高三數(shù)學(xué)一輪提能一日一講（11月26日）

一、選擇題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，將答案填在題后括號(hào)內(nèi)．1．(2013·全國(guó)卷Ⅰ)執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的t∈[－1,3]，則輸出的s屬于()A．[－3,4] B．[－5,2]C．[－4,3] D．[－2,5]解析由程序框圖得s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t，t<1，,4t－t2，t≥1，))所以－1≤t<1時(shí)s＝3t∈[－3,3)，1≤t≤3時(shí)，s＝4t－t2＝－(t－2)2＋4∈[3,4]，故s∈[－3,4]，選A.答案A2．(2013·廣東卷)若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足iz＝2＋4i，則在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A．(2,4) B．(2，－4)C．(4，－2) D．(4,2)解析由iz＝2＋4i得：z＝eq\f(2＋4i,i)＝eq\f(2＋4ii,－1)＝4－2i，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(4，－2)，故選C.答案C3．(2013·全國(guó)卷Ⅰ)若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(3－4i)z＝|4＋3i|，則z的虛部為()A．－4 B．－eq\f(4,5)C．4 D.eq\f(4,5)解析|4＋3i|＝eq\r(42＋32)＝5，所以(3－4i)z＝5，即z＝eq\f(5,3－4i)＝eq\f(53＋4i,3－4i3＋4i)＝eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i，所以z的虛部為eq\f(4,5)，故選D.答案D4．(2013·安徽卷)如圖所示，程序框圖(算法流程圖)的輸出結(jié)果是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(25,24)C.eq\f(3,4) D.eq\f(11,12)解析由程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)得s＝eq\f(1,2)，n＝4；s＝eq\f(3,4)，n＝6；s＝eq\f(11,12)，n＝8.停止循環(huán)，輸出s＝eq\f(11,12)，故選D.答案D5．下列推理中屬于歸納推理且結(jié)論正確的是()A．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推斷：Sn＝n2B．由f(x)＝xcosx滿(mǎn)足f(－x)＝－f(x)對(duì)?x∈R都成立，推斷：f(x)＝xcosx為奇函數(shù)C．由圓x2＋y2＝r2的面積S＝πr2，推斷：橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的面積S＝πabD．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推斷：對(duì)一切n∈N*，(n＋1)2>2n解析注意到，選項(xiàng)A由一些特殊事例得出一般性結(jié)論，且注意到數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和等于Sn＝eq\f(n1＋2n－1,2)＝n2，選項(xiàng)D中的推理屬于歸納推理，但結(jié)論不正確．因此選A.答案A6．類(lèi)比“兩角和與差的正弦公式”的形式，對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)：S(x)＝ax－a－x，C(x)＝ax＋a－x，其中a>0，且a≠1，下面正確的運(yùn)算公式是()①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．A．①② B．③④C．①④ D．②③解析經(jīng)驗(yàn)證易知①②錯(cuò)誤．依題意，注意到2S(x＋y)＝2(ax＋y－a－x－y)，又S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(ax＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)，綜上所述，選B.答案B二、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．將答案填在題中橫線(xiàn)上．7．(2013·天津卷)已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，則a＋bi＝________.解析(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝0，,a＋1＝b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2，))所以a＋bi＝1＋2i.答案1＋2i8．(2013·陜西卷)觀察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_(kāi)_______．解析由已知式子歸納規(guī)律可得第n個(gè)式子為12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2)答案12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2)9.(2013·山東卷)執(zhí)行右面的程序框圖，若輸入的ε的值為0.25，則輸出的n的值為_(kāi)_______．解析由題中所給循環(huán)程序得：F1＝3，F(xiàn)0＝2，n＝2，eq\f(1,F1)＝eq\f(1,3)>0.25；繼續(xù)執(zhí)行；F1＝5，F(xiàn)0＝3，n＝3；此時(shí)eq\f(1,F1)＝0.2<0.25，故停止循環(huán)，輸出n＝3.答案3三、解答題：本大題共3小題，共30分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．10．(本小題10分)(2013·江蘇卷)已知a≥b>0，求證：2a3－b3≥2ab2－a2b.解2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因?yàn)閍≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，從而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.11．(本小題10分)已知數(shù)列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)．(1)證明：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an－1,2n)))為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.解(1)設(shè)bn＝eq\f(an－1,2n)，則b1＝eq\f(5－1,2)＝2.因?yàn)閎n＋1－bn＝eq\f(an＋1－1,2n＋1)－eq\f(an－1,2n)＝eq\f(1,2n＋1)[(an＋1－2an)＋1]＝eq\f(1,2n＋1)[(2n＋1－1)＋1]＝1，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an－1,2n)))為首項(xiàng)是2，公差是1的等差數(shù)列．(2)由(1)知，eq\f(an－1,2n)＝eq\f(a1－1,2)＋(n－1)×1，∴an＝(n＋1)·2n＋1.∵Sn＝(2·21＋1)＋(3·22＋1)＋…＋(n·2n－1＋1)＋[(n＋1)·2n＋1]，∴Sn＝2·21＋3·22＋…＋n·2n－1＋(n＋1)·2n＋n.設(shè)Tn＝2·21＋3·22＋…＋n·2n－1＋(n＋1)·2n，①2Tn＝2·22＋3·23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1.②②－①，得Tn＝－2·21－(22＋23＋…＋2n)＋(n＋1)·2n＋1＝n·2n＋1，所以Sn＝n·2n＋1＋n＝n·(2n＋1＋1)．12．(本小題10分)根據(jù)如圖所示的程序框圖，將輸出的x，y值依次分別記為x1，x2，…，xk，…；y1，y2，…，yk，….(1)分別求數(shù)列{xk}和{yk}的通項(xiàng)公式；(2)令zk＝xkyk，求數(shù)列{zk}的前k項(xiàng)和Tk，其中k∈N*，k≤2007.解(1)由程序框圖，知數(shù)列{xk}中，x1＝1，xk＋1＝xk＋2，∴xk＝1＋2(k－1)＝2k－1(k∈N*，k≤2007)．由程序框圖，知數(shù)列{yk}中，yk＋1＝3yk＋2，∴yk＋1＋1＝3(yk＋1)．∴eq\f(yk＋1＋1,yk＋1)＝3，y1＋1＝3.∴數(shù)列{yk＋1}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．∴yk＋1＝3·3k－1＝3k.∴yk＝3k－1(k∈N*，k≤2007)．(2)Tk＝x1y1＋x2y2＋…＋xkyk＝1×(3－1)＋3×(32－1)＋…＋(2k－1)(3k－1)＝1×3＋3×32＋…＋(2k－1)·3k－[1＋3＋…＋(2k－1)]．記Sk＝1×3＋3×32＋…＋(2k－1)·3k，①則3Sk＝1×32＋3×33＋…＋(2k－1)·3k＋1，②①－②，得－2Sk＝3＋2·32＋2·33＋…＋2·3k－(2k－1)·