2024屆上海市理工附中等七校數(shù)學(xué)高二下期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆上海市理工附中等七校數(shù)學(xué)高二下期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在的展開(kāi)式中，系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)為（）A． B． C． D．2．已知集合，則為（）A． B． C． D．3．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則（）A．6 B．7 C．8 D．94．己知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍_______.A． B． C． D．5．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則的面積為()A． B． C． D．6．過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作圓的切線（切點(diǎn)為），交軸于點(diǎn).若為線段的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．7．已知命題，，命題q：若恒成立，則，那么()A．“”是假命題 B．“”是真命題C．“”為真命題 D．“”為真命題8．以下四個(gè)命題，其中正確的個(gè)數(shù)有（）①由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，有的把握認(rèn)為物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)有關(guān)，某人數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，則他有99%的可能物理優(yōu)秀.②兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1；③在線性回歸方程中，當(dāng)解釋變量每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量平均增加0.2個(gè)單位；④對(duì)分類變量與，它們的隨機(jī)變量的觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，越小，“與有關(guān)系”的把握程度越大.A．1 B．2 C．3 D．49．為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．10．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過(guò)右焦點(diǎn)作實(shí)軸的垂線交雙曲線于，兩點(diǎn)，若是直角三角形，則雙曲線的離心率為()A． B． C． D．11．在平面幾何中有如下結(jié)論：正三角形的內(nèi)切圓面積為，外接圓面積為，則，推廣到空間中可以得到類似結(jié)論：已知正四面體的內(nèi)切球體積為，外接球體積為，則為（）A． B． C． D．12．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，給出下列命題：①-2是函數(shù)的極值點(diǎn)；②是函數(shù)的極值點(diǎn)；③在處取得極大值；④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.則正確命題的序號(hào)是A．①③ B．②④ C．②③ D．①④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則__________.14．已知某種新產(chǎn)品的編號(hào)由1個(gè)英文字母和1個(gè)數(shù)字組成，且英文字母在前，數(shù)字在后.已知英文字母是，，，，這5個(gè)字母中的1個(gè)，數(shù)字是1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，則共有__________個(gè)不同的編號(hào)（用數(shù)字作答）.15．設(shè)隨機(jī)變量ξ的概率分布列為P(ξ=k)=ck+1，k=0，116．已知向量，，，，若，則_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）己知，函數(shù).（1）若，解不等式；（2）若函數(shù)，且存在使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）如圖，已知是圓(為圓心)上一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，求面積的最大值．19．（12分）已知半徑為5的圓的圓心在軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線相切．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）在（2）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得弦的垂直平分線過(guò)點(diǎn)．20．（12分）如圖，是正方形，是該正方體的中心，是平面外一點(diǎn)，平面，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面.21．（12分）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，．（1）求b的值；（2）求的值．22．（10分）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榧希?，?）若，求；（2）若，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)最大的系數(shù)絕對(duì)值大于等于其前一個(gè)系數(shù)絕對(duì)值；同時(shí)大于等于其后一個(gè)系數(shù)絕對(duì)值；列出不等式求出系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)；【題目詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式為：設(shè)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第項(xiàng)，可得可得，解得在的展開(kāi)式中，系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)為：故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式中絕對(duì)值系數(shù)最大項(xiàng)的求解，涉及展開(kāi)式通項(xiàng)的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題．2、C【解題分析】

分別求出集合M，N，和，然后計(jì)算.【題目詳解】解：由，得，故集合由，得，故集合，所以故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了指數(shù)函數(shù)的值域，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，集合的交集和補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】分析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由且，可得，，解出即可得出.詳解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由且，，，解得，則.故選：D.點(diǎn)睛：(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想來(lái)解決問(wèn)題．(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法．4、B【解題分析】

首先解出集合,若滿足，則當(dāng)時(shí)，和恒成立，求的取值范圍.【題目詳解】，，即當(dāng)時(shí)，恒成立，即，當(dāng)時(shí)恒成立，即，而是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，且當(dāng)時(shí)，恒成立，，解得：綜上：.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)給定區(qū)間不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸和計(jì)算求解能力，恒成立問(wèn)題可以參變分離轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，如果函數(shù)是二次函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為根的分布問(wèn)題，列不等式組求解.5、C【解題分析】

