高三數(shù)學(xué)一輪提能一日一講（11月3日）

一、選擇題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，將答案填在題后括號內(nèi)．1．函數(shù)f(x)＝eq\f(2,3x＋1)＋a的零點(diǎn)為1，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－2B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D．2解析由已知得f(1)＝0，即eq\f(2,31＋1)＋a＝0，解得a＝－eq\f(1,2).故選B.答案B2．已知a是函數(shù)f(x)＝2x－logeq\s\do8(\f(1,2))x的零點(diǎn)，若0<x0<a，則f(x0)的值滿足()A．f(x0)＝0 B．f(x0)<0C．f(x0)>0 D．f(x0)的符號不確定解析分別作出y＝2x與y＝logeq\s\do8(\f(1,2))x的圖象如圖所示，當(dāng)0<x0<a時(shí)，y＝2x的圖象在y＝logeq\s\do8(\f(1,2))x圖象的下方，所以f(x0)<0.故選B.答案B3．函數(shù)f(x)＝2x－x－eq\r(2)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析由f(0)＝20－0－eq\r(2)<0，f(1)＝2－1－eq\r(2)<0，f(2)＝22－2－eq\r(2)>0，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)性質(zhì)知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，故選B.答案B4．(2013·陜西卷)在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x(單位：m)的取值范圍是()A．[15,20] B．[12,25]C．[10,30] D．[20,30]解析如圖所示，過A作AM⊥BC于M，交DE于N；AM＝40.由相似三角形得：eq\f(DE,BC)＝eq\f(x,40)＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(AN,AM)＝eq\f(AN,40).解得AN＝x，MN＝40－x，則陰影部分的面積為S＝x(40－x)≥300，解得10≤x≤30，故選C答案C5．(2012·湖北卷)函數(shù)f(x)＝xcosx2在區(qū)間[0,4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．4 B．5C．6 D．7解析令f(x)＝xcosx2＝0可得，x＝0或cosx2＝0，故x＝0或x2＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.又x∈[0,4]，則x2∈[0,16]，則k＝0,1,2,3,4符合題意，故在區(qū)間[0,4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.答案C6．(2013·安徽卷)若函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有極值點(diǎn)x1，x2，且f(x1)＝x1，則關(guān)于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是()A．3 B．4C．5 D．6解析由f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0得，x＝x1或x＝x2，即3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的根為f(x)＝x1或f(x)＝x2的解．如圖所示．由圖象可知f(x)＝x1有2個(gè)解，f(x)＝x2有1個(gè)解，因此3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為3.答案A二、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．將答案填在題中橫線上．7．(2013·哈爾濱一模)現(xiàn)有含鹽7%的食鹽水200g，需將它制成工業(yè)生產(chǎn)上需要的含鹽5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食鹽水，設(shè)需要加入4%的食鹽水xg，則x的取值范圍是________．解析根據(jù)已知條件設(shè)y＝eq\f(200×7%＋x·4%,200＋x)×100%，令5%<y<6%，即(200＋x)·5%<200×7%＋x·4%<(200＋x)·6%，解得100<x<400.答案(100,400)8．若函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)－1的零點(diǎn)是拋物線x＝ay2的焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則a＝________.解析令f(x)＝log2(x＋1)－1＝0，得函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為x＝1，于是拋物線x＝ay2的焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,0)，因?yàn)閤＝ay2可化為y2＝eq\f(1,a)x，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)>0，,\f(1,4a)＝1，))解得a＝eq\f(1,4).答案eq\f(1,4)9．已知f(x)＝|x|＋|x－1|，若g(x)＝f(x)－a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不為0，則a的最小值為________．解析g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不為零，即f(x)圖象與直線y＝a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不為零，畫出f(x)的圖象可知，a的最小值為1.答案1三、解答題：本大題共3小題，共30分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．10．(本小題10分)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．(1)當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)，求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)；(2)若對任意b∈R，函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解(1)當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.∴函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為3和－1.(2)依題意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有兩個(gè)不同實(shí)根．∴b2－4a(b－1)>0恒成立，即對于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4(4a)<0?a2－a<0，所以0<a<1.因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1)．11．(本小題10分)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/時(shí)．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時(shí))f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到1輛/時(shí))解(1)由題意：當(dāng)0≤x≤20時(shí)，v(x)＝60；當(dāng)20≤x≤200時(shí)，設(shè)v(x)＝ax＋b.再由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(200a＋b＝0，,20a＋b＝60，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,3)，,b＝\f(200,3).))故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60，0≤x≤20，,\f(1,3)200－x，20≤x≤200.))(2)依題意并由(1)可得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60x，0≤x≤20，,\f(1,3)x200－x，20≤x≤200.))當(dāng)0≤x≤20時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x＝20時(shí)，其最大值為60×20＝1200；當(dāng)20≤x≤200時(shí)，f(x)＝eq\f(1,3)x(200－x)≤eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋200－x,2)))2＝eq\f(10000,3)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝200－x，即x＝100時(shí)，等號成立．所以，當(dāng)x＝100時(shí)，f(x)在區(qū)間[20,200]上取得最大值eq\f(10000,3).綜上，當(dāng)x＝100時(shí)，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值eq\f(10000,3)≈3333，即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/時(shí)．12．(本小題10分)(2013·河南駐馬店一模)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x3＋ax2＋bx，x<1，,cex－1－1，x≥1))在x＝0和x＝eq\f(2,3)處存在極值．(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)當(dāng)c＝e時(shí)，討論關(guān)于x的方程f(x)＝kx(k∈R)的實(shí)根個(gè)數(shù)．解(1)當(dāng)x<1時(shí)，f′(x)＝－3x2＋2ax＋b.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x＝0和x＝eq\f(2,3)處存在極值，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′0＝0，,f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝0，))解得a＝1，b＝0.(2)由方程f(x)＝kx，知kx＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x3＋x2，x<1，,ex－e，x≥1，))0一定是方程的根，所以僅就x≠0時(shí)進(jìn)行研究：方程等價(jià)于k＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋x，x<1且x≠0，,\f(ex－e,x)，x≥1.))構(gòu)造函數(shù)g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋x，x<1且x≠0，,\f(ex－e,x)，x≥1，))對于x<1且x≠0部分，函數(shù)g(x)＝－x2＋x的圖象是開口向下的拋物線的一部分，當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)取得最大值eq\f(1,4)，其值域是(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4