湖南省炎德英才大聯(lián)考2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

湖南省炎德英才大聯(lián)考2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．元朝著名數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中有一首詩(shī):“我有一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗，店友經(jīng)三處，沒(méi)了壺中酒，借問(wèn)此壺中，當(dāng)原多少酒?”用程序框圖表達(dá)如圖所示，即最終輸出的，則一開(kāi)始輸入的x的值為()A． B． C． D．2．若函數(shù)的圖象與的圖象都關(guān)于直線對(duì)稱，則與的值分別為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)f（x）＝2x－1，（a∈R），若對(duì)任意x1∈[1，＋∞），總存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．4．若函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．5．已知空間向量OA向量OP=xOA+yOB+zOCA．12 B．1 C．326．曲線y=2sinx+cosx在點(diǎn)(π，–1)處的切線方程為A． B．C． D．7．有4件不同顏色的襯衣，3件不同花樣的裙子，另有2套不同樣式的連衣裙，需選擇一套服裝參加“五一”節(jié)歌舞演出，則不同的選擇方式種數(shù)為（）A．24 B．14 C．10 D．98．若拋物線,過(guò)其焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn),則的最小值為()A．6 B． C．9 D．9．設(shè)是可導(dǎo)函數(shù),且滿足,則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為()A．4 B．-1 C．1 D．-410．用1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，則5和6在兩端，1和2相鄰的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是A．24 B．32 C．36 D．4811．某同學(xué)將收集到的六組數(shù)據(jù)制作成散點(diǎn)圖如圖所示，并得到其回歸直線的方程為l1:y=0.68x+a，計(jì)算其相關(guān)系數(shù)為r1，相關(guān)指數(shù)為R12.經(jīng)過(guò)分析確定點(diǎn)F為“離群點(diǎn)”，把它去掉后，再利用剩下的5組數(shù)據(jù)計(jì)算得到回歸直線的方程為l2A．r1>0,C．a(chǎn)=0.12 D．12．若展開(kāi)式中只有第四項(xiàng)的系數(shù)最大，則展開(kāi)式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則a4+a2+a0＝_____14．若直線（t為參數(shù)）與直線垂直，則常數(shù)=．15．若函數(shù)，且在上有最大值，則最大值為_(kāi)____．16．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)α的值是_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，兩條漸近線方程為.（1）求雙曲線的方程；（2）雙曲線上有兩個(gè)點(diǎn)，直線和的斜率之積為，判別是否為定值，；（3）經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線且與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，直線的傾斜角是，是否存在直線（其中）使得恒成立？（其中分別是點(diǎn)到的距離）若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．（12分）已知函數(shù)(1)求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)求在上的最大值與最小值。19．（12分）設(shè)函數(shù)）.（1）若直線和函數(shù)的圖象相切，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，若存在正實(shí)數(shù)，使對(duì)任意都有恒成立，求的取值范圍.20．（12分）2名男生、4名女生排成一排，問(wèn)：（1）男生平必須排在男生乙的左邊（不一定相鄰）的不同排法共有多少種？（2）4名女生不全相鄰的不同排法共有多少種？21．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，且．（1）求角A的大?。唬?）求△ABC的面積的最大值.22．（10分）已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ，直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)．(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程及弦AB的長(zhǎng)；(2)動(dòng)點(diǎn)P在圓C上(不與A，B重合)，試求△ABP的面積的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由已知中的程序語(yǔ)句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算輸入時(shí)變量x的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得到答案.【題目詳解】本題由于已知輸出時(shí)x的值，因此可以逆向求解：輸出,此時(shí)；上一步：,此時(shí)；上一步：,此時(shí)；上一步：,此時(shí)；故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)，考查了學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】分析：由題意得，結(jié)合即可求出，同理可得的值.詳解：函數(shù)的圖象與的圖象都關(guān)于直線對(duì)稱，和（）解得和，和時(shí)，；時(shí)，.故選：D.點(diǎn)睛：本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】

對(duì)a分a=0,a＜0和a＞0討論，a＞0時(shí)分兩種情況討論，比較兩個(gè)函數(shù)的值域的關(guān)系，即得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【題目詳解】當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）＝2x－1的值域?yàn)閇1,+∞），函數(shù)的值域?yàn)閇0,++∞），滿足題意.當(dāng)a＜0時(shí)，y=的值域?yàn)椋?a,+∞）,y=的值域?yàn)閇a+2,-a+2],因?yàn)閍+2-2a=2-a>0,所以a+2＞2a,所以此時(shí)函數(shù)g(x)的值域?yàn)椋?a,+∞）,由題得2a＜1，即a＜，即a＜0.當(dāng)a＞0時(shí)，y=的值域?yàn)椋?a,+∞）,y=的值域?yàn)閇-a+2,a+2],當(dāng)a≥時(shí)，-a+2≤2a,由題得.當(dāng)0＜a＜時(shí)，-a+2＞2a，由題得2a＜1，所以a＜.所以0＜a＜.綜合得a的范圍為a＜或1≤a≤2，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.4、D【解題分析】

