量子信息學(xué)導(dǎo)論 課件 第5-8章 量子通信 -量子度量學(xué)

第5章量子通信5.1量子糾纏態(tài)的性質(zhì)、產(chǎn)生和測量5.2雙光子糾纏態(tài)在量子通信中的應(yīng)用5.3基于單光子的量子密碼術(shù)5.4連續(xù)變量糾纏5.5利用連續(xù)變量的量子通信

量子通信是指利用量子力學(xué)基本原理或基于物質(zhì)量子特性的通信技術(shù)。量子通信的最大優(yōu)點是其具有理論上的無條件安全性和高效性。理論上無條件安全性是指在理論上可以證明，即使攻擊者具有無限的計算資源和任意物理學(xué)容許的信道竊聽手段，量子通信仍可保證通信雙方安全地交換信息；高效性是利用量子態(tài)的疊加性和糾纏特性，有望以超越經(jīng)典通信極限條件傳輸和處理信息。因此，量子通信對金融、電信、軍事等領(lǐng)域有極其重要的意義，并在量子信息技術(shù)發(fā)展的實際中優(yōu)先獲得了發(fā)展和應(yīng)用。

在量子通信研究中，人們的研究內(nèi)容大致分為兩部分：一部分是基于分離變量糾纏態(tài)的量子通信；另一部分是基于連續(xù)變量的量子通信。

5.1量子糾纏態(tài)的性質(zhì)、產(chǎn)生和測量

量子糾纏是量子力學(xué)中的一種特有的資源，最早出現(xiàn)在愛因斯坦與波爾有關(guān)量子力學(xué)完備性的爭論中，隨著量子信息的發(fā)展，它已成為信息傳輸和處理的新類型。它的基本性質(zhì)成為各種量子通信方案的基礎(chǔ)之一。

兩枚硬幣可以處在四種不同的狀態(tài)，即正/正、正/反、反/正、反/反，以量子正交基分別表示為|0〉1|0〉2、|0〉2|1〉2、|0〉1|0〉2和|1〉1|1〉2。但作為一個量子系統(tǒng)，由狀態(tài)疊加原理，它不再局限于這4個“經(jīng)典”基態(tài)上，而是這4個基態(tài)的任意疊加態(tài)，例如貝爾態(tài)：

這是兩個粒子系統(tǒng)的最大糾纏態(tài)之一。

關(guān)于糾纏態(tài)的研究，近十年來已有很大發(fā)展。人們不僅制出了兩粒子糾纏態(tài)，也制出了三粒子甚至八個粒子糾纏態(tài)；不僅有最大糾纏態(tài)，也有部分糾纏態(tài)；不僅有分離變量糾纏，還有連續(xù)變量糾纏。這里僅限于討論兩個兩態(tài)之間的糾纏態(tài)。

在第1章中已介紹過，對于兩個兩態(tài)系統(tǒng)，4個正交糾纏態(tài)是4個貝爾態(tài)，分別為

這4個態(tài)最大地違背了貝爾不等式，具有最大的糾纏。貝爾不等式是在定域?qū)嵲谡摰目蚣軆?nèi)推出的，糾纏態(tài)明顯的非經(jīng)典特性表現(xiàn)為兩粒子不再是獨立的，必須看成一個復(fù)合系統(tǒng)。不管兩粒子在空間相距多遠，觀測糾纏態(tài)中的一個粒子，立即會改變對另一粒子測量的預(yù)言。例如，對于|ψ-〉態(tài)，兩粒子處在正交態(tài)上，如果是兩個偏振光子，當測到一個光子處于水平偏振態(tài)時，則另一個光子一定處在垂直偏振態(tài)；如果測到一個光子為右圓偏振態(tài)，則另一個光子一定處在左圓偏振態(tài)。

相互關(guān)聯(lián)的處于糾纏態(tài)的兩個粒子不能簡單分解為兩粒子各自量子態(tài)的直積。4個貝爾態(tài)的另一個重要性質(zhì)是，對兩粒子之一進行操作可以較容易轉(zhuǎn)變一個貝爾態(tài)到另外3個

中的一個，例如將兩粒子的

|1〉→

|0〉，即由

|ψ+〉→

|ψ+〉。

量子糾纏態(tài)的基本性質(zhì)有以下三點：

(1)測量糾纏與不糾纏態(tài)有不同的統(tǒng)計結(jié)果；

(2)雖然單個粒子觀測可以完全隨機，但糾纏對中兩粒子觀測之間是完全關(guān)聯(lián)的；

(3)僅操作糾纏對中兩粒子中的一個，貝爾態(tài)之間可以轉(zhuǎn)變。

5.1.2光子糾纏對的產(chǎn)生

可以用多種方法產(chǎn)生量子糾纏態(tài)，例如利用腔量子電動力學(xué)(QED)產(chǎn)生兩原子糾纏，利用離子阱實驗產(chǎn)生離子糾纏，利用核磁共振產(chǎn)生多個原子核糾纏。但這些糾纏只能用于量子計算而不能用于量子通信，因為量子通信要求糾纏粒子不僅能夠在光纖中傳輸，還要求能夠在自由空間中傳輸。這樣光子(可見或紅外光子)就成為較好的選擇。本節(jié)僅介紹光子糾纏對的產(chǎn)生。

最早產(chǎn)生光子糾纏對的方法是利用正、負電子湮滅產(chǎn)生兩個光子，這兩個光子處于糾纏態(tài)。即正、負電子質(zhì)量為0.511MeV/c2，由它們產(chǎn)生一對光子的能量為hv=0.511MeV，v=1.23×1020Ｈｚ，按電磁頻譜應(yīng)為γ光子，見表5.1。

現(xiàn)在，在量子通信中應(yīng)用的關(guān)聯(lián)光子對主要利用非線性晶體中的參量下轉(zhuǎn)換過程產(chǎn)生。中心非對稱晶體具有很大的二階非線性極化率χ(2)，當一個強光束進入晶體時，一個光子發(fā)生分裂而產(chǎn)生一對光子，分別為信號光和閑頻光，它對應(yīng)倍頻的反過程，由于過程中要求能量、動量與角動量守恒，因此將使出射的一對光子產(chǎn)生糾纏。

泵浦光(Pump)入射到晶體時會產(chǎn)生下轉(zhuǎn)換，有兩種類型：Ⅰ型下轉(zhuǎn)換和Ⅱ型下轉(zhuǎn)換。

(1)Ⅰ型下轉(zhuǎn)換：當泵浦光為非尋常偏振光時，出射兩束光都是尋常光，分布在以入射光為中心的圓錐體中，兩光不糾纏，如圖5.1(ａ)所示。

(2)Ⅱ型下轉(zhuǎn)換：泵浦光為反常光，而下轉(zhuǎn)換的兩束光為信號光和閑頻光，兩偏振方向相互正交，分布在泵浦光兩邊的錐體中，形成糾纏光源，如圖5.1(ｂ)所示。其狀態(tài)表示為

式(5.1)中的相對相位α可以通過適當設(shè)計來改變。在具體的實驗中，利用兩個附加雙折射元件，能產(chǎn)生4個貝爾態(tài)。假定初始通過晶體產(chǎn)生為|ψ+〉態(tài)，如果改變相移π，由eiπ=-1就能得到|ψ-〉態(tài)；另外，如果在一路中加一個半波片，使其水平偏振變?yōu)榇怪逼?，就可得?/p>

|ψ±〉態(tài)。

圖5.11、Ⅱ型參量下轉(zhuǎn)換過程示意圖

圖5.2Kwiatdengren利用BBO晶體參量下轉(zhuǎn)換制備糾纏態(tài)示意圖

利用硼酸鋇晶體產(chǎn)生雙光子對，耦合入纖效率低，近幾年人們提出直接利用光纖中的非線性效應(yīng)通過四波混頻產(chǎn)生雙光子對，有人利用色散位移光纖，但更多人利用光子晶體光纖。由于光子晶體光纖有許多特殊性質(zhì)，如它有寬帶單模特性，可以制成大非線性光纖，另外其零色散點可以設(shè)計改變，由四波混頻相位匹配條件容易在零色散點附近產(chǎn)生，因此用光子晶體光纖可以在不同波長產(chǎn)生光子對。

5.1.3利用光子晶體光纖產(chǎn)生糾纏光子對

1.Alibart等人的實驗

Alibart等人的實驗裝置如圖5.3所示，光源為Ti藍寶石激光器，波長為710nm，頻率為80MHz，脈沖寬度為5ps，鎖模脈沖。A衰減器使光強小于1mW，G為光柵，M為95%的反射鏡，透過5%進行光譜測量。光子計數(shù)利用符合探測器，探測到的光子對被記錄在時間分析系統(tǒng)(TIA)中。信號光和閑頻光波長分別為595nm和880nm，分差大，有利于分譜。光子晶體光纖芯徑直徑為2μm，有較大的非線性系數(shù)，有利于四波混頻產(chǎn)生，當入射功率為540mW時符合計數(shù)率為3.2×105/s。

