三角形全等的重要模型-2021-2022學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試好題匯編（北師大版）（解析版）

專題07三角形全等的重要模型

考向一、倍長中線模型

考向二、旋轉(zhuǎn)模型

考向三、垂線模型

考向四、平移全等模型

考向五、半角全等模型

?經(jīng)典基礎(chǔ)題

考向一、倍長中線模型

1.（2020?河南焦作?七年級期末）已知是△ABC中BC邊上的中線，若A8=3,AD=2,則AC的長可以

是（）.

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【解析】

【詳解】

延長AO至E,使4￡）=。區(qū)連接BE、CE,

E

AD—DE=2,

：.AE=4,

：AO是△A8C中8c邊上的中線,

:.BD=DC,

又NADC=NEDB,

.".AACD^AEDB,

:.BE=AC,

，在“BE中：AE-AB<BE<AE+AB,

即4一3<8￡<4+3

：.\<AC<7.

故選A.

【點(diǎn)睛】

三角形任意兩邊之和大于第三邊.

2.（2020?四川成都?七年級期末）如圖所示，在AABC中，AB=6,AC=4,AO是Z^ABC的中線，若A。的

長為偶數(shù)，則.

【解析】

【分析】

延長至E,使OE=A。，連接CE,由“SAS”可證△A3。絲△EC。，可得CE=A8=6,由三角形的三邊關(guān)

系可得1<AO<5,即可求解.

【詳解】

解：延長AD至E,使OE=AO,連接CE,

在△A8D與AECO中，

BD=CD

"NADB=NEDC,

AD=DE

.?.△ABO絲△ECO(.SAS),

：.CE=AB=6,

在中，CE-AC<AE<CE+AC,

即2<2AD<10,

A1<AD<5,

???AO為偶數(shù)，

.?.">=2或4,

故答案為2或4.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)倍長中線這個(gè)輔助線作法得到三

角形全等，進(jìn)而求解即可.

3.(2021?陜西漢中?七年級期末)如圖，在AABC中，是8c邊上的中線，過C作AB的平行線交AO的

延長線于E點(diǎn).若AB=6,AC=2,試求AE的取值范圍.

【答案】4V4EV8

【解析】

【分析】

證明A4BO2△￡<7￡>(AAS),得至ljAB=EC=6,AD=ED,再由三角形的三邊關(guān)系即可得出答案.

【詳解】

解：是8c邊上的中線，

：.BD=CD.

"AB//CE,

：.NBAD=/E,

在△A8D和△EC。中，

NBAD=NE

NBDA=NCDE,

BD=CD

:?△ABD4AECD(AAS),

.\AB=EC=6f

:?AD=DE,

在"CE中，CE-AC<AE<CE+ACf

即6-2<AE<6+2,

/.4<AE<8.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識；熟練掌握三角形的三邊

關(guān)系，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

考向二、旋轉(zhuǎn)模型

1.(2021?山西臨汾?七年級期末)如圖，將三角形ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到三角形EDC.若點(diǎn)A,D,

E在同一條直線上，ZACB=20°,求NAOC的度數(shù).

【答案】/A￡>C=65°

【解析】

【分析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答即可.

【詳解】

解：?..將AABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AECC.

.?./OCE=NACB=20。，NBC￡>=/ACE=90。，AC=CE,

ZAC￡>=90°-20。=70。，

?.?點(diǎn)A,D,E在同一條直線上，

NAOC+/EOC=180。，

ZEDC+ZE+ZDCE=180°,

，ZADC=ZE+20°,

VZACE=90°,AC=CE

.\ZDAC+ZE=90o,ZE=ZDAC=45°

在△ACC中，ZADC+ZDAC+ZDCA=180°,

即45o+70°+ZADC=180°,

解得：ZADC=65°,

【點(diǎn)睛】

此題主要考查旋轉(zhuǎn)綜合題，解題的關(guān)鍵熟知旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

2.(2021?河北滄州市?八年級期末)如圖，4ABC和AAED共頂點(diǎn)A,AD=AC,Z1=Z2,ZB=ZE.BC

交AD于M,DE交AC于N,甲說：“一定有AABC出Z\AED.”乙說：、ABM絲△AEN.”那么()

A.甲、乙都對B.甲、乙都不對C.甲對、乙不對D.甲不對、乙對

【答案】A

【分析】利用AAS判定AABCg/kAED,則可得到AB=AE,再利用ASA判定AABM絲△AEN.

