數(shù)的整除特征

數(shù)的整除特征

學(xué)問概要

數(shù)的整除特征具有較強(qiáng)的實(shí)際意義，常用的數(shù)的整除特征如下：

1、能被2整除數(shù)的特征：個(gè)位數(shù)字是0、2、4、6、8的數(shù)能被2整除。

2、能被5整除的數(shù)的特征：個(gè)位數(shù)字是0和5的數(shù)能被5整除。

3、能被3（或9）整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字和能被3（或9）整除。這個(gè)數(shù)能被3（或9）

整除。

4、能被4（或25）整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4（或25）整除。

5、能被8（或125）整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8（或125）整除。

6、能被7（或11或13）整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差（大

減小）能被7（或11或13）整除。、

7、能被11整除的數(shù)的特征：奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差（大減小）能被11整除。

例題解評(píng)

例1、假如六位數(shù)12x40y能被72整除，試求此六位數(shù)。

思路點(diǎn)撥：由于六位數(shù)12x40y是72的倍數(shù)，且72=9x8,所以12x40y既是8的倍數(shù)又是

9的倍數(shù)。據(jù)能被8整除的數(shù)的特征，知40y是8的倍數(shù)。

（1）當(dāng)y=O時(shí)，依據(jù)l+2+x+4是9的倍數(shù)，且0WxW9可得x=2

（2）當(dāng)y=8時(shí)，依據(jù)l+2+x+4+8是9的倍數(shù)，且OWXW9可得x=3

所以所求的六位數(shù)是122400或123408c

例2、一個(gè)四位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和，其差還是一個(gè)四位數(shù)603A,試求出A。

思路點(diǎn)撥：設(shè)這個(gè)四位數(shù)為abed,則abcd=1000xa+100xb+10xc+d,它的各位數(shù)字之和為

a+b+c+d<>于是有：

abed-（a+b+c+d）

=1000xa+1OOxb+1Oxcxd-（a+b+c+d）

=999xa+99xb+9xc

=9x（Ulxa+llxb+c）.

這表明“一個(gè)自然數(shù)減去它的各位數(shù)字之和后，所得之差肯定是9的倍數(shù)，”由已知這個(gè)差等

于603A,由此就可求出A來。即：

一個(gè)自然數(shù)減去它的各位數(shù)字之和后，所得之差肯定是9的倍數(shù)，所以是9的倍數(shù)。依據(jù)能

被9整除的數(shù)的特征，6+0+3+A=9+A應(yīng)是9的倍數(shù)，可見0可取?；?。

例3、假如六位數(shù)（）5993（）能被33整除，這個(gè)六位數(shù)是—和—。

思路點(diǎn)撥：由于33=3x11,所以這個(gè)六位數(shù)能被3整除，有能被11整除。

一個(gè)數(shù)各位各位數(shù)字之和能被3整除，這個(gè)數(shù)能被3整除；一個(gè)數(shù)奇數(shù)位上數(shù)字之和與

偶數(shù)位上數(shù)字之和的差能被11整除，這個(gè)數(shù)就能被11整除。綜合考慮上面兩條，可知這個(gè)

六位數(shù)是：154935,454938

答：這個(gè)六位數(shù)是154935、454938,

例4、假如六位數(shù)1992□□能被105整除，那么，它的最終兩位數(shù)是幾？

思路點(diǎn)撥：我們可以換一個(gè)思維方式，由于該數(shù)介于99200-199299之間。設(shè)該數(shù)位199299,

而199299+105=1898.......9,所以199299-9=199290能被105整除，可見最終兩位數(shù)是90。

例5、在□內(nèi)填上合適的數(shù)，使六位數(shù)口1998口能被56整除。

思路點(diǎn)撥：由于56可以分解成7與8的成果，所以，要使能被56整除，就應(yīng)讓它能分別被

7和8整除。先考慮它怎樣才能被8整除：一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)能被8整除。這個(gè)數(shù)就能被8

整除。經(jīng)推算，這個(gè)六位數(shù)的個(gè)位應(yīng)填4,984+8=123。在考慮它怎樣才能被7整除，要解

答這個(gè)問題是比較難的，應(yīng)當(dāng)用能被7整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組

成的數(shù)之差能被7整除。這個(gè)多位數(shù)就能被7整除?抓住這一線索，可以推算出它的首位應(yīng)

填3：319984。984-319=665,665+7=95。

如何確定的首位填什么數(shù)字才能被7整除，還有一個(gè)

特別奇妙，且適合我們學(xué)校生理解和運(yùn)用的方法——“倒著除

"倒著除''就是從低位往高位除，便可確定它的最高位上應(yīng)

填幾了。"倒著除''可借助除法數(shù)式來完成，詳細(xì)推算過程如右

圖：

由此可知，它的首位上應(yīng)填“3”。

這個(gè)能被56整除的六位數(shù)為：319984。

鞏固練習(xí)

