（教學(xué)思想典型題專(zhuān)講）高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

一、選擇題(每小題5分,共60分)1.(2013濟(jì)南模擬)函數(shù)y=ln(2-x-x2)的定義域是(C)(A)(-1,2) (B)(-∞,-2)∪(1,+∞)(C)(-2,1) (D)[-2,1)解析:由題意得2-x-x2>0,即x2+x-2<0,解得-2<x<1.故選C.2.(2013年高考陜西卷)下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為(D)(A)y=x+1 (B)y=-x3(C)y=QUOTE (D)y=x|x|解析:y=x+1是非奇非偶函數(shù)但為增函數(shù),y=-x3是奇函數(shù)但為減函數(shù),y=QUOTE是奇函數(shù),定義域上不單調(diào),y=x|x|為奇函數(shù)也為增函數(shù).故選D.3.已知f(x)=QUOTE,則f(f(1))等于(D)(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:因?yàn)閒(x)=QUOTE所以f(1)=0,f(f(1))=3.故選D.4.(2013西安一模)已知符號(hào)函數(shù)sgn(x)=QUOTE則函數(shù)f(x)=sgn(lnx)-lnx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(C)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:依題意得f(x)=sgn(lnx)-lnx=令f(x)=0得x=e,1,QUOTE,所以函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn),故選C.5.(2013吉林模擬)當(dāng)x∈(1,2)時(shí),不等式(x-1)2<logax恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(C)(A)(2,3] (B)[4,+∞)(C)(1,2] (D)[2,4)解析:令y1=(x-1)2,y2=logax,∵x∈(1,2)時(shí),y1∈(0,1),要使(x-1)2<logax恒成立,則QUOTE∴1<a≤2,故選C.6.(2013河北石家莊質(zhì)檢)牛奶保鮮時(shí)間因儲(chǔ)藏溫度的不同而不同,假定保鮮時(shí)間y與儲(chǔ)藏溫度x的關(guān)系為指數(shù)型函數(shù)y=kax,若牛奶在0℃的冰箱中,保鮮時(shí)間約為100h,在5℃的冰箱中,保鮮時(shí)間約是80h,那么在10℃時(shí)的保鮮時(shí)間是(C)(A)49h (B)56h (C)64h (D)76h解析:由題意知,QUOTE所以k=100,a5=QUOTE,則當(dāng)x=10時(shí),y=100×a10=100×QUOTE=64.故選C.7.函數(shù)y=e|lnx|-|x-1|的圖象大致為(D)解析:由y=e|lnx|-|x-1|=QUOTE可以判斷選項(xiàng)D符合.8.若曲線(xiàn)y=x4的一條切線(xiàn)l與直線(xiàn)x+4y-8=0垂直,則l的方程為(A)(A)4x-y-3=0 (B)x+4y-5=0(C)4x-y+3=0 (D)x+4y+3=0解析:切線(xiàn)l的斜率k=4,設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0),則k=4QUOTE=4,∴x0=1,∴切點(diǎn)為(1,1),即y-1=4(x-1),∴4x-y-3=0.故選A.9.若f(x)=QUOTE是R上的單調(diào)遞增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(B)(A)[-4,8] (B)[4,8)(C)(4,8) (D)(1,8)解析:由題意可知,4-QUOTE>0且4-QUOTE+2≤a1,解得4≤a<8.故選B.10.(2013福州市高三第一學(xué)期期末質(zhì)量檢查)已知g(x)為三次函數(shù)f(x)=QUOTEx3+QUOTEx2-2ax(a≠0)的導(dǎo)函數(shù),則它們的圖象可能是(D)解析:由已知得g(x)=ax2+ax-2a=a(x+2)(x-1),∴g(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),(1,0),且-2和1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),故選D.11.已知f(x)=alnx+QUOTEx2(a>0),若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)x1、x2都有QUOTE≥2恒成立,則a的取值范圍是(A)(A)[1,+∞) (B)(1,+∞)(C)(0,1) (D)(0,1]解析:由于QUOTE=k≥2恒成立,所以f'(x)≥2恒成立.又f'(x)=QUOTE+x,故QUOTE+x≥2,又x>0,所以a≥-x2+2x,而g(x)=-x2+2x在(0,+∞)上的最大值為1,所以a≥1.故選A.12.(2013年高考重慶卷)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且函數(shù)y=(1-x)f'(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中一定成立的是(D)(A)函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)(B)函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(1)(C)函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(-2)(D)函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(2)解析:由圖象可知,當(dāng)x<-2時(shí),y>0,1-x>0,所以f'(x)>0,當(dāng)-2<x<1時(shí),y<0,1-x>0,所以f'(x)<0,當(dāng)1<x<2時(shí),y>0,1-x<0,所以f'(x)<0,當(dāng)x>2時(shí),y<0,1-x<0,所以f'(x)>0.所以函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(2).故選D.二、填空題(每小題4分,共16分)13.(2013浙江嘉興模擬)若f(x)=QUOTE則f(f(-2))=.