圖5.3Alibart等人利用光子晶體光纖產(chǎn)生糾纏光子對的實驗裝置圖

2.Fan等人的實驗

Fan等人利用微結(jié)構(gòu)光纖的簡并四波混頻產(chǎn)生關(guān)聯(lián)光子對，泵浦波長為735.7nm，產(chǎn)生信號波長為688.5nm，閑頻光波長為789.8nm，光子晶體長度為1.8ｍ，光子對計數(shù)率達到37.6kHz，而符合與偶然符合比率為

e/A

=10:1，獲得帶寬為Δλ=0.7nm。

光纖中四波混頻能量守恒條件為ωs+ωi=2ωp，而相位匹配條件為(2kp-ks-ki)-2γp/(Rτ)=0，其中，非線性系數(shù)γ=110W/km，平均功率p=12mW，激光重復(fù)率R=80MHz，泵浦脈沖寬度τ=8ps。

實驗裝置如圖5.4所示，其中PC為偏振器，F(xiàn)C為光纖耦合器，SMF為單模光纖，λ/2為半波片，IF為干涉濾波器，M1、M2為反射鏡，MF為微結(jié)構(gòu)光纖。從MF輸出歸一化了的平均泵浦功率為12mW。

該實驗會產(chǎn)生較大的光子對的計數(shù)率以及較大的符合與偶然符合差，其原因有以下幾個：

(１)適當安排波長，使FWM相對拉曼散射為最佳；

(２)所用光纖非線性系數(shù)γ=110W/km，比較大，而有效直積為1.2μm，比較?。?/p>

(３)利用光纖提高了單模性質(zhì)。

圖5.4利用微結(jié)構(gòu)光纖的簡并四波混頻產(chǎn)生關(guān)聯(lián)光子對的實驗裝置

5.1.4光子糾纏對的控制與測量

偏振糾纏光子4個貝爾態(tài)之間的幺正變換可以利用半波長片與1/4波片來實現(xiàn)。如果開始狀態(tài)處在|ψ-〉態(tài)，設(shè)兩光軸沿垂直方向，則通過1/4波片轉(zhuǎn)到水平方向，狀

態(tài)變?yōu)閨ψ+〉；再轉(zhuǎn)動波片45°，給出|φ

-〉態(tài)；最后轉(zhuǎn)動一個波片90°，另一個45°就給出|φ

+〉。

考慮光子是玻色子，要求整個波函數(shù)是對稱的，而4個貝爾態(tài)僅考慮它們的自旋，即內(nèi)部自由度，其中是|ψ-〉反對稱的，|ψ+〉、|φ

±〉是對稱的，對應(yīng)三重態(tài)?？紤]兩光子空間狀態(tài)為|a〉和|b〉，相應(yīng)于|ψ-〉態(tài)，空間波函數(shù)也應(yīng)反對稱，這樣總波函數(shù)應(yīng)為

這樣|a〉和|b〉通過分束器BS后，將分兩束c

和d

而射出，再引偏振分束器PBS和PBS′分別對應(yīng)DH與DV′或者DV與DH′，它通過符合測量可以得到。

如果|ψ+〉態(tài)自旋對稱，空間也對稱，|a〉和|b〉通過分束器BS的兩光子將從c或d射出，則兩光子的符合測量將在同一偏振分束器的兩端(其測量如圖5.5所示)，必須對同一PBS的兩態(tài)進行相干測量。至于|ψ+〉與|φ

-〉，由于對稱兩光子在同一PBS，而且在同一DH或DV，因此較難區(qū)分。

圖5.5糾纏態(tài)的測量

5.1.5糾纏的定量描述

若Alice與Bob各控制系統(tǒng)的一部分，其狀態(tài)分別為

ρA

與

ρB

，整個系統(tǒng)狀態(tài)

ρAB

可以表示為

Pi為概率，滿足則該狀態(tài)為直積態(tài)，否則就是糾纏態(tài)，即不能用式(5.2)表示，ρAB就是糾纏態(tài)。兩個子態(tài)糾纏的程度對于純態(tài)可以用熵來表示，而對于混合態(tài)，目前還缺乏明確的表達式。

5.2雙光子糾纏態(tài)在量子通信中的應(yīng)用

1.量子密碼術(shù)

量子密碼術(shù)包括量子密鑰分配、量子安全直接通信、量子秘密共享、量子數(shù)據(jù)隱藏、量子封印和量子論證等，這里主要介紹量子密鑰分配。

圖5.6量子密鑰分配過程示意圖

利用糾纏對進行量子通信秘鑰分配的第一協(xié)議是1991年由英國牛津大學(xué)Ekert提出的，稱為Ek91協(xié)議。該協(xié)議利用糾纏相對測量的易脆性，任何攻擊者都會減少糾纏，由于糾纏對的測量服從的統(tǒng)計關(guān)聯(lián)將違反貝爾不等式，竊聽者存在則糾纏下降，不等式違反減少。不等式違反是量子密鑰安全性的測度，在Ek91協(xié)議中應(yīng)用的是CHSH等式。1970年，魏格納(Wigner)給出了貝爾不等式的另一種形式，這就是魏格納不等式。

Alice測量光子A選擇兩個軸α和β，Bob測量光子Ｂ選擇兩個軸β和γ，探測偏振平行于分析軸，相應(yīng)于+1，而垂直于分析軸，相應(yīng)于-1，魏格納給出，當兩邊測量都是+1時，概率為P++，它滿足以下不等式(魏格納不等式)：

量子力學(xué)預(yù)言，對|ψ-〉態(tài)進行測量，當分析器安置在為θA(Alice)和θB(Bob)時，所得概率為

當分析器安置為α=

-30°，β

=

0°，γ

=

30°時，導(dǎo)致魏格納不等式最大違反

如果測量的概率違反魏格納不等式，則量子信道的安全性被確定；如果測量結(jié)果不違反不等式，則表明中間有竊聽者。上述方案比CHSH不等式更容易實現(xiàn)。

2.量子密集編碼

當人們利用量子信道傳輸經(jīng)典信息時，一般情況下，一個量子比特只能傳送2bit經(jīng)典信息。而班尼特和威斯納在1992年提出了一種巧妙方法可使一個量子比特傳送超過2bit經(jīng)典信息，稱為量子密集編碼，其方案如圖5.7所示。

圖5.7利用密集編碼傳送經(jīng)典信息的方案

設(shè)Alice從糾纏源中得到糾纏對中的一個粒子，另一個粒子傳給Bob，兩個粒子構(gòu)成4個貝爾態(tài)之一，取為|ψ-〉?，F(xiàn)Alice可以利用貝爾態(tài)的特殊性質(zhì)，調(diào)制這兩個糾纏粒子中的一個，而轉(zhuǎn)變到4個貝爾態(tài)中其他任一個。由此他可以通過改變相移，翻轉(zhuǎn)狀態(tài)或翻轉(zhuǎn)和相移同時進行，完成4個態(tài)之間的轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)變他們共同的兩粒子態(tài)到另一態(tài)。然后Alice送去變換的兩態(tài)粒子給Bob進行兩粒子組合測量而給出信息。Bob作一個貝爾測量能識別Alice送來的4個可能的信息。這樣傳送一個兩態(tài)系統(tǒng)，就有可能編碼兩個經(jīng)典信息。操作和傳送一個兩態(tài)系統(tǒng)而得到多于一個經(jīng)典比特的信息，稱為量子密集編碼。

3.量子遠程傳態(tài)(QuantumTeleportation，QT)

利用量子糾纏的非定域性，可以實現(xiàn)量子態(tài)的遠程傳送。1993年，班尼特等人首先提出了有關(guān)方案。1997年，波密斯特爾(Boumseeter)等人利用光的偏振態(tài)糾纏實現(xiàn)了10.7km的遠程傳態(tài)，其實驗原理如圖5.8所示。

圖5.8量子遠程傳態(tài)示意圖

5.2.2量子通信實驗

1.量子密鑰分配實驗

基于光子糾纏對的量子秘鑰分配實驗(QKD)裝置如圖5.9所示。糾纏光子對是利用Ⅱ型參量下轉(zhuǎn)換在硼酸鋇晶體中產(chǎn)生的，泵浦光為Ar離子激光器，相應(yīng)波長為351nm，功率為350mW，產(chǎn)生信號波長為702nm，用硅的雪崩二極管進行探測。Alice與Bob間距為400m，利用沃拉斯頓(Walloston)棱鏡(如圖59(b)所示)作為偏振分束器，分開光束，平行偏振探測器為+1，密鑰比特為1，垂直偏振探測器為-1，密鑰比特為0，在分束器前用兩個電光調(diào)制器快速反轉(zhuǎn)(<15ns)，量子隨機信號發(fā)生器用于控制調(diào)制器的輸出。時間計數(shù)符合測量均利用計算機(PC)來完成。

