第02講平面向量的運算（4個知識點方法練創(chuàng)新練成果練）（原卷版）

第02講平面向量的運算（4個知識點+方法練+創(chuàng)新練+成果練）【目錄】【新知講解】知識點1.向量的加法運算知識點2.向量的減法運算知識點3.向量的數(shù)乘運算知識點4.向量的數(shù)量積【方法練】【創(chuàng)新練】【成果練】【知識導圖】【新知講解】知識點1.向量的加法運算1．向量加法的定義定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法．對于零向量與任意向量a，規(guī)定0＋a＝a＋0＝a.2．向量求和的法則三角形法則已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點A，作eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(BC,\s\up14(→))＝b，則向量eq\o(AC,\s\up14(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝Aeq\o(B,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→)).平行四邊形法則已知兩個不共線向量a，b，作eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AD,\s\up14(→))＝b，以eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(AD,\s\up14(→))為鄰邊作?ABCD，則對角線上的向量eq\o(AC,\s\up14(→))＝a＋b.3．向量加法的運算律(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．例1．（2023上·黑龍江·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）如圖，在平行四邊形中，（

）A． B． C． D．例2．（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，已知向量、，用向量加法的三角形法則作出向量．(1)

(2)

(3)

知識點2.向量的減法運算1．相反向量(1)定義：與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量．(2)性質(zhì)：①－(－a)＝a.②對于相反向量有：a＋(－a)＝0.③若a，b互為相反向量，則a＝－b，a＋b＝0.2．向量的減法(1)定義：a－b＝a＋(－b)，即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量．(2)作法：在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，則向量eq\o(BA,\s\up14(→))＝a－b，如圖所示．求作兩個向量的差向量的兩種思路(1)可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)可以直接用向量減法的三角形法則：即把兩向量的起點重合，則差向量為連接兩個向量的終點，指向被減向量的終點的向量．例3．（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，在中，向量是哪兩個向量的和，哪兩個向量的差？知識點3.向量的數(shù)乘運算1．向量的數(shù)乘運算(1)定義：規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作：λa，它的長度與方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反．(2)運算律：設λ，μ為任意實數(shù)，則有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特別地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb.(3)線性運算：向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，向量線性運算的結(jié)果仍是向量．對于任意向量a，b，以及任意實數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.2．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.注意：1．實數(shù)與向量可以進行數(shù)乘運算，但不能進行加減運算，例如λ＋a，λ－a是沒有意義的．2．λa幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴大或縮小為原來的|λ|倍，向量eq\f(a,|a|)表示與向量a同向的單位向量．3．判斷兩個向量是否共線，關鍵是能否找到一個實數(shù)λ，使b＝λa.若λ存在，則共線；λ不存在，則不共線．4．共線向量定理的應用①證明向量共線：對于向量a與b，若存在實數(shù)λ，使a＝λb，則a與b共線(平行)．②證明三點共線：若存在實數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up14(→))＝λeq\o(AC,\s\up14(→))，則A、B、C三點共線．③求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．特別注意：①證明三點共線問題，應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得到三點共線．②若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.5．注意記住以下結(jié)論并能運用(1)若A，B，P三點共線，則eq\o(OP,\s\up14(→))＝xeq\o(OA,\s\up14(→))＋yeq\o(OB,\s\up14(→))且x＋y＝1.(2)在△ABC中，若D為BC的中點，則eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→)))．(3)在△ABC中，若G為△ABC的重心，則eq\o(GA,\s\up14(→))＋eq\o(GB,\s\up14(→))＋eq\o(GC,\s\up14(→))＝0.例4．（2021下·山西·高一統(tǒng)考階段練習）已知，是平面內(nèi)兩個不共線的向量，，，，且A，C，D三點共線，則（

