山東省青島經(jīng)濟開發(fā)區(qū)致遠中學2024屆數(shù)學高二下期末學業(yè)水平測試試題含解析

山東省青島經(jīng)濟開發(fā)區(qū)致遠中學2024屆數(shù)學高二下期末學業(yè)水平測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．命題：，成立的一個充分但不必要條件為（）A． B．C． D．2．已知某地區(qū)中小學生人數(shù)和近視情況分別如圖1和圖2所示．為了解該地區(qū)中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取4%的學生進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為()A．400，40 B．200，10 C．400，80 D．200，203．如表是降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標準煤）的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程=0.7x+0.35，那么表中m的值為（）A．4 B．3.15 C．4.5 D．34．雙曲線x2A．y=±23x B．y=±45．函數(shù)在上的最小值和最大值分別是A． B． C． D．6．已知集合，則A． B．C． D．R7．已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A．-1 B． C．1 D．-38．某班級有男生人，女生人，現(xiàn)選舉名學生分別擔任班長、副班長、團支部書記和體育班委.男生當選的人數(shù)記為，則的數(shù)學期望為（）A． B． C． D．9．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則z的共軛復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．10．某市組織了一次高二調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計的數(shù)學成績服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)，x∈(－∞，＋∞)，則下列命題不正確的是()A．該市這次考試的數(shù)學平均成績?yōu)?0分B．分數(shù)在120分以上的人數(shù)與分數(shù)在60分以下的人數(shù)相同C．分數(shù)在110分以上的人數(shù)與分數(shù)在50分以下的人數(shù)相同D．該市這次考試的數(shù)學成績標準差為1011．已知集合，若，則＝()A．或 B．或 C．或 D．或或12．對于平面上點和曲線，任取上一點，若線段的長度存在最小值，則稱該值為點到曲線的距離，記作，若曲線是邊長為的等邊三角形，則點集所表示的圖形的面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．不等式的解集為________14．設(shè)為數(shù)列的前項和，，，則______.15．不等式的解為______．16．已知，是單位向量.若，則向量，夾角的取值范圍是_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）有6本不同的書:(1)全部借給5人,每人至少1本,共有多少種不同的借法?(2)全部借給3人,每人至少1本,共有多少種不同的借法?18．（12分）如圖，在四棱錐中，已知底面為菱形，，，為對角線與的交點，底面且（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．19．（12分）若，求證：．20．（12分）已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點，平行于的直線在軸上的截距為，交橢圓于兩個不同點.（1）求橢圓的標準方程以及的取值范圍；（2）求證直線與軸始終圍成一個等腰三角形.21．（12分）（1）當時，求證：；（2）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）設(shè)函數(shù),（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（2）記的最小值為，求的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

命題p的充分不必要條件是命題p所成立的集合的真子集，利用二次函數(shù)的性質(zhì)先求出p成立所對應(yīng)的集合，即可求解．【題目詳解】由題意，令是一個開口向上的二次函數(shù)，所以對x恒成立，只需要，解得，其中只有選項A是的真子集．故選A．【題目點撥】本題主要考查了充分不必要條件的應(yīng)用，以及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得實數(shù)的取值范圍是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解題分析】

由扇形圖能得到總數(shù)，利用抽樣比較能求出樣本容量；由分層抽樣和條形圖能求出抽取的高中生近視人數(shù).【題目詳解】用分層抽樣的方法抽取的學生進行調(diào)查，樣本容量為：，抽取的高中生近視人數(shù)為：，故選A.【題目點撥】該題考查的是有關(guān)概率統(tǒng)計的問題，涉及到的知識點有扇形圖與條形圖的應(yīng)用，以及分層抽樣的性質(zhì)，注意對基礎(chǔ)知識的靈活應(yīng)用，屬于簡單題目.3、D【解題分析】

因為線性回歸方程=0.7x+0.35，過樣本點的中心，，故選D.4、D【解題分析】

依據(jù)雙曲線性質(zhì)，即可求出。【題目詳解】由雙曲線x24-y29=1所以雙曲線x24-y2【題目點撥】本題主要考查如何由雙曲線方程求其漸近線方程，一般地雙曲線x2a2雙曲線y2a25、A【解題分析】

