長(zhǎng)春市第十一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

長(zhǎng)春市第十一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若X是離散型隨機(jī)變量，P(X=x1)=23,P(X=x2)=1A．53 B．73 C．32．已知隨機(jī)變量，若，則的值為()A．0.1 B．0.3 C．0.6 D．0.43．某市某校在秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)中，安排了籃球投籃比賽.現(xiàn)有20名同學(xué)參加籃球投籃比賽，已知每名同學(xué)投進(jìn)的概率均為0.4，每名同學(xué)有2次投籃機(jī)會(huì)，且各同學(xué)投籃之間沒(méi)有影響.現(xiàn)規(guī)定：投進(jìn)兩個(gè)得4分，投進(jìn)一個(gè)得2分，一個(gè)未進(jìn)得0分，則其中一名同學(xué)得2分的概率為（）A．0.5 B．0.48 C．0.4 D．0.324．函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，給出下列命題：①－3是函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)；②－1是函數(shù)y＝f(x)的最小值點(diǎn)；③y＝f(x)在區(qū)間(－3,1)上單調(diào)遞增；④y＝f(x)在x＝0處切線(xiàn)的斜率小于零．以上正確命題的序號(hào)是()A．①② B．③④ C．①③ D．②④5．已知定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)的解析式不可能是()A． B． C． D．6．如圖，點(diǎn)為正方體的中心，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則空間四邊形在該正方體的面上的正投影不可能是（）A． B． C． D．7．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的圖形是（）A．橢圓 B．雙曲線(xiàn) C．直線(xiàn) D．線(xiàn)段8．已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足約束條件，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．9．設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，是直線(xiàn)且．“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．從名學(xué)生志愿者中選擇名學(xué)生參加活動(dòng)，若采用下面的方法選?。合扔煤?jiǎn)單隨機(jī)抽樣從人中剔除人，剩下的人再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取人，則在人中，每人入選的概率（）A．不全相等 B．均不相等C．都相等，且為 D．都相等，且為11．下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）①若是假命題，則、都是假命題；②命題“，”的否定是“，”③若：，:，則是的充分不必要條件.A．0 B．1 C．2 D．312．定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），其中為的導(dǎo)函數(shù)，若，則的解集為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．用分層抽樣的方法從某校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為45的樣本，其中高一年級(jí)抽20人，高三年級(jí)抽10人，已知該校高二年級(jí)共有學(xué)生300人，則該校學(xué)生總數(shù)是_____人.14．若滿(mǎn)足約束條件則的最大值為_(kāi)_________．15．設(shè)隨機(jī)變量，且，則事件“”的概率為_(kāi)____（用數(shù)字作答）16．函數(shù)為上的奇函數(shù)，若對(duì)任意的且，都有，已知，則不等式的解集為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，斜率為k的動(dòng)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為.（1）若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C有兩個(gè)交點(diǎn)，求這兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)P的軌跡關(guān)于參數(shù)k的參數(shù)方程；（2）在條件（1）下，求曲線(xiàn)的長(zhǎng)度.18．（12分）己知直線(xiàn)的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為，直線(xiàn)與曲線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)．（1）求直線(xiàn)的普通方程和曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；（2）求的值．19．（12分）已知集合，設(shè)，判斷元素與的關(guān)系.20．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，、分別是、中點(diǎn).（1）證明：（2）求平面與平面所成銳二面角的值.22．（10分）繼共享單車(chē)之后，又一種新型的出行方式------“共享汽車(chē)”也開(kāi)始亮相南昌市，一款共享汽車(chē)在南昌提供的車(chē)型是“吉利”.每次租車(chē)收費(fèi)按行駛里程加用車(chē)時(shí)間,標(biāo)準(zhǔn)是“1元/公里＋0.1元/分鐘”，李先生家離上班地點(diǎn)10公里，每次租用共享汽車(chē)上、下班，由于堵車(chē)因素，每次路上開(kāi)車(chē)花費(fèi)的時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量，根據(jù)一段時(shí)間統(tǒng)計(jì)40次路上開(kāi)車(chē)花費(fèi)時(shí)間在各時(shí)間段內(nèi)的情況如下：時(shí)間（分鐘）次數(shù)814882以各時(shí)間段發(fā)生的頻率視為概率，假設(shè)每次路上開(kāi)車(chē)花費(fèi)的時(shí)間視為用車(chē)時(shí)間，范圍為分鐘.（1）若李先生上、下班時(shí)租用一次共享汽車(chē)路上開(kāi)車(chē)不超過(guò)45分鐘，便是所有可選擇的交通工具中的一次最優(yōu)選擇，設(shè)是4次使用共享汽車(chē)中最優(yōu)選擇的次數(shù)，求的分布列和期望.（2）若李先生每天上、下班均使用共享汽車(chē)，一個(gè)月（以20天計(jì)算）平均用車(chē)費(fèi)用大約是多少（同一時(shí)段，用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

