小學(xué)奧數(shù)必須掌握的30個(gè)知識(shí)

小學(xué)奧數(shù)必須掌握的30個(gè)知識(shí)

1.和差倍問題

和差問題和倍問題差倍問題

已知條件幾個(gè)數(shù)的和與差幾個(gè)數(shù)的和與倍數(shù)幾個(gè)數(shù)的差與倍數(shù)

公式適用范圍已知兩個(gè)數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系

公式①

（和-差）+2=較小數(shù)[(a+b)-(a-b)]+2=b

較小數(shù)+差=較大數(shù)b+(a-b)=a

和-較小數(shù)=較大數(shù)(a+b)-b=a

②（和+差）+2=較大數(shù)[(a+b)+(a-b)]-2=a

較大數(shù)-差=較小數(shù)a-(a-b)=b

和-較大數(shù)=較小數(shù)(a+b)-a=b

和+（倍數(shù)+1）=小數(shù)(a+b)/(a/b+1)=b

小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù)b*(a/b)=a

和-小數(shù)=大數(shù)(a+b)-b=a

差七（倍數(shù)；）=小數(shù)(a-b)/(a/b-1)=b

小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù)b*(a/b)=a

小數(shù)+差=大數(shù)b+(a-b)=a

關(guān)鍵點(diǎn)：求出同一條件下的和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)

2.年齡問題的三個(gè)基本特征：

①兩個(gè)人的年齡差是不變的；

(a+n)-(b+n)=a-b

②兩個(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)減少的；

(a+n)-(b+n)=a-b

③兩個(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；

(a+n)/(b+n)不一定等于a/b

3.歸一問題的基本特點(diǎn)：

問題中有一個(gè)不變的量，一般是那個(gè)“單一量”，題目一般用“照這樣

的速度”……等詞語來表示。

關(guān)鍵點(diǎn)：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量;

例如：“一輛汽車4小時(shí)行120千米，照這樣計(jì)算，行180千米要用幾小時(shí)？”先求

平均1小時(shí)行幾千米，再求行180千米要幾小時(shí).

這個(gè)題的單一量就是速度=路程+時(shí)間=120千米/4小時(shí)=30km/h

=30*1000米+60*60秒=25/3(m/s)讀作3分之25米每秒

解題算式=180+(120-4)=180x4+120=6(h)

=180/(120/4)=180/30=6(h)

注意分子式的運(yùn)算

4.植樹問題

基本類型在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹在直線或者

不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹,

只有一端植樹封閉曲線上植樹

基本公式

a.棵數(shù)=段數(shù)+1

在一條長為50米的路上，每隔2米種一棵樹，開始結(jié)尾都要種，總

共要種幾棵樹。

段數(shù)=50/2=25段

棵樹=段數(shù)+1=25+1=26棵

b.棵距X段數(shù)=總長棵數(shù)=段數(shù)

兩棵樹相距50米，每隔2米種插一桿彩旗，總共要插幾彩旗。

段數(shù)=50/2=25段

桿數(shù)=25T=24桿

c.棵距X段數(shù)=總長棵數(shù)=段數(shù)

學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)進(jìn)行50米跑的準(zhǔn)備，老師在起點(diǎn)插了一面彩旗，叫同學(xué)們

每隔2米插一桿彩旗，問同學(xué)們總共要插幾彩旗。

段數(shù)=50/2=25段

桿數(shù)=段數(shù)=25桿

關(guān)鍵點(diǎn)：確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系

5.雞兔同籠問題

基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假定問題，就是把假定錯(cuò)的

那部分置換出來；

基本思路：

①假定，即假定某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：

②假定后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是幾；

③每個(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因；

④再根據(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。

基本公式：

①把所有雞假定成兔子：雞數(shù)=（兔腳數(shù)x總頭數(shù)-總腳數(shù)）兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）

②把所有兔子假定成雞：兔數(shù)=（總腳數(shù)一雞腳數(shù)x總頭數(shù)）十（兔腳數(shù)一雞

腳數(shù)）

關(guān)鍵點(diǎn)：找出總量的差與單位量的差。

例：有兔和雞在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)有頭50個(gè)，從下面數(shù)有腳158

只，問雞兔各幾只：

雞=(4*50-158)/(4-2)=21

兔=(158-2*50)/(4-2)=29

用方程解：設(shè)雞為X只，兔就是50-X只

2*X+(50-X)*4=158

2X+200-4X=158

2X=42

X=21

50-X=29

6.盈虧問題

基本概念：一定量的對(duì)象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一

種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異,

由它們的關(guān)系求對(duì)象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭?