1、四位數(shù)3AAi能被9整除，A是幾？

2、四位數(shù)841口能被2和3整除，口中應(yīng)填幾？這個(gè)四位數(shù)是多少？

3、在25口79這個(gè)數(shù)的口內(nèi)填上一個(gè)數(shù)字，使這個(gè)數(shù)能被11整除，方格內(nèi)應(yīng)填幾？

4、45ab這個(gè)四位數(shù)，同時(shí)能被2,3,4,5,9整除，則此四位數(shù)是幾？

5、四位數(shù)87AB既能被9整除，又是25的倍數(shù)，那么A是幾？B是幾？'

6、將一個(gè)四位數(shù)減去其各位數(shù)字之和仍得一個(gè)四位數(shù)19口2,那么□應(yīng)填什么？

7、假如六位數(shù)2004□□能被79整除，那么，它的最終兩位數(shù)是多少？

派8、在方框中各填一個(gè)數(shù)字，使六位數(shù)11口口11能被17和19整除，那么方框中的兩位數(shù)

是幾？

學(xué)問要點(diǎn)：

1.整除——約數(shù)和倍數(shù)

例如：15+3=5,63+7=9

一般地，如a、b、c為整數(shù)，b#0,且a+b=c,即整數(shù)a除以整除b(b不等于0),除得的商

c正好是整數(shù)而沒有余數(shù)(或者說余數(shù)是0),我們就說，a能被b整除(或者說b能整除a)。

記作bla.否則，稱為a不能被b整除，(或b不能整除a),記作b*a。

假如整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。

例如：在上面算式中，15是3的倍數(shù)，3是15的約數(shù)；63是7的倍數(shù)，7是63的約數(shù)。2.

數(shù)的整除性質(zhì)

性質(zhì)1：假如a、b都能被c整除，那么它們的和與差也能被c整除。即：假如cla,clb,

那么cl(a±b)?例如：假如2門0,2I6,那么2I(10+6),并且2I(10—6)。

性質(zhì)2：假如b與c的積能整除a,那么b與c都能整除a。即：假如beIa,那么bIa,cI

a。

性質(zhì)3：假如b、c都能整除a,且b和c互質(zhì)，那么b與c的積能整除a。即：假如bIa,

cIa,且(b,c)=1,那么beIa。例如：假如2I28,7I28,且(2,7)=1,那么(2x7)I

28。

性質(zhì)4：假如c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。即：假如cIb,bIa,那么cIa。

例如：假如3I9,9I27,那么3I27o

3.數(shù)的整除特征

①能被2整除的數(shù)的特征：個(gè)位數(shù)字是0、2、4、6、8的整數(shù).“特征”包含兩方面的意

義：一方面，個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)(包括0)的整數(shù)，必能被2整除；另一方面，能被2整除的

數(shù)，其個(gè)位數(shù)字只能是偶數(shù)（包括0）.下面“特征”含義相像。

②能被5整除的數(shù)的特征：個(gè)位是0或5。

③能被3（或9）整除的數(shù)的特征：各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4（或25）整除。

例如：1864=1800+64,由于100是4與25的倍數(shù)，所以1800是4與25的倍數(shù)。又

由于4|64,所以1864能被4整除。但由于25%64,所以1864不能被25整除。

⑤能被8（或125）整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8（或125）整除。

例如：29375=29000+375,由于1000是8與125的倍數(shù)，所以29000是8與125的倍

數(shù)。又由于125I375,所以29375能被125整除。但由于8*375,所以8*29375。

⑥能被11整除的數(shù)的特征：這個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的

差（大減?。┦?1的倍數(shù)。

例如：推斷123456789這九位數(shù)能否被11整除？

再例如：推斷13574是否是11的倍數(shù)？

解：這個(gè)數(shù)的奇數(shù)位上數(shù)字之和與偶數(shù)位上數(shù)字和的差是：（4+5+1）-（7+3）=0。

由于0是任何整數(shù)的倍數(shù)，所以11I0。因此13574是11的倍數(shù)。

⑦能被7（11或13）整除的數(shù)的特征：一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的

數(shù)之差（以大減?。┠鼙?（11或13）整除。

例如：推斷1059282是否是7的倍數(shù)？

解：把1059282分為1059和282兩個(gè)數(shù)。由于1059-282=777,又7I777,所以7I

1059282,因此1059282是7的倍數(shù)。

再例如：推斷3546725能否被13整除？

解:把3546725分為3546和725兩個(gè)數(shù)。由于3546-725=2821.再把2821分為2和821

兩個(gè)數(shù)，由于821—2=819,又13|819,所以13I2821,進(jìn)而13I3546725?