圖5.9基于光子糾纏對的量子密鑰分配實驗裝置

2.量子密集編碼實驗

量子密集編碼實驗裝置如圖5.10所示，系統(tǒng)由三部分組成。EPR糾纏源由紫外光源和硼酸鋇晶體組成，一個光子給Alice，另一個通過延時器給Bob。Alice通過控制其中一個光子以改變兩粒子糾纏狀態(tài)，使它在|ψ-〉、|ψ+〉以至|φ±〉態(tài)間變化。|ψ-〉與|ψ+〉看成一個量子比特，通過編碼后光子傳給Bob，Bob對兩個光子進行相干符合測量，中間加時間延時器，為達到最大符合，使兩光子時間差小于相干長度，當光程差為零時計數(shù)率最大，如圖5.11所示。

圖5.10量子密集編碼實驗裝置

圖5.11|ψ+〉態(tài)符合率與兩光子路程差的關(guān)系

3.量子遠程傳態(tài)實驗

圖5.12所示為一個傳遞光子偏振態(tài)的量子遠程傳態(tài)實驗裝置示意圖。利用紫外脈沖光束(波長λ=394nm)打在硼酸鋇晶體上產(chǎn)生糾纏光子對，糾纏光子對2與3由入射脈沖產(chǎn)生，反射光產(chǎn)生糾纏光子對1與4。光子1為初始態(tài)，其狀態(tài)利用偏振器(POL和1/4波片控制)使它處在不同的偏振態(tài)，光子4為觸發(fā)信號，給出光子1的產(chǎn)生時間。Alice利用束分離器BS和探測器P1、P2對光子1和4進行貝爾測量。Alice通過符合測量得到光子1、2處在貝爾態(tài)，然后通過經(jīng)典信道將信號告訴Bob，Bob利用1/2波片與1/4波片對狀態(tài)進行幺正變換，使3粒子具有1粒子的狀態(tài)。若取

則所得結(jié)果如表5.2所示。

圖5.12量子遠程傳態(tài)實驗裝置示意圖

5.3基于單光子的量子密碼術(shù)

5.3.1

BB84協(xié)議

量子密鑰分配協(xié)議有數(shù)十種，比較有名的是BB84、B92、EK91等，按狀態(tài)有2態(tài)協(xié)議、4態(tài)協(xié)議、6態(tài)協(xié)議和8態(tài)協(xié)議等。目前大家用得比較多的也是最早的協(xié)議是1984年由IBM公司的班尼特和加拿大蒙特利爾大學(xué)的G．Brassard提出的一個4態(tài)協(xié)議，稱為BB84協(xié)議。這里用光子偏振態(tài)語言來表述BB84協(xié)議，其實任何兩態(tài)粒子系統(tǒng)都可以用來建立協(xié)議。

由于Bob選擇的測量基有50%的概率與Alice一樣，另外在不同基時測量碼也有一半是相同的，因此在N→∞時，Alice送給Bob結(jié)果中有75%的概率Bob測到碼與Alice相同，稱為原碼。原碼是沒有經(jīng)過篩選糾錯和密性增強處理的二進制隨機數(shù)字串。

5.3.2量子誤碼率

量子誤碼率定義為錯誤比特率與接收量子比特率之

比，通常用百分數(shù)表示，即

圖5.13

5.3.3量子編碼

目前單光子密碼通信中主要采用兩種編碼方式，即偏振編碼與相位編碼，下面分別介紹。

1.偏振編碼

利用光子的偏振態(tài)編碼量子比特，應(yīng)是人們最容易想到的方案。1992年班尼特等人進行的第一個量子密碼通信實驗，就是利用偏振編碼來完成的。根據(jù)BB84協(xié)議，利用光子偏振態(tài)編碼的典型量子通信系統(tǒng)如圖5.14所示。

圖5.14利用偏振編碼量子密碼通信典型實驗系統(tǒng)

必須指出，由于光纖本身是一種具有雙折射和色散的介質(zhì)，偏振態(tài)在光纖中長距離和長時間傳送都是不穩(wěn)定的。1995年繆勒等人利用波長λ=1300nm的光源，在瑞士日內(nèi)瓦完成了23km的量子密鑰分配實驗，他們利用日內(nèi)瓦湖底光纖將量子信號發(fā)送到對面的尼羅，但穩(wěn)定時間只有幾分鐘。人們提出利用保偏光纖或利用主動式跟蹤補償來改善穩(wěn)定性，但比較困難。從目前來看，光纖通信偏振編碼不是最佳選擇，相位編碼特別是往返自動補償相位編碼可能較好。但在大氣中，由于雙折射和色散效應(yīng)較小，則適宜采用偏振編碼。2002年，Kartsisifer等人報道了23.4km大氣中偏振編碼的單光子密碼通信。

2.相位編碼

以光子相位進行量子比特編碼的概念首先在1990年由班尼特提出，他在其論述兩態(tài)B92協(xié)議的文章中，描述了相應(yīng)狀態(tài)分析利用干涉儀來完成的理論。相位編碼的第一個實驗是1993年由湯森德完成的。圖5.15所示為一個利用馬赫曾德爾干涉儀進行相位編碼的裝置示意圖。

圖5.15利用馬赫曾德爾干涉儀進行相位編碼的裝置示意圖

只要兩臂光程差小于相干長度，出口光就會發(fā)生相干?？紤]反射光有π/2相移(半波損失)，則“０”與“１”探測有π/2相位差，對輸出口“０”強度為

單光子源、光子計數(shù)探測器和干涉儀組成量子密碼通信系統(tǒng)。Alice的裝置包括第一個耦合器、相位調(diào)制器和光源；而Bob的裝置包括一個調(diào)制器、耦合器和探測器。

下面利用相位編碼實現(xiàn)BB84協(xié)議。如表5.4所示，φA與φB分別表示Alice與Bob的相位，Alice利用四個相移器(分別對應(yīng)0、π/2、3π/2和π)來編碼。取0和π/2為比特0，3π/2和π為比特1；而完成測量基選擇相移0或π/2，分別對應(yīng)比特0或1。

在這個方案執(zhí)行中，要求兩臂光程差穩(wěn)定，若改變超過半波長就會引起誤碼。如果Alice與Bob分開1KM，顯然，由于環(huán)境變化，很難保證兩臂的改變小于1μM。為了防止這一問題發(fā)生，1992年班尼特就建議采用兩個平衡M-Z干涉儀方案。如圖5.16所示，一個PM(相位調(diào)制器)在Alice的裝置中，另一個PM則屬于Bob，調(diào)制計數(shù)與時間關(guān)系，Bob得到3個峰。第一個峰對應(yīng)Alice與Bob干涉中選擇短程光子；第三個峰對應(yīng)長程光子；中間峰對應(yīng)Alice選長程而Bob選短程，或反之。這兩束光可以發(fā)生干涉，該裝置的優(yōu)點是使兩臂中的光子分別都通過同樣的變化以減少環(huán)境的影響。有關(guān)頻率編碼與時間編碼的內(nèi)容省略。

圖5.16用于量子密碼術(shù)的雙M-Z干涉儀

5.3.4單光子密鑰分配實驗

從上面的討論可以看到，不管是偏振編碼還是相位編碼都要求人們補償光的路程漲落，以保持系統(tǒng)的穩(wěn)定。下面介紹兩個實驗系統(tǒng)，一個是日內(nèi)瓦大學(xué)吉辛等人實現(xiàn)

的即插即用系統(tǒng)，另一個是日本NEC的實驗系統(tǒng)。

1.即插即用系統(tǒng)

吉辛等人的實驗系統(tǒng)利用光程的往返，沒有加另外的光學(xué)調(diào)整，就補償了光程漲落。他們將系統(tǒng)取名為即插即用系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)如圖5.17所示。

圖5.17自調(diào)制的即插即用系統(tǒng)

圖5.17中，激光二極管LD在Bob端，信號光通過耦合器C進入光路，然后通過兩條路到達法拉第鏡(FM)。法拉第鏡由一個法拉第圓筒和一個反射鏡組成。線偏振光在筒內(nèi)沿磁軸入射，磁場恒定，在磁場效應(yīng)下產(chǎn)生法拉第效應(yīng)，偏振方向在與磁軸垂直的平面上旋轉(zhuǎn)，遇到反射鏡時反射，反射光沿磁軸反向射出，其偏振方向受磁場作用繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當離開法拉第圓筒時，出射光偏振方向相對入射光旋轉(zhuǎn)π/2。

FM安在Alice端，信號光可以從短臂過去，然后從長臂返回Bob；或者通過長臂傳到Alice，經(jīng)FM反射后再通過短臂返回Bob。系統(tǒng)將利用一個M-Z干涉儀起兩個M-Z干涉儀作用，而且兩路通過同樣長的路程，由環(huán)境帶來對光路的影響會自動補償。

