江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有5架殲－15飛機(jī)準(zhǔn)備著艦．如果甲、乙兩機(jī)必須相鄰著艦，而丙、丁兩機(jī)不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有()A．12種 B．18種 C．24種 D．48種2．我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，每天的正點率服從正態(tài)分布，且，則（）A．0.96 B．0.97 C．0.98 D．0.993．函數(shù)（，e是自然對數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點，則實數(shù)a的取值范圍為()A． B． C． D．4．已知數(shù)列是等比數(shù)列，其前項和為，，則（）A． B． C．2 D．45．對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心設(shè)函數(shù)，則A．2016 B．2017 C．2018 D．20196．設(shè)集合，那么集合中滿足條件“”的元素個數(shù)為（）A．60 B．65 C．80 D．817．復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．8．將4名學(xué)生分配到5間宿舍中的任意2間住宿，每間宿舍2人，則不同的分配方法有（）A．240種 B．120種 C．90種 D．60種9．甲、乙、丙、丁4個人跑接力賽，則甲乙兩人必須相鄰的排法有（）A．6種 B．12種 C．18種 D．24種10．若復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．11．若函數(shù)在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為（）A．≥3 B．=3 C．≤3 D．0<<312．若函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B．（0，1）C． D．（﹣1，0）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的前項和公式為，則數(shù)列的通項公式為_________．14．底面半徑為1，母線長為2的圓錐的體積為______．15．化簡__________．16．若函數(shù)且是偶函數(shù)，則函數(shù)的值域為_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知的展開式中有連續(xù)三項的系數(shù)之比為1︰2︰3，（1）這三項是第幾項？（2）若展開式的倒數(shù)第二項為112，求x的值．18．（12分）已知．（1）證明：；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．19．（12分）某商家對他所經(jīng)銷的一種商品的日銷售量（單位：噸）進(jìn)行統(tǒng)計，最近50天的統(tǒng)計結(jié)果如下表：日銷售量11.52天數(shù)102515頻率0.2ab若以上表中頻率作為概率，且每天的銷售量相互獨立．（1）求5天中該種商品恰好有兩天的銷售量為1.5噸的概率；（2）已知每噸該商品的銷售利潤為2千元，表示該種商品某兩天銷售利潤的和（單位：千元），求的分布列和數(shù)學(xué)期望．20．（12分）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性．21．（12分）如圖,在多面體中,平面,四邊形為正方形,四邊形為梯形,且,,,.(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)線段上是否存在點,使得直線平面？若存在,求的值：若不存在,請說明理由.22．（10分）設(shè)正整數(shù),集合，是集合P的3個非空子集,記為所有滿足：的有序集合對（A,B,C）的個數(shù).（1）求；（2）求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】試題分析：先將甲、乙兩機(jī)看成一個整體，與另外一機(jī)進(jìn)行全排列，共有種排列方法，且留有三個空；再從三個位置中將丙、丁兩機(jī)進(jìn)行排列，有種方法；由分步乘法計數(shù)原理，得不同的著艦方法有種.考點：排列組合.2、D【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，求得指定區(qū)間的概率.【題目詳解】由于，故，故選D.【題目點撥】本小題主要考查正態(tài)分布的對稱性，考查正態(tài)分布指定區(qū)間的概率的求法，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】

函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)，存在唯一的零點等價于函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個交點，由，，可得函數(shù)與函數(shù)唯一交點為，的單調(diào)，根據(jù)單調(diào)性得到與的大致圖象，從圖形上可得要使函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個交點，則，即可解得實數(shù)的取值范圍．【題目詳解】解：函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)，存在唯一的零點等價于：函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個交點，，，函數(shù)與函數(shù)唯一交點為，又，且，，在上恒小于零，即在上為單調(diào)遞減函數(shù)，又是最小正周期為2，最大值為的正弦函數(shù)，可得函數(shù)與函數(shù)的大致圖象如圖：要使函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個交點，則，，，，解得，又，實數(shù)的范圍為．故選：．【題目點撥】本題主要考查了零點問題，以及函數(shù)單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是把唯一零點轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，通過圖象進(jìn)行分析研究，屬于難題．4、A【解題分析】