拓展：

⑧判定一個(gè)數(shù)可否被17整除，只要將其末三位與前面隔開，看末三位數(shù)與前面隔出數(shù)

的3倍的差（大減小）是否被17整除。

⑨判定一個(gè)數(shù)可否被19整除，只要將其末三位與前面隔開，看末三位與前面隔出數(shù)的

7倍的差（大減?。┦欠癖?9整除。

⑩判定一個(gè)數(shù)可否被23或29整除，只要將其末四位與前面隔開，看末四位與前面隔出

數(shù)的5倍的差（大減?。┦欠癖?3或29整除。

例1.在□里填上合適的數(shù)，使五位數(shù)26口7口能被4整除，也能被3整除.

解答：共有7種可能:

個(gè)位222工666

百位147b69

例2.在□內(nèi)填上的數(shù)，使口895口這個(gè)數(shù)能被72整除。

解答：8、9的倍數(shù)，末三位被8整除，個(gè)位2,各位數(shù)字和被9整除，萬位3.。38952.

例3.七位數(shù)22A333A是6的倍數(shù)，那么A是多少？

解答：此數(shù)是6的倍數(shù)，要同時(shí)符合被2、3整除的數(shù)的特點(diǎn)，A=4o

例4.在口里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使6位數(shù)865口□口能被3、4、5整除，而且使這個(gè)數(shù)盡可能地小。

解答：符合條件的數(shù)能被5整除，后兩位能背4整除，個(gè)位肯定是0；各個(gè)數(shù)位數(shù)字和

能被3整除，此數(shù)最小是865020。

例5.在□內(nèi)填上合適的數(shù)，使5位數(shù)7口36口能被5整除，也能被9整除.

解答：7236076365

例5.在□內(nèi)填上合適的數(shù)字，使5位數(shù)5口13口能被9整除。

解答：50130、50139、51138、52137、53136、54135、55134、56133、57132、58131、

59130、59139.

例6.標(biāo)是一個(gè)四位數(shù)，這個(gè)數(shù)同時(shí)能被2、3、5、9整除，那么這個(gè)數(shù)是。

解答：3600、3690?

例7.一個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)3口6口5能被75整除。這樣的五位數(shù)有哪幾個(gè)？

解答：末兩位25：38625；末兩位75：30675或39675。

例8.有一個(gè)六位數(shù)能被11整除，首位是7,其余各位數(shù)字各不相同，這個(gè)六位數(shù)最小是多

少？

解答：要使六位數(shù)最小，必需把最小數(shù)0,1,2,3,4,排列在7的后面，這樣可得到

數(shù)701234,可是這個(gè)數(shù)不能被11整除，為了求得最小的六位數(shù)，先要修改個(gè)位數(shù)4,經(jīng)試

算，把4改成9正好符合題意，所以最小的六位數(shù)是701239。

答：所求的最小的六位數(shù)是701239。

例9.求被26整除的六位數(shù)口1993口。

解答：由于26=2x13,所以所求六位數(shù)口1993口應(yīng)分別被2和13整除。

被2整除的數(shù)個(gè)位只能是0,2,4,6,8；所求六位數(shù)被13整除，必有口19與93□的差

(93a-ol9)是13的倍數(shù)。

(1)當(dāng)原數(shù)個(gè)位為0時(shí)，930=71x13+7,故口19也應(yīng)滿意被13除余7。

□19=100xn+13+6=7xl3xn+9xn+13+6

=13(7、口+1)+9*口+6

即9xn+6=13K+7

二9乂口-1應(yīng)是13的倍數(shù)，故□只能是3。即六位數(shù)為319930。

(2)當(dāng)原數(shù)個(gè)位數(shù)為2時(shí)，932=71x13+9,故口19也應(yīng)滿意被13除余9。

由于口19=(7、口+1)X13+9XQ+6

.,.9XQ+6=13K+9,故9x□—3應(yīng)是13的倍數(shù)，□只能是9。即六位數(shù)為919932。

(3)當(dāng)原數(shù)個(gè)位數(shù)為4時(shí)，934=71x13+11,故口19也應(yīng)被13除余11。

由于口19=(7、口+1)X13+9XQ+6

9xn+6=13K+lL即"□一5應(yīng)是13的倍數(shù)，故□只能是2。即六位數(shù)為219934。

(4)當(dāng)原數(shù)個(gè)位數(shù)為6時(shí)，936=72x13,所以口19也應(yīng)被13整除。

由于口19=(7XD+1)X13+9XQ+6

.,.9xn+6=13K,9x^-7+13=13K,故9、口一7應(yīng)是13的倍數(shù)，□只能是8。即六位

數(shù)為819936。

(5)當(dāng)原數(shù)個(gè)位數(shù)為8時(shí)，938=72x13+2,故口19也應(yīng)被13除余2。

由于口19=(7*口+1)X13+9XQ+6

.,.9xn+6=13K+2,即9、口+4應(yīng)是13的倍數(shù),□只能是1。即六位數(shù)為119938?