【詳解】VZ1=Z2,.,.Z1+ZMAC=Z2+ZMAC,二/BAC=NEAD,

NB=NE

在ABAC和^EAD中，|N8AC=NEAO.，Z\BACTZ\EAD,，甲說的正確；

AC=AD

VABAC^AEAD(AAS),；.AB=AE,

NB=NE

在ABAM和AEAN中，＜=-?.△BAM/4EAN(ASA),...乙說的正確；故選A.

N1=N2

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，根據(jù)題目的特點(diǎn)，補(bǔ)充適當(dāng)條件，活用判定定理是解題的關(guān)

鍵.

3.(2020?山東東營?七年級期末)如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且AD_LMV

于點(diǎn)。，8ELMN于點(diǎn)E.

(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①八位七名△CEB；②DE=AD+BE；

(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE；

(3)當(dāng)直線MV繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，試問OE,AD,BE具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫

出這個(gè)等量關(guān)系，不需要證明.

【答案】(1)①見解析；②見解析：(2)見解析；(3)DE=BE-AD

【解析】

【分析】

(1)①由/ACB=90°,得NACD+/BCE=90°,而AO_LMN于O,BE1,MN于E,則NAOC=/CEB=90°,

根據(jù)等角的余角相等得到NAC決/C8E,證得R小ADgR小CEB,

②由Rtz^ADC絲Rtz\CEB,得出A￡>=CE,DC=BE,即可得至lj￡>E=QC+CE=BE+AQ.

(2)根據(jù)等角的余角相等得到/AC￡>=/CBE,證得“OC<ACEB,得到AQ=CE,DC=BE,所以O(shè)E=CE

~CD=AD-BE.

(3)DE、AD.BE具有的等量關(guān)系為：DE=BE-AD.證明的方法與(2)相同.

【詳解】

解：(1)①證明：?.?A￡)_LMVF點(diǎn)。，BELMN于點(diǎn)、E,：.ZADC=ZBEC=ZACB=90°.

ZACD+ADAC=90°,ZACD+NBCE=90°,

:.NDAC=NBCE.又?；AC=BC,/\ADCACEB(AAS)；

②證明：由①知，AADC且ACEB,:.AD=CE,BE=CD.

?;DE=CE+CD,:.DE=AD+BE；

(2)證明：?.?AD_LMN于點(diǎn)。，BELMN于點(diǎn)E,

ZADC=ZBEC=ZACB=90°,ZCAD+ZACD=900,ZACD+ZBCE=90°.:.NCAD=NBCE,

又?.?AC=8C,.-.△ADC^ACEB(AAS),:.CE^AD,CD=BE,

/.DE=CE-CD=AD-BE-,

(3)DE=BE-AD(或=BE=AD+DE).

由(2)的方法證得AAOC絲△CE8,

：.AD=CE,DC=BE,

DE=CD-CE=BE-AD.

【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線

段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角.也考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì).

考向三、垂線模型

1.(2021?黑龍江哈爾濱?七年級期末)如圖，在AABC中，Z4BC=90°,過點(diǎn)C作CDLAC,且CD=AC,

【解析】

【分析】

9

過點(diǎn)。作DW_LBC交5c延長線于點(diǎn)M,先證明&△CW(A4S),則3C=￡>M,然后根據(jù)山=萬

求BC即可.