由題意，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和求和公式，求的公比，進(jìn)而可求解，得到答案．【題目詳解】由題意得，，，公比，則，故選A．【題目點撥】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式和求和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的通項公式和求和公式，準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解題分析】分析：對已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得圖象關(guān)于點對稱，即，利用倒序相加法即可得到結(jié)論.詳解：函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，由得，解得，而，故函數(shù)關(guān)于點對稱，，故設(shè)，則，兩式相加得，則，故選C.點睛：本題主要考查初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，正確理解“拐點”并利用“拐點”求出函數(shù)的對稱中心是解決本題的關(guān)鍵，求和的過程中使用了倒序相加法，屬于難題.6、D【解題分析】由題意可得，成立，需要分五種情況討論：當(dāng)時，只有一種情況，即；當(dāng)時，即，有種；當(dāng)時，即，有種；當(dāng)時，即，有種當(dāng)時，即，有種，綜合以上五種情況，則總共為：種，故選D.【題目點撥】本題主要考查了創(chuàng)新型問題，往往涉及方程，不等式，函數(shù)等，對涉及的不同內(nèi)容，先要弄清題意，看是先分類還是先步，再處理每一類或每一步，本題抓住只能取相應(yīng)的幾個整數(shù)值的特點進(jìn)行分類，對于涉及多個變量的排列，組合問題，要注意分類列舉方法的運用，且要注意變量取值的檢驗，切勿漏掉特殊情況.7、C【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的四則運算可得，再利用復(fù)數(shù)的除法與減法法則可求出復(fù)數(shù).【題目詳解】，，故選C.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算，考查復(fù)數(shù)的求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解題分析】

根據(jù)分步計數(shù)原理分兩步：先安排宿舍，再分配學(xué)生，繼而得到結(jié)果．【題目詳解】根據(jù)題意可以分兩步完成：第一步：選宿舍有10種；第二步：分配學(xué)生有6種；根據(jù)分步計數(shù)原理有：10×6＝60種．故選D．【題目點撥】本題考查排列組合及計數(shù)原理的實際應(yīng)用，考查了分析問題解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解題分析】

甲乙兩人捆綁一起作為一個人與其他2人全排列，內(nèi)部2人全排列．【題目詳解】因為甲乙兩人必須相鄰，看成一個整體，所以甲乙兩人必須相鄰的排法有種，故選：B.【題目點撥】本題考查排列問題，相鄰問題用捆綁法求解．10、A【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算可求得；根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可得到結(jié)果.【題目詳解】由題意得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查共軛復(fù)數(shù)的求解，關(guān)鍵是能夠利用復(fù)數(shù)的除法運算求得，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解題分析】

由題可得：在恒成立.整理得：在恒成立.求得：，即可得：，問題得解．【題目詳解】由題可得：在恒成立.即：在恒成立．又，所以.所以故選A【題目點撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，還考查了恒成立問題解決方法，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．12、A【解題分析】

首先由題意可得，再由對數(shù)式的運算性質(zhì)變形，然后求解對數(shù)不等式得答案.【題目詳解】由題意可得，第一個式子解得或；第二個式子化簡為，令，則，解得或，則或，則或.即或.綜上，實數(shù)的取值范圍為.故選：A.【題目點撥】本題主要考查以函數(shù)定義域為背景的恒成立問題，二次型函數(shù)的恒成立問題一般借助判別式進(jìn)行處理，本題同時兼顧考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由，可得當(dāng)時的數(shù)列的通項公式，驗證時是否符合即可.【題目詳解】當(dāng)時，,

當(dāng)時，，經(jīng)驗證當(dāng)時，上式也適合，故此數(shù)列的通項公式為，故答案為.【題目點撥】本題主要考查數(shù)列的通項公式與前項和公式之間的關(guān)系，屬于中檔題.已知數(shù)列前項和，求數(shù)列通項公式，常用公式，將所給條件化為關(guān)于前項和的遞推關(guān)系或是關(guān)于第項的遞推關(guān)系，若滿足等比數(shù)列或等差數(shù)列定義，用等比數(shù)列或等差數(shù)列通項公式求出數(shù)列的通項公式，否則適當(dāng)變形構(gòu)造等比或等數(shù)列求通項公式.在利用與通項的關(guān)系求的過程中，一定要注意的情況.14、【解題分析】

先由勾股定理求圓錐的高，再結(jié)合圓錐的體積公式運算即可得解.【題目詳解】解：設(shè)圓錐的高為，由勾股定理可得，由圓錐的體積可得，故答案為：.【題目點撥】本題考查了圓錐的體積公式，重點考查了勾股定理，屬基礎(chǔ)題.15、【解題分析】分析：利用二項式逆定理即可.詳解：（展開式實部）（展開式實部）.故答案為：.點睛：本題考查二項式定理的逆應(yīng)用，考查推理論證能力.16、【解題分析】