基本思路：先將兩種分配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的

變化，根據(jù)這個(gè)關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對(duì)象的總

里.

基本題型：

①一次有余數(shù)，另一次不足;

基本公式：總份數(shù)=(余數(shù)+不足數(shù))+兩次每份數(shù)的差

②當(dāng)兩次都有余數(shù)；

基本公式：總份數(shù)=(較大余數(shù)一較小余數(shù))?兩次每份數(shù)的差

③當(dāng)兩次都不足；

基本公式：總份數(shù)=(較大不足數(shù)一較小不足數(shù))?兩次每份數(shù)的差

基本特點(diǎn)：對(duì)象總量和總的組數(shù)是不變的。

關(guān)鍵點(diǎn)：確定對(duì)象總量和總的組數(shù)。

例：少先隊(duì)員去植樹，加入每人挖5個(gè)樹坑，還有3個(gè)樹坑沒人挖；加入

其中兩人各挖4個(gè)樹坑，其余每人挖6個(gè)樹坑，就恰好挖完所有的樹坑。請(qǐng)

問，共有幾名少先隊(duì)員？共挖了幾樹坑？

分析：這是一個(gè)典型的盈虧問題，關(guān)鍵在于要將第二句話''加入其中兩人各

挖4個(gè)樹坑，其余每人挖6個(gè)樹坑，就恰好挖完所有的樹坑”統(tǒng)一一下。即:

應(yīng)該統(tǒng)一成每人挖6個(gè)樹坑，形成統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。那么它就相當(dāng)于每人挖6個(gè)

樹坑，就要差(6-4)*2=4個(gè)樹坑。這樣，盈虧總數(shù)就是3+4=7,所以，

有少先隊(duì)員7/(6-5)=7名，共挖了5*7+3=38個(gè)坑。

解答：盈虧總數(shù)等于3+(6-4)*2=7,少先隊(duì)員有7/(6-5)=7名，共

挖了5*7+3=38個(gè)樹坑。

設(shè)總?cè)藬?shù)為X

X*5+3=2*4+(X-2)*6

5X+3=8+6X-12

X=7X*5+3=38

7.牛吃草問題

基本思路：假定每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求

出其中的總草量的差;再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度

和總草量。

基本特點(diǎn)：原草量和新草生長速度是不變的；

關(guān)鍵點(diǎn)：確定兩個(gè)不變的量。

基本公式：

生長量=(較長時(shí)間x長時(shí)間牛頭數(shù)-較短時(shí)間又短時(shí)間牛頭數(shù))一(長時(shí)間-短

時(shí)間)；

原草量=較長時(shí)間X長時(shí)間牛頭數(shù)-較長時(shí)間X生長量；

例：一個(gè)牧場(chǎng)長滿青草，牛在吃草而草又不斷勻速生長，27頭牛6天可

以把牧場(chǎng)上的草全部吃完；23頭牛吃完牧場(chǎng)全部的草則要9天，若21頭牛

來吃，幾天吃完？

草每天生長量=(9*23-6*27)/(9-6)=45/3=15

原草量=(9*23)-(9*15)=72或根據(jù)：路程差=速度差X追及時(shí)間

原草量=(27T5)*6=72或(23T5)*9=72

21天可吃天數(shù)=72/(21-15)=12天

牛吃草也是速度追及問題

草生長量是一個(gè)速度，牛吃草是一個(gè)速度,

吃幾天就是追及時(shí)間=路程差一速度差

8.周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律

周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動(dòng)變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。

周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時(shí)間叫周期。

關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期。

閏年：一年有366天；

①年份能被4整除；

②加入年份能被100整除，則年份必須能被400整除；

平年：一年有365天。

①年份不能被4整除；

②加入年份能被100整除，但不能被400整除；

例一：有8名隊(duì)員按順時(shí)針圍成一圈做傳球游戲，從1號(hào)開始按順時(shí)針傳球,

傳球的同時(shí)開始報(bào)數(shù)，當(dāng)報(bào)到76時(shí)球那在幾號(hào)隊(duì)員手上？

例二：某年2月有5個(gè)星期天，問這年6月一日是星期幾?

9.平均數(shù)

基本公式：

①平均數(shù)=總數(shù)量+總份數(shù)

總數(shù)量=平均數(shù)x總份數(shù)

總份數(shù)=總數(shù)量?平均數(shù)

②平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)+每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和十總份數(shù)

基本算法：

①求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式①進(jìn)行計(jì)算.