【詳解】

解：過點(diǎn)。作QM_LBC交BC延長線于點(diǎn)M,

則/OMC=9()o=NABC,

.CD1AC,ZABC=90°,

ZACB+ZMCD=90°,ZACB+ABAC=90°,

:.ZBAC=AMCD,

?：CD=AC,

「.△ABC絲△CMD（A4S）,

/.BC=DM,

119

/.S八"=-xBCxD9M=-BC2=-

222f

/.BC=3.

故填3.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積，正確作出輔助線、構(gòu)造全等三角形證得

8C=DM成為解答本題的關(guān)鍵.

2.（2020?遼寧錦州?七年級期末）在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且ADLMN

于D,BEJ_MN于E.

（1）如圖1所示位置時(shí)判斷△ADC與ACEB是否全等，并說明理由；

（2）如圖2所示位置時(shí)判斷AADC與ACEB是否全等，并說明理由.

【答案】（1）全等，見解析；（2）全等，見解析

【解析】

【分析】

（1）首先根據(jù)同角的余角證明NDAC=/BCE,再利用AAS定理證明ADAC烏AECB；

（2）首先根據(jù)同角的余角證明NDAC=NBCE,進(jìn)而利用HL定理證明^ACD絲ZkCBE.

【詳解】

(1)如圖1.全等，

理由：VZACB=90°,AD_LMN于D,BEJ_MN于E,

二ZDAC+ZDCA=ZBCE+ZDCA,

ZDAC=ZBCE,

在ADAC與4ECB中，

ZDAC=ZBCE

■；■NADC=ZCEB=90",

AC=BC

.".△DAC^AECB(AAS)；

(2)如圖2,全等，

理由：

VZACB=90°,AD±MN,

二ZDAC+ZACD=ZACD+ZBCE,

.,.ZDAC=ZBCE,

在ZkACD與ACBE中，

'NDAC=NECB

?.JZADC=2CEB,

AC=BC

.,.△ACD^ACBE(AAS).

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定及其性質(zhì)定理的同時(shí)，還滲透了對旋轉(zhuǎn)變換的考查；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用全

等三角形的判定定理解題.

3.(2022.黑龍江大慶.七年級期末)王強(qiáng)同學(xué)用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面

垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板(AC=3C,NACB=90。)，點(diǎn)C在OE上，點(diǎn)A和

B分別與木墻的頂端重合.

(1)求證：AADCsACEB；

(2)求兩堵木墻之間的距離.

B

DCE

【答案】（1）證明見解析；（2）兩培木墻之間的距離為20a”.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)同角的余角相等可證NBCE=NDAC,然后利用AAS即可證出A4DC~AC￡B；

（2）根據(jù)題意即可求出AD和BE的長，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求出DC和CE,從而求出DE的

長.

【詳解】

（1）證明：由題意得：AC=BC,ZACB=90°,AD1DE,BEVDE,

：.ZADC=NCEB=90°,

二ZACD+NBCE=90°,ZACD+ZDAC=90°,

NBCE=NDAC

在AADC和ACEB中

ZADC=ZCEB

<ZDAC=NECB,

AC=BC

：.^ADC=\CEB（AAS'）；

（2）解：由題意得：AD-2x3=6cm,BE=1x2=14cm,

'：MDC"CEB,

EC=AD=6cm,DC=BE=14c/n,

/.DE—DC+CE=20（CT?7）,

答：兩堵木墻之間的距離為20cm.

【點(diǎn)睛】

此題考查的是全等三角形的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

考向四、平移全等模型

1.（2021?浙江溫州市?八年級期末）如圖，AB=DE,NA=ZD，要說明△ABCg/kOEE,需添加的

條件不能是（）

A.AB//DEB.AC//DFC.ACIDED.AC^DF

【答案】C

【分析】直接根據(jù)三角形證明全等的條件進(jìn)行判斷即可；

【詳解】A、：AB〃DE,；./ABC=NDEC,.?.根據(jù)ASA即可判定三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、；AC〃DF,.?.NDFE=NACB,.?.根據(jù)AAS即可判定三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、ACIDE,不符合三角形全等的證明條件，故此選項(xiàng)符合題意；

D、?；AC=DF,.?.根據(jù)SAS即可判定三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形證明全等所需添加的條件，正確掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵；

2.（2021?云南昆明市?八年級期末）如圖：已知AD=BE，砂且BC〃EE,求證：4ABe94DEF.