對該系統(tǒng)有兩點值得注意。一是在開始從Bob發(fā)出的脈沖弱，但光子數(shù)多，比返回脈沖中光子數(shù)至少大100０倍以上，同樣光纖中雜質(zhì)引起的瑞利背散射也是一個比較大的噪聲，其中Alice中的光延時器對解決這個問題起著重要作用，讓束脈沖在其中延遲一段時間再返回，使背散射在接收窗口之外。另一個問題是容易受Eve的特洛伊木馬攻擊，攻擊方法是Eve也發(fā)一個信息到Alice和Bob的工作區(qū)，然后通過有關(guān)信息測量而得到Alice和Bob的互信息，對此Alice與Bob必須采用一些防范措施，如加濾波器阻止Eve間諜信息的傳送。

2.NEC實驗系統(tǒng)

這里介紹2003年日本NEC給出的一個傳送100km的量子秘鑰分配系統(tǒng)，其裝置如圖5.18所示。裝置中主要改進在單光子探測器上，采用了平衡門模光子探測器系統(tǒng)利用InGaAs/InP型雪崩二極管工作在1.55μm、Geiger模式(即反向偏壓高于管子擊穿電壓)，這樣一旦有信號就產(chǎn)生雪崩，以得到一個較大的輸出。Geiger模式啟動一般有較大的暗電流，由于脈沖偏壓同步于探測器時間窗，故又稱為門模式。

系統(tǒng)利用兩個APD平衡輸出是為了減小暗電流，在兩個APD后的正方形表示180的橋接，使兩個APD的輸出信號相減，APD1提供負信號，APD2提供正信號。兩個鑒別器也適應(yīng)于正負脈沖，以確定APD探測一個光子。采用該方法，在-106.5℃的條件下，暗電流概率可達到2×10-7，比一般單光子探測器低一個量級(10-5)。Alice與Bob中間的光纖長100km，脈沖平均數(shù)為0.1，脈沖重復(fù)率為500kHz。為減少后脈沖影響，取激光器脈沖寬為0.5ns，APD選道脈寬為0.75ns，相位調(diào)制器接通脈寬為50ns。

圖5.18單光子量子密碼系統(tǒng)示意圖

測量光子計數(shù)概率和密鑰產(chǎn)生率與傳輸距離的關(guān)系如圖5.19所示。圖5.19光子計數(shù)率和密鑰產(chǎn)生率與傳輸距離的關(guān)系

利用的光纖損失為0.25dB/km，圖中顯示光子計數(shù)率隨距離增加呈指數(shù)減小，其中樣圖顯示出相干的邊緣，相干條件的可見度為

5.4連續(xù)變量糾纏

5.4.1雙模壓縮態(tài)

對于雙模壓縮真空態(tài)，1997年Leonhardt給出其坐標與動量波函數(shù)分別為

從以上討論看出，對于壓縮用x1-

x2表示δ函數(shù)，表明有確定的相對位置，而且其總動量是p1+p2，取δ函數(shù)表明動量相反，但對于雙模壓縮真空態(tài)的兩模，它們各自坐標和動量的不確定量隨壓縮的增加而增加。事實上將魏格納函數(shù)對一個模的坐標與動量積分得到熱態(tài)

雙模壓縮真空態(tài)可以將壓縮算符(取θ=0)作用在真空態(tài)上得到，并且利用光子數(shù)態(tài)展開，結(jié)果為

其中λ=tanh2r。式(5.26)顯示出雙模壓縮真空態(tài)中兩模不僅正交相位相關(guān)，也是光子數(shù)和其相位量子相關(guān)的。

雙模壓縮真空態(tài)是二體連續(xù)變量糾纏的一個實例。一般認為連續(xù)變量糾纏態(tài)定義在無限維Hilbert空間。兩個分立量子化模具有動量，坐標和光子數(shù)與相位關(guān)聯(lián)。高斯糾纏態(tài)是連續(xù)變量糾纏態(tài)中的一個重要子類，其性質(zhì)已有人做了比較詳細的討論。下面分別針對二體糾纏與多體糾纏來討論糾纏態(tài)的性質(zhì)。

在第2章中講過，糾纏的一個重要標志是基于定域?qū)嵲谡摰呢悹柌坏仁降倪`反，因此對純態(tài)二體糾纏態(tài)，其主要特性總結(jié)如下：

(1)施密特秩>1；

(2)偏馮·諾依曼熵>0；

(3)違反貝爾不等式。

2.混合態(tài)不可分性判據(jù)

對于二體混合態(tài)，糾纏測度沒有純態(tài)那么簡單。對于純態(tài)，人們可以利用偏馮·諾依曼熵對糾纏進行測度；對于混合態(tài)，只有對稱雙模高斯態(tài)有比較明確的判據(jù)，它也是通過定域?qū)嵲谡撏茖?dǎo)的不等式來判斷的。Duan在柯西－施瓦茲不等式基礎(chǔ)上給出兩體混合態(tài)可以分開的條件為

3.多體糾纏

對于多體糾纏，由于參加糾纏多于兩體，即使純態(tài)也不存在施密特分解，因此總的態(tài)向量不能寫成正交基態(tài)的簡單求和。下面考慮分離變量多體糾纏。

一個最簡單的三體糾纏態(tài)是DHZ態(tài)，表示為

相對于貝爾基，可以認為它具有最大三體糾纏。N體GHZ態(tài)為

它產(chǎn)生對定域?qū)嵲谡撘龆囿w不等式的最大違反。

對于一般多體糾纏，還缺少像二體糾纏一樣的簡單公式來判別，包括NPT判據(jù)。對于多體糾纏的定量化，即使對于純態(tài)，也是一個正在研究的課題。定域?qū)嵲谡摰亩囿w不等式的違反也不是真正多體糾纏的必要條件，它僅給出部分糾纏相對應(yīng)關(guān)系，具體如下：

(１)N體貝爾不等式違反?部分糾纏；

(２)真正的多體糾纏?Ｎ體貝爾不等式違反。

多模高斯態(tài)在量子通信和量子計算中是一個重要的量子態(tài)，它可以在實驗室中產(chǎn)生，其對應(yīng)的魏格納函數(shù)是歸一化的高斯分布。對于三模情況，有

4.連續(xù)變量EPR糾纏態(tài)產(chǎn)生實驗

圖5.20Silberhorn等人利用光纖產(chǎn)生壓縮糾纏態(tài)示意圖

5.5利用連續(xù)變量的量子通信

5.5.1量子遠程傳態(tài)1.量子遠程傳態(tài)的概念

量子遠程傳態(tài)是利用分享的糾纏通過經(jīng)典信道可傳送量子信息。連續(xù)變量傳送，如坐標與動量，首先在1994年由維德曼提出。

例如，對一個單模電磁場進行遠程傳態(tài)，可以利用鎖模糾纏態(tài)1與2。Alice組合遠程傳態(tài)?！癷n”和EPR對中1，利用Dx和Dp對其進行零差測量，分別得出xu和pv，然后通過經(jīng)典信道將測得結(jié)果告訴Bob，Bob分別對入射的模2進行調(diào)制，使其輸出out和in狀態(tài)一樣而實現(xiàn)遠程傳態(tài)“Tel”，見圖5.21。

圖5.21連續(xù)變量遠程傳態(tài)示意圖

在遠程傳態(tài)中，值得指出的是：

(1)Alice和Bob對遠程傳態(tài)的“in”是完全不知道的，若知道了，Alice完全可以通過經(jīng)典信道告訴Bob；

(2)由于輸入態(tài)“in”由Alice測量，原態(tài)已經(jīng)不保持，所以不違反不可克隆定理；

(3)傳送不違反相對論，用經(jīng)典信道傳送信息的速度不超過光速。

2.遠程傳態(tài)的理論描述

這里利用海森堡繪景來討論?？紤]雙模壓縮真空態(tài)，模1、2的正交相算符為

3.遠程傳態(tài)的協(xié)議

有關(guān)遠程傳態(tài)的協(xié)議可以用魏格納函數(shù)來描述。可以看到遠程傳態(tài)的狀態(tài)是傳入態(tài)的一個高斯卷積，相應(yīng)糾纏態(tài)的魏格納函數(shù)前面已經(jīng)給出，為

最后對xu和pv積分產(chǎn)生遠程傳送態(tài)為

選定輸入態(tài)用復(fù)高斯函數(shù)和方差α=e-2γ的卷積。對連續(xù)變量遠程傳態(tài)除用相對坐標與總動量描述外，也有人用光子數(shù)差和相位和來描述，此處不再闡述。

4.遠程傳態(tài)的判據(jù)