綜合以上狀況,滿意條件的六位數(shù)有：319930,919932,219934,819936,119938,共五個(gè)。

下面是一些關(guān)于數(shù)的整除的一些技巧學(xué)問，依據(jù)這些技巧，我們能很快推斷一個(gè)數(shù)能不能被下列數(shù)整除。

關(guān)于2：一個(gè)整數(shù)的末位是偶數(shù)，則這個(gè)數(shù)能被2整除。

關(guān)于3：一個(gè)整數(shù)的數(shù)字和能被3整除，則這個(gè)整數(shù)能被3整除。

關(guān)于4：一個(gè)整數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4整除，則這個(gè)數(shù)能被4整除。

關(guān)于5：一個(gè)整數(shù)的末位是。或5,則這個(gè)數(shù)能被5整除。

關(guān)于6：一個(gè)整數(shù)能被2和3整除，則這個(gè)數(shù)能被6整除。

關(guān)于7：一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個(gè)位數(shù)的2倍，假如差是7

的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除。由于一個(gè)兩位數(shù)N可以表示成N=10x+y=10*(x-2y)+21y,

假如x-2y能被7整除，則數(shù)N能被7整除。多于兩位數(shù)的連續(xù)此操作。

關(guān)于8：一個(gè)整數(shù)的未尾三位數(shù)能被8整除，這個(gè)數(shù)能被8整除。

關(guān)于9：一個(gè)整數(shù)的數(shù)字和能被9整除，則這個(gè)整數(shù)能被9整除。

關(guān)于11：一個(gè)整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則這個(gè)數(shù)能被11

整除。由于一個(gè)兩位數(shù)N可以表示成N=10x+y=10x(x-y)+11y,假如x-y能被11整除，

則數(shù)N能被11整除。

關(guān)于13：一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個(gè)位數(shù)的4倍，假如差是

13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。由于一個(gè)兩位數(shù)N可以表示成N=10x+y=10x(x+4y)-39y.

假如x+4y能被13整除,則數(shù)N能被13整除。

關(guān)于17：一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個(gè)位數(shù)的5倍，假如差是17

的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除。由于一個(gè)兩位數(shù)N可以表示成N=10x+y=10x(x-5y)+51y,

假如x-5y能被17整除，則數(shù)N能被7整除。

關(guān)于19：一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個(gè)位數(shù)的2倍，假如差是

19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。由于一個(gè)兩位數(shù)N可以表示成N=10x+y=10x(x+2y)-19y,

假如x+2y能被19整除，則數(shù)N能被19整除。

(3)關(guān)于除數(shù)為7、11、13的1001法

推斷較大一個(gè)的6位數(shù)能否被7、11、13整除，還有一個(gè)快捷的“1001”法。

由于1001=7x11*13,1001能被7、11、13整除。一個(gè)數(shù)能被7、11、13整除的數(shù)減去1001及其倍數(shù)

也能被7、11、13整除。

aba的1001倍等于把a(bǔ)bc再寫一遍放在后邊，abcx1001=abcabc

例如，897654能否被7整除，可以先計(jì)算897654-896896,看得數(shù)能否被7整除。

習(xí)題：

1.已知451xl993y。求全部滿意條件的六位數(shù)xl993y。

解答：

745=5x9,

A5Ixl993y」|xl993y

；.y可取?；?。

當(dāng)y=0時(shí)，依據(jù)91x”93y及數(shù)的整除特征③可知*=6,

當(dāng)y=5時(shí)，依據(jù)91x”93y及數(shù)的整除特征③可知*=9。

滿意條件的六位數(shù)是519930或919935。

2.李老師為學(xué)校一共買了28支價(jià)格相同的鋼筆，共付人民幣9口.2□元.已知□處數(shù)字相同，

請(qǐng)問每支鋼筆多少元？

解答：

9口.2□元=9口2□分

28=4x7,

???4和7均能整除9口2口。

4I2□可知□處能填0或4或8。

?.?7%9020,7*9424,所以口處不能填0和4；

V7I9828,所叫□處應(yīng)當(dāng)填8。

又；9828分=98.28元

98.28+28=3.51(元)

答：每支鋼筆3.51元。

3.已知整數(shù)la2a3a4a5a能被11整除.求全部滿意這個(gè)條件的整數(shù)。

解答：

VII|la2a3a4a5a

...依據(jù)能被11整除的數(shù)的特征可知：1+2+3+4+5的和與5a之差應(yīng)是11的倍數(shù)，

即11I(15—5a).或III(5a—15)。

但是15—5a=5(3—a),5a—15=5(a—3),又(5,11)=1,因此11I(3—a)或11I

(a—3)?