【答案】見解析

【分析】由AD=BE可求得AB=DE,再結(jié)合條件可證明AABC絲Z\DEF.

【詳解】證明：：AD=BE：.AD+BD=BE+BD.,.AB=DE

又：BC//EF：.ZABC=ZDEF

AB=DE

在△ABC和ADEF中，乙4BC=NDEF：.AABC^ADEF(SAS)

BC=EF

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，即sss、SAS、

ASA、AAS和HL.

3.(2021?襄城區(qū)期末)如圖，點(diǎn)B、E、C、尸四點(diǎn)在一條直線上，ZA=ZD,AB//DE,老師說：再添加

一個(gè)條件就可以使△ABC絲△OEF.下面是課堂上三個(gè)同學(xué)的發(fā)言，甲說：添加AB=DE；乙說：添加AC

〃OF;丙說：添加BE=CF.(1)甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)說法正確的是；

(2)請你從正確的說法中選擇一種，給出你的證明.

【思路】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)，由AB〃DE可得NB=NDEC,再加上條件NA=/￡),只需要添加一個(gè)

能得出邊相等的條件即可證明兩個(gè)三角形全等，添加AC//DF不能證明△A8C四

(2)添力UA8=￡)E,然后再利用ASA判定即可.

【解答】解：(1)說法正確的是：甲、丙，故答案為：甲、丙；

(2)證明：".'AH//DE,:.NB=NDEC,

(Z.A=乙D

在△ABC和△￡)￡：/中，AB=DE,

.4B=乙DEF

：.(ASA).

考向五、半角全等模型

1.(2021?山東東營市?七年級期末)(1)問題背景：

如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°,E,F分別是BC,CD上的

點(diǎn)，且NEAF=60。，探究圖中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.

小明同學(xué)探究此問題的方法是延長FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連結(jié)AG,先證明△ABE三AADG,再證明△

A￡/經(jīng)AAGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是.

(2)探索延伸：如圖2,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,F分別是BC,CD上的點(diǎn)，Z

EAF=-ZBAD,上述結(jié)論是否依然成立？并說明理由.

2

【分析】(1)延長FD至IJ點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,即可證明AABE絲4ADG,可得AE=AG,再證明AAEF

?△AGF,可得EF=FG,即可解題；(2)延長FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,即可證明AABE<ZXADG,

可得AE=AG,再證明△AEFg^AGF,可得EF=FG,即可解題；

【詳解】解：(1)EF=BE+DF,證明如下：

DG=BE

在AABE和△ADG中，，=ZADG絲AADG(SAS)；.AE=AG,NBAE=ZDAG

AB=AD

'：ZEAF=-NBADZ.GAF=ZDAG+ZDAF=NBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=AEAF

2

AE^AG

/FAF=ZGAF在AAEF和AAGF中，<NEAF=NGAFMEF^MGF(SA5)EF=FG

AF=AF

FG=DG+DF=BE+DF：.EF=BE+DF故答案為EF=BE+DF.

(2)結(jié)論EF=BE+DF仍然成立；理由：延長FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,如圖②,

DG=BE

在^ABE和4ADG中｛/8=NAOG.?.△ABE絲AADG(SAS),；.AE=AG,ZBAE=ZDAG,

AB=AD

VZEAF=-ZBAD,AZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=ZEAF,/.ZEAF=ZGAF,

2

AE^AG

在AAEF和AAGF中，＜ZEAF=ZGAF.-.AAEF^AAGF(SAS),；.EF=FG,

AF^AF

'：FG=DG+DF=BE+DF,EF=BE+DF；

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及“半角模型”，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)及“半角模

型”構(gòu)造全等的方法是解題的關(guān)鍵.

