2024屆福建省平和一中、南靖一中等五校數(shù)學高二第二學期期末監(jiān)測模擬試題含解析

2024屆福建省平和一中、南靖一中等五校數(shù)學高二第二學期期末監(jiān)測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是雙曲線：上的一點，，是的兩個焦點，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個大于，反證假設(shè)正確的是()A．假設(shè)三內(nèi)角都大于 B．假設(shè)三內(nèi)角都不大于C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于 D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于3．.若直線是曲線的一條切線，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．4．若隨機變量的數(shù)學期望，則的值是()A． B． C． D．5．已知正項等差數(shù)列滿足：，等比數(shù)列滿足：，則（）A．-1或2 B．0或2 C．2 D．16．設(shè)，命題“若，則方程有實根”的逆否命題是A．若方程有實根，則 B．若方程有實根，則C．若方程沒有實根，則 D．若方程沒有實根，則7．已知O為坐標原點,拋物線y2=2x與過焦點的直線交于A,B兩點,則的值是A． B． C．3 D．38．若角是第四象限角，滿足，則（）A． B． C． D．9．某家具廠的原材料費支出與銷售量（單位：萬元）之間有如下數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的全部數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出與的線性回歸方程為，則為x24568y2535605575A．5 B．10 C．12 D．2010．已知數(shù)列滿足（，且是遞減數(shù)列，是遞增數(shù)列，則A．B．C．D．11．已知（ax）5的展開式中含x項的系數(shù)為﹣80，則（ax﹣y）5的展開式中各項系數(shù)的絕對值之和為（）A．32 B．64 C．81 D．24312．已知隨機變量的分布列為（）01若，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．矩陣的逆矩陣為__________.14．已知雙曲線，的焦點分別在軸，軸上，漸近線方程為，離心率分別為，．則的最小值為___________．15．已知點M拋物線上的一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，點A在圓上，則的最小值________．16．若某圓錐的軸截面是面積為的等邊三角形，則這個圓錐的側(cè)面積是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）當時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（Ⅱ）當時，若函數(shù)在上有唯一零點，求的值18．（12分）在極坐標系中，已知直線l的極坐標方程為.以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系，曲線C的參數(shù)方程為（m為參數(shù)）.（1）求直線l的直角坐標方程和曲線C的普通方程；（2）已知點，直線l和曲線C相交于，兩點，求.19．（12分）已知函數(shù)．（1）若曲線在點處的切線方程為，求的值；（2）已知當時恒成立，求的最大值．20．（12分）在極標坐系中，已知圓的圓心，半徑（1）求圓的極坐標方程；（2）若，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線交圓于兩點，求弦長的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù).（1）證明：；（2）若對任意的均成立，求實數(shù)的最小值.22．（10分）已知點，經(jīng)矩陣對應的變換作用下，變?yōu)辄c.（1）求的值；（2）直線在對應的變換作用下變?yōu)橹本€，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】由題知，，所以==，解得，故選A.考點：雙曲線的標準方程；向量數(shù)量積坐標表示；一元二次不等式解法.2、B【解題分析】

反證法的第一步是假設(shè)命題的結(jié)論不成立，根據(jù)這個原則，選出正確的答案.【題目詳解】假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)三角形的內(nèi)角中至少有一個大于不成立，即假設(shè)三內(nèi)角都不大于，故本題選B.【題目點撥】本題考查了反證法的第一步的假設(shè)過程，理解至少有一個大于的否定是都不大于是解題的關(guān)鍵.3、A【解題分析】

設(shè)切點，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，在切點處的導數(shù)是切點處切線的斜率，求.【題目詳解】設(shè)切點，，解得.故選A.【題目點撥】本題考查了已知切線方程求參數(shù)的問題，屬于簡單題型，這類問題的關(guān)鍵是設(shè)切點，利用切點既在切線又在曲線上，以及利用導數(shù)的幾何意義共同求參數(shù).4、C【解題分析】分析：由題意結(jié)合二項分布數(shù)學期望的計算公式求解實數(shù)p的值即可.詳解：隨機變量則的數(shù)學期望，據(jù)此可知：，解得：.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查二項分布的數(shù)學期望公式及其應用，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.5、C【解題分析】分析：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，結(jié)合等差和等比數(shù)列的定義和性質(zhì)求出數(shù)列的通項公式即可得到結(jié)論．詳解：由，得，