設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，設(shè)，由，所以，結(jié)合韋達(dá)定理可得，，由可得解.【題目詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為所以，設(shè)直線的方程為，將代入，可得，設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，所以，，所以，即，所以，所以的面積，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了設(shè)而不求的思想，由轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】

在中，為線段的中點(diǎn)，又，得到等腰三角形，利用邊的關(guān)系得到離心率.【題目詳解】在中，為線段的中點(diǎn)，又，則為等腰直角三角形.故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線的離心率，屬于?？碱}型.7、D【解題分析】

分別判斷命題的真假性，然后再判斷每個(gè)選項(xiàng)的真假【題目詳解】，即不存在，命題是假命題若恒成立，⑴時(shí)，，即符合條件⑵時(shí)，則解得，則命題為真命題故是真命題故選【題目點(diǎn)撥】本題考查了含有“或”“且”“非”命題的真假判定，只需將命題的真假進(jìn)行判定出來(lái)即可，需要解答一元二次不等式，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解題分析】對(duì)于命題①認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)有關(guān)，不出錯(cuò)的概率是99%，不是數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，物理成績(jī)就有99%的可能優(yōu)秀，不正確；對(duì)于④，隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k越小，說(shuō)明兩個(gè)相關(guān)變量有關(guān)系的把握程度越小，不正確；容易驗(yàn)證②③正確，應(yīng)選答案B。9、B【解題分析】分析：直接利用復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可．詳解：則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是.故選C.點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則的應(yīng)用，復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】分析：由題意結(jié)合雙曲線的結(jié)合性質(zhì)整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由雙曲線的對(duì)稱性可知：，則為等腰直角三角形，故，由雙曲線的通徑公式可得：，據(jù)此可知：，即，整理可得：，結(jié)合解方程可得雙曲線的離心率為：.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．11、B【解題分析】

平面圖形類比空間圖形,二維類比三維,類比平面幾何的結(jié)論,確定正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比,即可求得結(jié)論.【題目詳解】設(shè)正四面體P-ABC的邊長(zhǎng)為a，設(shè)E為三角形ABC的中心，H為正四面體P-ABC的中心，則HE為正四面體P-ABC的內(nèi)切球的半徑r,BH=PH且為正四面體P-ABC的外接球的半徑R，所以BE=，所以在中，，解得，所以R=PE-HE=，所以，根據(jù)的球的體積公式有，，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查類比推理，常見(jiàn)類型有：（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比；（2）平面與空間的類比；（3）橢圓與雙曲線的類比；（4）復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的類比；（5）向量與數(shù)的類比.12、D【解題分析】分析：由條件利用導(dǎo)函數(shù)的圖象特征，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．詳解：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象可得，y=f′（x）在（﹣∞，﹣2）上大于零，在（﹣2，2）、（2，+∞）上大于零，且f′（﹣2）=0，故函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣2）上為減函數(shù)，在（﹣2，+∞）、（2，+∞）上為增函數(shù)．故﹣2是函數(shù)y=f（x）的極小值點(diǎn)，故①正確；故1不是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，故②不正確；根據(jù)函數(shù)-1的兩側(cè)均為單調(diào)遞增函數(shù)，故-1不是極值點(diǎn).根據(jù)y=f（x）=在區(qū)間（﹣2，2）上的導(dǎo)數(shù)大于或等于零，故f（x）在區(qū)間（﹣2，2）上單調(diào)遞增，故④正確，故選：D.點(diǎn)睛：本題主要考查命題真假的判斷，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，屬于中檔題．導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)代表了原函數(shù)的單調(diào)性，極值點(diǎn)即導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，但是必須是變號(hào)零點(diǎn)，即在零點(diǎn)兩側(cè)正負(fù)相反；極值即將極值點(diǎn)代入原函數(shù)取得的函數(shù)值，注意分清楚這些概念.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設(shè)指數(shù)函數(shù)為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出的值，再求的值.【題目詳解】設(shè)指數(shù)函數(shù)為，所以.所以.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的解析式的求法和指數(shù)函數(shù)求值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.14、45【解題分析】