2.(2022?四川綿陽市?八年級期末)已知在四邊形ABCD中，ZABC+ZADC=180°,ZBAD+ZBCD=

180°,AB=BC(1)如圖1,連接BD,若/BAD=90。，AD=7,求DC的長度.

(2)如圖2,點(diǎn)P、Q分別在線段AD、DC上，滿足PQ=AP+CQ,求證：ZPBQ=ZABP+ZQBC

(3)若點(diǎn)Q在DC的延長線上，點(diǎn)P在DA的延長線上，如圖3所示，仍然滿足PQ=AP+CQ,請寫出N

PBQ與/ADC的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過程.

【答案】(1)0C=7；(2)見解析；(3)ZPBQ=9O°+^ZADC,證明見解析

【分析】(1)根據(jù)已知條件得出&BDC為直角三角形，再根據(jù)HL證出自△R4D0心△58,從而證出

AD=CD即可得出結(jié)論；(2)如圖2,延長DC到K,使得CK=AP,連接BK,通過證ABPA絲△BCK(SAS)

得到：Z1-Z2,BP=BK.然后根據(jù)SSS證明得APB。絲ABKQ,從而得出

NPBQ=Z2+ZCBQ=Nl+ZCBQ，然后得出結(jié)論;(3)如圖3,在CD延長線上找一點(diǎn)K,使得KC=AP,

連接BK,構(gòu)建全等三角形：△BPAgABCK(SAS),山該全等三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理SSS

證得：”BQ絲Z^KQ,則其對應(yīng)角相等：/PBQ=/KBQ,結(jié)合四邊形的內(nèi)角和是360?？梢酝频茫篘PBQ=9(r+

—ZADC.

2

【詳解】(1)證明：如圖1,

D

'：ZABC+ZADC=180°,ABAD=90°,/BCD=ZBAD=90°,

在RtVBAD和RtABCD中，

BD=BD

：.Rt/\BAD^RtABCD〈HL),AD-DC>DC=7；

AB=BC

(2)如圖如

延長。。至點(diǎn)K，使得CK=AP，連接8K

:ZABC+ZADC=180°,ABAD+ZBCD=180°，

,：ZBCD+ZBCK=180°,；./BAD=NBCK，

'：AP=CK,AB=BC,/.△5PA也△BCK(SAS),

，N1=N2，BP=BK，

■：PQ^AP+CQ,QK=CK+CQ,：.PQ=QK,

,:BP=BK，BQ=BQ.：.APBQ^BKQ(SSS),

：.ZPBQ=Z2+ZCBQ=N1+ZCBQ，:.ZPBQ=ZABP+AQBC-

(3)NPB。=90。+；NAOC；如圖3,在CD延長線上找一點(diǎn)K,使得KC=A尸，連接8K,

■:ZABC+ZADC=\^°,:.ABAD+ZBCD=180°,

ZBAD+APAB=180°,AAPAB=ZBCK,

AP=CK

在ABPA和ABCK中，JZBAP=NBCK：./\BPA^ABCK(SAS),

AB=BC

:?ZABP=NCBK,BP=BK，：./PBK=ZABC,

VPQ^AP+CQ,:.PQ=QK,

BP=BK

在△PBQ和ABKQ中，\BQ^BQ:.APBgABKQ(SSS),

PQ=KQ

：.ZPBQ=ZKBQ,2ZPBQ+ZPBK=2ZPBQ+ZABC=360°,

2ZPBQ+(180°-ZADC)=360°,NPBQ=90。+gZADC.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和

公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形.

爭優(yōu)選提升題

1.（2021?黑龍江大慶市?七年級期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線加上，

并且有N3Q4=N4EC=N8AC,求證：DE=BD+CE.

