2024屆福建省上杭縣一中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2024屆福建省上杭縣一中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知x，y滿足不等式組則z="2x"+y的最大值與最小值的比值為A． B． C． D．22．函數(shù)（）A． B．C． D．3．已知O是的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)．若，其中，則（）A．-2 B．2 C． D．4．若曲線與曲線在它們的公共點(diǎn)處具有公共切線，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．5．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A．-2 B．2 C．4 D．66．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A．1 B． C．2 D．37．若=（4，2，3）是直線l的方向向量，=（-1，3，0）是平面α的法向量，則直線l與平面α的位置關(guān)系是A．垂直 B．平行C．直線l在平面α內(nèi) D．相交但不垂直8．、兩支籃球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束.除第五局隊(duì)獲勝的概率是外，其余每局比賽隊(duì)獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.則隊(duì)以獲得比賽勝利的概率為（）A． B． C． D．9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則的面積為()A． B． C． D．10．若函數(shù)，則（）A．0 B．8 C．4 D．611．兩射手彼此獨(dú)立地向同一目標(biāo)射擊，設(shè)甲射中的概率，乙射中的概率，則目標(biāo)被擊中的概率為（）A．1.7 B．1 C．0.72 D．0.9812．在一個(gè)6×6的表格中放3顆完全相同的白棋和3顆完全相同的黑棋，若這6顆棋子不在同一行也不在同一列上，則不同的放法有A．14400種 B．518400種 C．720種 D．20種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與雙曲線的一條漸近線平行，則這兩條平行直線之間的距離是．14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是曲線y=x+4x(x>0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x+y=015．售后服務(wù)人員小張、小李、小王三人需要拜訪三個(gè)客戶完成售后服務(wù)，每人只拜訪一個(gè)客戶，設(shè)事件“三個(gè)人拜訪的客戶各不相同”，“小王獨(dú)自去拜訪一個(gè)客戶”，則概率等于_________.16．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，與軸正半軸交于點(diǎn)，若為等腰直角三角形，且直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2.（1）求橢圓的方程；（2）直線：與橢圓交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，射線與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)為的重心，求證：的面積為定值.18．（12分）（遼寧省葫蘆島市2018年二模）直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，圓的方程為.（1）求圓的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)圓與直線交于點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的最小值.19．（12分）如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝m，點(diǎn)M是棱CD的中點(diǎn)．（1）求異面直線B1C與AC1所成的角的大?。唬?）是否存在實(shí)數(shù)m，使得直線AC1與平面BMD1垂直？說(shuō)明理由；（3）設(shè)P是線段AC1上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），滿足λ，求λ的值，使得三棱錐B1﹣CD1C1與三棱錐B1﹣CD1P的體積相等．20．（12分）橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)在橢圓上，且滿足的點(diǎn)只有兩個(gè).（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過(guò)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，在軸上是否存在一點(diǎn)，使得的角平分線是軸？若存在求出，若不存在，說(shuō)明理由.21．（12分）某大學(xué)“統(tǒng)計(jì)初步”課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選該課程的一些學(xué)生的情況，具體數(shù)據(jù)如下表：非統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)合計(jì)男8436120女324880合計(jì)11684200（1）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為“修統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)與性別有關(guān)系”？（2）用分層抽樣方法在上述80名女生中按照“非統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)”與“統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)”隨機(jī)抽取10名，再?gòu)某榈降倪@10名女生中抽取2人，記抽到“統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中；臨界值表：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）十九大以來(lái)，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實(shí)國(guó)家精準(zhǔn)扶貧的政策要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康.經(jīng)過(guò)不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進(jìn)步，農(nóng)民年收入也逐年增加.為了制定提升農(nóng)民年收入、實(shí)現(xiàn)2020年脫貧的工作計(jì)劃，該地扶貧辦統(tǒng)計(jì)了2019年50位農(nóng)民的年收入并制成如下頻率分布直方圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)50位農(nóng)民的年平均收入元（單位：千元）（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示）；（2）由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該貧困地區(qū)農(nóng)民年收入X服從正態(tài)分布，其中近似為年平均收入，近似為樣本方差，經(jīng)計(jì)算得，利用該正態(tài)分布，求：（i）在扶貧攻堅(jiān)工作中，若使該地區(qū)約有占總農(nóng)民人數(shù)的84.14%的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn)，則最低年收入大約為多少千元？（ii）為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人”的政策要求落實(shí)情況，扶貧辦隨機(jī)走訪了1000位農(nóng)民.若每位農(nóng)民的年收入互相獨(dú)立，問(wèn)：這1000位農(nóng)民中的年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是多少？附參考數(shù)據(jù)：，若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

解：因?yàn)閤，y滿足不等式組，作出可行域，然后判定當(dāng)過(guò)點(diǎn)（2,2）取得最大，過(guò)點(diǎn)（1,1）取得最小，比值為2，選D2、A【解題分析】

