2024屆北京東城北京二中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆北京東城北京二中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示，記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為（）A． B．C． D．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明：時，在第二步證明從到成立時，左邊增加的項(xiàng)數(shù)是（）A． B． C． D．13．如圖是求樣本數(shù)據(jù)方差的程序框圖，則圖中空白框應(yīng)填入的內(nèi)容為（）A． B．C． D．4．定積分的值為()A．3 B．1 C． D．5．某市組織了一次高二調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)，x∈(－∞，＋∞)，則下列命題不正確的是()A．該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?0分B．分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同C．分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同D．該市這次考試的數(shù)學(xué)成績標(biāo)準(zhǔn)差為106．歐拉公式（i為虛數(shù)單位）是由著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，他將指數(shù)函數(shù)定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)歐拉公式，若將表示的復(fù)數(shù)記為z，則的值為（）A． B． C． D．7．由①安夢怡是高二（1）班的學(xué)生，②安夢怡是獨(dú)生子女，③高二（1）班的學(xué)生都是獨(dú)生子女，寫一個“三段論”形式的推理，則大前提，小前提和結(jié)論分別為（）A．②①③ B．②③① C．①②③ D．③①②8．已知函數(shù)圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到的圖象關(guān)于軸對稱，則（）A．函數(shù)的周期為 B．函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱 D．函數(shù)在上單調(diào)9．已知是離散型隨機(jī)變量，，則（）A． B． C． D．10．在打擊拐賣兒童犯罪的活動中,警方救獲一名男孩,為了確定他的家鄉(xiāng),警方進(jìn)行了調(diào)查:知情人士A說,他可能是四川人,也可能是貴州人；知情人士B說,他不可能是四川人；知情人士C說,他肯定是四川人；知情人士D說,他不是貴州人.警方確定,只有一個人的話不可信.根據(jù)以上信息,警方可以確定這名男孩的家鄉(xiāng)是（）A．四川 B．貴州C．可能是四川,也可能是貴州 D．無法判斷11．三個數(shù)，，之間的大小關(guān)系是()A． B．C． D．12．在中，，則角為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，則它的母線長和底面半徑的比值是__________．14．在的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)的值為__________15．從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，這對對角線所成的角為的概率為________16．在中，角，，的對邊分別是，，，，若，則的周長為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）從5名男生和4名女生中選出4人去參加座談會，問：(1)如果4人中男生和女生各選2人，有多少種選法？(2)如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，有多少種選法？(3)如果4人中必須既有男生又有女生，有多少種選法？18．（12分）已知函數(shù)，(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)若函數(shù)在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的值．19．（12分）設(shè)點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是橢園C：x22t2+y2t2=1(t>0)的左、右焦點(diǎn)，且橢圓C上的點(diǎn)到F2(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)F1N?(3)當(dāng)|F2N20．（12分）已知函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若時，函數(shù)恰有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.（3）已知數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，求證：（其中）.21．（12分）設(shè)實(shí)部為正數(shù)的復(fù)數(shù)，滿足,且復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上.(1)求復(fù)數(shù)；(2)若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.22．（10分）某食品店為了了解氣溫對銷售量的影響，隨機(jī)記錄了該店1月份中5天的日銷售量（單位：千克）與該地當(dāng)日最低氣溫（單位：）的數(shù)據(jù)，如下表：2589111210887（1）求出與的回歸方程；（2）判斷與之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；若該地1月份某天的最低氣溫為6，請用所求回歸方程預(yù)測該店當(dāng)日的營業(yè)額；附:回歸方程中,,.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于0時函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，確定函數(shù)的單調(diào)性【題目詳解】解：由圖象可知，即求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，從而有解集為，故選：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是識圖，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解題分析】

先求出n=k+1時左邊最后的一項(xiàng)，再求左邊增加的項(xiàng)數(shù).【題目詳解】n=k+1時左邊最后的一項(xiàng)為，n=k時左邊最后一項(xiàng)為，所以左邊增加的項(xiàng)數(shù)為.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平.3、D【解題分析】

