湖北省黃岡、華師大附中等八校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

湖北省黃岡、華師大附中等八校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，命題“若，則方程有實(shí)根”的逆否命題是A．若方程有實(shí)根，則 B．若方程有實(shí)根，則C．若方程沒(méi)有實(shí)根，則 D．若方程沒(méi)有實(shí)根，則2．如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()A． B．C． D．3．人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律:衛(wèi)星在以地球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí)，其運(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑(衛(wèi)星至地球的連線)在相同的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等.設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距分別為2a,2c.李明根據(jù)所學(xué)的橢圓知識(shí)，得到下列結(jié)論：①衛(wèi)星向徑的最小值為a-c，最大值為a+c；②衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越小，橢圓軌道越扁；③衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最小，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最大其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．34．若是虛數(shù)單位，，則實(shí)數(shù)（）A． B． C．2 D．35．某班共有52人，現(xiàn)根據(jù)學(xué)生的學(xué)號(hào)，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為4的樣本．已知3號(hào)、29號(hào)、42號(hào)同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有一個(gè)同學(xué)的學(xué)號(hào)是()A．10 B．11 C．12 D．166．已知定圓，，定點(diǎn)，動(dòng)圓滿足與外切且與內(nèi)切，則的最大值為（）A． B． C． D．7．已知集合，，則A． B． C． D．8．已知，則（）A． B．3 C． D．9．設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(μ1，)(σ1＞0)和N(μ2，)(σ2＞0)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有()A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ210．把邊長(zhǎng)為的正沿邊上的高線折成的二面角,則點(diǎn)到的距離是()A． B． C． D．11．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別是的中點(diǎn)．點(diǎn)在該正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，則總能使與垂直的點(diǎn)所構(gòu)成的軌跡的周長(zhǎng)等于（）A． B． C． D．12．三位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則女同學(xué)甲站在女同學(xué)乙的前面的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某同學(xué)同時(shí)擲兩顆骰子，得到點(diǎn)數(shù)分別為a，b，則雙曲線的離心率的概率是______．14．已知函數(shù)，且過(guò)原點(diǎn)的直線與曲線相切，若曲線與直線軸圍成的封閉區(qū)域的面積為，則的值為_(kāi)_________．15．已知直線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則∠AOB大小為_(kāi)_______．16．如圖是一個(gè)算法流程圖，若輸入的值為2，則輸出的值為_(kāi)______..三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ=4cosθ1-cos2θ，直線l（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C交于兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)為M2,2，求α18．（12分）在銳角中，角的對(duì)邊分別為，中線，滿足.（1）求；（2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明.20．（12分）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為已知.（1）求角和邊長(zhǎng)；（2）設(shè)為邊上一點(diǎn)，且,求的面積.21．（12分）隨著我國(guó)互聯(lián)網(wǎng)信息技術(shù)的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物已經(jīng)成為許多人消費(fèi)的一種重要方式，某市為了了解本市市民的網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物情況，特委托一家網(wǎng)絡(luò)公司進(jìn)行了網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的10000名網(wǎng)民中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行抽樣分析，得到了下表所示數(shù)據(jù)：經(jīng)常進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物偶爾或從不進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物合計(jì)男性5050100女性6040100合計(jì)11090200（1）依據(jù)上述數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為該市市民進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物的情況與性別有關(guān)？（2）現(xiàn)從所抽取的女性網(wǎng)民中利用分層抽樣的方法再抽取人，從這人中隨機(jī)選出人贈(zèng)送網(wǎng)絡(luò)優(yōu)惠券，求選出的人中至少有兩人是經(jīng)常進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物的概率；（3）將頻率視為概率，從該市所有的參與調(diào)查的網(wǎng)民中隨機(jī)抽取人贈(zèng)送禮物，記經(jīng)常進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物的人數(shù)為，求的期望和方差.附：，其中22．（10分）在長(zhǎng)方體中，，，，是的中點(diǎn).（1）求四棱錐的體積；（2）求異面直線與所成角的大?。ńY(jié)果用反三角形函數(shù)值表示）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)已知中的原命題，結(jié)合逆否命題的定義，可得答案．【題目詳解】命題“若，則方程有實(shí)根”的逆否命題是命題“若方程沒(méi)有實(shí)根，則”，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是四種命題，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解題分析】

利用線面平行判定定理可知B、C、D均不滿足題意，從而可得答案．【題目詳解】對(duì)于B項(xiàng)，如圖所示，連接CD，因?yàn)锳B∥CD，M，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可證，C，D項(xiàng)中均有AB∥平面MNQ.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查空間中線面平行的判定定理，利用三角形中位線定理是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．3、C【解題分析】