∵是正項等差數(shù)列，

∴

，∵是等比數(shù)列，則，即

故選：D．點睛：本題主要考查對數(shù)的基本運算，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，求出數(shù)列的通項公式是解決本題的關(guān)鍵．6、D【解題分析】

根據(jù)已知中的原命題，結(jié)合逆否命題的定義，可得答案．【題目詳解】命題“若，則方程有實根”的逆否命題是命題“若方程沒有實根，則”，故選：D．【題目點撥】本題考查的知識點是四種命題，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解題分析】拋物線的焦點為,當直線l與x軸垂直時，,所以8、B【解題分析】

由題意利用任意角同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得的值．【題目詳解】解：∴角滿足，平方可得1+sin2，∴sin2，故選B．【題目點撥】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解題分析】分析：先求樣本中心，代入方程求解即可。詳解：，，代入方程，解得，故選B點睛：回歸直線方程必過樣本中心。10、D【解題分析】試題分析：由可得：，又是遞減數(shù)列，是遞增數(shù)列，所以，即，由不等式的性質(zhì)可得：，又因為，即，所以，即，同理可得：；當數(shù)列的項數(shù)為偶數(shù)時，令，可得：，將這個式子相加得：，所以，則，所以選D．考點：1．裂項相消法求和；2．等比數(shù)列求和；11、D【解題分析】

由題意利用二項展開式的通項公式求出的值，可得即

，本題即求的展開式中各項系數(shù)的和，令，可得的展開式中各項系數(shù)的和．【題目詳解】的展開式的通項公式為令，求得，可得展開式中含項的系數(shù)為，解得，則所以其展開式中各項系數(shù)的絕對值之和，即為的展開式中各項系數(shù)的和，令，可得的展開式中各項系數(shù)的和為.故選D項.【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題12、A【解題分析】

先由題計算出期望，進而由計算得答案?！绢}目詳解】由題可知隨機變量的期望，所以方差，解得，故選A【題目點撥】本題考查隨機變量的期望與方差，屬于一般題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

通過逆矩陣的定義構(gòu)建方程組即可得到答案.【題目詳解】由逆矩陣的定義知：,設(shè)，由題意可得：，即解得，因此.【題目點撥】本題主要考查逆矩陣的相關(guān)計算，難度不大.14、【解題分析】

根據(jù)雙曲線的漸近線方程和離心率的關(guān)系可得，，再利用基本不等式求解即可.【題目詳解】解：由漸近線方程為可知，，,，，.第一次取等號的條件為，即，第二次取等號的條件為，即.的最小值為.故答案為：.【題目點撥】本題考查雙曲線的方程和基本性質(zhì)，離心率的求法，基本不等式的應用，屬于中檔題.15、3【解題分析】

由題得拋物線的準線方程為，過點作于，根據(jù)拋物線的定義將問題轉(zhuǎn)化為的最小值，根據(jù)點在圓上，判斷出當三點共線時，有最小值，進而求得答案.【題目詳解】由題得拋物線的準線方程為，過點作于，又，所以，因為點在圓上，且，半徑為，故當三點共線時，，所以的最小值為3.故答案為：3【題目點撥】本題主要考查了拋物線的標準方程與定義，與圓有關(guān)的最值問題，考查了學生的轉(zhuǎn)化與化歸的思想.16、【解題分析】

由軸截面面積求得軸截面邊長，從而得圓錐的底面半徑和母線長．【題目詳解】設(shè)軸截面等邊三角形邊長為，則，，∴．故答案為．【題目點撥】本題考查圓錐的側(cè)面積，掌握側(cè)面積計算公式是解題基礎(chǔ)．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.極大值是，無極小值.（Ⅱ）1【解題分析】