先設(shè)，，則函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，再求函數(shù)的單調(diào)性判斷即可得解.【題目詳解】解：由得，設(shè)，，則函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.則函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，∴，又，，又函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題。5、A【解題分析】

由題求得OP的坐標(biāo)，求得OP，結(jié)合4x+2y+z=4可得答案.【題目詳解】=x+y,y,z，OP利用柯西不等式可得42∴OP故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查空間向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算及空間向量向量模的求法，屬基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】

先判定點(diǎn)是否為切點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)在曲線上．則在點(diǎn)處的切線方程為，即．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)工具研究曲線的切線方程，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取導(dǎo)數(shù)法，利用函數(shù)與方程思想解題．學(xué)生易在非切點(diǎn)處直接求導(dǎo)數(shù)而出錯(cuò)，首先證明已知點(diǎn)是否為切點(diǎn)，若是切點(diǎn)，可以直接利用導(dǎo)數(shù)求解；若不是切點(diǎn)，設(shè)出切點(diǎn)，再求導(dǎo)，然后列出切線方程．7、B【解題分析】分析：利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理即可得出.詳解：由題意可得，不同的選擇方式.故選：B.點(diǎn)睛：切實(shí)理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進(jìn)行；分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”，分步的關(guān)鍵在于要正確設(shè)計(jì)分步的程序，即合理分類，準(zhǔn)確分步．8、B【解題分析】分析：設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組得出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出關(guān)于A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)的式子，使用基本不等式得出最小值.詳解：拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，得，設(shè)，則，，由拋物線的性質(zhì)得，.故選：B.點(diǎn)睛：本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.9、D【解題分析】

由已知條件推導(dǎo)得到f′（1）=-4，由此能求出曲線y=f（x）在（1，f（1））處切線的斜率．【題目詳解】由，得，∴曲線在點(diǎn)處的切線斜率為-4，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及運(yùn)算，求解問(wèn)題的關(guān)鍵，在于對(duì)所給極限表達(dá)式進(jìn)行變形，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線上的點(diǎn)的切線斜率，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】

特殊元素優(yōu)先排，相鄰元素捆綁排，然后再分析剩余元素的排列.【題目詳解】先排，方法有：種；將捆綁在一起，方法有：種；將這個(gè)整體和以及全排列，方法有：種，所以六位數(shù)的個(gè)數(shù)為：個(gè)，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用，難度一般.在排列組合的過(guò)程中，一般我們要注意：特殊元素優(yōu)先排，相鄰元素捆綁排這樣一個(gè)原則.11、B【解題分析】

根據(jù)相關(guān)性的正負(fù)判斷r1和r2的正負(fù)，根據(jù)兩個(gè)模型中回歸直線的擬合效果得出R12和R2【題目詳解】由圖可知兩變量呈現(xiàn)正相關(guān)，故r1>0,r2>0故A正確，B不正確.又回歸直線l1:y=0.68x+a必經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)(3.5,2.5)，所以a=2.5-0.68×3.5=0.12回歸直線l2:y=bx+0.68必經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)所以b=0.44，也可直接根據(jù)圖象判斷0<b<0.68（比較兩直線的傾斜程度），故D【題目點(diǎn)撥】本題考查回歸分析，考查回歸直線的性質(zhì)、相關(guān)系數(shù)、相關(guān)指數(shù)的特點(diǎn)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)的理解，屬于中等題。12、D【解題分析】

根據(jù)最大項(xiàng)系數(shù)可得的值，結(jié)合二項(xiàng)定理展開(kāi)式的通項(xiàng)，即可得有理項(xiàng)及有理項(xiàng)的個(gè)數(shù).【題目詳解】展開(kāi)式中只有第四項(xiàng)的系數(shù)最大，所以，則展開(kāi)式通項(xiàng)為，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)為有理項(xiàng)，所以有理項(xiàng)共有4項(xiàng)，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)定理展開(kāi)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)定理展開(kāi)式通項(xiàng)的應(yīng)用，有理項(xiàng)的求法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

