2024屆廣東省佛山市普通高中數學高二第二學期期末聯考試題含解析

2024屆廣東省佛山市普通高中數學高二第二學期期末聯考試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若復數（）不是純虛數，則（）A． B． C． D．且2．已知分別為四面體的棱上的點,且,,,,則下列說法錯誤的是（）A．平面 B．C．直線相交于同一點 D．平面3．是異面直線的公垂線，在線段上(異于)，則的形狀是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．三角形不定4．在正四棱錐中，，直線與平面所成的角為，為的中點，則異面直線與所成角為（）A． B． C． D．5．已知函數是定義在上的奇函數，且以2為周期，當時，，則的值為（）A． B． C． D．6．已知集合，，則（）A． B．C． D．7．設函數，則（）A．9 B．11 C．13 D．158．已知集合，，若，則等于（）A．1 B．2 C．3 D．49．現有甲、乙等5名同學排成一排照相，則甲、乙兩名同學相鄰，且甲不站兩端的站法有（）A．24種 B．36種 C．40種 D．48種10．復數的實部為A． B． C． D．11．函數在上的最小值和最大值分別是A． B． C． D．12．已知，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則________.（用含的式子表示）14．若的展開式中各項系數的和為，則該展開式中的常數項為__________．15．在等差數列中,,則________16．(文科學生做)若，則______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某種產品的廣告費用支出（萬元）與銷售（萬元）之間有如下的對應數據：245683040605070若由資料可知對呈線性相關關系，試求：（1）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；（2）據此估計廣告費用支出為10萬元時銷售收入的值.（參考公式：，.）18．（12分）某市房地產數據研究所的數據顯示，2016年該市新建住宅銷售均價走勢如圖所示，3月至7月房價上漲過快，政府從8月采取宏觀調控措施，10月份開始房價得到很好的抑制.（1）地產數據研究所發(fā)現，3月至7月的各月均價（萬元/平方米）與月份之間具有較強的線性相關關系，試求關于的回歸直線方程；（2）若政府不調控，按照3月份至7月份房價的變化趨勢預測12月份該市新建住宅的銷售均價.參考數據：參考公式：.19．（12分）已知函數，為實數.（1）當時，求函數在點處的切線方程；（2）當，且恒成立時，求的最大值.20．（12分）已知點在圓柱的底面圓上，為圓的直徑.（1）求證：；（2）若圓柱的體積為，，，求異面直線與所成的角（用反三角函數值表示結果）.21．（12分）某大學學生會為了調查了解該校大學生參與校健身房運動的情況，隨機選取了100位大學生進行調查，調查結果統(tǒng)計如下：參與不參與總計男大學生30女大學生50總計45100（1）根據已知數據，把表格數據填寫完整；（2）能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為參與校健身房運動與性別有關？請說明理由.附：，其中.0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）高鐵、網購、移動支付和共享單車被譽為中國的“新四大發(fā)明”，彰顯出中國式創(chuàng)新的強勁活力.某移動支付公司從我市移動支付用戶中隨機抽取100名進行調查，得到如下數據：每周移動支付次數1次2次3次4次5次6次及以上男10873215女5464630合計1512137845（1）把每周使用移動支付6次及6次以上的用戶稱為“移動支付達人”，按分層抽樣的方法，在我市所有“移動支付達人”中，隨機抽取6名用戶①求抽取的6名用戶中，男女用戶各多少人；②從這6名用戶中抽取2人，求既有男“移動支付達人”又有女“移動支付達人”的概率（2）把每周使用移動支付超過3次的用戶稱為“移動支付活躍用戶”，填寫下表，問能否在犯錯誤概率不超過0.01的前提下，認為“移動支付活躍用戶”與性別有關？非移動支付活躍用戶移動支付活躍用戶合計男女合計附：0.1000.0500.0102.7063.8416.635

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

先解出復數（）是純虛數時的值，即可得出答案．【題目詳解】若復數（）是純虛數，根據純虛數的定義有：，則復數（）不是純虛數，故選A【題目點撥】本題考查虛數的分類，屬于基礎題．2、D【解題分析】