）A． B．2 C．4 D．知識點4.向量的數(shù)量積1．兩向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．(2)特例：①當θ＝0時，向量a，b同向．②當θ＝π時，向量a，b反向．③當θ＝eq\f(π,2)時，向量a，b垂直，記作a⊥b.2．平面向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.特別地，零向量與任何向量的數(shù)量積等于0.3．投影向量設a，b是兩個非零向量，eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(CD,\s\up14(→))＝b，過eq\o(AB,\s\up14(→))的起點A和終點B，分別作eq\o(CD,\s\up14(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up14(→))，這種變換為向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up14(→))叫做向量a在向量b上的投影向量．4．向量數(shù)量積的性質(zhì)設a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.(3)當a與b同向時，a·b＝|a||b|；當a與b反向時，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)|a·b|≤|a||b|.5．向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.注意：1．兩向量a與b的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是一個向量，其值可以為正(當a≠0，b≠0,0≤θ＜eq\f(π,2)時)，也可以為負(當a≠0，b≠0，eq\f(π,2)＜θ≤π時)，還可以為0(當a＝0或b＝0或θ＝eq\f(π,2)時)．2．兩非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0，求向量模時要靈活運用公式|a|＝eq\r(,a2).3．要注意區(qū)分向量數(shù)量積與實數(shù)運算的區(qū)別(1)在實數(shù)運算中，若ab＝0，則a與b中至少有一個為0.而在向量數(shù)量積的運算中，不能從a·b＝0推出a＝0或b＝0.實際上由a·b＝0可推出以下四種結(jié)論：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.(2)在實數(shù)運算中，若a，b∈R，則|ab|＝|a|·|b|，但對于向量a，b，卻有|a·b|≤|a||b|，當且僅當a∥b時等號成立．這是因為|a·b|＝|a||b||cosθ|，而|cosθ|≤1.(3)實數(shù)運算滿足消去律：若bc＝ca，c≠0，則有b＝a.在向量數(shù)量積的運算中，若a·b＝a·c(a≠0)，則向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c.(4)實數(shù)運算滿足乘法結(jié)合律，但向量數(shù)量積的運算不滿足乘法結(jié)合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，這是由于(a·b)·c表示一個與c共線的向量，而a·(b·c)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線.例5．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一?？茧A段練習）在邊長為2的等邊中，的值是（

）A．4 B． C．2 D．【方法練】一、單選題1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）設都是單位向量，且，則向量的夾角等于（

）A． B． C． D．2．若=，=，與不共線，則∠AOB平分線上的向量為（）

A． B． C． D．，由確定二、多選題3．（2023下·甘肅·高一校聯(lián)考階段練習）下列四個等式中，正確的是（

）A． B．C． D．4．（2021下·福建龍巖·高一福建省連城縣第一中學?？茧A段練習）是邊長為的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．三、填空題5．（2021下·江蘇·高一校聯(lián)考期中）在中，，若，則的取值范圍為．6．（2021下·江蘇南京·高一校聯(lián)考期末）在中，若，則=．四、解答題7．（2023·全國·高一專題練習）化簡下列各式：(1)；(2)．8．（2023下·山東濟南·高一濟南外國語學校?？茧A段練習）化簡：(1)；(2).【創(chuàng)新練】一、單選題1．（2023下·山東臨沂·高一統(tǒng)考期中）蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物.巢房是嚴格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底，由三個相同的菱形組成.巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜.如圖是一個蜂巢的正六邊形開口，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．2．（2023·云南昆明·統(tǒng)考模擬預測）在平行四邊形ABCD中，點T為CD的中點，則（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2023下·湖南益陽·高一安化縣第二中學?？茧A段練習）下列說法不正確的有（

）A．若，，則 B．若，則與的方向相同或相反C．若，則 D．若，，則4．（2022·高一課時練習）已知實數(shù)m、n和向量，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則三、填空題5．（2023下·浙江紹興·高二紹興一中?？紝W業(yè)考試）已知向量，為單位向量，且夾角為，若向量滿足，則的取值范圍是.6．若，，，則．四、解答題7．（2022·高二課時練習）如圖，已知四面體ABCD，點E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，化簡下列表達式，并在圖中標出化簡后的結(jié)果所對應的向量．(1)；(2)；(3)．8．（1）化簡；（2）把滿足，的向量、用、表示出來.【成果練】一、單選題1．（2020上·河南鄭州·高三統(tǒng)考階段練習）如圖，在梯形中，，，，，，，則（

）．A． B． C． D．2．（2020下·高一課時練習）已知向量滿足,向量是與同向的單位向量,則向量在向量上的投影向量為A． B． C． D．二、多選題3．（2021上·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）下列說法正確的是（

）A．若分別表示的面積，則B．兩個非零向量，若則C．若向量，則線段D．兩個非零向量若，則與共線且反向4．（2021下·湖南·高一校聯(lián)考期中）定義一種向量運算“⊕”：（為任意向量）．則（）A．B．C．D．當是單位向量時，三、填空題5．（2023下·上海嘉定·高一?？计谥校┤?，向量在方向上的數(shù)量投影為－1，則向量與的夾角.6．已知向量的夾角為，則．7．（2021·高一課時練習）若點P在線段AB上（不包括A、B兩點），且，則的取值范圍為；若點P在AB的延長線上，且，則的取值范圍為．8．（2021·寧夏銀川·銀川唐徠回民中學?？家荒＃┮阎獑挝幌蛄康膴A角為，則在上的投影為，．四、解答題9．（2021·高一課時練習）如圖，已知向量，，請化簡并求作出向量：(32)﹣2().10．（2020上·高一課時練習）化簡．（1）．（2）．11．（2021下·湖北·高一校聯(lián)考期中）我們知道，對一個量用兩種方法分別計算一次，由結(jié)果相同則可以構(gòu)造等式解決問題，這種思維方法稱為“算兩次”原理，又稱“富比尼原理