又：a是數(shù)位上的數(shù)字。；.a只能取0?9。

所以只有a=3才能滿意11I(3—a)或11I(a—3),即當(dāng)a=3時(shí)，11I15—5a。

符合題意的整數(shù)只有1323334353。

3ab3ab…3ab

4.把三位數(shù)接連重復(fù)地寫下去，共寫1993個(gè)3ab,所得的數(shù)1993個(gè)3ab恰是91的倍數(shù),

試求3ab=?

解答：???91=7x13,且(7,13)=1。

3ab3ab…3ab3ab3ab'''3ab

'---7---1'---V---1

：?7I1993個(gè)3ab,13|1993個(gè)3ab

依據(jù)一個(gè)數(shù)能被7或13整除的特征可知：

原數(shù)1993組能被7以及13整除，

3ab,,e3ab-3ab

當(dāng)且僅當(dāng)1992組能被7以及13整除，

3ab,"3ab000

?___________?

也就是1991組能被7以及13整除。

13ab'"3ab00013ab-"3ab000

由于(7,10)=1,(13,10)=1,所以71991組，131991組也就是

|3ab'j'3ab|3ab'j'3ab

71991組，131991組，因此，用一次性質(zhì)(特征)，就去掉了兩組3ab；反復(fù)使用

性質(zhì)996次，最終轉(zhuǎn)化成：原數(shù)能被7以及13整除，當(dāng)且僅當(dāng)3ab能被7以及13整除。

XV91的倍數(shù)中小于1000的只有91x4=364的百位數(shù)字是3,

3ab=364

5.在口里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使七位數(shù)口1992□□能同時(shí)被9、25、8整除。

解答：要求七位數(shù)口1992□□能同時(shí)被9、25、8整除，先考慮能被25整除這個(gè)條件。當(dāng)七位

數(shù)口1992□□能被25整除時(shí)，它的十位和個(gè)位數(shù)字組成的數(shù)只能是00,25,50,75。再考慮

其次個(gè)條件，口1992□□能被8整除，當(dāng)口1992□□能被8整除時(shí)，它的末三位上數(shù)字組成的數(shù)

必需是8的倍數(shù)，但200,225,250,275這四個(gè)數(shù)中，只有200這個(gè)數(shù)是8的倍數(shù)，所以

七位數(shù)的十位與個(gè)位□內(nèi)只能填0。最終考慮第三個(gè)條件，被9整除.口1992?圖要被9整除,

其各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和必需是9的倍數(shù)，而1+9+9+2+0+0=21,所以七位數(shù)百萬位□內(nèi)只能