②基準(zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù);一般選與所有

數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù);以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求所有給出數(shù)與基

準(zhǔn)數(shù)的差;再求出所有差的和;再求出這些差的平均數(shù);最后求這個(gè)差的平均

數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見基本公式②。

10.抽屜原理

抽屜原則一：加入把(n+1)個(gè)物體放在n個(gè)抽屜里，那么必有一個(gè)抽屜中

至少放有2個(gè)物體。

例：把4個(gè)物體放在3個(gè)抽屜里，也就是把4分解成三個(gè)整數(shù)的和，那

么就有以下四種情況：

①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0@4=2+1+1

觀察上面四種放物體的方式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)：總有那么一個(gè)

抽屜里有2個(gè)或多于2個(gè)物體，也就是說必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。

抽屜原則二：加入把n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜里，其中n>m,那么必有一個(gè)

抽屜至少有:

①k=[n/m]+1個(gè)物體：當(dāng)n不能被m整除時(shí)。

②女力/）!）個(gè)物體：當(dāng)n能被m整除時(shí)。

理解知識(shí)點(diǎn):[X]表示不超過X的最大整數(shù)。

例[4.351]=4;[0,321]=0;[2,9999]=2;

關(guān)鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依

據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)算。

11.定義新運(yùn)算

基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基本

（混合）運(yùn)算。

基本思路：嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加

減乘除的運(yùn)算，然后按照基本運(yùn)算過程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。

關(guān)鍵問題：正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。

注意事項(xiàng)：①新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特殊注意運(yùn)算順序。

②每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。

12.數(shù)列求和

等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一

列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。

基本概念：首項(xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，一般用al表示；

項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用n表示；

公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用d表示；

通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式，一般用an表示；

數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示.

基本思路：等差數(shù)列中涉及五個(gè)量：al,an,d,n,sn,,通項(xiàng)公式中涉及四

個(gè)量，加入己知其中三個(gè)，就可求出第四個(gè);求和公式中涉及四個(gè)量，加入己

知其中三個(gè)，就可以求這第四個(gè)。

基本公式：通項(xiàng)公式:an=al+（n-l）d;

通項(xiàng)=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)一1）義公差;

數(shù)列和公式:sn,=(al+an)Xn4-2;

數(shù)列和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）X項(xiàng)數(shù)+2;

項(xiàng)數(shù)公式：n=(an+al)4-d+l;

項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）?公差+1;

公差公式:d=(an-al))4-(n-l);

公差=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）+（項(xiàng)數(shù)；）;

關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式;

13,二進(jìn)制及其應(yīng)用

十進(jìn)制：用0?9十個(gè)數(shù)字表示，逢10進(jìn)1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的

含義，十位上的2表示20,百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2X

102+3X10+4o

=AnX10n-l+An-lX10n-2+An-2X10n-3+An-3X10n-4+An-4X10n-5+An-6X

10n-7+........+A3X102+A2X101+A1X100

注意：NO=1;N1=N(其中N是任意自然數(shù))

二進(jìn)制：用。?1兩個(gè)數(shù)字表示，逢2進(jìn)1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的

含義。

(2)=AnX2n-l+An-lX2n-2+An-2X2n-3+An-3X2n-4+An-4X2n-5+An-6X2n-7

+.......+A3X22+A2X21+A1X20

注意:An不是0就是lo

十進(jìn)制化成二進(jìn)制：

①根據(jù)二進(jìn)制滿2進(jìn)1的特點(diǎn)，用2連續(xù)去除這個(gè)數(shù)，直到商為0,然

后把每次所得.的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。

②先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個(gè)差

的2的n次方，依此方法一直找到差為0,按照二進(jìn)制展開式特點(diǎn)即可寫出。

14.加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)

加法原理：加入完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有ml種不同

方法，在第二類方法中有m2種不同方法……，在第n類方法中有mn種不

同方法，那么完成這件任務(wù)共有:ml+m2...........+mn種不同的方法。

關(guān)鍵問題：確定工作的分類方法。

基本特征：每一種方法都可完成任務(wù)。

乘法原理：加入完成一件任務(wù)需要分成n個(gè)步驟進(jìn)行，做第1步有ml種方

法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用

哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務(wù)共有：mlXm2...............

