2024屆廣西桂林市龍勝中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2024屆廣西桂林市龍勝中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．對(duì)任意非零實(shí)數(shù)，若※的運(yùn)算原理如圖所示，則※=（）A．1 B．2 C．3 D．42．如圖，線段AB=8，點(diǎn)C在線段AB上，且AC=2，P為線段CB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A繞著C旋轉(zhuǎn)后與點(diǎn)B繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后重合于點(diǎn)D，設(shè)CP=x，△CPD的面積為f（x）．求f（x）的最大值（）．A．B．2C．3 D．3．《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳（約公元世紀(jì)）所著，該書主要記述了：積算（即籌算）太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運(yùn)籌、了知、成數(shù)、把頭、龜算、珠算計(jì)數(shù)種計(jì)算器械的使用方法某研究性學(xué)習(xí)小組人分工搜集整理種計(jì)算器械的相關(guān)資料，其中一人種、另兩人每人種計(jì)算器械，則不同的分配方法有（）A． B． C． D．4．下面給出了四種類比推理：①由實(shí)數(shù)運(yùn)算中的類比得到向量運(yùn)算中的；②由實(shí)數(shù)運(yùn)算中的類比得到向量運(yùn)算中的；③由向量的性質(zhì)類比得到復(fù)數(shù)的性質(zhì)；④由向量加法的幾何意義類比得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義；其中結(jié)論正確的是A．①② B．③④ C．②③ D．①④5．若集合,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．6．已知函數(shù)在時(shí)取得極大值，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．下面幾種推理過程是演繹推理的是（）A．某校高三有8個(gè)班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測各班人數(shù)都超過50人B．由三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)C．平行四邊形的對(duì)角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對(duì)角線互相平分D．在數(shù)列中，，可得，由此歸納出的通項(xiàng)公式8．已知函數(shù)，如果函數(shù)在定義域?yàn)?0,?+∞)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．9．有個(gè)人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，則不同的排法種數(shù)為（）A． B． C． D．10．直線是圓的一條對(duì)稱軸，過點(diǎn)作斜率為1的直線，則直線被圓所截得的弦長為（）A． B． C． D．11．已知集合，,則（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則對(duì)任意，下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的二項(xiàng)展開式中，若只有的系數(shù)最大，則__________．14．將紅、黑、藍(lán)、黃個(gè)不同的小球放入個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，且紅球和藍(lán)球不能放在同一個(gè)盒子，則不同的放法的種數(shù)為________.(用數(shù)字作答)15．在等比數(shù)列中，已知，且與的等差中項(xiàng)為，則________16．若點(diǎn)的柱坐標(biāo)為，則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為______；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，是橢圓上一點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是直線上任意一點(diǎn).證明：直線的斜率成等差數(shù)列.18．（12分）函數(shù)(為實(shí)數(shù)).(1)若，求證：函數(shù)在上是增函數(shù)；(2)求函數(shù)在上的最小值及相應(yīng)的的值；(3)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)f(x)=(ax-x（1）若函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1,?x2?(20．（12分）已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求的值.21．（12分）在二項(xiàng)式的展開式中.（1）若展開式后三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于67，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）若為滿足的整數(shù)，且展開式中有常數(shù)項(xiàng)，試求的值和常數(shù)項(xiàng).22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，點(diǎn)在線段上，平面，，.（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