填6,這樣便找到了問題的解答。

首先由于200既是25的倍數(shù)，又是8的倍數(shù)，所以口1992口口的十位與個(gè)位口內(nèi)只能填0。

由于1+9+9+2+0+0=21,而21+6=27,27是9的倍數(shù)，所以口1992口□的百萬位□內(nèi)只能

填6。

回1992回回能同時(shí)被9、25、8整除。

6.求能被26整除的六位數(shù)x”91y。

解答：

726=2x13,

...xl991y能分別被2和13整除。

V2Ixl991y,；.y可能取0、2、4、5、6、8。

又...[3|xl991y,.?.13能整除不與91y的差。

當(dāng)y=0時(shí)，由于131910,而13又要整除X19與91y的差，，心|xl9。

又?；X19=100x+19=（7xl3+9）x+19=7x13x+9x+13+6,

.?.依據(jù)整除“性質(zhì)1”,有13I9x+6,經(jīng)試驗(yàn)可知只有當(dāng)x=8時(shí)，13I9x4-6,

，當(dāng)y=0時(shí)、符合題意的六位數(shù)是819910。

當(dāng)y=2時(shí)，由于13IX19912,所以13整除X19與910+2之差，也即13整除xl9與

2的差；與前相仿，xl9=7xl3x+13+9x+6,所以13整除9x+6—2,即13I9x+4。經(jīng)試驗(yàn)可

知只有當(dāng)x=l時(shí)，13I9x+4。

...當(dāng)y=2時(shí)，符合題意的六位數(shù)是119912。

同理，當(dāng)y=4時(shí)，13I9x+6-4,即13I9x+2,經(jīng)試驗(yàn)可知當(dāng)x=7時(shí)，13I9x+2。

，當(dāng)y=4時(shí)，符合題意的六位數(shù)是719914。

同理，當(dāng)y=6時(shí)，13I9x+6~6。即13I9x.經(jīng)試驗(yàn)可知x無解（由于x”91y是的最

高位數(shù)碼,X#））。

，當(dāng)y=6時(shí)，找不到符合題意的六位數(shù)。

同理，當(dāng)y=8時(shí)，13I9x+6-8,即13I9x-2。經(jīng)試驗(yàn)只有當(dāng)x=6時(shí)，13I9x-2。

，當(dāng)y=8時(shí)，符合題意的六位數(shù)是619918。

答：滿意本題條件的六位數(shù)共有819910、H991。719914和619918四個(gè)。

7.一個(gè)首位數(shù)字為5的最小六位數(shù)，使這個(gè)數(shù)能被9整除，且各位數(shù)字均不相同。

解答：一個(gè)以5為首位的六位數(shù)5xxxxx,要想使它最小，只可能是501234（各位數(shù)字

均不相同）。

但是501234的數(shù)字和為5+0+1+2+3+4=15,并不是9的倍數(shù)，故只能將末位數(shù)字

改為7。這時(shí)，5+0+1+2+3+7=18是9的倍數(shù)，故501237是9的倍數(shù)。即501237是以

5為首位，且是9的倍數(shù)的最小的六位數(shù)。

解答：由于要求恰好第一次能被72整除，因此，應(yīng)以從前往后的挨次去查找。

假如先考慮被8整除，那么末位應(yīng)為偶數(shù)，且末三位數(shù)字組成的三位數(shù)應(yīng)是8的倍數(shù)。

因而依次看三位數(shù):234,456,678,810,112,314,516,718,192,920,202,212,

122,222,232,324,242,252,526,262,272,728,282,930,132,334,536,738,

394…中哪些是8的倍數(shù)。

像這樣試驗(yàn)三位偶數(shù)能否被8整除，速度較慢，由于被8整除的數(shù)肯定能被4整除，故

只須對(duì)被4整除的數(shù)（這種數(shù)極易看出）進(jìn)行檢驗(yàn)即可。

恰被72整除，故所求自然數(shù)為36。

272829303的數(shù)字的之和為36,是9的倍數(shù)，因而在考察位數(shù)超過52位的數(shù)是否被9

整除時(shí)，前52個(gè)數(shù)字可不再看；

1323的數(shù)字和為9,因而在考察位數(shù)超過56位的數(shù)是否被9整除時(shí)，前56個(gè)數(shù)字可不

再看；

33343536的數(shù)字和為27,因而在考察位數(shù)超過63位的數(shù)是否被9整除時(shí)，前63個(gè)數(shù)

字可不看。

以上做法把按自然數(shù)依次寫下去組成的數(shù)分成若干段，各段的數(shù)字和均為9的倍數(shù)，即

然后從中再看各段末三位數(shù)字組成的三位數(shù)是否為8的倍數(shù)。

789、718、526、627、303、435都不是8的倍數(shù)，但536是8的倍數(shù)。

即寫到36時(shí)，第一次恰好是72的倍數(shù)。這樣做比先考慮被8整除，后考慮被9整除要

快速簡(jiǎn)潔得多。

9.任意一個(gè)三位數(shù)連著寫兩次得到一個(gè)六位數(shù)，這個(gè)六位數(shù)肯定同時(shí)能被7、11、13整除。

這是為什么？

解答：設(shè)任意一個(gè)三位數(shù)為abc,則這個(gè)六位數(shù)為abcabc

abcabc

=abcxi000+abc

=1001xabc

=7x11X13Xabc

所以這個(gè)六位數(shù)能同時(shí)被7、11、13整除。

10.有72名同學(xué)，共交課間餐費(fèi)a52.7b元，每人交了多少元?

解答：72=8x9,所以a52.7b應(yīng)同為8和9的倍數(shù)。

:a527b為8的倍數(shù),

.?.沅為8的倍數(shù)，故b=2。

:a527b為9的倍數(shù),

；.a+5+2+7+b=16+a為9的倍數(shù)，故a=2。

二a527b=25272。25272+72=351（分）。

答：每人交了3.51元。

11.從0、3、5,7四個(gè)數(shù)字中任選三個(gè)，排成能同時(shí)被2、3、5整除的三位數(shù)。這樣的三

位數(shù)共有幾個(gè)？

解答：所求的三位數(shù)能同時(shí)被2、5整除，所以這個(gè)三位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為0。

