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文檔簡介
2024屆福建省龍巖第二中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末預(yù)測試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.命題“”為真命題的一個充分不必要條件是()A. B. C. D.2.10名運動員中有2名老隊員和8名新隊員,現(xiàn)從中選3人參加團體比賽,要求老隊員至多1人入選且新隊員甲不能入選的選法有()A.77種 B.144種 C.35種 D.72種3.已知,函數(shù),若對任意給定的,總存在,使得,則的最小值為()A. B. C.5 D.64.若cos(α+π4)=1A.718 B.23 C.4-5.若x,y滿足約束條件,則的最大值為()A. B.1 C.2 D.46.某學(xué)校高三模擬考試中數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布,考生共有1000人,估計數(shù)學(xué)成績在75分到86分之間的人數(shù)約為()人.參考數(shù)據(jù):,)A.261 B.341 C.477 D.6837.與橢圓共焦點且過點的雙曲線方程是()A. B. C. D.8.A.30 B.24 C.20 D.159.已知向量滿足,且,則的夾角為()A. B. C. D.10.2019年4月,北京世界園藝博覽會開幕,為了保障園藝博覽會安全順利地進行,某部門將5個安保小組全部安排到指定的三個不同區(qū)域內(nèi)值勤,則每個區(qū)域至少有一個安保小組的排法有()A.150種 B.240種 C.300種 D.360種11.已知,,,,若(、均為正實數(shù)),根據(jù)以上等式,可推測、的值,則等于()A. B. C. D.12.已知命題p:若復(fù)數(shù),則“”是“”的充要條件;命題q:若函數(shù)可導(dǎo),則“”是“x0是函數(shù)的極值點”的充要條件.則下列命題為真命題的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在的展開式中常數(shù)項是__________.14.如圖,在正方形內(nèi)有一扇形(見陰影部分),扇形對應(yīng)的圓心是正方形的一頂點,半徑為正方形的邊長.在這個圖形上隨機撒一粒黃豆,它落在扇形外正方形內(nèi)的概率為___15.設(shè),若函數(shù)有大于零的極值點,則實數(shù)的取值范圍是_____16.已知隨機變量服從二項分布,那么方差的值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知在中,角,,的對邊分別為,,,的面積為.(1)求證:;(2)若,求的值.18.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;(2)若在處取得極大值,求的取值范圍.19.(12分)如圖,二面角的大小為,四邊形是邊長為的正方形,,為上的點,且平面.(1)求證:;(2)求二面角的大?。唬?)求點到平面的距離.20.(12分)已知函數(shù),曲線在點處的切線方程為.(1)求的值;(2)求在上的最大值.21.(12分)《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”,將四個面都為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”.如圖,在“陽馬”中,側(cè)棱底面,且,過棱的中點,作交于點,連接.(1)證明:平面.試判斷四面體是否為“鱉臑”,若是,寫出其每個面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,說明理由;(2)若,求直線與平面所成角的正切值.22.(10分)近年來,空氣質(zhì)量成為人們越來越關(guān)注的話題,空氣質(zhì)量指數(shù)(,簡稱)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù).環(huán)保部門記錄了某地區(qū)7天的空氣質(zhì)量指數(shù),其中,有4天空氣質(zhì)量為優(yōu),有2天空氣質(zhì)量為良,有1天空氣質(zhì)量為輕度污染.現(xiàn)工作人員從這7天中隨機抽取3天進行某項研究.(I)求抽取的3天中至少有一天空氣質(zhì)量為良的概率;(Ⅱ)用表示抽取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù),求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】
根據(jù),成立,求得,再根據(jù)集合法,選其子集即可.【題目詳解】因為,成立,所以,成立,所以,命題“”為真命題的一個充分不必要條件是.故選:A【題目點撥】本題主要考查不等式恒成立及邏輯關(guān)系,還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】