Xmn種不同的方法。

關(guān)鍵問題：確定工作的完成步驟。

基本特征：每一步只能完成任務(wù)的一部分。

直線：一點(diǎn)在直線或空間沿一定方向或相反方向運(yùn)動(dòng)，形成的軌跡。

直線特點(diǎn)：沒有端點(diǎn)，沒有長度。

線段：直線上任意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。

線段特點(diǎn)：有兩個(gè)端點(diǎn)，有長度。

射線：把直線的一端無限延長。

射線特點(diǎn)：只有一個(gè)端點(diǎn);沒有長度。

①數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+…+（點(diǎn)數(shù)—1）;

②數(shù)角規(guī)律=1+2+3+…+（射線數(shù)一1）;

③數(shù)長方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=長的線段數(shù)X寬的線段數(shù):

④數(shù)長方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=1X1+2X2+3X3+…+行數(shù)X列數(shù)

15.質(zhì)數(shù)與合數(shù)

質(zhì)數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù),

也叫做素?cái)?shù)。

合數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。

質(zhì)因數(shù)：加入某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)

因數(shù)。

分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通

常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。

分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：N=,其中al、a2、a3……an都是合數(shù)N

的質(zhì)因數(shù),且al<.......<p>

求約數(shù)個(gè)數(shù)的公式：P=(rl+1)X(r2+1)X(r3+1)X.......X(rn+1)

互質(zhì)數(shù)：加入兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1,這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。

16,約數(shù)與倍數(shù)

約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約

數(shù)。

公約數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù);其中最大的一個(gè),

叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。

最大公約數(shù)的性質(zhì)：

1、幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得.的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。

2、幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。

3、幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。

4、幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)m,所得?的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)

數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。

例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12;

18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18;

那么12和18的公約數(shù)有:1、2,3、6;

那么12和18最大的公約數(shù)是：6,記作(12,18)=6;

求最大公約數(shù)基本方法:

1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把一樣的因數(shù)連乘起來。

2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。

3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就

是所求的最大公約數(shù)。

公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù);其中最小的一個(gè),

叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

12的倍數(shù)有：12、24、36、48……;

18的倍數(shù)有：18、36、54、72..........;

那么12和18的公倍數(shù)有:36、72、108.........;

那么12和18最小的公倍數(shù)是36,記作[12,18]=36;

最小公倍數(shù)的性質(zhì):

1、兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。

2、兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。

求最小公倍數(shù)基本方法:1、短除法求最小公倍數(shù);2、分解質(zhì)因數(shù)的方法

17.數(shù)的整除

一、基本概念和符號(hào)：

1、整除：加入一個(gè)整數(shù)a,除以一個(gè)自然數(shù)b,得.到一個(gè)整數(shù)商c,而

且沒有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a,記作b|a。

2、常用符號(hào)：整除符號(hào)“|"，不能整除符號(hào)"”；因?yàn)榉?hào)“???”，所

以的符號(hào)

二、整除判斷方法：

1.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整

除。

②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被

11整除。

②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。

7.能被13整除

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被

13整除。

②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。

三、整除的性質(zhì):

1.加入a、b能被c整除，那么(a+b)與(a-b)也能被c整除。

2.加入a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。

3.加入a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.加入a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。

18.余數(shù)及其應(yīng)用

基本概念：對(duì)任意自然數(shù)a、b、q、r,加入使得.a+b=q......r,且0<p>

余數(shù)的性質(zhì):

①余數(shù)小于除數(shù)。

②若a、b除以c的余數(shù)一樣，則c|a-b或c|b-a。

③a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的

和除以c的余數(shù)。

④a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積

除以c的余數(shù)。

19.余數(shù)、同余與周期

一、同余的定義：

①若兩個(gè)整數(shù)a、b除以m的余數(shù)一樣，則稱a、b對(duì)于模m同余。

②已知三個(gè)整數(shù)a、b、m,加入m|a-b,就稱a、b對(duì)于模m同余，記

作a三b(modm),讀作a同余于b模m。

二、同余的性質(zhì)：

①自身性：a=a(modm);

②對(duì)稱性：若a三b(modm),貝!Jb三a(modm);

③傳遞性:若a=b(modm),b三c(modm),貝Ua三c(modm);

④和差性:若a=b(modm),c=d(modm),貝a+c=b+d(modm),a-c三

b-d(modm);

⑤相乘性:若a三b(modm),c三d(modm),貝！JaXc三bXd(modm);

⑥乘方性:若a=b(modm),貝！Jan三bn(modm);

⑦同倍性:若a三b(modm),整數(shù)c,則aXc三bXc(modmXc);

三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識(shí):

①若A=aXb,貝UMA=MaXb=(Ma)b

②若B=c+d貝I」MB=Mc+d=McXMd

四、被3、9、11除后的余數(shù)特征:

①一個(gè)自然數(shù)M,n表示M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則M三n(mod9)