由于函數(shù)為偶函數(shù)又過(guò)（0，0）,排除Ｂ，Ｃ，Ｄ，所以直接選A.【考點(diǎn)定位】對(duì)圖像的考查其實(shí)是對(duì)性質(zhì)的考查，注意函數(shù)的特征即可，屬于簡(jiǎn)單題.3、A【解題分析】

由向量的線性運(yùn)算，可得，即得解.【題目詳解】由于，故所以故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】分析：設(shè)公共點(diǎn)，求導(dǎo)數(shù)，利用曲線與曲線在它們的公共點(diǎn)處具有公共切線，建立方程組，即可求出a的值.詳解：設(shè)公共點(diǎn)，，，曲線與曲線在它們的公共點(diǎn)處具有公共切線，，解得.故選：A.點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵.5、D【解題分析】分析：由題意知隨機(jī)變量符合正態(tài)分布，又知正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱(chēng)，得到兩個(gè)概率相等的區(qū)間關(guān)于對(duì)稱(chēng)，得到關(guān)于的方程，解方程求得詳解：由題隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義、函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解題分析】分析：利用復(fù)數(shù)的除法求出，進(jìn)而得到.詳解：由題故選B.點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)逇除法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模，屬基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

判斷直線的方向向量與平面的法向量的關(guān)系，從而得直線與平面的位置關(guān)系．【題目詳解】顯然與不平行，因此直線與平面不垂直，又，即與不垂直，從而直線與平面不平行，故直線與平面相交但不垂直．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查用向量法判斷直線與平面的位置關(guān)系，方法是由直線的方向向量與平面的法向量的關(guān)系判斷，利用向量的共線定理和數(shù)量積運(yùn)算判斷直線的方向向量與平面的法向量是否平行和垂直，然后可得出直線與平面的位置關(guān)系．8、A【解題分析】分析：若“隊(duì)以勝利”，則前四局、各勝兩局，第五局勝利，利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式可得結(jié)果.詳解：若“隊(duì)以勝利”，則前四局、各勝兩局，第五局勝利，因?yàn)楦骶直荣惤Y(jié)果相互獨(dú)立，所以隊(duì)以獲得比賽勝利的概率為，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查閱讀能力，獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式，意在考查利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬于中檔題.9、C【解題分析】

設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，設(shè)，由，所以，結(jié)合韋達(dá)定理可得，，由可得解.【題目詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為所以，設(shè)直線的方程為，將代入，可得，設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，所以，，所以，即，所以，所以的面積，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了設(shè)而不求的思想，由轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)解析式可求得，結(jié)合函數(shù)奇偶性可得到，從而得到結(jié)果.【題目詳解】由題意得：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠根據(jù)解析式確定為定值，從而求得結(jié)果.11、D【解題分析】

先計(jì)算沒(méi)有被擊中的概率，再用1減去此概率得到答案.【題目詳解】.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了概率的計(jì)算，先計(jì)算沒(méi)有被擊中的概率是解題的關(guān)鍵.12、A【解題分析】根據(jù)題意，在6×6的棋盤(pán)中，第一顆棋子有6×6種放法，由于任意兩顆棋子不在同一行且不在同一列，則第二顆棋子有5×5種放法，第三顆棋子有4×4種放法，第四顆棋子有3×3種放法，第五顆棋子有2×2種放法，第六顆棋子有1種放法，又由于3顆黑子是相同的，3顆白子之間也是相同的，故6顆棋子不同的排列方法種數(shù)為種；故選A.點(diǎn)睛：在排列組合問(wèn)題中，遇見(jiàn)元素相同的排列時(shí)，一般可以將兩個(gè)元素看作不同元素，排列結(jié)束后除以相同元素的全排列即可，比如有兩個(gè)元素相同即除以，如三個(gè)元素相同即除以.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】因?yàn)橹本€ax+y+2=0與雙曲線的一條漸近線y=x平行，所以-a=2，(或者-a=-2),則a=-2,(a=2,)假設(shè)a=2,則利用平行線間距離公式解得為14、4.【解題分析】

將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)與直線之間的距離，然后利用導(dǎo)函數(shù)確定切點(diǎn)坐標(biāo)可得最小距離【題目詳解】當(dāng)直線x+y=0平移到與曲線y=x+4x相切位置時(shí)，切點(diǎn)Q即為點(diǎn)P到直線x+y=0由y'=1-4x2即切點(diǎn)Q(2則切點(diǎn)Q到直線x+y=0的距離為2+3故答案為：4．【題目點(diǎn)撥】本題考查曲線上任意一點(diǎn)到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取導(dǎo)數(shù)法和公式法，利用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.15、【解題分析】

是條件概率，，利用公式求解.【題目詳解】根據(jù)題意有事件“三個(gè)人拜訪的客戶各不相同”，則,所以.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了條件概率的求法、組合的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.16、或【解題分析】