本題考查期望與方差的公式，利用期望及方差的公式，建立方程，即可求得結(jié)論．【題目詳解】∵E(X)=∴2∴x1=1x∴x故選C.考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望方差.2、D【解題分析】

根據(jù)題意隨機(jī)變量可知其正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，再根據(jù)正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性求解，即可得出答案．【題目詳解】根據(jù)正態(tài)分布可知，故．故答案選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)正態(tài)分布曲線(xiàn)的性質(zhì)求指定區(qū)間的概率．3、B【解題分析】

事件“第一次投進(jìn)球”和“第二次投進(jìn)球”是相互獨(dú)立的，利用對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件可求“其中一名同學(xué)得2分”的概率.【題目詳解】設(shè)“第一次投進(jìn)球”為事件，“第二次投進(jìn)球”為事件，則得2分的概率為.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件，注意互斥事件、對(duì)立事件和獨(dú)立事件三者之間的區(qū)別，互斥事件指不同時(shí)發(fā)生的事件，對(duì)立事件指不同時(shí)發(fā)生的事件且必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件，而獨(dú)立事件指一個(gè)事件的發(fā)生與否與另一個(gè)事件沒(méi)有關(guān)系.4、C【解題分析】

試題分析：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，得到極值點(diǎn)，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為在該點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率．根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知：當(dāng)x∈（-∞，-3）時(shí)，f'（x）＜0，在x∈（-3，1）時(shí)，∴函數(shù)y=f（x）在（-∞，-3）上單調(diào)遞減，在（-3，1）上單調(diào)遞增，故③正確；則-3是函數(shù)y=f（x）的極小值點(diǎn)，故①正確；∵在（-3，1）上單調(diào)遞增∴-1不是函數(shù)y=f（x）的最小值點(diǎn)，故②不正確；∵函數(shù)y=f（x）在x=0處的導(dǎo)數(shù)大于0∴切線(xiàn)的斜率大于零，故④不正確.故選C.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)斜率；函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；函數(shù)極值的判定.5、D【解題分析】

根據(jù)奇偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)求得的值.在根據(jù)單調(diào)性判斷出正確選項(xiàng).【題目詳解】由于函數(shù)為偶函數(shù)，故其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即，故函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)在上遞增，故在上遞減.對(duì)于A選項(xiàng)，，符合題意.對(duì)于B選項(xiàng)，符合題意.對(duì)于C選項(xiàng)，符合題意.對(duì)于D選項(xiàng)，，在上遞減，不符合題意，故本小題選D.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查含有絕對(duì)值函數(shù)的理解，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】分析：根據(jù)空間四邊形在正方體前后面、上下面和左右面上的正投影，即可得到正確的選項(xiàng).詳解：空間四邊形在正方體前后面上的正投影是A選項(xiàng)；空間四邊形在正方體前上下上的正投影是B選項(xiàng)；空間四邊形在正方體左右面上的正投影是D選項(xiàng)，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查了平行投影和平行投影的作法的應(yīng)用問(wèn)題，主要同一圖形在不同面上的投影不一定相同，屬于基礎(chǔ)題，著重考查了空間推理能力.7、D【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義知，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)P到對(duì)應(yīng)的定點(diǎn)的距離之和為定值2，且，可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段.【題目詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為,則由知：,又，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線(xiàn)段.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，動(dòng)點(diǎn)的軌跡，屬于中檔題.8、A【解題分析】

繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，考查目標(biāo)函數(shù)，由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值，在點(diǎn)或點(diǎn)處取得最小值，即．題中的不等式即：，則：恒成立，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最小值，整理函數(shù)的解析式有：，令，則，令，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，據(jù)此可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則此時(shí)函數(shù)取得最小值，最小值為：．綜上可得，實(shí)數(shù)的最大值為．本題選擇A選項(xiàng)．【方法點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三相等．①一正：關(guān)系式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中，含變量的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三相等：含變量的各項(xiàng)均相等，取得最值．若等號(hào)不成立，則利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性解決問(wèn)題．9、B【解題分析】試題分析：，得不到，因?yàn)榭赡芟嘟?，只要和的交線(xiàn)平行即可得到；，，∴和沒(méi)有公共點(diǎn)，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分條件．故選B．考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【方法點(diǎn)晴】考查線(xiàn)面平行的定義，線(xiàn)面平行的判定定理，面面平行的定義，面面平行的判定定理，以及充分條件、必要條件，及必要不充分條件的概念，屬于基礎(chǔ)題；并得不到，根據(jù)面面平行的判定定理，只有內(nèi)的兩相交直線(xiàn)都平行于，而，并且，顯然能得到，這樣即可找出正確選項(xiàng).10、D【解題分析】