（Ⅰ）把代入，令，求出極值點，再求出的單調(diào)區(qū)間，確定函數(shù)的極值；（Ⅱ）函數(shù)在上有唯一零點，等價于的極小值等于0，列出等式，可求得t.【題目詳解】解：（Ⅰ）當時，，則，令，得，∴的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.∴的極大值是，無極小值.（Ⅱ）當時，，由，得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的極小值是，∴只要，即，令，則，∴在上單調(diào)遞增.∵，∴的值是1.【題目點撥】本題主要考查利用導函數(shù)求增減區(qū)間和極值；以及根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)，確定參數(shù)的取值，數(shù)形結(jié)合方法的應用是解決本題的關(guān)鍵.18、（1），；（2）44【解題分析】分析：（1）首先將直線的極坐標方程展開后，利用極坐標和直角坐標的轉(zhuǎn)化公式，可求得直線的直角坐標方程.利用代入消元法消去可求得曲線的普通方程.（2）利用直線參數(shù)的幾何意義，借助根與系數(shù)關(guān)系，可求得的值.詳解：（1）由得，即，∴的直角坐標方程，由，得，代入得，即，所以的普通方程：；（2）在上，的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將的參數(shù)方程代入得：，即，∴，∴.點睛：本小題主要考查極坐標和直角坐標相互轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程和普通方程互劃，考查利用直線參數(shù)的幾何意義解題.屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）．【解題分析】

求得的導數(shù)，可得切線的斜率，由已知切線方程可得a，b的值；

由求導數(shù)可得單調(diào)性、最值，可知，由題意可得恒成立，即可得到ab的最大值．【題目詳解】（1）因為，所以解得．（2）當時，函數(shù)的定義域為．當時，；當時，．所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．所以．由題意，知恒成立，即恒成立．于是在時恒成立．記，則．當時，；當時，．所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．所以的最大值為．所以當時，取得最大值．【題目點撥】本題考查了導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、最值，利用導數(shù)研究恒成立問題，考查方程思想和轉(zhuǎn)化思想，以及運算能力，屬于難題．20、（3）ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣3=2（2）[2，2）【解題分析】

（3）極坐標化為直角坐標可得C（3，3），則圓C的直角坐標方程為（x﹣3）2+（y﹣3）2=3．化為極坐標方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣3=2.（2）聯(lián)立直線的參數(shù)方程與圓的直角坐標方程可得t2+2t（cosα+sinα）﹣3=2．結(jié)合題意和直線參數(shù)的幾何意義討論可得弦長|AB|的取值范圍是[2，2）.【題目詳解】（3）∵C（，）的直角坐標為（3，3），∴圓C的直角坐標方程為（x﹣3）2+（y﹣3）2=3．化為極坐標方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣3=2.（2）將代入圓C的直角坐標方程（x﹣3）2+（y﹣3）2=3，得（3+tcosα）2+（3+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣3=2．∴t3+t2=﹣2（cosα+sinα），t3?t2=﹣3．∴|AB|=|t3﹣t2|==2．∵α∈[2，），∴2α∈[2，），∴2≤|AB|＜2．即弦長|AB|的取值范圍是[2，2）.【題目點撥】本題主要考查直角坐標方程與極坐標方程的互化，直線參數(shù)方程的幾何意義等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.21、（1）證明見解析（2）【解題分析】

(1)由可得,再構(gòu)造函數(shù),分析函數(shù)單調(diào)性求最值證明即可.(2)根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù),再根據(jù)的正負分析函數(shù)的單調(diào)性可知為最大值,進而求得實數(shù)的最小值即可.【題目詳解】（1）證明：由,得,.設(shè),所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以,.又因為（其中）,所以,,所以,成立.（2）解：設(shè),.,,所以,.下面證明當時,成立.,因為,所以,所以.又因為當時,,所以,所以,所以,當時,.故,.所以,的最大值為,所以,的最小值為.【題目點撥】本題主要考查了利用導數(shù)證明函數(shù)不等式的問題,