遠程傳態(tài)對Alice和Bob都是未知的，如何保證遠程傳態(tài)的可靠性就顯得很重要，特別當糾纏不完全，Alice和Bob測量效率比較低時更是如此。為此，我們引入一個檢測者Victor。設(shè)想他開始給Alice提供一個輸入態(tài)，完成遠程傳送后從Bob返回給Victor，Victor對傳回狀態(tài)進行測量，判斷是否是原來的狀態(tài)，以此作為是否真實遠程傳態(tài)的量度。

5.壓縮態(tài)的量子遠程傳態(tài)實驗

量子遠程傳態(tài)就是一個未知量子態(tài)通過分離量子糾纏和經(jīng)典信道從一個地方傳到另一個地方。這里介紹Taker等人的工作，主要討論壓縮真空態(tài)的遠程傳態(tài)。由于損失存在，實驗中壓縮真空態(tài)都會成為混合態(tài)，它不再具有最小測不準關(guān)系，可以稱為壓縮熱態(tài)。但是只要一個正交相壓縮方差小于真空方差，這個混合態(tài)仍稱為壓縮真空態(tài)。壓縮真空態(tài)用算符表示，即

壓縮態(tài)量子遠程傳態(tài)實驗裝置如圖5.22所示。Alice與Bob分享EPR束，該束是兩個壓縮態(tài)經(jīng)過50/50束分離器BS產(chǎn)生的。EPR中模1給Alice，模2給Bob。Victor為檢測者，他將一個壓縮態(tài)“in”輸給Alice，該態(tài)對Alice是未知的。Alice利用50/50分束器組合“in”和模1，然后利用兩個零差探測器分別測x與p得Ax與Ap測量結(jié)果通過經(jīng)典信道傳給Bob，Bob調(diào)整模2的相空間位置，包括振幅和相位(AM與PM)，使模2Out成in態(tài)，然后，Vic-tor(檢測者)再進行測定。

圖5.22

5.5.2量子密集編碼

密集編碼的目的是利用分享糾纏以增加通信信道的容量。相對量子遠程傳態(tài)，在密集編碼中，量子與經(jīng)典信道起的作用正好相反。遠程傳態(tài)是利用經(jīng)典信道達到量子態(tài)的傳

送；而密集編碼是利用連續(xù)量子變量傳送以增加經(jīng)典信道的容量。

1.量子密集編碼的理論

回顧第3章講的信息論知識，考慮一個隨機變量序列

A={a，a∈A}，其中a出現(xiàn)的概率為Pa，此隨機變量帶的信息以H(A)表示，則在A中，每個隨機變量帶的平均信息為

H(a)稱為信息熵。對于兩組隨機變量A和B，各自信息熵為

密集編碼方案如圖5.23所示。EP配產(chǎn)生一糾纏對，一個給Alice，另一個給Bob。Alice進行位置調(diào)制，引入量a，使系統(tǒng)在Hilbert空間旋轉(zhuǎn)，一維成為二維，相應(yīng)態(tài)數(shù)n變?yōu)閚2，相應(yīng)信息取對數(shù)有1bn2=2lbn，這樣就使信道容量增加了一倍。

圖5.23密集編碼方案示意

2.量子密集編碼的實驗

下面介紹山西大學(xué)利用EPR束最早完成量子密集編碼的實驗，其裝置如圖5.24所示。

圖5.24連續(xù)變量量子密集編碼實驗示意圖

該實驗利用一個量子比特傳送兩個比特經(jīng)典信息。其中EPR糾纏源利用非簡并的光學(xué)參量放大器(NOPA)產(chǎn)生。NOPA利用α切割二型KTP兩面鍍模。入射面對波長為540nm的光，透射率大于95%，對波長為1080nm的光，其透射率為0.5%；而出射面使波長為1080nm的光的透射率為5%，對波長為540nm的光，則全反射。這樣從NOPA出去為1080nm的光子糾纏對，通過分束器分別送給Alice與Bob。

送給Alice的分量，其振幅和相位被調(diào)制而編碼，即一個量子比特給出兩比特經(jīng)典信息，到達Bob時進行譯碼。它利用一對光電二極管D1和

D2

(ETx500InGaAs)測量

D1

和

D3

光電流分量部分，然后分別進行求和與求差：

5.5.3量子密碼術(shù)

1.量子密碼術(shù)的進展

基于量子比特的量子密碼術(shù)存在兩個基本方案。一個是基于BB84協(xié)議的，利用非正交基發(fā)送與接收信息的方案，稱為準備與測量方案，在這個方案里，Alice隨機提供一個非正交態(tài)的隨機序列送給Bob，而Bob隨機選擇基對這些態(tài)進行測量；另一個是基于發(fā)送者和接收者分享糾纏的Ek91協(xié)議，在這個方案中，發(fā)送者狀態(tài)和接收者狀態(tài)之間的糾纏是必要的先決條件。不管是哪一種方案，Alice和Bob測量資料的關(guān)聯(lián)是必要的，而前一種方案似乎比后一種方案更容易實現(xiàn)，但必須對其關(guān)聯(lián)進行證實。

根據(jù)保密通信有關(guān)信息論，一個安全通信要求Alice和Bob的互信息H(A:B)必須大于Alice和Bob與Eve的互信息，即

當損失大于3dB時，為了保證H(A:B)>H(A:E)，人們可以利用糾纏純化和量子存儲來突破3dB損失的限制，另外也可以在協(xié)議上下工夫。

Grosshaus等人提出了逆調(diào)和協(xié)議，它可以突破3dB損失的限制。他們主要討論了Eve的分束攻擊。用這種方法，目前已能在通信光纖中傳送25km。

在量子密碼術(shù)中，除量子密鑰分發(fā)外，還有量子秘密分享，它是n個合作者共同享受某個密鑰。第一個量子秘密分享方案是Hillery在1998年提出的，他利用DHZ態(tài)為糾纏源。該方案可以用于經(jīng)典信息和量子信息，對前者，DHZ態(tài)只起一個密鑰的作用。DHZ態(tài)也可以是N體的，還可以用于Ｎ體秘密共享。

連續(xù)變量量子信息秘密共享方案是2002年由Tyc和Sanders提出的。他們利用的是多模糾纏態(tài)，多模糾纏態(tài)可以利用壓縮光和束分離器產(chǎn)生。要從實驗上實現(xiàn)量子信息秘密共享，產(chǎn)生多體糾纏態(tài)是一個必要條件。四光子糾纏態(tài)已在實驗中觀測到。

2.量子保密通信實驗

下面?zhèn)戎亟榻B上海交大何光強等人提出的關(guān)于利用連續(xù)變量進行量子保密通信的一個方案。該方案利用非簡并的光學(xué)參量放大器(NOPA)產(chǎn)生壓縮態(tài)，對竊聽者利用高斯克隆機攻擊時的安全性進行了討論，如圖5.25所示。

圖5.25基于連續(xù)變量的量子保密通信示意圖

3.安全性分析

何光強等人對系統(tǒng)的安全性進行了分析。在量子密碼通信中，安全性是最重要的。我們可以利用香農(nóng)信息論對方案的安全性進行分析。

從信息論給出一個安全通信要求Alice與Bob之間互信息大于Alice與Eve的互信息。引入保密信息率

若互信息滿足

H(A:B)>H(A:E)，則密鑰是安全的。因此在這種情況下利用經(jīng)典誤碼校正和密性放大而蒸餾密鑰，最后密鑰構(gòu)成條件為

若Eve不存在，則G=1，η=1，H(A:E)=0，從而有

這個信息率Δ

H就是Alice與Bob之間量子通信的信道容量。另外從式(5.111)看到，保密信息隨信號方差的增加而增加，當γ≥3時，它幾乎為常數(shù)。第6章量子計算基礎(chǔ)6.1從經(jīng)典信息到量子信息6.2量子比特6.3量子邏輯門6.4量子計算的并行性6.5Deutsch量子算法6.6Shor量子算法6.7Grover量子算法6.8量子計算機的實現(xiàn)

微觀粒子具有宏觀物質(zhì)無法解釋的許多特性，如量子的狀態(tài)屬性，其中包括量子態(tài)的疊加，糾纏，不可克隆，量子的波粒二象性以及測量導(dǎo)致的量子態(tài)坍塌。利用上述量子的某一狀態(tài)所表示的信息，稱量子化的信息，即量子信息。在量子計算中，通過對量子態(tài)進行一系列的酉變換來實現(xiàn)某些邏輯功能，實現(xiàn)邏輯變換的量子裝置(對應(yīng)一個酉矩陣)稱為量子門。