由題意知該程序的作用是求樣本的方差，由方差公式可得.【題目詳解】由題意知該程序的作用是求樣本的方差，所用方法是求得每個數(shù)與的差的平方，再求這8個數(shù)的平均值，則圖中空白框應(yīng)填入的內(nèi)容為：故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了程序框圖功能的理解以及樣本方差的計(jì)算公式，屬于一般題.4、C【解題分析】

運(yùn)用定積分運(yùn)算公式，進(jìn)行求解計(jì)算.【題目詳解】，故本題選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了定積分的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】分析：根據(jù)密度函數(shù)的特點(diǎn)可得：平均成績及標(biāo)準(zhǔn)差，再結(jié)合正態(tài)曲線的對稱性可得分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同，從而即可選出答案.詳解：密度函數(shù)，該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?0分該市這次考試的數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)差為10，從圖形上看，它關(guān)于直線對稱，且50與110也關(guān)于直線對稱，故分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同.故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查了正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，以及利用幾何圖形的對稱性求解.6、A【解題分析】

根據(jù)歐拉公式求出，再計(jì)算的值.【題目詳解】∵，∴.故選：A.【題目點(diǎn)撥】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，關(guān)鍵在于根據(jù)題意求出z.7、D【解題分析】

根據(jù)三段論推理的形式“大前提，小前提，結(jié)論”，根據(jù)大前提、小前提和結(jié)論的關(guān)系，即可求解.【題目詳解】由題意，利用三段論的形式可得演繹推理的過程是：大前提：③高二（1）班的學(xué)生都是獨(dú)生子女；小前提：①安夢怡是高二（1）班的學(xué)生；結(jié)論：②安夢怡是獨(dú)生子女，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了演繹推理中的三段論推理，其中解答中正確理解三段論推理的形式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】

根據(jù)對稱軸之間的距離，求得周期，再根據(jù)周期公式求得；再平移后，根據(jù)關(guān)于y軸對稱可求得的值，進(jìn)而求得解析式。根據(jù)解析式判斷各選項(xiàng)是否正確?！绢}目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為所以周期，則所以函數(shù)函數(shù)的圖象向左平移單位，得到的解析式為因?yàn)閳D象關(guān)于y軸對稱，所以，即，k∈Z因?yàn)樗约此灾芷?，所以A錯誤對稱中心滿足，解得，所以B錯誤對稱軸滿足，解得，所以C錯誤單調(diào)增區(qū)間滿足，解得，而在內(nèi)，所以D正確所以選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，周期、平移變化及單調(diào)區(qū)間的求法，屬于基礎(chǔ)題。9、B【解題分析】

根據(jù)題意，由隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)可得則只有兩個變量，進(jìn)而可得，解得，又由方差公式可得的值，又由方差的性質(zhì)計(jì)算可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意，，則則只有兩個變量，則，得，即，則，則.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)、數(shù)學(xué)期望以及方差與方差性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】

先確定B,C中必有一真一假，再分析出A,D兩個正確，男孩為四川人.【題目詳解】第一步,找到突破口B和C的話矛盾,二者必有一假.第二步,看其余人的話,A和D的話為真,因此男孩是四川人.第三步,判斷突破口中B,C兩句話的真假,C的話為真,B的話為假,即男孩為四川人.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分析推理，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解題分析】

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解【題目詳解】,故故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查三個數(shù)的大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的合理運(yùn)用．12、D【解題分析】

利用余弦定理解出即可．【題目詳解】【題目點(diǎn)撥】本題考查余弦定理的基本應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】試題分析：設(shè)圓柱的底面半徑為r,母線長為l，由題意r=l，∴考點(diǎn)：本題考查了圓柱展開圖的性質(zhì)點(diǎn)評：掌握圓柱的性質(zhì)是解決此類問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題14、15【解題分析】

寫出二項(xiàng)展開式通項(xiàng)，通過得到，從而求得常數(shù)項(xiàng).【題目詳解】二項(xiàng)展開式通項(xiàng)為：當(dāng)時，常數(shù)項(xiàng)為：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