分析：由程序框圖可知，該程序的作用是計(jì)算分段函數(shù)函數(shù)值，由分段函數(shù)的解析式計(jì)算即可得結(jié)論.詳解：由程序框圖可知，該程序的作用是計(jì)算※函數(shù)值，※※因?yàn)?，故選A.點(diǎn)睛：算法是新課標(biāo)高考的一大熱點(diǎn)，其中算法的交匯性問題已成為高考的一大亮，這類問題常常與函數(shù)、數(shù)列、不等式等交匯自然，很好地考查考生的信息處理能力及綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，解決算法的交匯性問題的方：（1）讀懂程序框圖、明確交匯知識(shí)，(2）根據(jù)給出問題與程序框圖處理問題即可.2、A【解題分析】試題分析：利用三角形的構(gòu)成條件，建立不等式，可求x的取值范圍；三角形的周長是一個(gè)定值8，故其面積可用海倫公式表示出來，再利用基本不等式，即可求f（x）的最大值．解：（1）由題意，DC=2，CP=x，DP=6-x，根據(jù)三角形的構(gòu)成條件可得x+6-x＞2,2+6-x＞x,2+x＞6-x，解得2＜x＜4；三角形的周長是一個(gè)定值8，故其面積可用海倫公式表示出來，即f（x）=當(dāng)且僅當(dāng)4-x=-2+x，即x=3時(shí)，f（x）的最大值為,故選A.考點(diǎn)：函數(shù)類型點(diǎn)評(píng)：本題考查根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，本題中求函數(shù)解析式用到了海倫公式，3、A【解題分析】

本題涉及平均分組問題，先計(jì)算出分組的方法，然后乘以得出總的方法數(shù).【題目詳解】先將種計(jì)算器械分為三組，方法數(shù)有種，再排給個(gè)人，方法數(shù)有種，故選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查簡單的排列組合問題，考查平均分組要注意的地方，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】

根據(jù)向量數(shù)量積的定義、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則來進(jìn)行判斷．【題目詳解】①設(shè)與的夾角為，則，，則成立；②由于向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，設(shè)，，所以，表示與共線的向量，表示與共線的向量，但與不一定共線，不一定成立；③設(shè)復(fù)數(shù)，則，是一個(gè)復(fù)數(shù)，所以不一定成立；④由于復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)可表示的為向量，所以，由向量加法的幾何意義類比可得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義，這個(gè)類比是正確的．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)與向量、向量與復(fù)數(shù)之間的類比推理，在解這類問題時(shí)，除了考查條件的相似性之外，還要注意定義的理解，考查邏輯推理能力，屬于中等題．5、D【解題分析】

本題需要考慮兩種情況，，通過二次函數(shù)性質(zhì)以及即集合性質(zhì)來確定實(shí)數(shù)的取值范圍。【題目詳解】設(shè)當(dāng)時(shí)，，滿足題意當(dāng)時(shí)，時(shí)二次函數(shù)因?yàn)樗院愦笥?，即所以，解得?！绢}目點(diǎn)撥】本題考察的是集合和帶有未知數(shù)的函數(shù)的綜合題，需要對(duì)未知數(shù)進(jìn)行分類討論。6、A【解題分析】

先對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，然后分別討論和時(shí)的極值點(diǎn)情況，隨后得到答案.【題目詳解】由得，當(dāng)時(shí)，，由，得，由，得.所以在取得極小值，不符合；當(dāng)時(shí)，令，得或，為使在時(shí)取得極大值，則有，所以，所以選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)極值點(diǎn)中含參問題，意在考查學(xué)生的分析能力和計(jì)算能力，對(duì)學(xué)生的分類討論思想要求較高，難度較大.7、C【解題分析】

