著0，l，3，5，7，9的六張卡片，如果允許9可以作6用，那么從中任意抽出三張可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)?

分析：有同學(xué)認(rèn)為只要把0，l，3，5，7，9的排法數(shù)乘以2即為所求，但實(shí)際上抽出的三個(gè)數(shù)中有9的話才可能用6替換，因而必須分類(lèi)。

有0無(wú)9

6*4＝24

有9無(wú)06*6*2=72

有9有0

4*4*2=32

無(wú)9無(wú)0

4×6＝24

因此共有152種方法。

5*5*4*2-4*4*3=152,

例8．停車(chē)場(chǎng)劃一排12個(gè)停車(chē)位置，今有8輛車(chē)需要停放，要求空車(chē)位連在一起，不同的停車(chē)方法是________種。

分析：把空車(chē)位看成一個(gè)元素，和8輛車(chē)共九個(gè)元素排列，因而共有P(9.8)種停車(chē)方法。

3．特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮

例9．六人站成一排，求

(1)甲不在排頭，乙不在排尾的排列數(shù)

(2)甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù)

分析：

（1）先考慮排頭，排尾，但這兩個(gè)要求相互有影響，因而考慮分類(lèi)。

第一類(lèi)：乙在排頭，有P(5.5)種站法。

第二類(lèi)：乙不在排頭，當(dāng)然他也不能在排尾，有C(4.1)C(4.1)P(4.4)種站法，

法2(6.6)-P(5.5)*2+P(4.4)

（2）

第一類(lèi)：甲在排尾，乙在排頭，有種方法。

第二類(lèi)：甲在排尾，乙不在排頭，有種方法。

第三類(lèi)：乙在排頭，甲不在排頭，有種方法。

第四類(lèi)：甲不在排尾，乙不在排頭，有種方法。

共312種。

法2:甲乙相鄰的排法數(shù)

C(4,1)*C(3,1)*2*P(3,3)+P(4,4)+P(4,4)=192

頭尾取非甲乙，乙頭，甲尾。

504-192=312

例10．對(duì)某件產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品進(jìn)行一一測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測(cè)試方法有多少種可能?

分析：本題意指第五次測(cè)試的產(chǎn)品一定是次品，并且是最后一個(gè)次品，因而第五次測(cè)試應(yīng)算是特殊位置了，分步完成。

第一步：第五次測(cè)試的有C(4.1)種可能；

第二步：前四次有一件正品有C(6.1)種可能。

第三步：前四次有P(4.4)種可能。

C(4.1)*C(6.1)*P(4.4)

4．捆綁與插空

例11.8人排成一隊(duì)

(1)甲乙必須相鄰

(2)甲乙不相鄰

(3)甲乙必須相鄰且與丙不相鄰

(4)甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰

(5)甲乙不相鄰，丙丁不相鄰

分析：

(1)甲乙必須相鄰，就是把甲乙捆綁(甲乙可交換)和7人排列

P(7.7)*2

(2)甲乙不相鄰

P(8.8)-P(7.7)*2

(3)甲乙必須相鄰且與丙不相鄰

先求甲乙必須相鄰且與丙相鄰

P(6.6)*2*2

甲乙必須相鄰且與丙不相鄰

P(7.7)*2-P(6.6)*2*2

(4)甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰P(6.6)*2*2

(5)甲乙不相鄰，丙丁不相鄰

P(8.8)-P(7.7)*2*2+P(6.6)*2*2

例12.某人射擊8槍?zhuān)?槍?zhuān)『糜腥龢屵B續(xù)命中，有多少種不同的情況?

分析：∵連續(xù)命中的三槍與單獨(dú)命中的一槍不能相鄰，因而這是一個(gè)插空問(wèn)題。另外沒(méi)有命中的之間沒(méi)有區(qū)別，不必計(jì)數(shù)。即在四發(fā)空槍之間形成的5個(gè)空中選出2個(gè)的排列，即P(5.2).

例13.馬路上有編號(hào)為l，2，3，……，10十個(gè)路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種?

分析：即關(guān)掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因?yàn)闊襞c燈之間沒(méi)有區(qū)別，因而問(wèn)題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個(gè)空中選出3個(gè)空放置熄滅的燈。

∴共C(6.3)=20種方法。

例19.三個(gè)相同的紅球和兩個(gè)不同的白球排成一行，共有多少種不同的方法?

分析：

三個(gè)相同的紅球,有4個(gè)空，兩個(gè)不同的白球，可以一個(gè)一個(gè)插，也可以2個(gè)一起插、

P(4.2)+P(4.1)*2=20

4．間接計(jì)數(shù)法.(1)排除法

例14.三行三列共九個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可組成多少個(gè)三角形?

分析：有些問(wèn)題正面求解有一定困難，可以采用間接法。

所求問(wèn)題的方法數(shù)=任意三個(gè)點(diǎn)的組合數(shù)-共線三點(diǎn)的方法數(shù)，C(9.3)-8

例15．正方體8個(gè)頂點(diǎn)中取出4個(gè)，可組成多少個(gè)四面體?

分析：所求問(wèn)題的方法數(shù)=任意選四點(diǎn)的組合數(shù)-共面四點(diǎn)的方法數(shù)，

∴共C(8.4)-12=70-12=58個(gè)。

例16.l，2，3，……，9中取出兩個(gè)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可組成多少個(gè)不同數(shù)值的對(duì)數(shù)?

分析：由于底數(shù)不能為1。

（1）當(dāng)1選上時(shí)，1必為真數(shù)，∴有一種情況。

（2）當(dāng)不選1時(shí)，從2--9中任取兩個(gè)分別作為底數(shù)，真數(shù)，共P(8.2)其中l(wèi)og24=log39，log42=log93,log23=log49,log32=log94.

因而一共有P(8.2)+1-4=53個(gè)。

例17.六人排成一排，

要求甲在乙的前面，(不一定相鄰)，共有多少種不同的方法?

如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢?

分析：

1.實(shí)際上,甲在乙的前面和甲在乙的后面兩種情況對(duì)稱,具有相同的排法數(shù)。因而有P(6.6)/2=360種。

2.先考慮六人全排列；其次甲乙丙三人實(shí)際上只能按照一種順序站位，因而前面的排法數(shù)重復(fù)了P(3.3)種，∴共P(6.6)/P(3.3)=120種。

例18．5男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法?

分析：首先不考慮男生的站位要求，共P(9.9)種；男生從左至右按從高到矮的順序，只有一種站法，因而上述站法重復(fù)了P(5.5)次。因而有P(9.9)/P(5.5)=9×8×7×6=3024種。

若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法，同理也有3024種，綜上，有6048種。

5．擋板的使用

例20．10個(gè)名額分配到八個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，問(wèn)有多少種不同的分配方法?

分析：把10個(gè)名額看成十個(gè)元素，在這十個(gè)元素之間形成的九個(gè)空中，選出七個(gè)位置放置檔板，則每一種放置方式就相當(dāng)于一種分配方式。因而共C(9.7)=36種。

6．注意排列組合的區(qū)別與聯(lián)系：所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補(bǔ)充一個(gè)階段(排序)可轉(zhuǎn)化為排列問(wèn)題。

例21.從0，l，2，……，9中取出2個(gè)偶數(shù)數(shù)字，3個(gè)奇數(shù)數(shù)字，可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)?

分析：先選后排。另外還要考慮特殊元素0的選取。

（一）兩個(gè)選出的偶數(shù)含0,C(4.1)*C(5.3)*4*P(4.4