【分析】首先根據(jù)等量代換得MNC4￡=NABD,從而可證a4汨t△CE4,最后利用全等三角形的性

質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：設(shè)4BZM=NB4C=a，，ZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=}80°-a,：.ZCAE^ZABD,

NABD=NCAE

■：在△ADB和ACEA中，NBDA=ZCEA,/.AADB^ACE4（A4S）,

AB=AC

AE-BD-AD=CE,DE=AE+AD=BD+CE.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握全等三角形判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?四川巴中?七年級期末）某建筑測量隊(duì)為了測量一棟居民樓ED的高度，在大樹AB與居民樓ED

之間的地面上選了一點(diǎn)C,使B,C,D在一直線上，測得大樹頂端A的視線AC與居民樓頂端E的視線

EC的夾角為90。，若AB=CD=12米，BD=64米，請計(jì)算出該居民樓ED的高度.

田

田

田

【答案】52米

【解析】

【分析】

先根據(jù)大樹頂端A的視線AC與居民樓頂端E的視線EC的夾角為90。以及AB=CD可以推出MBC^ACDE.

從而得到ED=3C,進(jìn)而計(jì)算出3C即可.

【詳解】

解：由題意可知：ZB=NCDE=ZACE=90。,

.-.Z4Cfi+Z￡）CE=180o-90o=90o,

ZACB+ABAC=90°,

:.ZACB+ZDCE=ZACB+Z.BAC,

:.ZDCE=ZBAC,

在A43C和AC￡)E中,

Z.BAC=NDCE

■ZB=NCDE,

AB=CD

：.^ABC^\CDE,

..ED=BC,

又\。=12米，BD=64米，

:.BC=BD-CD=M-\2=52^,

.iED=52米，

答：該居民樓ED的高度為52米.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定，利用AAS證明AABC也△CDE是解題的關(guān)鍵.

3.（2021?廣西百色市?八年級期末）如圖，已知點(diǎn)。是45的中點(diǎn)，CD//BE,且CD=BE.

（1）求證：AACD^ACBE.（2）若NA=87°,/。=32°,求NB的度數(shù).

【答案】（1）見解析：（2）61°

【分析】（1）根據(jù)SAS證明z\ACD咨ACBE；

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得/ACD,再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得到/B=NACD.

【詳解】（1）?.?C是AB的中點(diǎn)，.?.AC=CB,^.^CD〃BE,.?.NAC。=NCBE,

AC=CB

在△ACD和ACBE中，＜ZACD=ZCBE,：.MCD=\CBE:

CD=BE

（2）VZA=87°,ZD=32°?ZACD=180°-ZA-ZD=180°-87°-32°=61°?

又：AACDMACBE,，NB=ZACO=61°.

【點(diǎn)睛】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)SAS證明AACDgZXCBE.

4.（2019?山西臨汾?七年級期末）閱讀材料，并回答下列問題

如圖1,以AB為軸，把AABC翻折180。，可以變換到AABD的位置；

如圖2,把^ABC沿射線AC平移，可以變換到ADEF的位置.像這樣，其中的一個(gè)三角形是另一個(gè)三角形

經(jīng)翻折、平移等方法變換成的，這種只改變位置，不改變形狀大小的圖形變換，叫三角形的全等變換.班

里學(xué)習(xí)小組針對三角形的全等變換進(jìn)行了探究和討論

（1）請你寫出一種全等變換的方法（除翻折、平移外），.

（2）如圖2,前進(jìn)小組把AABC沿射線AC平移到ADEF,若平移的距離為2,且AC=5,則DC=.

（3）如圖3,圓夢小組展開了探索活動，把AABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部點(diǎn)A，

的位置，且得出一個(gè)結(jié)論：2/A，=/l+N2.請你對這個(gè)結(jié)論給出證明.

（4）如圖4,奮進(jìn)小組則提出，如果把AABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCDE外部點(diǎn)A的位置，

此時(shí)NA，與N1、/2之間結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明，若不成立，寫出正確結(jié)論并證明.