推理分為合情推理(特殊→特殊或特殊→一般)與演繹推理（一般→特殊），其中合情推理包含類比推理與歸納推理，利用各概念進(jìn)行判斷可得正確答案.【題目詳解】解：∵A中是從特殊→一般的推理，均屬于歸納推理，是合情推理；B中，由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)，是由特殊→特殊的推理，為類比推理，屬于合情推理；C為三段論，是從一般→特殊的推理，是演繹推理；D為不完全歸納推理，屬于合情推理．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查推理中的合情推理與演繹推理，注意理解其概念作出正確判斷.8、C【解題分析】分析：求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，并化簡整理，結(jié)合函數(shù)在定義域?yàn)?0,?+∞)只有一個(gè)極值點(diǎn)進(jìn)行討論即可.詳解：函數(shù)的定義域?yàn)?0,?+∞)①當(dāng)時(shí)，恒成立，令，則，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得極小值，符合題意；②當(dāng)時(shí)，時(shí)，又函數(shù)在定義域?yàn)?0,?+∞)只有一個(gè)極值點(diǎn)，在處取得極值.從而或恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，設(shè)與相切的切點(diǎn)為，則切線方程為，因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，則，解得，則切點(diǎn)為此時(shí).由圖可知：要使恒成立，則.綜上所述：.故選：C.點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)并不一定就是原函數(shù)的極值點(diǎn)．所以在求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)后一定要注意分析這個(gè)零點(diǎn)是不是原函數(shù)的極值點(diǎn)．9、C【解題分析】總排法數(shù)為，故選C．點(diǎn)睛：本題是排列中的相鄰問題，用“捆綁法”求解，解決此問題分兩步，第一步把要求相鄰的三人捆綁在一起作為一個(gè)人，和其他3人看作是4人進(jìn)行排列，第二步這三人之間也進(jìn)行排列，然后用乘法原理可得解．10、C【解題分析】由是圓的一條對(duì)稱軸知，其必過圓心，因此，則過點(diǎn)斜率為1的直線的方程為，圓心到其距離，所以弦長等于，故選C．11、A【解題分析】

由已知得，因?yàn)?，所以，故選A．12、A【解題分析】

，可得在上是偶函數(shù).函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)果.【題目詳解】解：，在上是偶函數(shù).函數(shù)，，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.，，.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性，不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、10【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可直接得出答案.【題目詳解】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，由于只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故答案為10.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，解決二項(xiàng)式系數(shù)的最值問題常利用結(jié)論：二項(xiàng)展開式中中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，屬于基礎(chǔ)題.14、30【解題分析】

先計(jì)算小球放入3個(gè)不同的盒子的放法數(shù)目，再計(jì)算紅球和藍(lán)球放到同一個(gè)盒子的放法數(shù)目，兩個(gè)相減得到結(jié)果．【題目詳解】將4個(gè)小球放入3個(gè)不同的盒子，先在4個(gè)小球中任取2個(gè)作為1組，再將其與其它2個(gè)小球?qū)?yīng)3個(gè)盒子，共C42A33=36種情況，若紅球和藍(lán)球放到同一個(gè)盒子，則黑、黃球放進(jìn)其余的盒子里，有A33=6種情況，則紅球和藍(lán)球不放到同一個(gè)盒子的放法種數(shù)為36－6=30.故答案為：30【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合及簡單的計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，注意用間接法，屬于基礎(chǔ)題．15、31【解題分析】

根據(jù)，求出，又與的等差中項(xiàng)為，得到，所以可以求出，，即可求出【題目詳解】依題意，數(shù)列是等比數(shù)列，，即，所以，又與的等差中項(xiàng)為，所以，即，所以，所以，所以，故答案為：31【題目點(diǎn)撥】本題考查等比中項(xiàng)、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和公式，需熟記公式。16、【解題分析】