根據(jù)橢圓的焦半徑的最值來(lái)判斷命題①，根據(jù)橢圓的離心率大小與橢圓的扁平程度來(lái)判斷命題②，根據(jù)題中“速度的變化服從面積守恒規(guī)律”來(lái)判斷命題③?！绢}目詳解】對(duì)于命題①，由橢圓的幾何性質(zhì)得知，橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為a-c，最大值為a+c，所以，衛(wèi)星向徑的最小值為a-c，最大值為a+c，結(jié)論①正確；對(duì)于命題②，由橢圓的幾何性質(zhì)知，當(dāng)橢圓的離心率e=ca越大，橢圓越扁，衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值a-ca+c對(duì)于命題③，由于速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑在相同的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等，當(dāng)衛(wèi)星越靠近遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)，向徑越大，當(dāng)衛(wèi)星越靠近近地點(diǎn)時(shí)，向徑越小，由于在相同時(shí)間掃過(guò)的面積相等，則向徑越大，速度越小，所以，衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最小，結(jié)論③錯(cuò)誤。故選：C?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓幾何量對(duì)橢圓形狀的影響，在判斷時(shí)要充分理解這些幾何量對(duì)橢圓形狀之間的關(guān)系，考查分析問(wèn)題的能力，屬于中等題。4、B【解題分析】

先利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式得到，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，即得解.【題目詳解】由于由復(fù)數(shù)相等的定義，故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)和復(fù)數(shù)相等的概念，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

由題計(jì)算出抽樣的間距為13，由此得解．【題目詳解】由題可得，系統(tǒng)抽樣的間距為13，則在樣本中．故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了系統(tǒng)抽樣知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解題分析】

將動(dòng)圓的軌跡方程表示出來(lái)：,利用橢圓的性質(zhì)將距離轉(zhuǎn)化,最后利用距離關(guān)系得到最值.【題目詳解】定圓，，動(dòng)圓滿足與外切且與內(nèi)切設(shè)動(dòng)圓半徑為，則表示橢圓，軌跡方程為：故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了軌跡方程，橢圓的性質(zhì)，利用橢圓性質(zhì)變換長(zhǎng)度關(guān)系是解題的關(guān)鍵.7、C【解題分析】

利用一元二次不等式的解法化簡(jiǎn)集合，再根據(jù)集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可．【題目詳解】因?yàn)椋?，所以，故選C．【題目點(diǎn)撥】研究集合問(wèn)題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究?jī)杉系年P(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系.8、D【解題分析】

根據(jù)正弦的倍角公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化為齊次式，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，可得，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式的化簡(jiǎn)、求值，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解題分析】由密度函數(shù)的性質(zhì)知對(duì)稱軸表示期望，圖象胖瘦決定方差，越瘦方差越小，越胖方差越大，所以μ1＜μ2，σ1＜σ2.故選A.考點(diǎn)：正態(tài)分布.10、D【解題分析】

取中點(diǎn)，連接，根據(jù)垂直關(guān)系可知且平面，通過(guò)三線合一和線面垂直的性質(zhì)可得，，從而根據(jù)線面垂直的判定定理知平面，根據(jù)線面垂直性質(zhì)知，即為所求距離；在中利用勾股定理求得結(jié)果.【題目詳解】取中點(diǎn)，連接，如下圖所示：為邊上的高，即為二面角的平面角，即且平面為正三角形為正三角形又為中點(diǎn)平面，平面又平面即為點(diǎn)到的距離又，本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查立體幾何中點(diǎn)到直線距離的求解，關(guān)鍵是能夠通過(guò)垂直關(guān)系在立體圖形中找到所求距離，涉及到線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于中檔題.11、B【解題分析】分析：根據(jù)題意先畫出圖形，找出滿足題意的點(diǎn)所構(gòu)成的軌跡，然后再根據(jù)長(zhǎng)度計(jì)算周長(zhǎng)詳解：如圖：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，則平面設(shè)在平面中的射影為，過(guò)與平面平行的平面為能使與垂直的點(diǎn)所構(gòu)成的軌跡為矩形，其周長(zhǎng)與矩形的周長(zhǎng)相等正方體的棱長(zhǎng)為矩形的周長(zhǎng)為故選點(diǎn)睛：本題主要考查了立體幾何中的軌跡問(wèn)題?？疾榱藢W(xué)生的分析解決問(wèn)題的能力，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)來(lái)確定使與垂直的點(diǎn)所構(gòu)成的軌跡，繼而求出結(jié)果。12、A【解題分析】