根據(jù)所選3名隊員中包含老隊員的人數(shù)分成兩類:(1)只選一名老隊員;(2)沒有選老隊員,分類計數(shù)再相加可得.【題目詳解】按照老隊員的人數(shù)分兩類:(1)只選一名老隊員,則新隊員選2名(不含甲)有42;(2)沒有選老隊員,則選3名新隊員(不含甲)有,所以老隊員至多1人入選且新隊員甲不能入選的選法有:種.故選A.【題目點撥】本題考查了分類計數(shù)原理,屬基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】分析:先化簡函數(shù)的解析式得,再解方程f(x)=0得到,再分析得到,再討論a=0的情況得到w的范圍,再綜合即得w的最小值.詳解:當(dāng)a≠0時,,由f(x)=0得,因為所以,根據(jù)三角函數(shù)的圖像得只要coswx=1滿足條件即可,這時,所以當(dāng)a=0時,,令f(x)=0,所以coswx=0,須滿足綜合得故答案為:D.點睛:(1)本題主要考查三角恒等變換,考查函數(shù)的零點和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì),意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力數(shù)形結(jié)合思想方法.(2)解答本題的難點在討論a≠0時,分析推理出.4、C【解題分析】分析:利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin(π4+α)詳解:因為cos(則0<π4+α<則sin[(故選C.點睛:本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,以及兩角差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用,其中熟記三角恒等變換的公式是化簡求值的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力.5、D【解題分析】
已知x,y滿足約束條件,畫出可行域,目標(biāo)函數(shù)z=y(tǒng)﹣2x,求出z與y軸截距的最大值,從而進行求解;【題目詳解】∵x,y滿足約束條件,畫出可行域,如圖:由目標(biāo)函數(shù)z=y(tǒng)﹣2x的幾何意義可知,z在點A出取得最大值,A(﹣3,﹣2),∴zmax=﹣2﹣2×(﹣3)=4,故選:D.【題目點撥】在解決線性規(guī)劃的小題時,常用步驟為:①由約束條件畫出可行域?②理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,找出最優(yōu)解的坐標(biāo)?③將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù),求出最值;也可將可行域各個角點的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù),驗證,求出最值.6、B【解題分析】分析:正態(tài)總體的取值關(guān)于對稱,位于之間的概率是0.6826,根據(jù)概率求出位于這個范圍中的個數(shù),根據(jù)對稱性除以2得到要求的結(jié)果.詳解:正態(tài)總體的取值關(guān)于對稱,位于之間的概率是,則估計數(shù)學(xué)成績在75分到86分之間的人數(shù)約為人.故選B.點睛:題考查正態(tài)曲線的特點及曲線所表示的意義,是一個基礎(chǔ)題,解題的關(guān)鍵是考試的成績關(guān)對稱,利用對稱寫出要用的一段分數(shù)的頻數(shù),題目得解.7、A【解題分析】由橢圓方程可得焦點坐標(biāo)為,設(shè)與其共焦點的雙曲線方程為:,雙曲線過點,則:,整理可得:,結(jié)合可得:,則雙曲線方程為:.本題選擇A選項.8、A【解題分析】
根據(jù)公式:計算即可.【題目詳解】因為,故選:A.【題目點撥】本題考查排列數(shù)的計算,難度較易.9、C【解題分析】
設(shè)的夾角為,兩邊平方化簡即得解.【題目詳解】設(shè)的夾角為,兩邊平方,得,即,又,所以,則,所以.故選C【題目點撥】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計算和向量夾角的計算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】
根據(jù)題意,需要將5個安保小組分成三組,分析可得有2種分組方法:按照1、1、3分組或按照1、2、2分組,求出每一種情況的分組方法數(shù)目,由加法計數(shù)原理計算可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意,三個區(qū)域至少有一個安保小組,所以可以把5個安保小組分成三組,有兩種分法:按照1、1、3分組或按照1、2、2分組;若按照1、1、3分組,共有種分組方法;若按照1、2、2分組,共有種分組方法,根據(jù)分類計數(shù)原理知共有60+90=150種分組方法.故選:A.【題目點撥】本題考查排列、組合及簡單計數(shù)問題,本題屬于分組再分配問題,根據(jù)題意分析可分組方法進行分組再分配,按照分類計數(shù)原理相加即可,屬于簡單題.11、B【解題分析】
根據(jù)前面幾個等式歸納出一個關(guān)于的等式,再令可得出和的值,由此可計算出的值.【題目詳解】,,,由上可歸納出,當(dāng)時,則有,,,因此,,故選B.【題目點撥】本題考查歸納推理,解題時要根據(jù)前幾個等式或不等式的結(jié)構(gòu)進行歸納,考查推理能力,屬于中等題.12、C【解題分析】