【答案】（D旋轉(zhuǎn)；（2）3；（3）見解析；（4）不成立，正確結(jié)論：Z2-Z1=2ZA',見解析

【解析】

【分析】

（1）由題意根據(jù)三種全等變換翻折、平移、旋轉(zhuǎn)的定義進(jìn)行判斷即可；

（2）根據(jù)平移的距離的定義可知AD=2,則DC=AC-AD進(jìn)行求解即可：

（3）根據(jù)軸對稱及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行分析即可得出結(jié)論；

（4）由題意根據(jù)軸對稱及三角形內(nèi)角和定理，進(jìn)行分析即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：（1）除翻折、平移外全等變換的方法還有旋轉(zhuǎn)；

故答案為：旋轉(zhuǎn).

（2）；AD=2,AC=5,

ADC=AC-AD=5-2=3；

故答案為：3.

⑶?.,把△ADE沿DE翻折，得到AADE,

AAADE^AA'DE,

...NADE=NA'DE,NAED=/A'ED,

在ADEA'中，ZA'=180°-(ZA'DE+ZA'ED)；

由平角定義知，Z2=180°-ZA'DA=1800-2ZA'DE,

Nl=180°-ZA'EA=180°-2ZA'ED,

/.Zl+Z2=180°-2ZA'DE+180°-2ZA'ED=2(180°-ZA'ED-ZA'DE),

：.2ZA'=Z\+Z2.

(4)Z2-Z1=2ZA',

理由如下：

,/JEAADE沿DE翻折，得至！UADE,

AAADE^AA'DE,

...NADE=NA'DE,ZAED=ZA'ED,

在^DEA'中，ZA'=180°-(ZA'DE+ZA,ED),

由平角定義知，Z2=180°-ZA'DA=180°-2ZA,DE,Z1=2ZA'ED-180°,

(180°-2ZA'DE)-(2ZA'ED-180°)-180°-(ZA'DE+ZA'ED),

AZ2-Z1=2ZA'.

【點(diǎn)睛】

本題是三角形綜合題，綜合考查平移的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)等知識,

靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解答本題的關(guān)鍵.

5.(2020?北京?清華附中七年級期末)如圖，在AA8C中，NACB=90。，AC=BC,點(diǎn)E是NACB內(nèi)部一點(diǎn),

連接CE,作AOLCE,BE±CE,垂足分別為點(diǎn)D,E.

(1)求證：4BCE冬ACAD；

(2)請直接寫出A。，BE,OE之間的數(shù)量關(guān)系：.

B

【答案】（1）見解析；（2）AD=BE+DE

【解析】

【分析】

(1)由'7L4S'可證ABCE絲△CA。；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得BE=￡>C,AD=CE,即可求解.

【詳解】

證明：(1)-：BE±CE,AD±CE,

：.ZE=ZADC=90°,

：.ZEBC+ZBCE=90°.

'：ZBCE+ZACD=90°,

：.ZEBC=ZDCA,

在ABCE和△C4O中，

ZE=ZADC

"ZEBC=ZDCA,

BC=AC

.?.△BCE絲△CAO(AAS)；

(2)VABCE^ACAD,

：.BE=DC,AD=CE,

：.AD=CE=CD+DE=BE+DE,

故答案為：AD^BE+DE.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)

和全等三角形的性質(zhì)(即全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等)是解題的關(guān)鍵.注意：AAA、SSA不能

判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩

邊的夾角.也考查了余角的性質(zhì)和勾股定理.

6.(2021?廣東揭陽?七年級期末)已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC、8c為邊在線段AB同側(cè)作4人。。

和△8CE,且C4=C￡),CB=CE,NACD=NBCE,直線AE與8。交于點(diǎn)尸.

圖1圖2圖3

(1)如圖，求證：AACE義ADCB.