解析:∵f(-2)=|-2-1|=3,∴f(3)=log33=1,即f(f(-2))=1.答案:114.設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),又已知f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),且f(1)=0,則不等式QUOTE<0的解集為.

解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),所以該函數(shù)是偶函數(shù),又f(1)=0,所以f(-1)=0,又已知f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),所以f(x)在(-∞,0)上為增函數(shù),QUOTE<0可化為xf(x)<0,所以當(dāng)x>0時(shí),解集為{x|x>1},當(dāng)x<0時(shí),解集為{x|-1<x<0}.綜上可知,不等式的解集為(-1,0)∪(1,+∞).答案:(-1,0)∪(1,+∞)15.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)P,Q滿(mǎn)足條件:①P,Q都在函數(shù)f(x)的圖象上;②P,Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則稱(chēng)點(diǎn)對(duì)(P,Q)是函數(shù)f(x)的一個(gè)“友好點(diǎn)對(duì)”(點(diǎn)對(duì)(P,Q)與點(diǎn)對(duì)(Q,P)為同一個(gè)“友好點(diǎn)對(duì)”).已知函數(shù)f(x)=QUOTE則f(x)的“友好點(diǎn)對(duì)”有個(gè).

解析:設(shè)x<0,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程(2x2+4x+1)+QUOTE=0,即ex=-x2-2x-QUOTE有幾個(gè)負(fù)數(shù)解問(wèn)題.記y1=ex,y2=-(x+1)2+QUOTE,當(dāng)x=-1時(shí),QUOTE<QUOTE,所以函數(shù)y1的圖象與y2的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)(如圖),且橫坐標(biāo)均為負(fù)數(shù),故所求“友好點(diǎn)對(duì)”共有2個(gè).答案:216.(2013山東日照模擬)已知函數(shù)f(x)=QUOTE,g(x)=loQUOTEx,記函數(shù)h(x)=QUOTE則不等式h(x)≥QUOTE的解集為.