根據線面平行以及空間直線和平面的位置關系分別進行判斷即可．【題目詳解】，，是的中位線，，且，平面，平面，平面，故正確，，，，且，則，故B正確，是梯形，則直線，相交，設交點為，則，平面，，平面，則是平面和平面的公共點，則，即直線，，相交于同一點，故正確，因為，，所以直線與必相交，所以錯誤.故選D【題目點撥】本題主要考查命題的真假判斷，涉及空間直線和平面位置關系的判斷，根據空間直線和平面平行的性質是解決本題的關鍵．3、C【解題分析】

用表示出，結合余弦定理可得為鈍角．【題目詳解】如圖，由可得平面，從而，線段長如圖所示，由題意，，，顯然，∴，為鈍角，即為鈍角三角形．故選C．【題目點撥】本題考查異面直線垂直的性質，考查三角形形狀的判斷．解題關鍵是用表示出．4、C【解題分析】試題分析：連接交于點，連接.因為為中點，所以，所以即為異面直線與所成的角．因為四棱錐為正四棱錐，所以，所以為在面內的射影，所以即為與面所成的角，即，因為，所以所以在直角三角形中，即面直線與所成的角為故選C．考點：直線與平面所成的角，異面直線所成的角【名師點睛】本題考查異面直線所成角，直線與平面所成的角，考查線面垂直，比較基礎連接AC，BD交于點O，連接OE，OP，先證明∠PAO即為PA與面ABCD所成的角，即可得出結論．5、A【解題分析】

根據題意可得：，代入中計算即可得到答案?！绢}目詳解】由于；因為函數是定義在上的奇函數，且以2為周期；所以又因為，所以；故答案選A【題目點撥】本題主要考查函數的有關性質，奇偶性、周期性，以及對數的有關運算，屬于基礎題。6、D【解題分析】

求解不等式可得，據此結合交集、并集、子集的定義考查所給的選項是否正確即可.【題目詳解】求解不等式可得，則：，選項A錯誤；，選項B錯誤；，選項C錯誤，選項D正確；故選：D.【題目點撥】本題主要考查集合的表示方法，交集、并集、子集的定義及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.7、B【解題分析】

根據自變量所在的范圍代入相應的解析式計算即可得到答案.【題目詳解】∵函數，∴=2+9=1．故選B．【題目點撥】本題考查函數值的求法，考查指對函數的運算性質，是基礎題．8、D【解題分析】

由已知可得，則.【題目詳解】由，得或又由，得，則，即故選：D【題目點撥】本題考查了集合的并集運算，屬于基礎題.9、B【解題分析】

對5個位置進行編號1，2，3，4，5，則甲只能排在第2，3，4位置，再考慮乙，再考慮其它同學.【題目詳解】對5個位置進行編號1，2，3，4，5，∵甲不站兩端，∴甲只能排在第2，3，4位置，（1）當甲排在第2位置時，乙只能排第1或第3共2種排法，其他3位同學有A3∴共有2×A（2）當甲排在第3位置時，乙只能排第2或第4共2種排法，其他3位同學有A3∴共有2×A（3）當甲排在第4位置時，乙只能排第3或第5共2種排法，其他3位同學有A3∴共有2×A∴排法種數N=12+12+12=36種.【題目點撥】分類與分步計數原理，在確定分類標準時，一般是從特殊元素出發(fā)，同時應注意元素的順序問題.10、A【解題分析】分析:先化簡復數z,再求復數z的實部.詳解：原式=，所以復數的實部為.故答案為A.點睛：（1）本題主要考查復數的除法運算和實部虛部概念，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)復數的實部是a,虛部為b，不是bi.11、A【解題分析】

求出f（x）的導數，利用導函數的正負，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的最大值和最小值即可．【題目詳解】函數，cosx，令＞0，解得：x，令＜0，解得：0≤x，∴f（x）在[0，）遞減，在（，]遞增，∴f（x）min＝f（），而f（0）＝0，f（）1，故f（x）在區(qū)間[0，]上的最小值和最大值分別是：．故選：A．【題目點撥】本題考查了利用導數研究函數的單調性、最值問題，考查函數值的運算，屬于基礎題．12、B【解題分析】

由題意首先求得的值，然后利用二倍角公式整理計算即可求得最終結果.【題目詳解】由題意結合誘導公式可得：，則.本題選擇B選項.【題目點撥】本題主要考查誘導公式、二倍角公式的應用，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