6.1從經(jīng)典信息到量子信息物質(zhì)、能量和信息是組成物質(zhì)世界的三種形式，它們的運動、轉(zhuǎn)換、傳遞等形式使得物質(zhì)世界，社會形態(tài)等變得異常豐富多彩。通常，物質(zhì)的交換是根據(jù)等價原則，能量的轉(zhuǎn)換具有損失，而信息的交換有增值。例如，你給我一個蘋果，我給你一個蘋果，每人都只有一個蘋果；熱能轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔?，就有能量損失；而你給我一條信息，我給你一條信息，每人就都有兩條信息?？梢娦畔⒌慕粨Q有增值。人類社會從古代發(fā)展到現(xiàn)代人們對信息的獲取、表示和處理變得越來越重要。

什么是信息？眾說紛紜。信息論創(chuàng)始人香農(nóng)稱“信息是用以消除隨機不確定的東西”?？刂普摰膭?chuàng)始人維納稱“信息就是信息，既不是物質(zhì)也不是能量”，“信息是有序性的度量”，“信息是系統(tǒng)組織的度量”。下面說明不確定性和信息度量的關(guān)系。人們獲得信息的過程，可以看做是對事物的可能性的空間了解程度發(fā)生變化的過程。可能性空間越大意味著不確定性就越大，不確定性越小，就意味著獲得的信息越多。

實際上，信息通常是用一種物質(zhì)運動狀態(tài)或存在狀態(tài)來表征的。例如，早期的計算機利用紙帶穿孔來表示二進制數(shù)。隨著電子技術(shù)的發(fā)展，后來用半導(dǎo)體管開，關(guān)的兩種狀態(tài)表示二進制數(shù)的0和1。量子力學(xué)的創(chuàng)立，揭示了微觀粒子的運動狀態(tài)及其規(guī)律。一般將分子，原子，電子這些微觀粒子統(tǒng)稱為量子。利用微觀粒子的狀態(tài)表示的信息稱為量子信息。例如，光子的兩種不同的極化，在均勻電磁場中核自旋的取向，圖6.1所示的圍繞單個原子旋轉(zhuǎn)的電子的兩種狀態(tài)等都可表示量子信息。量子信息的基本存儲單元是量子比特，一個量子比特的狀態(tài)是一個二維復(fù)數(shù)空間的向量，它的兩個極化狀態(tài)對應(yīng)經(jīng)典信息的二進制存儲單元狀態(tài)的0和1。量子比特與經(jīng)典比特的區(qū)別在于，一個量子比特可以連續(xù)，隨機地存在于兩個極化狀態(tài)的任意疊加態(tài)上。

圖6.1用電子的兩種狀態(tài)表示量子信息

6.2量子比特

其中a和β是一對復(fù)數(shù)，稱為量子態(tài)的概率幅，即量子態(tài)|

?〉因測量導(dǎo)致或者以|

α|2概率坍縮(collapsing)到|0〉，或者以|β|2的概率坍縮到|1〉，且滿足

圖6.2電子基態(tài)|0〉和電子激發(fā)態(tài)

|1〉構(gòu)成的疊加態(tài)示意圖

如果電子處于疊加態(tài)α

|0〉+β|1〉，那么對疊加態(tài)測量就擾亂了系統(tǒng)，并強迫系統(tǒng)不得不在基態(tài)和激發(fā)態(tài)之間選定一個特定的狀態(tài)。正如圖6.3所示，電子以概率|

α|2

選擇狀態(tài)|0〉，而以概率|β|2

選擇|1〉。

圖6.3電子疊加態(tài)α

|0〉+β|1〉在測量后坍縮為基態(tài)和激發(fā)態(tài)示意圖

圖6.4量子比特的Bloch球面表示

6.2.3多量子比特

考慮n量子比特系統(tǒng)，該系統(tǒng)有個形如|

x1x2…xn〉的基本狀態(tài)，其量子狀態(tài)由2n個概率幅所確定。類似于單量子比特，n

量子比特也可以處于2n個基本狀態(tài)的疊加態(tài)之中，即

其中ax稱為基本狀態(tài)|x〉的概率幅，且滿足

6.3量子邏輯門6.3.1單比特量子門在量子計算中，通過對量子位狀態(tài)進行一系列的酉變換來實現(xiàn)某些邏輯變換功能。因此在一定時間間隔內(nèi)實現(xiàn)邏輯變換的量子裝置，稱其為量子門。量子門是物理上實現(xiàn)量子計算的基礎(chǔ)。單比特量子門可以由2×2矩陣給出，對用作量子門的矩陣

U，唯一要求是其具有酉性，即

U·

U

=

I，其中

U+是

U的共軛轉(zhuǎn)置，I是單位矩陣。表6.1給出了常用的單比特量子門的名稱、符號及矩陣表示。態(tài)進行一系列的酉變換來實現(xiàn)某些邏輯變換功能。

圖6.5作用于

上的Hadamard門在Bloch球面上的顯示

在量子計算中，另一個重要而且經(jīng)常使用的單比特量子門是旋轉(zhuǎn)量子門，其矩陣表示如表6.1所示，由簡單推導(dǎo)

可知，該門可以使單量子比特的相位旋轉(zhuǎn)θ弧度。

6.3.2多比特量子門

多比特量子門的原型是受控非門(C或CNOT)，其線路及矩陣trolled-NOT或CNOT)描述如圖6.6所示。圖6.6兩位受控非門及矩陣表示

圖6.7

Toffoli門線路表示

圖6.8

Cn(U)運算線路表示

6.3.6量子門的通用性

1.兩級酉門具有通用性

考慮一個作用在d維Hilbert空間上的酉矩陣U，若存在兩級酉矩陣U1，U2，…，Un，使……U1U

=1，則U

=U+1+U+2…U+n，這就說明d維Hilbert空間上的任意酉矩陣可以寫成兩級酉矩陣的乘積形式，從而表明兩級酉門具有通用性。設(shè)U具有的形式為

下面說明如何將U分解為兩級酉矩陣的乘積。首先，用下述過程構(gòu)造U1：若b=0，則取

若b≠0，則取

上述兩種情況下，U1均為一個兩級酉矩陣。將U1與U作乘法得到

上述取法的目的在于保證U1U的結(jié)果中左數(shù)第１列的中間項為0，矩陣的其他項用加上撇號的符號表示，其實際值并不重要。類似地，找出一個兩級酉矩陣U2，使得U2U1U左下角元素為0，即若c′=0，取

若c′≠０，取

上述兩種情況下，作矩陣乘法均得到

由于

U、

U1、

U2是酉的，所以

U2U1U也是酉的，又因為U2U1U第一行的模必須為1，所以d″=g″=０，最后取

容易驗證

U3

U2

U3=1，于是U=U+3U+2U+3是U的兩級酉分解。

更一般地，設(shè)U作用在d維空間上，則類似于3×3的情況，可以找到兩級酉矩陣U1，U2…，Ud-1使得Ud-1

Ud-2…U1U左上角元素為1，而第2行和第2列的其他元素為0。接著對Ud-1Ud-2…U1U右下角的(

d-1)×(

d-1)子酉矩陣重復(fù)這個過程，以此類推，最終可把d×d酉矩陣寫為

2.單比特量子門和受控非門具有通用性

上節(jié)已經(jīng)證明了

d維

Hilbert空間上的任意酉矩陣可以寫成兩級酉矩陣的乘積形式，而單比特量子門和受控非門可以實現(xiàn)n

量子比特狀態(tài)空間上的任意兩級酉運算。這些結(jié)果結(jié)合在一起就可以得出，單比特量子門和受控非門可以實現(xiàn)n量子比特上的任意酉運算，所以它們對量子計算來說是通用的。因此，任何量子線路，不論其實現(xiàn)的功能多么復(fù)雜，最終都可以將其分解為單比特量子門和受控非門的乘積形式，從而為量子計算機的硬件實現(xiàn)奠定了重要的理論基礎(chǔ)。

6.4量子計算的并行性

量子計算的并行性有別于經(jīng)典計算的并行性。經(jīng)典的并行計算主要是靠多重硬件同時計算來實現(xiàn)的，而量子的并行計算是在同一個量子線路中完成的。設(shè)f(x):{0，1}→{1，0}是具有一比特定義域和值域的函數(shù)。在量子計算機上，計算該函數(shù)的一個簡便方法是，考慮初態(tài)為|x，y〉的雙量子比特計算機，通過適當?shù)倪壿嬮T序列(如圖6.9所示)可以把這個狀態(tài)變換為|x，y⊕

f(x)〉，這里“⊕”表示模2加。

通常，量子比特的集合叫做量子寄存器，也簡稱為寄存器。在此，第一個寄存器|x〉成為數(shù)據(jù)寄存器，第二個寄存器|

y

⊕

f(x)〉成為目標寄存器。圖6.9表示把輸入|x，y〉映射變?yōu)檩敵鰔，y⊕

f(x)〉的量子線路，即實現(xiàn)|x，y〉→x，y⊕

f(x)〉，將其記作U

f，容易證明它是酉的。若y=0，則第二個量子比特的終了狀態(tài)就是

f(x)的值。

圖6.9同時計算f(0)和f(1)的量子線路

圖6.10

以n=3為例，上式的結(jié)果可表示為

一般而言，由于對量子態(tài)的測量會使量子態(tài)的狀態(tài)產(chǎn)生坍縮現(xiàn)象，因此，測量狀態(tài)只能給出對某個單個x的值。然而從量子并行性獲得的益處，不僅僅在于能獲得一個f(x)的值，更為重要的是能夠得到比計算f(x)值更有價值的信息抽取能力。下面介紹的Deutsch算法就是這種能力的具體體現(xiàn)。