利用復(fù)數(shù)相等和函數(shù)極值點的概念可判斷p,q的真假;利用真值表判斷復(fù)合命題的真假.【題目詳解】由復(fù)數(shù)相等的概念得到p:真;若函數(shù)可導(dǎo),則“”是“x0是函數(shù)的極值點”是錯誤的,當(dāng)是導(dǎo)函數(shù)的變號零點,即在這個點附近,導(dǎo)函數(shù)的值異號,此時才是極值點,故q:假,為真.∴由真值表知,為真,故選C.【題目點撥】本題考查真值表,復(fù)數(shù)相等的概念,求極值的方法.由簡單命題和邏輯連接詞構(gòu)成的復(fù)合命題的真假可以用真值表來判斷,反之根據(jù)復(fù)合命題的真假也可以判斷簡單命題的真假.假若p且q真,則p真,q也真;若p或q真,則p,q至少有一個真;若p且q假,則p,q至少有一個假.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、14【解題分析】,令,則展開式中得常數(shù)項為.【題目點撥】本題考查二項式定理,利用通項公式求二項展開式中的指定項.根據(jù)通項公式,根據(jù)所求項的要求,解出,再給出所求答案.14、【解題分析】設(shè)正方形的邊長為1,則扇形的面積為,所以,它落在扇形外正方形內(nèi)的概率為.15、【解題分析】
先求導(dǎo)數(shù),求解導(dǎo)數(shù)為零的根,結(jié)合根的分布求解.【題目詳解】因為,所以,令得,因為函數(shù)有大于0的極值點,所以,即.【題目點撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點問題,極值點為導(dǎo)數(shù)的變號零點,側(cè)重考查轉(zhuǎn)化化歸思想.16、【解題分析】分析:隨機變量服從二項分布,那么,即可求得答案.詳解:隨機變量服從二項分布,那么,即.故答案為:.點睛:求隨機變量X的均值與方差時,可首先分析X是否服從二項分布,如果X~B(n,p),則用公式E(X)=np;D(X)=np(1-p)求解,可大大減少計算量.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2).【解題分析】
(1)利用,利用正弦定理,化簡即可證明(2)利用(1),得到當(dāng)時,,得出,得出,然后可得【題目詳解】證明:(1)據(jù)題意,得,∴,∴.又∵,∴,∴.解:(2)由(1)求解知,.∴當(dāng)時,.又,∴,∴,∴.【題目點撥】本題考查正弦與余弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題18、(1)增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2)【解題分析】
(1)將代入函數(shù)解析式,求出,利用導(dǎo)數(shù)值判斷的單調(diào)區(qū)間即可;(2)由題求得,對進行分類討論,判斷在處取得極大值時的范圍即可.【題目詳解】(1)由題意,當(dāng)時,,所以,令,解得,,,解得;,解得,;所以的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(2)由題意,,①當(dāng)時,,,解得;,解得,;所以在處取極大值;當(dāng)時,令,得,,②當(dāng)時,即,或時,,解得;,解得,;所以在處取極大值;③當(dāng),即時,,解得,,解得,,或;所以在處取極大值;④當(dāng),即時,,故不存在極值;⑤當(dāng)時,即時,,解得,;,解得,,或;所以在處取極小值;綜上,當(dāng)在處取得極大值時,.【題目點撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,考查了分類討論的思想,屬于中檔題.19、(1)見解析;(2);(3).【解題分析】試題分析:(1)由平面可證,由二面角為直二面角及是正方形可證,再由線面垂直判定定理得平面,即可得證;(2)取的中點,連接,,由四邊形為正方形可證,,即可得為二面角的平面角,根據(jù)題設(shè)條件求出及,即可得二面角的余弦值;(3)利用等體積法,由即可得點到平面的距離.試題解析:(1)∵平面,∴.又∵二面角為直二面角,且,∴平面,∴,∴平面,∴.(2)取的中點,連接,.∵四邊形為正方形,∴,∴,即為二面角的平面角,又,∴,由(1)知,且,∴,∴,由,解得,∴,即∴,即二面角的余弦值為.(3)取的中點,連接,∵,二面角為直二面角,∴平面,且.∵,,∴平面,∴,∴,又,由,得,∴.點睛:立體幾何的證明需要對證明的邏輯關(guān)系清楚,證明線線垂直,先由線面垂直得到線線垂直,再由線線垂直證明線面垂直;用普通法求二面角,講究“一作、二證、三求”,通過輔助線先把二面角的平面角及計算所需線段作出來,再證明所作角是二面角的平面角;點到面的距離還原到體積問題,則利用等體積法解題.20、(1),;(2)1【解題分析】
(1)依題意,由,得到,再由,得到,聯(lián)立方程組,即可求解;(2)由(1),求得,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與極值,即可求得函數(shù)的最大值,得到答案.【題目詳解】(1)依題意可知點為切點,代入切線方程可得,,所以,即,又由,則,而由切線的斜率可知,∴,即,由,解得,∴,.(2)由(1)知,則,令,得或,當(dāng)變化時,,的變化情況如下表:-3-21+0-0+8↗極大值↘極小值↗4∴的極大值為,極小值為,又,,所以函數(shù)在上的最大值為1.【題目點撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解參數(shù)問題,以及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值問題,其中解答中熟記導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵,
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