正方體的面對角線共有12條，能夠數(shù)出每一條對角線和另外的8條構(gòu)成8對直線所成角為60°，得共有12×8對對角線所成角為60°，并且容易看出有一半是重復(fù)的，得正方體的所有對角線中，所成角是60°的有48對，根據(jù)古典概型概率公式求解即可．【題目詳解】如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，與上平面A1B1C1D1中一條對角線A1C1成60°的直線有：A1D，B1C，A1B，D1C，BC1，AD1，C1D，B1A共八對直線，總共12條對角線；∴共有12×8＝96對面對角線所成角為60°，而有一半是重復(fù)的；∴從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60°的共有48對．而正方體的面對角線共有12條，所以概率為：故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查正方體面對角線的關(guān)系，考查了古典概型的概率問題，而對于本題知道96對直線中有一半是重復(fù)的是求解本題的關(guān)鍵．16、【解題分析】由題意，所以，且由余弦定理，得，所以所以的周長為.點(diǎn)睛：本題主要考查了利用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換求解三角形問題，對于解三角形問題，通常利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）30；（2）91種；（3）120種.【解題分析】

試題分析：（1）根據(jù)題意，分別計(jì)算“從5名男生中選出2人”和“從4名女生中選出2人”的選法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；

（2）用間接法分析：先計(jì)算在9人中任選4人的選法數(shù)目，再排除其中“甲乙都沒有入選”的選法數(shù)目，即可得答案；

（3）用間接法分析：先計(jì)算在9人中任選4人的選法數(shù)目，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的選法數(shù)目，即可得答案．試題解析：(1)；(2)方法1：(間接法)在9人選4人的選法中，把男甲和女乙都不在內(nèi)的去掉，就得到符合條件的選法數(shù)為：(種)；方法2：(直接法)甲在內(nèi)乙不在內(nèi)有種，乙在內(nèi)甲不在內(nèi)有種，甲、乙都在內(nèi)有種，所以男生中的甲與女生中的乙至少有1人在內(nèi)的選法共有：(種).(3)方法1：(間接法)在9人選4人的選法中，把只有男生和只有女生的情況排除掉，得到選法總數(shù)為：(種)；方法2：(直接法)分別按含男1，2，3人分類，得到符合條件的選法總數(shù)為：(種).點(diǎn)睛：（1）解排列組合問題要遵循兩個原則：①按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；②按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組．注意各種分組類型中，不同分組方法的求解．18、（1）在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減（2）【解題分析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)，討論參數(shù)的取值范圍，由導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)區(qū)間（2）由題函數(shù)在上恒成立等價(jià)于在上，構(gòu)造函數(shù)，討論的單調(diào)性進(jìn)而求得答案。【題目詳解】（1）當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由得，解得，由得，解得，所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減。（2）由題函數(shù)在上恒成立等價(jià)于在上由（1）知當(dāng)時顯然不成立，當(dāng)時，，只需即可。令，則由解得，由解得所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以所以若函數(shù)在上恒成立，則【題目點(diǎn)撥】本題考查含參函數(shù)的單調(diào)性以及恒成立問題，比較綜合，解題的關(guān)鍵是注意討論參數(shù)的取值范圍，構(gòu)造新函數(shù)，屬于一般題。19、（1）x28+【解題分析】

(1)根據(jù)橢圓的簡單性質(zhì)可得a-c=2t-t=22-2，求解(2)可設(shè)N(22cosθ,2sinθ)(3)向量F1M與向量F2N平行，不妨設(shè)λF1M=F2N，設(shè)M(【題目詳解】(1)點(diǎn)F1、F2分別是橢圓C：x22t∵橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F2的距離的最小值為22-2解得t=2，∴橢圓的方程為x2(2)由(1)可得F1(-2,0)，F(xiàn)2(2,0可設(shè)N(22∴F1N∵F1N解得cosθ=0，sinθ=1，∴△F1N(3)∵向量F1M與向量F2∵|F2N|-|F設(shè)M(x1,∴λ(x1+2)=x∵x22∴[λx∴4λ(λ+1)x1=(1-3λ)(λ+1)∴y12∴|F1M|=λ+12λ，∴(λ-1)?λ+12∴x1=1λ-3=-8∴kF1M=23-0-83∴直線F2N的方程為y-0=-(x-2)，即為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，向量的運(yùn)算，直線斜率，屬于難題．20、（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；