所求的三位數(shù)能被3整除，所以這個(gè)三位數(shù)的各位數(shù)字之和應(yīng)是3的倍數(shù)。

故所求的三位數(shù)為570或750,共2個(gè)。

12.用1、2、3、4、5、6、7、8、9（每個(gè)數(shù)字用一次）組成三個(gè)能被9整除的、和盡可能

大的三位數(shù)，這三個(gè)三位數(shù)分別是多少？

解答：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。

由于所求的三個(gè)三位數(shù)都能被9整除，所以它們的各位數(shù)字之和分別能被9整除，故這

三個(gè)三位數(shù)中有兩個(gè)的數(shù)字和都是18,一個(gè)的數(shù)字和是9。

要使數(shù)字和是9的三位數(shù)盡可能大，百位上的數(shù)字必需為6,十位上的數(shù)字為2,個(gè)位

上的數(shù)字為I,所以這個(gè)三位數(shù)是621。

要使數(shù)字和是18的兩個(gè)三位數(shù)盡可能大，一個(gè)的百位上數(shù)字為9,另一個(gè)百位上數(shù)字

為8,十位上數(shù)字分別為5與7,個(gè)位上數(shù)字分別為4與3。故這兩個(gè)三位數(shù)是954與873。

因此，所求的三個(gè)三位數(shù)分別是621、954、873。

13.已知A、B、C、D是各不相同的數(shù)字，A+B+C=18,B+C+D=23,四位數(shù)BADC被5

除余3,求四位數(shù)ABCD是多少。

解答：四位數(shù)BADC被5除余3,所以C=3或C=8

若C=3,則B+D=23-3=20,這與B+DC18沖突.故C再。

若C=8,則B+D=23-8=15。

故B=9,D=6或B=6,D=9或B=8,D=7或B=7,D=8。

A、B、C、D是各不相同的數(shù)字，所以B=9,D=6或B=6,D=9,從而A=1或A=4。

因此，四位數(shù)ABCD是1986或4689。

14.一個(gè)六位數(shù)的各位數(shù)字都不相同，最左邊一個(gè)數(shù)字是3,且此六位數(shù)能被11整除。這

樣的六位數(shù)中的最小的數(shù)是多少？

解答：依題意，設(shè)所求的六位數(shù)為30124a,由于六位數(shù)30124a能被11整除，

所以(a+2)-(4+1+3)=a-6應(yīng)是11的倍數(shù)。故a=6。

因此，所求的最小六位數(shù)是301246。

15.五位數(shù)abcde能被6整除，則2x(a+b+c+d)-e也能被6整除。請(qǐng)說明道理。

解答：由于abcde能被6整除，所以它能分別被2和3整除，故e為2的倍數(shù),a+b+c+d+e

是3的倍數(shù)。由于2x(a+b+c+d)—e=2x(a+b+c+d+e)—3e,而2x(a+b+c+d+e)、3e都

能被6整除，所以2x(a+b+c+d)—e能被6整除。

16.某數(shù)乘以7后，乘積的最終三位數(shù)是173,那么這樣的整數(shù)中最小的是多少？

解答：①設(shè)這個(gè)數(shù)為N,乘積為A173,依據(jù)題意Nx7=A173,現(xiàn)要求N最小，即使A173

為最小，A應(yīng)是多少呢？可以從最小的數(shù)試起。

若A=l,1173不能被7整除，舍去；

同理當(dāng)A=2,3,4時(shí)，A173都不能被7整除，舍去。

當(dāng)A=5時(shí)，5173被7整除，所以N最小數(shù)為5173+7=739。

②設(shè)這個(gè)數(shù)為N,由題設(shè)7xN=A173,即7IA173,由(6)可知所求最小的A滿意7I

173-A,或7I5-A,明顯當(dāng)A=5時(shí)即7xN=5173時(shí)N最小，最小值為739。

答：這樣的整數(shù)中最小者為739。

17.從1到9這九個(gè)數(shù)字中排出8個(gè)數(shù)字，組成能被12整除的八位數(shù)，這樣的八位數(shù)中，

最大和最小的各是多少？

解答：能被12整除的數(shù)必能被3和4整除，能被3整除的數(shù)，其數(shù)字之和必能被3整

除，由于1+2+3+…+8+9=45能被3整除，因此去掉3、6、9中的任一個(gè)所剩下的8個(gè)數(shù)組

成的八位數(shù)肯定是3的倍數(shù)，要使八位數(shù)最大，應(yīng)去掉數(shù)字3,并使高位的數(shù)盡可能大，兼

顧末兩位數(shù)被4整除的條件。最大八位數(shù)為98765412；不難知道最小的八位數(shù)為12345768。

答：所求的最大數(shù)為98765412,最小數(shù)為12345768。

18.下面這二百零一位數(shù)11…1口22...2(其中1和2各有100個(gè))能被13整除，那么中間

方格內(nèi)應(yīng)填什么數(shù)？

解答“11111被13整除，而100=6x16+4,故原來被13整除的算式即變?yōu)?3IHlln2222；

再依據(jù)(6)還可變?yōu)?3I333-102,經(jīng)試算即可知方格應(yīng)填lo

答：方格內(nèi)應(yīng)填上1。

19.試求出全部滿意下述條件的兩位數(shù)，當(dāng)它們分別乘以數(shù)字2,3,4,5,6,7,8,9時(shí)

其積的數(shù)字之和均不變。

解答：由于所求的兩位數(shù)乘以9后數(shù)字之和不變，可知其數(shù)字之和是9的倍數(shù)，這樣的

數(shù)字只有10個(gè)：18,27,36,45,54,63,72,81,90,99；對(duì)每一個(gè)數(shù)字進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)