⑵如圖，若NACO=60。，則NAF8=；如圖，若NACO=90。，則N4尸8=；

(3)如圖，若NACD=6,則NA戶8=(用含△的式子表示)并說明理由.

【答案】⑴見解析(2)120°,90°(3)180。/

【解析】

【分析】

(1)求出/ACE=NOC5,根據(jù)SAS證出兩三角形全等即可：

(2)根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出NAEGNOBCNCDB=NCAE,求出ZAFB=180°-

(ZEAB+ZDBC),代入求出即可；

(3)根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出NAEC=NZ>3C,NCDB二NCAE,求出NEAB+NO84=NA8,Z4FB=180°-

(ZEAB+ZDBC),代入求出即可.

【詳解】

(1)?：/ACD=NBCE,

：./ACD+/DCE=NBCE+NDCE,

：./ACE=NDCB,

在A4CE和ZkOCB中

AC=CD

?.?彳ZACE=ZDCB,

CE=CB

:.AACE^ADCB；

(2)VZACD=60°,

：.ZCDB+ZDBC=ZACD=60°,

■:AACE咨ADCB,

：,/AEC二/DBC,/CDB=NCAE,

：.NCAE+N08060。，

:.ZAFB=180°-60°=120°；

當(dāng)NACD=90。時(shí)，

?；ZACD=90°f

JZCDB^ZDBC=ZACD=9()0,

?.?△ACEdOCB,

:.NAEC=NDBC,ZCDB^ZCAE,

：.ZCAE+ZDBC=90°,

：.Z4Ffi=180o-90°=90°；

故答案為120。，90°；

(3)當(dāng)/ACQ=萬時(shí)，NAFB=180。/,理由是：

^ACD=p,

:.NCDB+NDBC=/ACD=B，

?：XACE迫MDCB,

：.ZAEC=ZDBC,NCDB=NCAE,

：.NCAE+NDBC=B，

：.ZAFB=180°-(NCAE+NDBC)=180°/；

故答案為180。/.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解此題的關(guān)鍵是找出已

知量和未知量之間的關(guān)系.

7.(2020?四川成都?七年級期末)(1)如圖1,在AABC中，AB=4,AC=6,AD是BC邊上的中線，延長

AD至IJ點(diǎn)E使DE=AD,連接CE,把AB,AC,2AD集中在AACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD的取

值范圍是;

(2)如圖2,在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E,F分別在AB,AC上，且DE_LDF,求證：BE+CF

>EF；

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，/A為鈍角，NC為銳角，ZB+ZADC=180°,DA=DC,點(diǎn)E,F分別

在BC,AB上，且NEDF=g/ADC,連接EF,試探索線段AF,EF,CE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【答案】(1)1<AD<5；(2)見解析；(3)AF+EC=EF,見解析

【解析】

【分析】

(1)證明4CDE絲4BDA(SAS),推出CE=AB=4,在AACE中，利用三角形的三邊關(guān)系解決問題即可.

(2)如圖2中，延長ED至IJH,使得DH=DE,連接DH,FH.證明ABDE/z^CDH(SAS),推出BE=CH,

再證明EF=FH,利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問題.

(3)結(jié)論：AF+EC=EF.延長BC到H,使得CH=AF.提供兩次全等證明AF=CE,EF=EH即可解決問題.

【詳解】

(1)VCD=BD,AD=DE,ZCDE=ZADB,

.,.△CDE^ABDA(SAS),

.?.EC=AB=4,

V6-4<AE<6+4,

.,.2<2AD<10,

A1<AD<5,

故答案為：1<AD<5；

(2)如圖2中，延長ED到H,使得DH=DE,連接DH,FH.

圖2

VBD=DC,ZBDE=ZCDH,DE=DH,

/.△BDE^ACDH(SAS),

；.BE=CH,

VFD±EH,又DE=DH,

，EF=FH,

在ACFH中，CH+CF>FH,

VCH=BE,FH=EF,

，BE+C