利用特殊值法，令x＝0，1，﹣1，將所得結(jié)果進(jìn)行運(yùn)算可得解．【題目詳解】令x＝0，可得a0＝1；令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+a4＝1，即a1+a2+a3+a4＝0①；令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝81，即﹣a1+a2﹣a3+a4＝80②，將①和②相加可得，2（a2+a4）＝80，所以a2+a4＝40，所以a0+a2+a4＝1．故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)的求解方法：賦值法，對(duì)題目中的x合理賦值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】試題分析：把直線（t為參數(shù)）消去參數(shù)，化為直角坐標(biāo)方程可得3x+2y7=1．再根據(jù)此直線和直線4x+ky=1垂直，可得，解得k=6，故選B.考點(diǎn)：參數(shù)方程.15、3【解題分析】

先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出，再由導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可求出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，所以，因此，解得，所以，由得或；由得，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以當(dāng)時(shí)，取極大值，由得或；又在上有最大值，所以只需.故答案為3【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，由函數(shù)在給定區(qū)間有最大值求參數(shù)，只需利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性，即可求解，屬于?？碱}型.16、【解題分析】

由冪函數(shù)的定義，把代入可求解.【題目詳解】點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，，，故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查冪函數(shù)的定義.冪函數(shù)的性質(zhì):(1)冪函數(shù)在上都有定義；(2)冪函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)；(3)當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)和，且在上單調(diào)遞增；(4)當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)，且在上單調(diào)遞減；(5)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）8；（3）存在且【解題分析】分析：（1）根據(jù)題意，雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，兩條漸近線方程為.易求求雙曲線的方程；（2）設(shè)直線的斜率，顯然，聯(lián)立得，求出，，可證；（3）設(shè)直線方程，聯(lián)立，（*），∵，方程總有兩個(gè)解，設(shè)，得到，根據(jù)得，整理得，由，則符合題目要求，存在直線．詳解：（1）雙曲線；（2）設(shè)直線的斜率，顯然，聯(lián)立得，，，；（3）設(shè)直線方程，聯(lián)立，（*），∵，方程總有兩個(gè)解，設(shè)，，根據(jù)得，整理得，∵，∴符合題目要求，存在直線．點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的求法，直線與雙曲線的位置關(guān)系，屬難題.18、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求出的值，作為切線的斜率，并計(jì)算出，再利用點(diǎn)斜式寫出切線的方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并求出極值，再與端點(diǎn)值比較大小，即可得出函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值?！绢}目詳解】（1），，所以，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，，所以，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2），。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。所以，，因?yàn)?，，所以，，則，所以，函數(shù)在上的最大值為?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)，在處理函數(shù)的最值時(shí)，要充分利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，并將極值與端點(diǎn)函數(shù)值作大小比較得出結(jié)論，考查計(jì)算能力與分析問(wèn)題的能力，屬于中等題。19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的意義，設(shè)切點(diǎn)，得斜率，列方程求即可；（2）由（1）得當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，，取絕對(duì)值構(gòu)造函數(shù)即可.試題解析：（1）設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，得，所以切線方程為，即，由已知和為同一條直線，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以.（2）①當(dāng)時(shí)，有（1）結(jié)合函數(shù)的圖象知：存在，使得對(duì)于任意，都有，則不等式等價(jià)，即，設(shè)，由得，由得，若，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋匀我?，與題意不符，若，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?duì)任意符合題意，此時(shí)取，可得對(duì)任意，都有.②當(dāng)時(shí)，有（1）結(jié)合函數(shù)的圖象知，所以對(duì)任意都成立，所以等價(jià)于，設(shè)，則，由得得，，所以在上單調(diào)遞減，注意到，所以對(duì)任意，不符合題設(shè)，總數(shù)所述，的取值范圍為.點(diǎn)睛：不等式的恒成立問(wèn)題，常用的方法有兩個(gè)：一是，分離變量法，將變量和參數(shù)移到不等式的兩邊，要就函數(shù)的圖像，找參數(shù)范圍即可；二是，含參討論法，此法是一般方法，也是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，需要求導(dǎo)，討論參數(shù)的范圍，結(jié)合單調(diào)性處理.20、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）根據(jù)定序法確定排列數(shù)，（2）先求相鄰的排列數(shù)（捆綁法），再用全排列相減得結(jié)果.詳解：（1）法1：，法2：；（2）．答：分別有360和576種不同的排法.點(diǎn)睛：求解排列、組合問(wèn)題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問(wèn)題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問(wèn)題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問(wèn)題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問(wèn)題——間接法.21、（1）（2）最大值.【解題分析】

（1）利用正弦定理得，再由余弦定理求得，即可求解；（2）利用余弦定理和基本不等式，求得的最大值，再利用三角形的面積公式，即可求解面積的最大值，得到答案.【題目詳解】在的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為且，且．整理得，利用正弦定理得，又由余弦定理，得，由于，解得：．由于，所以，整理得：，所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的面積有最大值.