或(mod3);

②一個(gè)自然數(shù)M,X表示M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各

個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則M三Y-X或M三ll-(X-Y)(mod11);

五、費(fèi)爾馬小定理：加入p是質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù))，a是自然數(shù)，且a不能被p

整除，則ap-1三l(modp)o

20.分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用

基本概念與性質(zhì)：

分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。

分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以一樣的數(shù)(0除外)，分

數(shù)的大小不變。

分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。

百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。

常用方法:

①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進(jìn)行思考。

②對(duì)應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。

③轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見的

是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系;把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍

量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標(biāo)

準(zhǔn)為一倍量。

④假定思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假定成相

等或者假定某種情況成立，計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最后

結(jié)果。

⑤量不變思維方法：在變化的各個(gè)量當(dāng)中，總有一個(gè)量是不變的，不

論其他量如何變化，而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分

量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總

量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。

⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率

關(guān)系明朗化。

⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。

⑧濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。

21.分?jǐn)?shù)大小的比較

基本方法：

①通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子一樣，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的

關(guān)系比較。

②通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母一樣，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的

關(guān)系比較。

③基準(zhǔn)數(shù)法：確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。

④分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差一定時(shí)，分子或分母越大的

分?jǐn)?shù)值越大。

⑤倍率比較法：當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同時(shí)變化時(shí)分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用

以上方法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。（具體運(yùn)用見同倍

率變化規(guī)律）

⑥轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。

⑦倍數(shù)比較法：用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果得.數(shù)和1進(jìn)行比較。

⑧大小比較法：用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù)，得.到的數(shù)和0比較。

⑨倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。

⑩基準(zhǔn)數(shù)比較法：確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。

22.分?jǐn)?shù)拆分

一、將一個(gè)分?jǐn)?shù)單位分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之和的公式:

①=+；

②=+（d為自然數(shù)）;

23.完全平方數(shù)

完全平方數(shù)特征:

1.末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。

2.除以3余0或余1;反之不成立。

3.除以4余?；蛴?;反之不成立。

4.約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù);反之成立。

5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù);反之不成立。

6.奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù);偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。

7.兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。

平方差公式:X2-Y2=(X-Y)(X+Y)

完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式:(X-Y)2=X2-2XY+Y2

24.比和比例

比：兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號(hào)后面

的數(shù)叫比的后項(xiàng)。

比值：比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做比值。

比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以一樣的數(shù)（零除外），比值不

變。

比例：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

比例的性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積（交叉相乘），ad=bco

正比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也擴(kuò)大或縮小幾倍（AB的商不變時(shí)），則

A與B成正比。

反比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也縮小或擴(kuò)大幾倍（AB的積不變時(shí)），則

A與B成反比。

比例尺：圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺。

按比例分配：把幾個(gè)數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。

25.綜合行程

基本概念：行程問題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、

路程三者之間的關(guān)系.

基本公式：路程=速度X時(shí)間;路程+時(shí)間=速度;路程+速度=時(shí)間

關(guān)鍵問題：確定運(yùn)動(dòng)過程中的位置和方向。

相遇問題：速度和X相遇時(shí)間=相遇路程（請(qǐng)寫出其他公式）

追及問題：追及時(shí)間=路程差?速度差（寫出其他公式）

流水問題：順?biāo)谐?（船速+水速）X順?biāo)畷r(shí)間

逆水行程=（船速-水速）X逆水時(shí)間

順?biāo)俣?船速+水速

逆水速度=船速-水速

靜水速度=（順?biāo)俣?逆水速度）+2

水速=（順?biāo)俣?逆水速度）+2

流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。

過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參照以上公式。

主要方法：畫線段圖法

基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時(shí)間（相遇時(shí)間、追及時(shí)間）、

速度（速度和、速度差）中任意兩個(gè)量，求第三個(gè)量。

26.工程問題

基本公式:

①工作總量=工作效率X工作時(shí)間

②工作效率=工作總量+工作時(shí)間

③工作時(shí)間=工作總量+工作效率

基本思路:

①假定工作總量為“1”（和總工作量無關(guān)）；

②假定一個(gè)方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時(shí)間的

最小公倍數(shù)），利用上述三個(gè)基本關(guān)系，可以簡單地表示出工作效率及工作時(shí)

間.

關(guān)鍵問題：確定工作量、工作時(shí)間、工作效率間的兩兩對(duì)應(yīng)關(guān)系。

經(jīng)驗(yàn)簡評(píng)：合久必分，分久必合。

27.邏輯推理

基本方法簡介：