6.5Deutsch量子算法

最早的量子算法是由Deutsch于1985年提出的，因此該算法也稱為Deutsch量子算法(簡介Deutsch算法)。下面簡要介紹這一算法的基本原理。

Deutsch算法是基于量子并行性和量子力學(xué)中稱為干涉的性質(zhì)實現(xiàn)的。為了說明Deutsch算法的實現(xiàn)過程，對圖6.9的線路稍加修改得到如圖6.11所示的量子線路。

圖6.11實現(xiàn)Deutsch算法的量子線路

第一量子比特再通過最后的Deutsch門，輸出變?yōu)?/p>

因為當f(0)=

f(1)時，f(0)

⊕

f(1)為0，否則為1，故可將上述結(jié)果改寫為

通過測量圖6.11輸出的第一量子比特，就可以確定

f(0)⊕

f(1)的值。其意義在于：應(yīng)用量子線路僅對f(x)一次計算，就能確定f(x)平衡(

f(0)=f(1))或不平衡(f(1)≠

f(1))的全局性質(zhì)。完成上述過程用經(jīng)典計算機至少要兩次計算，而用量子計算機只需一次計算。

上述Deutsch算法的量子并行性是顯而易見的，它體現(xiàn)了許多量子算法的本質(zhì)特征：通過精心選擇函數(shù)和設(shè)計適當?shù)挠献儞Q，就可以有效地確定有關(guān)函數(shù)有用的全局信息，而在經(jīng)典計算機上無法得到上述結(jié)果。

6.6Shor量子算法

在一般情況下，若已知兩個素數(shù)之積為N，如何求出這兩個未知的素數(shù)，即所謂的因子分解問題。顯然N越大，求解就會越困難。為了解決這一問題，美國AT＆T公司的Shor在1994年提出了一種因子分解的量子算法，通常被稱為Shor量子算法(簡稱Shor算法)。

6.6.1因子分解問題求解的基本思想

Shor

算法的核心就是利用數(shù)論中的這樣一個命題：大數(shù)的素數(shù)分解可歸結(jié)為尋找以N為模的同余式的周期，即可將大數(shù)N質(zhì)因子分解轉(zhuǎn)化為求某個函數(shù)

f(x)的周期問題。其基本思想是：首先，利用量子并行性通過一步計算得到該函數(shù)所有的函數(shù)值的疊加態(tài)；然后，通過測量這個疊加態(tài)得到該函數(shù)自變量的某種疊加態(tài)；最后，對其進行量子快速傅里葉變換。其實，上述過程就是將大數(shù)質(zhì)因子分解轉(zhuǎn)化為用量子FFT在多項式步驟內(nèi)完成的求一個函數(shù)的周期問題。得到

f(x)的周期后，按照一定的概率算法，可以推導(dǎo)出N的一個因子。

值得指出的是，該算法屬于概率求解算法，不能保證每次分解都能成功，但是，Shor已經(jīng)證明該算法成功的概率隨著大數(shù)N的二進制長度1按多項式遞減。因此，只需將上述過程重復(fù)的次數(shù)置為1的多項式值，就可以接近1的概率得到大數(shù)N的一個因子，而另一因子用大數(shù)N除以該因子即可得到。大數(shù)因子分解屬于典型的NP問題，任何經(jīng)典算法對該問題都是無能為力的，而Shor算法為應(yīng)用量子計算機實現(xiàn)大數(shù)質(zhì)因子分解提供了可能。下面介紹Shor算法的具體實現(xiàn)步驟。

6.6.2

Shor

算法的實現(xiàn)步驟

實際上，一個大數(shù)質(zhì)因子分解問題可以簡單地理解為，若要求出大數(shù)N的因子，等于尋求N的最小因子r，使得ar

=

1(mod

N)，其中a是一個與N互質(zhì)的數(shù)(除了1以外，a與Ｎ沒有公約數(shù))。換句話說，我們需要確定函數(shù)ar(mod

N)的周期。下面簡要介紹Shor

量子算法的基本步驟。

第一步，欲分解大數(shù)N，需制備兩個具有k≈1bN個量子位的量子寄存器，并使第一個寄存器處于從0到2k-1連續(xù)自然數(shù)的等權(quán)疊加態(tài)中，第二個寄存器處于0態(tài)，即

第二步，在第二個存儲器中計算函數(shù)an(mod

N)，結(jié)果為

第三步，對第二個存儲器作投影測量，即

得到

上式中略去了歸一化因子。

6.7Grover量子算法

在計算機科學(xué)中，從數(shù)據(jù)庫眾多的數(shù)據(jù)里找出所需要的數(shù)據(jù)，稱為數(shù)據(jù)庫的搜索問題。而當數(shù)據(jù)庫中眾多的數(shù)據(jù)處于無序狀態(tài)時，需要遍歷搜索的次數(shù)隨著數(shù)據(jù)庫的規(guī)模而成比例增加。

6.7.1基于黑箱的搜索思想

為了深入研究Grover量子算法，首先介紹基于黑箱的搜索思想。我們考慮含有N個元素的空間搜索問題。為簡單起見，假設(shè)N=2n，搜索問題恰好有M個解。每個元素指標可以存儲在n個比特中(1≤M≤N)。為方便起見，不妨把搜索問題表示成輸入為從0到N-1的整數(shù)x的函數(shù)f，其定義是，若x是搜索問題的一個解，f(x)=1，而如果不是搜索問題的解，f(x)=0。.

設(shè)有一個量子黑箱，其中的一個量子比特可以識別搜索問題的解。這個黑箱實際上起著一個酉算子O的作用，其定義為

其中|x〉是一個指標寄存器，⊕表示模2加法，| q〉是黑箱中的一個單量子比特，當f(x)=1時翻轉(zhuǎn)，否則不變。于是可以通過初始狀態(tài)

|1〉

|0〉〉，應(yīng)用黑箱檢查其中的量子比特是否翻轉(zhuǎn)到

|1〉。若翻轉(zhuǎn)到

|1〉，則(x是搜索問題的一個解；否則不是搜索問題的解。

6.7.2Grover算法搜索步驟

Grover算法搜索過程如圖6.12所示，其中輸入側(cè)包括一個n量子比特寄存器和一個含有若干量子比特的Oracle工作空間。該算法的目的是使用最少的Oracle調(diào)用次數(shù)求出搜索問題的一個解。

圖6.12量子搜索算法的線路框架

圖6.13Grover迭代G的線路

在上述過程中，步驟(2)和步驟(4)的Hadamard變換各需要n=1bN次運算，步驟(4)的條件相移只需用0(n)個門即可實現(xiàn)。Oracle的調(diào)用次數(shù)依賴特定應(yīng)用，這個例子中Grover迭代只需要一個Oracle調(diào)用。須指出，上述步驟(2)至步驟(4)步數(shù)的總作用效果是

其中|φ〉是所有基本狀態(tài)的均衡疊加態(tài)，于是，Grover迭代可以寫成

6.7.3Grover算法搜索過程幾何描述

式(6.44)啟示我們，一個Grover迭代中２|φ〉〈φ|-

I和0的作用可看做量子態(tài)在二維空間的兩次變換。下面將證明，Grover迭代可視為在由開始向量|φ〉和搜索問題解組成均勻疊加態(tài)張成的二維空間中的一個旋轉(zhuǎn)。為弄清這一點，采用表示所有x上搜索問題解的和，用表示所有x上非搜索問題解的和。定義歸一化狀態(tài)為

其中N為記錄總數(shù)，M為標記態(tài)數(shù)。通過簡單的代數(shù)運算，初態(tài)

|φ〉可重新表示為

故量子計算機的初態(tài)屬于|

α〉和|

β〉的張成空間。

圖6.14單次Grover迭代G的旋轉(zhuǎn)作用

實際上，G是|

α〉和|

β〉定義的二維空間中的一個旋轉(zhuǎn)算符，每次應(yīng)用G迭代，都會使|φ〉的相位增加2θ。若連續(xù)k次應(yīng)用G，則把狀態(tài)變?yōu)?/p>