三男兩女的全排列中女同學(xué)甲要么站在女同學(xué)乙的前面要么站在女同學(xué)的后面．【題目詳解】三男兩女的全排列中女同學(xué)甲要么站在女同學(xué)乙的前面要么站在女同學(xué)的后面．即概率都為【題目點(diǎn)撥】本題考查排位概率，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

基本事件總數(shù)，由雙曲線的離心率，得，利用列舉法求出雙曲線的離心率包含的基本事件有6個(gè)，由此能求出雙曲線的離心率的概率．【題目詳解】某同學(xué)同時(shí)擲兩顆骰子，得到點(diǎn)數(shù)分別為a，b，基本事件總數(shù)，雙曲線的離心率，，解得，雙曲線的離心率包含的基本事件有：，，，，(1，，，共6個(gè)，則雙曲線的離心率的概率是．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法、雙曲線性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．對(duì)于古典概型，要求事件總數(shù)是可數(shù)的，滿足條件的事件個(gè)數(shù)可數(shù)，使得滿足條件的事件個(gè)數(shù)除以總的事件個(gè)數(shù)即可.14、【解題分析】分析：先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求切點(diǎn)以及切線方程，再根據(jù)定積分求封閉區(qū)域的面積，解得的值.詳解：設(shè)切點(diǎn)，因?yàn)?，所以所以?dāng)時(shí)封閉區(qū)域的面積為因此，當(dāng)時(shí)，同理可得，即點(diǎn)睛：利用定積分求曲邊圖形面積時(shí)，一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù)．當(dāng)圖形的邊界不同時(shí)，要分不同情況討論．15、60°【解題分析】

由垂徑定理求得相交弦長(zhǎng)，然后在等腰三角形中求解．【題目詳解】圓心到直線的距離為，圓心半徑為，∴，∴為等邊三角形，．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題．求直線與圓相交弦長(zhǎng)一般用垂徑定理求解，即求出弦心距，則有．16、5【解題分析】

直接模擬程序即可得結(jié)論.【題目詳解】輸入的值為2，不滿足，所以，故答案是：5.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)程序框圖的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有程序框圖的輸出結(jié)果的求解，屬于簡(jiǎn)單題目.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)y2=4x【解題分析】試題分析：（I）由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的關(guān)系式x=ρcosθ,y=ρsinθ可將曲線極坐標(biāo)方程化為普通方程.（II）將直線的參數(shù)方程代入取曲線的普通方程中，M為A,B中點(diǎn)，由t的幾何意義知試題解析：（I）曲線C:ρ=4cosθ于是有ρ2化為直角坐標(biāo)方程為:y2（II）方法1:{即t由AB的中點(diǎn)為M(2,2)得t1+由0≤α<π得α=π方法2:設(shè)A(x{y∵y1+y2=4,,∴k方法3:設(shè)A(y124,{y∵y1<y2∴kl=tanα=1,由方法4:依題意設(shè)直線l:y-2=k(x-2),與y2=4x聯(lián)立得即k由y1+y2=4k18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用，兩邊平方后，代入，利用余弦定理求得的值，進(jìn)而求得.（2）利用正弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角函數(shù)值域的求法，求得周長(zhǎng)的取值范圍.【題目詳解】（1）由于是三角形的中線，所以，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，將代入上式得，故，所以.（2）由正弦定理得，而，所以的周長(zhǎng)為，由于三角形是銳角三角形，所以，所以，所以，所以，也即三角形周長(zhǎng)的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查向量運(yùn)算，考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查輔助角公式，考查三角函數(shù)值域的求法，屬于中檔題.19、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【解題分析】

試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化情況討論單調(diào)性：當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）證明，即證，而，所以需證，設(shè)g（x）=lnx-x+1，利用導(dǎo)數(shù)易得，即得證.試題解析：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+），.若a≥0，則當(dāng)x∈（0，+）時(shí)，，故f（x）在（0，+）單調(diào)遞增.若a＜0，則當(dāng)x∈時(shí)，；當(dāng)x∈時(shí)，.故f（x）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）由（1）知，當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在取得最大值，最大值為.所以等價(jià)于，即.設(shè)g（x）=lnx-x+1，則.當(dāng)x∈（0,1）時(shí)，；當(dāng)x∈（1，+）時(shí)，.所以g（x）在（0,1）單調(diào)遞增，在（1，+）單調(diào)遞減.故當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得最大值，最大值為g（1）=0.所以當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）≤0.從而當(dāng)a＜0時(shí)，，即.【名師點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見(jiàn)類型及解題策略：（1）構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).20、（1），；（2）.【解題分析】試題分析：（1）先根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系求出從而可得的值，再根據(jù)余弦定理列方程即可求出邊長(zhǎng)的值；（2）先根據(jù)余弦定理求出，求出的長(zhǎng)，可