求出導(dǎo)函數(shù)，然后在定義域內(nèi)解不等式得減區(qū)間．【題目詳解】，由，又得．∴減區(qū)間為，答也對(duì)．故答案為或．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，一般由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】分析：（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)分析可得，又由直線與圓的位置關(guān)系可得的值，進(jìn)而可得的值，將的值代入橢圓的方程即可得結(jié)論；（2）根據(jù)題意，分、兩種情況討論，若直線的斜率不存在，容易求出的面積，若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，求出的面積消去參數(shù)，綜合兩種情況可得結(jié)論.詳解：（1）由為等腰直角三角形可得，直線：被圓圓所截得的弦長(zhǎng)為2，所以，所以橢圓的方程為.（2）若直線的斜率不存在，則.若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，即，則，，，由題意點(diǎn)為重心，設(shè)，則，所以，，代入橢圓，得，整理得，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，則的面積.綜上可得的面積為定值.點(diǎn)睛：本題主要考查待定待定系數(shù)法求拋物線及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、圓錐曲線的定值問(wèn)題以及點(diǎn)在曲線上問(wèn)題，屬于難題.探索圓錐曲線的定值問(wèn)題常見(jiàn)方法有兩種：①?gòu)奶厥馊胧郑雀鶕?jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.18、（1）（2）.【解題分析】分析：（1）將兩邊同乘，根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系得出直角坐標(biāo)方程；

（2）將直線的參數(shù)方程代入圓的普通方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義與根與系數(shù)的關(guān)系得出．詳解：（1）由，化為直角坐標(biāo)方程為，即（2）將l的參數(shù)方程帶入圓C的直角坐標(biāo)方程，得因?yàn)椋稍O(shè)，又因?yàn)椋?，1）為直線所過(guò)定點(diǎn)，所以點(diǎn)睛：本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程的幾何意義與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）90°（2）存在，m，理由見(jiàn)解析（3）λ【解題分析】

（1）根據(jù)題意只需證明平面，即可得到B1C⊥AC1，從而可得答案.（2）存在實(shí)數(shù)m，使得直線AC1與平面BMD1垂直．只需證明BM⊥AC1，AC1⊥D1M，即可得到直線AC1⊥平面BMD1；（3）計(jì)算，，設(shè)AC1與平面B1CD1的斜足為O，則AO＝2OC1，則P為AO的中點(diǎn)，從而可得答案.【題目詳解】（1）連接BC1，如圖所示：由四邊形BCC1B1為正方形，可得B1C⊥BC1，又ABCD﹣A1B1C1D1為長(zhǎng)方體，可得AB⊥B1C，而AB∩BC1＝B，∴B1C⊥平面ABC1，而AC1?平面ABC1，∴B1C⊥AC1，即異面直線B1C與AC1所成的角的大小為90°；（2）存在實(shí)數(shù)m，使得直線AC1與平面BMD1垂直．事實(shí)上，當(dāng)m時(shí)，CM，∵BC＝1，∴，則Rt△ABC∽R(shí)t△BCM，則∠CAB＝∠MBC，∵∠CAB+∠ACB＝90°，∴∠MBC+∠ACB＝90°，即AC⊥BM，又CC1⊥BM，AC∩CC1＝C，∴BM⊥平面ACC1，則BM⊥AC1，同理可證AC1⊥D1M，又D1M∩BM＝M，∴直線AC1⊥平面BMD1；（3）∵，，設(shè)AC1與平面B1CD1的斜足為O，則AO＝2OC1，∴在線段AC1上取一點(diǎn)P，要使三棱錐B1﹣CD1C1與三棱錐B1﹣CD1P的體積相等，則P為AO的中點(diǎn)，即．【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線與平面垂直的判定定理，考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了棱柱和棱錐的體積公式，屬于中檔題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析.【解題分析】

（Ⅰ）由題得點(diǎn)為橢圓的上下頂點(diǎn)，得到a,b,c的方程組，解方程組即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程得到韋達(dá)定理，根據(jù)得到.所以存在點(diǎn)，使得的平分線是軸.【題目詳解】解：（I）由題設(shè)知點(diǎn)為橢圓的上下頂點(diǎn)，所以，b=c,,故，,故橢圓方程為.（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消得設(shè)，坐標(biāo)為，則有，，又，假設(shè)在軸上存在這樣的點(diǎn)，使得軸是的平分線，則有而將，，代入有即因?yàn)?，?所以存在點(diǎn)，使得的平分線是軸.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系和橢圓中的存在性問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.21、（1）能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為“修統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)與性別有關(guān)系”．詳見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解題分析】

（1）根據(jù)公式計(jì)算，與臨界值表作比較得到答案.（2）根據(jù)分層抽樣計(jì)算“非統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)”與“統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)”人數(shù)，計(jì)算各種情況的概