解析:記f(x)與g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=x0,而fQUOTE=QUOTE=QUOTE<1=loQUOTE,f(1)=QUOTE=QUOTE>0=loQUOTE1,∴x0∈QUOTE,得h(x)的圖象如圖所示,而hQUOTE=fQUOTE=QUOTE,∴不等式h(x)≥QUOTE的解集為QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(共74分)17.(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)f(x)=x2+QUOTE(x≠0,常數(shù)a∈R).(1)當(dāng)a=2時(shí),解不等式f(x)-f(x-1)>2x-1;(2)討論函數(shù)f(x)的奇偶性,并說(shuō)明理由.解:(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=x2+QUOTE,f(x-1)=(x-1)2+QUOTE,由x2+QUOTE-(x-1)2-QUOTE>2x-1,得QUOTE-QUOTE>0,x(x-1)<0,0<x<1,所以原不等式的解集為{x|0<x<1}.(2)f(x)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),當(dāng)a=0時(shí),f(x)=x2,f(-x)=x2=f(x),所以f(x)是偶函數(shù).當(dāng)a≠0時(shí),f(x)+f(-x)=2x2≠0(x≠0),f(x)-f(-x)=QUOTE≠0(x≠0),所以f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).18.(本小題滿(mǎn)分12分)(2013浙江嘉興模擬)已知函數(shù)f(x)=QUOTE-QUOTE-ax(a∈R).(1)當(dāng)a=QUOTE時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)在[-1,1]上為單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)當(dāng)a=QUOTE時(shí),f(x)=QUOTE-QUOTE-QUOTEx,f'(x)=QUOTE[(ex)2-3ex+2]=QUOTE(ex-1)(ex-2),令f'(x)=0,得ex=1或ex=2,即x=0或x=ln2,令f'(x)>0,則x<0或x>ln2,令f'(x)<0,則0<x<ln2,∴f(x)在(-∞,0],[ln2,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,ln2)上單調(diào)遞減.(2)f'(x)=QUOTE+QUOTE-a,令ex=t,由于x∈[-1,1],∴t∈QUOTE.令h(t)=QUOTE+QUOTE,h'(t)=QUOTE-QUOTE=QUOTE,∴當(dāng)t∈QUOTE時(shí)h'(t)<0,函數(shù)h(t)為單調(diào)減函數(shù);當(dāng)t∈(QUOTE,e]時(shí)h'(t)>0,函數(shù)h(t)為單調(diào)增函數(shù),∴QUOTE≤h(t)≤e+QUOTE.∵函數(shù)f(x)在[-1,1]上為單調(diào)函數(shù),∴若函數(shù)在[-1,1]上單調(diào)遞增,則a≤QUOTE+QUOTE對(duì)t∈[QUOTE,e]恒成立,所以a≤QUOTE;若函數(shù)f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞減,則a≥QUOTE+QUOTE對(duì)t∈QUOTE恒成立,所以a≥e+QUOTE,綜上可得a≤QUOTE或a≥e+QUOTE.19.(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)f(x)=2x,g(x)=QUOTE+2.(1)求函數(shù)g(x)的值域;(2)求滿(mǎn)足方程f(x)-g(x)=0的x的值.解:(1)g(x)=QUOTE+2=QUOTE+2,因?yàn)閨x|≥0,所以0<QUOTE≤1,即2<g(x)≤3,故g(x)的值域是(2,3].(2)由f(x)-g(x)=0得2x-QUOTE-2=0,當(dāng)x≤0時(shí),顯然不滿(mǎn)足方程,即只有x>0時(shí)滿(mǎn)足2x-QUOTE-2=0,整理得(2x)2-2·2x-1=0,(2x-1)2=2,故2x=1±QUOTE,因?yàn)?x>0,所以2x=1+QUOTE,即x=log2(1+QUOTE).20.(本小題滿(mǎn)分12分)(2013寧化模擬)據(jù)預(yù)測(cè),某旅游景區(qū)游客人數(shù)在500至1300人之間,游客人數(shù)x(人)與游客的消費(fèi)總額y(元)之間近似滿(mǎn)足關(guān)系y=-x2+2400x-1000000.(1)若該景區(qū)游客消費(fèi)總額不低于400000元時(shí),求景區(qū)游客人數(shù)的范圍;(2)當(dāng)景區(qū)游客的人數(shù)為多少人時(shí),游客的人均消費(fèi)額最高?并求出游客的人均最高消費(fèi)額.解:(1)由題意,得-x2+2400x-1000000≥400000,x2-2400x+1400000≤0,得1000≤x≤1400,又500≤x≤1300,所以景區(qū)游客人數(shù)的范圍是1000至1300人.(2)設(shè)游客的人均消費(fèi)額為QUOTE,則QUOTE=QUOTE=-(x+QUOTE)+2400≤400,當(dāng)且僅當(dāng)x=1000時(shí)等號(hào)成立.即當(dāng)景區(qū)游客的人數(shù)為1000人時(shí),游客的人均消費(fèi)額最高,最高消費(fèi)額為400元.21.(本小題滿(mǎn)分12分)(2013宜賓市高三考試)設(shè)f(x)=aex+QUOTE+b(a>0).(1)求f(x)在[0,+∞)上的最小值;(2)設(shè)曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線(xiàn)方程為y=QUOTEx,求a,b的值.解:(1)設(shè)t=ex(t≥1),則y=at+QUOTE+b?y'=a-QUOTE=QUOTE.①當(dāng)a≥1時(shí),y'≥0?y=at+QUOTE+b在t≥1上是增函數(shù),得當(dāng)t=1(x=0)時(shí),f(x)的最小值為a+QUOTE+b.②當(dāng)0<a<1時(shí),y=at+QUOTE+b≥2+b,當(dāng)且僅當(dāng)at=1QUOTE時(shí),f(x)的最小值為b+2.(2)f(x)=aex+QUOTE+b?f'(x)=aex-QUOTE,由題意得QUOTE?QUOTE?QUOTE22.(本小題滿(mǎn)分14分)(2013洛陽(yáng)統(tǒng)考)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x-1)+QUOTE(a∈R).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)如果當(dāng)x>1,且x≠2時(shí),QUOTE>QUOTE恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)由題易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,+∞).f'(x)=QUOTE-QUOTE=QUOTE.設(shè)g(x)=x2-2ax+2a,Δ=4a2-8a=4a(a-2).①當(dāng)Δ≤0,即0≤a≤2時(shí),g(x)≥0,所以f'(x)≥0,f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù).②當(dāng)a<0時(shí),g(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x=a,當(dāng)x>1時(shí),g