通過尋找，與特殊角的關系，利用誘導公式及二倍角公式變形即可．【題目詳解】因為，即，所以，所以，所以，又.【題目點撥】本題主要考查誘導公式和二倍角公式的應用，意在考查學生分析解決問題的能力．14、120【解題分析】分析：的展開式中各項系數的和為，令，求出a，再求出展開式中x的一次項及項即可.詳解：的展開式中，各項系數的和為，令，，，的展開式中的系數為，的系數為，展開式中的常數項為.故答案為：120.點睛：求二項展開式中的特定項，一般是利用通項公式進行，化簡通項公式后，令字母的指數符合要求(求常數項時，指數為零；求有理項時，指數為整數等)，解出項數k＋1，代回通項公式即可．15、40【解題分析】

根據前項和公式，結合已知條件列式求得的值.【題目詳解】依題意.【題目點撥】本小題主要考查等差數列前項和公式，屬于基礎題.16、.【解題分析】分析：觀察條件和問題的角度關系可得：=，故=],然后按正切的和差公式展開即可.詳解：由題可得：=]=故答案為.點睛：考查三角函數的計算，能發(fā)現=是解題關鍵，此題值得好好積累，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）先求出橫標和縱標的平均數，得到這組數據的樣本中心點，利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數，再做出的值，得到線性回歸方程．

（3）把所給的的值代入線性回歸方程，求出的值，這里的的值是一個預報值，或者說是一個估計值．詳解：（1）由題目條件可計算出，，，，故y關于x的線性回歸方程為.（2）當時，，據此估計廣告費用支出為10萬元時銷售收入為萬元.點睛：本題考查線性回歸方程的求法和應用，本題解題的關鍵是看出這組變量是線性相關的，進而正確運算求出線性回歸方程的系數，屬基礎題．18、(1)(2)銷售均價約為1.52萬元/平方米【解題分析】分析：（1）由題意，計算，，求出，，即可寫出回歸方程；（2）利用（1）中回歸方程，計算時的值即可.詳解：（1）月份34567均價0.950.981.111.121.20計算可得，，，所以，，所以關于的回歸直線方程為.（2）將代入回歸直線方程得，所以預測12月份該市新建住宅的銷售均價約為1.52萬元/平方米.點睛：本題考查了回歸直線方程的求法與應用問題，正確計算是解題的關鍵.19、(1)(2)【解題分析】分析：（1）當時，，利用導函數研究切線方程可得函數在點處的切線方程為.（2）原問題等價于恒成立，二次求導，由導函數研究的性質可知，滿足，，，，則.據此討論可得的最大值為.詳解：（1）當時，，∴，所以函數在點處的切線方程為，即為.（2）恒成立，則恒成立，又，令，所以，所以在為單調遞增函數.又因為，，所以使得，即，，，，所以.又因為，所以，所以，，令，，，所以，即，又，所以，因為，，所以的最大值為.點睛：導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數的應用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系．(2)利用導數求函數的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數．(3)利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數形結合思想的應用．20、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）根據圓柱的幾何特征及圓周角定理，我們易根據已知中點P在圓柱的底面圓周上，AB為圓O的直徑，得到AP⊥BP，⊥BP，結合線面垂直的判定定理得到BP⊥平面后，易進一步得到BP⊥；

（2）延長PO交圓O于點Q，連接BQ，，結合圓柱的體積為，，我們易得∠即為異面直線與所成角，利用余弦定理求出其余弦值，即可得到答案.【題目詳解】解：解：（1）證明：易知AP⊥BP，又由⊥平面PAB，得⊥BP，

從而BP⊥平面，故BP⊥；

（2）解：延長PO交圓O于點Q，連接BQ，，則BQAP，得∠或它的補角為異面直線與所成的角.

由題意，解得＝3.

又，則為的直角三角形，則，得，

由余弦定理得，

則異面直線與所成的角為.【題目點撥】本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質及異面直線及其所成的角，其中熟練掌握圓柱的幾何特征，并從中分析出相關直線之間的位置關系是解答本題的關鍵.21、（1）見解析（2）能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下