根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣與系統(tǒng)抽樣方法的定義，結(jié)合概率的意義，即可判斷出每個(gè)人入選的概率.【題目詳解】在系統(tǒng)抽樣中，若所給的總體個(gè)數(shù)不能被樣本容量整除時(shí)，則要先剔除幾個(gè)個(gè)體，然后再分組，在剔除過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體被剔除的概率相等，所以，每個(gè)個(gè)體被抽到包括兩個(gè)過(guò)程，一是不被剔除，二是選中，這兩個(gè)過(guò)程是相互獨(dú)立的，因此，每個(gè)人入選的概率為.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣方法的應(yīng)用，也考查了概率的意義，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解題分析】分析：由復(fù)合命題的真假判斷判斷①；寫(xiě)出全程命題的否定判斷②；由不等式的性質(zhì)結(jié)合充分必要條件的判定方法判斷③．詳解：①若p∧q是假命題，則p，q中至少一個(gè)是假命題，故①錯(cuò)誤；②命題“?x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“”，故②正確；③若x＞1＞0，則，反之，若，則x＜0或x＞1．又p：x≤1，q：，∴￢p是q的充分不必要條件，故③正確．∴正確命題的個(gè)數(shù)是2個(gè)．故選：C．點(diǎn)睛：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查充分必要條件的判定方法，考查命題的否定，屬于中檔題．12、C【解題分析】

由，以及，聯(lián)想到構(gòu)造函數(shù)，所以等價(jià)為，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性，由單調(diào)性定義即可得出結(jié)果?！绢}目詳解】設(shè)，等價(jià)為，，故在上單調(diào)遞減，所以，解得，故選C?！绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的問(wèn)題，利用單調(diào)性定義解不等式，如何構(gòu)造函數(shù)是解題關(guān)鍵，意在考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、900【解題分析】

計(jì)算可得樣本中高二年級(jí)人數(shù)，從而可計(jì)算得到抽樣比，從而可求得學(xué)生總數(shù).【題目詳解】由題意可知，高二年級(jí)抽取：人抽樣比為：該校學(xué)生總數(shù)為：人本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查分層抽樣的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠明確每層在樣本中占比與該層在總體中的占比相同.14、6【解題分析】分析：首先繪制出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，聯(lián)立直線(xiàn)方程：，可得點(diǎn)A坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：.點(diǎn)睛：求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b＞0時(shí)，直線(xiàn)過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最?。划?dāng)b＜0時(shí)，直線(xiàn)過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.15、【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)分布求得，再利用二項(xiàng)分布概率公式求得結(jié)果.【題目詳解】由可知：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)分布中方差公式、概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

根據(jù)題意，可得函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合可得在上的符號(hào)，利用函數(shù)的奇偶性可得在上，，則上，，即可分析的解，可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，若對(duì)任意的，且，都有，

則在上為增函數(shù)，

又由，則在上，，則在上，，

又由為奇函數(shù)，則在上，，則上，，

或，即或或或

解得：，

即不等式的解集為；

故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及不等式的解法，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）把兩邊同時(shí)乘以，然后結(jié)合極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程，設(shè)直線(xiàn)的方程為，與曲線(xiàn)聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)的軌跡關(guān)于參數(shù)的參數(shù)方程；（2）化參數(shù)方程為普通方程，作出圖形，數(shù)形結(jié)合即可求得曲線(xiàn)的長(zhǎng)度．【題目詳解】解：（1）曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為.設(shè)直線(xiàn)l的方程為，設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的交點(diǎn)為，，聯(lián)立直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的方程得解得，，，，設(shè)P的坐標(biāo)為，則，代入l的方程得.故的參數(shù)方程為.（2）由的參數(shù)方程得即.如圖，圓C：圓心為，半徑為2，圓D：圓心為，半徑為2，曲線(xiàn)為劣弧，顯然，所以的長(zhǎng)度為.【題目點(diǎn)撥】本題考查簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程，考查參數(shù)方程化普通方程，考查圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．18、（1），；（2）.【解題分析】

（1）直線(xiàn)的參數(shù)方程消去t可求得普通方程．由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互換公式，求得曲線(xiàn)C普通方程．（2）直線(xiàn)的參數(shù)方程改寫(xiě)為（t為參數(shù)），由t的幾何意義求值．【題目詳解】直線(xiàn)l的參數(shù)方程為為參數(shù)，消去參數(shù)，可得直線(xiàn)l的普通方程，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為，即，曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為，直線(xiàn)的參數(shù)方程改寫(xiě)為（t為參數(shù)），代入，，，，．【題目點(diǎn)撥】由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互換公式，利用這個(gè)公式可以實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化．19、當(dāng)，且時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，.【解題分析】

分析：對(duì)變形并對(duì)分類(lèi)討論即可.詳解：根據(jù)題意，故當(dāng)，且時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，.點(diǎn)睛：本題考查集合與元素的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于正確的分類(lèi)討論.20、（1）；（2）【解題分析】

（1）計(jì)算，以及根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線(xiàn)斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式，可得結(jié)果.（2）利用導(dǎo)數(shù)，采用分類(lèi)討論的方法，，以及判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的最大值，可得結(jié)果.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，所以，則又，，∴所求切線(xiàn)方程為，即（2）①當(dāng)時(shí)，在恒成立，②當(dāng)時(shí)，由，得：由