求出f（x）的導數(shù)，利用導函數(shù)的正負，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可．【題目詳解】函數(shù)，cosx，令＞0，解得：x，令＜0，解得：0≤x，∴f（x）在[0，）遞減，在（，]遞增，∴f（x）min＝f（），而f（0）＝0，f（）1，故f（x）在區(qū)間[0，]上的最小值和最大值分別是：．故選：A．【題目點撥】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查函數(shù)值的運算，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】

先解出集合與，再利用集合的并集運算得出.【題目詳解】，，，故選D.【題目點撥】本題考查集合的并集運算，在計算無限數(shù)集時，可利用數(shù)軸來強化理解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解題分析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算可得z＝1﹣3i，從而可得答案．【題目詳解】,∴復(fù)數(shù)z的虛部是-3故選：D【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解題分析】分析：先寫出的取值，再分別求的概率，最后求的數(shù)學期望.詳解：由題得所以故答案為：C點睛：（1）本題主要考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，意在考查學生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力.(2)離散型隨機變量的數(shù)學期望9、B【解題分析】

算出，即可得.【題目詳解】由得，，所以.故選：B【題目點撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運算，共軛復(fù)數(shù)的概念，考查了學生基本運算能力和對基本概念的理解.10、B【解題分析】分析：根據(jù)密度函數(shù)的特點可得：平均成績及標準差，再結(jié)合正態(tài)曲線的對稱性可得分數(shù)在110分以上的人數(shù)與分數(shù)在50分以下的人數(shù)相同，從而即可選出答案.詳解：密度函數(shù)，該市這次考試的數(shù)學平均成績?yōu)?0分該市這次考試的數(shù)學標準差為10，從圖形上看，它關(guān)于直線對稱，且50與110也關(guān)于直線對稱，故分數(shù)在110分以上的人數(shù)與分數(shù)在50分以下的人數(shù)相同.故選B.點睛：本題主要考查了正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，以及利用幾何圖形的對稱性求解.11、C【解題分析】或．故選C．點睛：1、用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含義，再看元素元素的限制條件，明確集合的類型，是數(shù)集，是點集還是其它集合．2、求集合的交、交、補時，一般先化簡，再由交、并、補的定義求解．3、在進行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化，一般地，集合元素離散時用Venn圖；集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時要注意端點值的取舍．12、D【解題分析】

根據(jù)可畫出滿足題意的點所構(gòu)成的平面區(qū)域；分別求解區(qū)域各個構(gòu)成部分的面積，加和得到結(jié)果.【題目詳解】由定義可知，若曲線為邊長為的等邊三角形，則滿足題意的點構(gòu)成如下圖所示的陰影區(qū)域其中，，，，，，又又陰影區(qū)域面積為：即點集所表示的圖形的面積為：本題正確選項：【題目點撥】本題考查新定義運算的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)定義，找到距離等邊三角形三邊和頂點的最小距離小于等于的點所構(gòu)成的區(qū)域，易錯點是忽略三角形內(nèi)部的點，造成區(qū)域缺失的情況.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)絕對值的定義去絕對值符號，直接求出不等式的解集即可.【題目詳解】由，得，解得故答案為.【題目點撥】本題考查絕對值不等式的解法，考查等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想和計算能力.14、4【解題分析】

由已知條件可判斷出數(shù)列為等比數(shù)列，再由可求出首項，再令即可求出的值.【題目詳解】，且，，即，則數(shù)列為等比數(shù)列且公比為，，，在中令得：故答案為：4【題目點撥】本題考查了已知的關(guān)系求數(shù)列通項，以及等比數(shù)列前項和公式，考查了學生的計算能力，屬于一般題.15、或或或【解題分析】

利用組合數(shù)公式得出關(guān)于的不等式，解出的取值范圍，即可得出正整數(shù)的取值.【題目詳解】，由組合數(shù)公式得，得，整理得，即，解得，由題意可知且，因此，不等式的解為或或或.故答案為：或或或.【題目點撥】本題考查組合不等式的求解，解題的關(guān)鍵就是利用組合數(shù)公式列出不等式，考查運算求解能力，屬于中等題.16、【解題分析】