根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)可構(gòu)造方程求得，利用基本不等式可求得函數(shù)的最小值，從而得到函數(shù)值域.【題目詳解】由為偶函數(shù)可得：即，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），即的值域為：本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查函數(shù)值域的求解，關(guān)鍵是能夠通過函數(shù)的奇偶性求得函數(shù)的解析式.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）第5、6、7項；（2）或；【解題分析】

（1）先求展開式各項的系數(shù)，由有連續(xù)三項的系數(shù)之比為1︰2︰3，求出及項數(shù)；（2）再由通項公式寫出倒數(shù)第二項，由它等于112求出．【題目詳解】（1）展開式各項系數(shù)為，由題意，即，解得，∴這三項是第5、6、7項．（2）倒數(shù)第二項為，∴＝＝112，，，即，，∴或．【題目點撥】本題考查二項式定理，考查組合數(shù)公式的計算，題中難點有兩個，一個是把組合數(shù)用階乘表示出來后求解較方便，一個是解方程時要先取以2為底的對數(shù)后才能求解．18、（1）證明見解析；（2）．【解題分析】

(1)根據(jù)絕對值三角不等式得到;(2)，則，故，分情況去掉絕對值解出不等式即可.【題目詳解】（1）證明：．（2）解：若，則，故∴或，解得：．∴實數(shù)的取值范圍為．【題目點撥】這個題目考查了含有絕對值的不等式的解法，絕對值三角不等式的應(yīng)用，以及函數(shù)的最值問題；一般對于解含有多個絕對值的不等式，根據(jù)零點分區(qū)間，將絕對值去掉，分段解不等式即可.19、（1）5.3155；（5）6.5.【解題分析】試題分析：第一問根據(jù)頻率公式求得a=0.5,b=0.3，第二問在做題的過程中，利用題的條件確定銷售量為1．5噸的頻率為0.5，可以判斷出銷售量為1．5噸的天數(shù)服從于二項分布，利用公式求得結(jié)果，第二小問首先確定出兩天的銷售量以及與之對應(yīng)的概率，再根據(jù)銷售量與利潤的關(guān)系，求得的分布列和，利用離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望公式求得結(jié)果．試題解析：（1）由題意知：a=5．5，b=5．3．①依題意，隨機(jī)選取一天，銷售量為1．5噸的概率p=5．5，設(shè)5天中該種商品有X天的銷售量為1．5噸，則X～B（5，5．5），．②兩天的銷售量可能為5,5．5,3,3．5,5．所以的可能取值為5，5，6，7，8，則：，，，，，的分布列為：ξ

5

5

6

7

8

P

5．55

5．5

5．37

5．3

5．59

．考點：獨立重復(fù)實驗，離散型隨機(jī)變量的分布列與期望．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）討論見解析【解題分析】

（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（Ⅱ）分類討論參數(shù)的范圍，利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性即可.【題目詳解】解：（Ⅰ）當(dāng)時，所以．所以．所以曲線在點處的切線方程為．（Ⅱ）因為，所以．（1）當(dāng)時，因為由得，由得，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時，令，得．①當(dāng)時，由，得；由，得或．所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間和內(nèi)單調(diào)遞減．②當(dāng)時，由得或；由得．所以在區(qū)間和內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．③當(dāng)時，因為所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．④當(dāng)時，由得或；由得．所以在區(qū)間和內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．綜上可知，當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間和內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時，在區(qū)間和內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間和內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．【題目點撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用利用導(dǎo)數(shù)證明含參函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.21、(1)；(2).【解題分析】

建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.(1)求出平面的法向量,利用空間向量夾角公式可以求出直線與平面所成角的正弦值；(2)求出平面的法向量,結(jié)合線面平行的性質(zhì),空間向量共線的性質(zhì),如果求出的值,也就證明出存在線段上是否存在點,使得直線平面,反之就不存在.【題目詳解】以為空間直角坐標(biāo)系的原點,向量所在的直線為軸.如下所示：.(1)平面的法向量為,..直線與平面所成角為,所以有;(2)假設(shè)線段上是存在點,使得直線平面.設(shè),因此,所以的坐標(biāo)為：..設(shè)平面的法向量為,