反復(fù)用Grover迭代，就能把狀態(tài)向量旋轉(zhuǎn)到接近搜索問題的解|

β〉的位置，此時對狀態(tài)向量觀測，就能以很高的概率獲得搜索問題的一個解。

6.7.4算法性能分析

Grover量子搜索算法是量子計算最重要的進展之一，對于在無序數(shù)據(jù)庫中搜索一個特定目標態(tài)，Grover算法實現(xiàn)了對經(jīng)典搜索算法的二次加速作用。目前，Grover算法已廣泛引起人們注意，并已成為一個富有挑戰(zhàn)性的研究領(lǐng)域。然而，Grover算法也存在某些缺陷。當要搜索的目標數(shù)超過數(shù)據(jù)庫中記錄總數(shù)的1/4時，搜索獲得成功的概率迅速下降；當目標數(shù)超過數(shù)據(jù)庫記錄的一半時，算法失效。到目前為止，圍繞著如何提高Grover算法的成功概率，國內(nèi)外學(xué)者進行了很多有益的探索，先后提出了多種Grover算法的改進措施。

這些改進措施的基本思想，大多都是通過改變最初Grover迭代中的相位移動來構(gòu)造新的迭代算子，以提高算法的成功概率。另外，人們還進一步提出了量子遺傳算法、量子群智能優(yōu)化算法、量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型與算法等。這些算法在此就不一一介紹了，有興趣的讀者可以參考相關(guān)文獻(例如，李士勇、李盼池著《量子計算與量子優(yōu)化算法》。綜合上述，量子算法最關(guān)鍵的本質(zhì)就是充分利用了量子力學(xué)中的態(tài)的疊加原理，而且運算量子算法的物理機器必然是量子計算機。下節(jié)將討論量子計算機的實現(xiàn)問題。

6.8量子計算機的實現(xiàn)

從前面的論述中可以看到，由于使用量子態(tài)編碼計算信息，利用量子態(tài)相干疊加以及糾纏性質(zhì)，量子計算機可以實現(xiàn)大規(guī)模的并行計算，產(chǎn)生經(jīng)典計算機無法比擬的信息處理功能。于是，制造量子計算機就自然成為人們追求的目標。然而，量子計算機模型是什么？物理上實現(xiàn)量子計算機的關(guān)鍵在什么地方？主要困難是什么？如何克服這些困難？這就是本節(jié)的主要內(nèi)容。

6.8.1實現(xiàn)量子計算機的條件

在第1章緒論中已指出，在2000年，IBM的DacidDicincenzo提出了實用的量子計算機需滿足的五大條件：

(1)可通過物理級聯(lián)來增加量子比特；

(2)量子比特可以被初始化為任意的值；

(3)量子門操作的速度要比退相干時間快；

(4)能實現(xiàn)通用操作門的集合；

(5)量子比特易于讀取。

這些條件可以概括成兩個方面：條件(1)～(3)和(5)是要求能夠有效地實現(xiàn)物理存取和操作的量子比特寄存器；條件(4)則要求作為量子計算機實驗方案的系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)一定的基本量子操作，這些操作必須構(gòu)造出任何量子計算所需要的幺正變換。

事實上，真正對任何量子態(tài)都通用的(即形式與量子態(tài)無關(guān))的操作并不是一定存在的。比如，如果輸入態(tài)|

φ〉可以取任何物理上可能的值，那么通用非門(即能夠在不知道|φ〉的具體形式下就把它變換為與之正交的態(tài)|φ⊥的變換)不存在。

6.8.2幾個量子計算機實驗方案

除了第1章緒論中已經(jīng)介紹過的當前國際上關(guān)于量子計算機物理實現(xiàn)研究的幾個熱點體系之外，為了展現(xiàn)量子計算機物理實現(xiàn)的大致思路，下面再介紹幾個有關(guān)量子計算機的物理實現(xiàn)的實驗。

1.超導(dǎo)/介觀電路

圖6.16超導(dǎo)/介觀電路量子比特

該方案的優(yōu)點是目前關(guān)于超導(dǎo)和介觀物理這兩方面的實驗技術(shù)都已相當成熟。但一個顯而易見的缺點是，既然它用到了超導(dǎo)材料，因此必須要求有低溫的條件。所以在高溫超導(dǎo)體研究取得重大突破、找到能在室溫的條件下顯示超導(dǎo)電性的材料之前，這一方案在使用成本和便利上并不見長。

它采用介觀物理中常用的硅磷反型層結(jié)構(gòu)，施加在“A-門”上的門電壓控制它們下面的核自旋量子比特系統(tǒng)的共振頻率，施加在“J-門”上的門電壓控制相鄰核自旋之間的耦合。與超導(dǎo)/介觀電路的思路類似，在該系統(tǒng)上加以適當?shù)臋M向和縱向磁場，讓系統(tǒng)的狀態(tài)在相應(yīng)的哈密頓量之下演化，就可以實現(xiàn)一定的量子操作。具體細節(jié)請參閱Kana的原始文獻。

圖6.16核磁共振量子比特

3.光子計算

偏振光是最容易得到的量子態(tài)之一，對它的研究比量子力學(xué)的出現(xiàn)還要早100多年，盡管當時人們還并沒有意識到它的量子本質(zhì)，但多年的實踐使得關(guān)于偏振光的實驗技術(shù)得到了充分的發(fā)展。用激光器連同偏振片就可以得到對應(yīng)于某個確定量子態(tài)的偏振光，使用偏振分束器(可以實現(xiàn)Hadamard變換，以及制備出量子糾纏態(tài)。根據(jù)Kerr效應(yīng)，采用適當?shù)墓鈱W(xué)介質(zhì)就能夠改變光的偏振狀態(tài)，即對光子的量子態(tài)施加了幺正變換，而且各種不同的變換形式可輕易通過改變外電場而得到，使構(gòu)造通用的量子計算硬件成為可能。偏振片輔以光電管就可以完成對量子態(tài)的測量。這就是光子量子計算機的原理。

以受控非門為例，其實驗裝置的原理圖如圖6.17所示。圖6.17

這種量子計算機的實現(xiàn)方案顯然有技術(shù)成熟、成本低廉的優(yōu)點，但光子不具備靜止質(zhì)量，只能以光速運動，不能靜態(tài)存儲。因此，光子計算方法不能完全獨立地實現(xiàn)完整的通用量子計算機系統(tǒng)，需要適當?shù)氖侄伟压庾拥牧孔訝顟B(tài)轉(zhuǎn)換到其他的固態(tài)系統(tǒng)上進行存儲，并在計算時又可提取出來轉(zhuǎn)換到光子上。另外，大規(guī)模高效的量子計算機要求有吸收率很低的非線性Kerr介質(zhì)，目前這也是一個技術(shù)難關(guān)。

4.幾何相位

當一個量子系統(tǒng)絕熱地經(jīng)歷一個循環(huán)過程，其波函數(shù)初末的相位差，除了通常已為人們熟知的由動力學(xué)哈密頓量導(dǎo)致的動力學(xué)相位之外，還會有一個與動力學(xué)因素?zé)o關(guān)、只由這個過程所經(jīng)歷的幾何因素(如過程涉及的路徑、面積、立體角等)所決定的相位，稱其為量子幾何相位，又叫做貝里相位。這是一個純量子效應(yīng)，沒有任何經(jīng)典對應(yīng)。值得注意的是，這個相位的取值，不會受到由環(huán)境干擾所導(dǎo)致的參數(shù)改變、圖形改變等因素的影響，所以把它運用到量子計算中將有可能實現(xiàn)容錯量子計算。

5.共同難題——退相干

實現(xiàn)量子計算機的方案無論采用哪種，除了各自的缺點外，都普遍面對一個共同的難題——退相干。它是指由于量子系統(tǒng)不可避免地會與環(huán)境自發(fā)地耦合，導(dǎo)致其狀態(tài)受到干擾而出現(xiàn)不可逆的錯誤，從而喪失波粒二象性中波動性的一個重要組成部分——相干性，即波的相位不再恒定因而不能再發(fā)生干涉現(xiàn)象，量子效應(yīng)消失。簡言之，退相干就意味著量子態(tài)出錯。

其實物理系統(tǒng)的退相干時間(decoherencetime，即量子態(tài)不發(fā)生錯誤的平均時間)通常都很短，比如對于常溫下的ＮＭＲ材料，它可以短到只有~10-9s。而從前面的論述中可以看出，量子變換是通過對系統(tǒng)加一定的外場，然后等待系統(tǒng)演化一段時間才能實現(xiàn)的，因此，完成每一步操作都需要花費一定的時間。如果在每一個量子算法完成前量子態(tài)已經(jīng)出錯，那么算法也就失去了意義。例如，對一個3230位二進制數(shù)進行分解因子，即使存在運算速度達1016次／秒的量子計算機，運行Shor大數(shù)因子分解算法僅需10-6s，但比起10-9s的退相干時間還是太長了。量子態(tài)不能像經(jīng)典數(shù)據(jù)那樣簡單地用冗余的方式進行糾錯。所以人們一度對量子計算機是否能成為現(xiàn)實感到悲觀，直