由柱坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式求得直角坐標(biāo)。【題目詳解】由柱坐標(biāo)可知，所以，所以直角坐標(biāo)為。所以填。【題目點(diǎn)撥】空間點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(x,y,z)與柱坐標(biāo)(ρ,θ,Z)之間的變換公式為。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】分析：（1）由橢圓的離心率為，以及點(diǎn)M在橢圓上，結(jié)合a，b，c關(guān)系列出方程組求解即可；（2）分過橢圓右焦點(diǎn)的直線斜率不存在和存在兩種情況，進(jìn)行整理即可.詳解：（1）；(2)因?yàn)橛医裹c(diǎn),當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)其方程為，因此，設(shè)，則，所以且，所以，，因此，直線和的斜率是成等差數(shù)列.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)其方程設(shè)為，由得，，所以，因此，，，，，所以，，又因?yàn)?，所以?因此，直線和的斜率是成等差數(shù)列，綜上可知直線和的斜率是成等差數(shù)列.點(diǎn)睛：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查計(jì)算能力與解決問題的能力.18、（1）函數(shù)在上是增函數(shù)；（2）見解析；（3）.【解題分析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，在（0，+∞）上恒成立，故函數(shù)在（1，+∞）上是增函數(shù)；（2）求導(dǎo))，當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，．分①，②，③，三種情況得到函數(shù)f（x）在[1，e]上是單調(diào)性，進(jìn)而得到[f（x）]min；（3）由題意可化簡得到，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性求出最小值為．試題解析：(1)當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒成立，故函數(shù)在上是增函數(shù).(2)，當(dāng)時(shí)，，①若，在上有(僅當(dāng)，時(shí)，)，故函數(shù)在上是增函數(shù)，此時(shí)；②若，由，得，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)在區(qū)間上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)，故；③若，在上有(僅當(dāng)，時(shí)，)，故函數(shù)在上是減函數(shù)，此時(shí)綜上可知，當(dāng)時(shí)，的最小值為1，相應(yīng)的的值為1；當(dāng)時(shí)，的最小值為，相應(yīng)的值為；當(dāng)時(shí)，的最小值為，相應(yīng)的的值為.(3)不等式可化為，因?yàn)?，所以，且等?hào)不能同時(shí)取，所以，即，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，，從而(僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，所以在上為增函數(shù)，所以的最小值為，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.點(diǎn)睛：不等式的存在問題即為不等式的有解問題，常用的方法有兩個(gè)：一是，分離變量法，將變量和參數(shù)移到不等式的兩邊，要就函數(shù)的圖像，找參數(shù)范圍即可；二是，含參討論法，此法是一般方法，也是高考的熱點(diǎn)問題，需要求導(dǎo)，討論參數(shù)的范圍，結(jié)合單調(diào)性處理.19、（1）0,8【解題分析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求出f(x)=(ax-x2)ex??(a≥0)的遞減區(qū)間，令[2,+∞)是其子集，利用包含關(guān)系列不等式求解即可；（2）f'x=-x2+a-2x+aex,?則x1【題目詳解】（1）由f(x)=(ax-x2)Δ=(a-2)2-4(-a)=a2+4>0，所以函數(shù)f(x)在(-∞,x1]上單調(diào)遞減，在(所以要f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞減，只需x2=a-2+∴a2+4≤所以所求a的取值范圍是0,8（2）f'x=-x∴x1,?x2是關(guān)于又f(xx1x2∴f(x又f(x令t=x2-從而只需-(t+2)+(t-2)et>0令h(t)=-(t+2)+(t-2)et，而h'∴h又ln11≈2.398<2.4=【題目點(diǎn)撥】本題是以導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能力，屬于較難題，近來高考在逐年加大對(duì)導(dǎo)數(shù)問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個(gè)層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式甚至數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)合，設(shè)計(jì)綜合題.20、（1）見解析；（2）【解題分析】

分析：(1)先構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減，最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式;(2)研究零點(diǎn)，等價(jià)研究的零點(diǎn)，先求導(dǎo)數(shù)：，這里產(chǎn)生兩個(gè)討論點(diǎn)，一個(gè)是a與零，一個(gè)是x與2，當(dāng)時(shí)，，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，先減后增，從而確定只有一個(gè)零點(diǎn)的必要條件，再利用零點(diǎn)存在定理確定條件的充分性，即得a的值.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于．設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減．而，故當(dāng)時(shí)，，即．（2）設(shè)函數(shù)．在只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個(gè)零點(diǎn)．（i）當(dāng)時(shí)，，沒有零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故是在的最小值．①若，即，在沒有零點(diǎn)；②若，即，在只有一個(gè)零點(diǎn)；③若，即，由于，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以．故在有一個(gè)零點(diǎn)，因此在有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，在只有一個(gè)零