設(shè)向量、的夾角為，在不等式兩邊平方，利用數(shù)量積的運算律和定義求出的取值范圍，于此可求出的取值范圍．【題目詳解】設(shè)向量、的夾角為，，兩邊平方得，、都是單位向量，則有，得，，，因此，向量、的夾角的取值范圍是，故答案為．【題目點撥】本題考查平面數(shù)量積的運算，考查平面向量夾角的取值范圍，在涉及平面向量模有關(guān)的計算時，常將等式或不等式進行平方，結(jié)合數(shù)量積的定義和運算律來進行計算，考查運算求解能力，屬于中等題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）1800；（2）540【解題分析】分析：（1）將6本書中某兩本書合在一起組成5份,借給5人,即可得到答案；（2）將6本書分成三份有3種分法，第一種是一人4本，一人1本，一人1本；第二種是一人3本，一人2本，一人1本；第三種是每人各2本；然后再將分好的三份借給3人即可.詳解：(1)將6本書中某兩本書合在一起組成5份,借給5人,共有=1800種借法.(2)將6本書分成三份有3種分法.第一種是一人4本,一人1本,一人1本;第二種是一人3本,一人2本,一人1本;第三種是每人各2本;然后再將分好的三份借給3人,有=540種借法.點睛：分組分配問題是排列、組合問題的綜合運用，解決這類問題的一個基本指導思想就是先分組后分配．關(guān)于分組問題，有整體均分、部分均分和不等分組三種，無論分成幾組，都應(yīng)注意只要有一些組中元素的個數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象．18、（1）；（2）【解題分析】

根據(jù)底面為菱形得，利用線面垂直的性質(zhì)可得，，從而以為坐標原點建立空間直角坐標系；（1）利用異面直線所成角的空間向量求法可求得結(jié)果；（2）分別得到兩個平面的法向量，根據(jù)二面角的空間向量求法可求得結(jié)果.【題目詳解】底面為菱形又底面，底面，以為坐標原點可建立如圖所示的空間直角坐標系則，，，（1）設(shè)為異面直線與所成的角，又，異面直線與所成的角的余弦值為：（2）平面平面的法向量取設(shè)平面的法向量為，又，則，令，則，設(shè)為兩個平面所成的銳二面角的平面角，則：平面與平面所成銳二面角的余弦值為：【題目點撥】本題考查利用空間向量法求解角度問題，涉及到異面直線所成角、平面與平面所成角的求解問題，考查學生的運算和求解能力，屬于常規(guī)題型.19、見解析【解題分析】

引入函數(shù)，展開，其中，，是整數(shù)，，注意說明的唯一性，這樣有，，然后計算即可.【題目詳解】證明：因為，所以，由題意，首先證明對于固定的，滿足條件的是唯一的．假設(shè)，則，而，矛盾。所以滿足條件的是唯一的．下面我們求及的值：因為，顯然．又因為，故，即．所以令，，則，，又，所以．【題目點撥】本題考查二項式定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是引入函數(shù)，展開，其中，，是整數(shù)，，于是可表示出.本題有一定的難度.20、（1）（2）見解析.【解題分析】（1）設(shè)橢圓方程為則∴橢圓方程∵直線l平行于OM，且在軸上的截距為m又∴l(xiāng)的方程為：由∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，∴m的取值范圍是（2）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1＋k2=0即可設(shè)可得而∴k1＋k2=0故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.點睛：解答本題的第一問是，直接依據(jù)題設(shè)條件建立含方程組，通過解方程組求出基本量，進而確定橢圓的標準方程，再聯(lián)立直線與橢圓的方程組成的方程組，借助交點的個數(shù)建立不等式求出參數(shù)的取值范圍；求解第二問時，依據(jù)題意先將問題轉(zhuǎn)化為證明直線的斜率之和為0的問題來處理，再聯(lián)立直線與橢圓的方程組成的方程組，借助坐標之間的關(guān)系進行推證而獲解．21、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）根據(jù)不等式的特征，分，，，構(gòu)造，研究其單調(diào)性即可.（2）將當時，恒成立，轉(zhuǎn)化為時，恒成立，當時，顯然成立，當且時，轉(zhuǎn)化為，，利用（1）的結(jié)論求解.【題目詳解】（1）當時，原不等式左邊與右邊相等，當時，原不等式，等價于，令，所以，所以在上遞增，，所以，當時，原不等式，等價于，令，所以，所以在上遞增，，所以，綜上：當時，；（2）因為當時，恒成立，所以當時，恒成立，當時，顯然成立，當且時，恒成立，由（1）知當且時，，所以，所以.實數(shù)的取值范圍是.【題目點撥】本題主要考查導數(shù)于函數(shù)的單調(diào)性研究不等式恒成立問題，還考查了分類討論的思想和運算求解的