通過(guò)分步乘法原理即可得到答案.【題目詳解】對(duì)于英文字母來(lái)說(shuō)，共有5種可能，對(duì)于數(shù)字來(lái)說(shuō)，共有9種可能，按照分步乘法原理，即可知道共有個(gè)不同的編號(hào).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分步乘法原理的相關(guān)計(jì)算，難度很小.15、【解題分析】∵所有事件發(fā)生的概率之和為1，即P（ξ=0）+P（ξ=1）+P（ξ=2）+P（ξ=3）=1，∴，∴c=1225，∴P（ξ=k）=1225(k+1)，∴P（ξ=2）=．故答案為．16、【解題分析】

計(jì)算出向量與的坐標(biāo)，利用共線向量坐標(biāo)的等價(jià)條件列等式求出實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】，，又，所以，，解得，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用共線向量求參數(shù)的值，解題時(shí)要計(jì)算出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用共線向量的坐標(biāo)的等價(jià)條件列等式求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）零點(diǎn)分段解不等式即可（2）等價(jià)于，由，得不等式即可求解【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，解得；當(dāng)時(shí)，由，解得；當(dāng)時(shí)，由，解得.綜上可知，原不等式的解集為.（2）.存在使得成立，等價(jià)于.又因?yàn)?，所以，?解得，結(jié)合，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查不等式恒成立及最值，考查轉(zhuǎn)化思想，是中檔題18、（1）；（2）1.【解題分析】

（1）由題意得,即為定值，且，由橢圓的定義可知，點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上，即求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）直線代入橢圓方程，消去，根據(jù)韋達(dá)定理求出.求出點(diǎn)到直線的距離，則面積，根據(jù)基本不等式求面積的最大值.【題目詳解】（1）由題意得：,.是圓（為圓心）上一動(dòng)點(diǎn)，.，∴點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上，其中，，∴點(diǎn)的軌跡方程為．（2）直線代入橢圓方程，消去可得，由，得.設(shè)，則，.設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.∴面積的最大值為1．【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的定義，考查與橢圓有關(guān)的面積問(wèn)題，屬于較難的題目.19、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）存在實(shí)數(shù)【解題分析】

本試題主要考查圓的方程的求解，以及直線與圓的位置關(guān)系的運(yùn)用．解：（Ⅰ）設(shè)圓心為（）．由于圓與直線相切，且半徑為，所以，即．因?yàn)闉檎麛?shù)，故．故所求圓的方程為．…………………4分（2）把直線ax-y+5=0，即y=ax+5代入圓的方程，消去y整理，的（Ⅲ）設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)存在，直線的斜率為的方程為，即由于垂直平分弦AB，故圓心必在上，所以，解得．由于，故存在實(shí)數(shù)使得過(guò)點(diǎn)的直線垂直平分弦AB………14分20、證明見(jiàn)解析．【解題分析】試題分析：（1）要證與平面平行，而過(guò)的平面與平面的交線為，因此只要證即可，這可由中位線定理得證；（2）要證垂直于平面，就是要證與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，正方形中對(duì)角線與是垂直的，因此只要再證，這由線面垂直的性質(zhì)或定義可得．試題解析：證明：（1）連接，∵四邊形為正方形，∴為的中點(diǎn)，∵是的中點(diǎn)，∴是的中位線.∴，∵平面，平面，∴平面.（2）∵平面，平面，∴，∵四邊形是正方形，∴，∵，平面，平面，∴平面.考點(diǎn)：線面平行與線面垂直的判斷．21、(1)．(2)【解題分析】

（1）由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求sin（B）＝0，結(jié)合范圍B∈（，），可求B的值，由余弦定理可得b的值．（2）由（1）及余弦定理可得cosC的值，計(jì)算出sinC，根據(jù)兩角差的余弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解cos（C﹣B）的值．【題目詳解】（1）∵a＝2