果只有18,45,90和99滿意題目要求。

答：數(shù)字18,45,90,99滿意題設(shè)要求。

20.傳奇從前有個(gè)巧匠叫布克，該國(guó)的國(guó)王久聞其名。有一次，國(guó)王想考一考布克，看看他

是否真的很聰慧。于是他把布克叫到宮中，出了這樣一道難題考他：“你給我鋸一根長(zhǎng)方體

木料，這根木料的相鄰兩個(gè)面的面積是108平方分米和32平方分米，長(zhǎng)、寬、高都是整分

米數(shù)且長(zhǎng)度均不為1分米，假如把它鋸成若干個(gè)小木塊，那么鋸得的小方塊必需能拚成一個(gè)

大正方體。請(qǐng)你回答我要你鋸的這根木料的長(zhǎng)、寬、高各是多少？這根木料最少能鋸成幾個(gè)

大小相同的小方塊？要鋸幾次？這些小木塊拼成的大正方體棱長(zhǎng)是多少？“布克不愧為一個(gè)

巧匠，面對(duì)國(guó)王連珠炮般的提問，他鎮(zhèn)靜鎮(zhèn)靜地作了正確的回答，國(guó)王興猶未盡，連續(xù)問到：

“假如我現(xiàn)在有一批這樣的長(zhǎng)方體木料，要堆成一個(gè)正方體的實(shí)心木垛，這樣的木料至少有

幾根？有多高？“布克又圓滿地回答了國(guó)王的提問，這位賢明的國(guó)王對(duì)布克大為贊揚(yáng)，重重

地獎(jiǎng)賞了他。小讀者，如你是布克，你能正確回答嗎？

解答：由于相鄰兩個(gè)面有一條公共邊，所以這條公共邊的長(zhǎng)是108、32的公約數(shù)，這個(gè)

公約數(shù)是1、2或4；1不合題意，不考慮，當(dāng)公共邊為2分米時(shí)，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高中另

兩條是54分米，16分米；當(dāng)公共邊長(zhǎng)4分米時(shí)，另兩條是27分米，8分米。

由于把這個(gè)長(zhǎng)方體鋸開后要拼成一個(gè)大正方體，所以長(zhǎng)方體體積等于正方體體積。嘗試

兩種狀況：

54x16x2=2x3x3x3x2x2x2x2x2=（2x2x3）x（2x2x3）x（2x2x3）=123

27x8x4=3x3x3x2x2x2x2x2=2x3x2x3x2x3x2x2

由于正方體的體積是棱長(zhǎng)的立方，所以把它的體積分解質(zhì)因數(shù)必可得到三組相同的質(zhì)因

數(shù)，第一種狀況滿意這一條件。其次種狀況無法滿意。

所以長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是54分米、16分米，2分米。拼得的正方體棱長(zhǎng)為12

分米，鋸成的小正方體的棱長(zhǎng)應(yīng)是54、16、2的公約數(shù)，要求塊數(shù)最少則小正方體棱長(zhǎng)最大,

最大公約數(shù)為2分米，那么長(zhǎng)方體的長(zhǎng)分27塊，寬8塊，高不必鋸，共鋸的次數(shù)為（27—1）

+（8-1）=33（次）。

要堆成實(shí)心的正方體木垛，這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)應(yīng)是長(zhǎng)、寬、高的公倍數(shù)，塊數(shù)最少則正

方體棱長(zhǎng)最小，最小公倍數(shù)為432分米，堆一垛至少要432x432x432+（54x16x2）=46656

（塊），高為43.2米。

這道題綜合了最大公約數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)，立方數(shù)的特征，最小公倍數(shù)的學(xué)問，在解題中

要正確選擇畢竟應(yīng)用何種學(xué)問解決問題。

21.父親給小明出了這樣一道題：“在一間屋子里，有一百盞電燈排成一行，按從左到右的

挨次，編上號(hào)碼1,2,3,4,5,99,100o每盞電燈上有一個(gè)拉線開關(guān)，開頭時(shí)，全

部的燈都關(guān)著，有100個(gè)同學(xué)在外排隊(duì)，第1個(gè)同學(xué)進(jìn)來，把是1倍數(shù)的燈都拉了一下（即

把全部的燈拉亮了）.第2個(gè)同學(xué)進(jìn)來，把編號(hào)是2倍數(shù)的燈又拉了一下（即把第2,4,6,

8,…，98,100盞燈又拉滅了）。第3個(gè)同學(xué)進(jìn)來，把是3倍數(shù)的燈又拉了一下......第

100個(gè)人進(jìn)來，把第100號(hào)燈拉了一下，想一想，第100個(gè)人拉了以后，還有多少盞燈是亮

著的？“這下可把小明忙壞了，他在一張大大的紙上，畫出全部的電燈，又是打’7”,又是畫

“。”，好久沒能解出來，莫非就沒有更好的方法了嗎？小明犯了難。小讀者，你有好方法教

小明嗎？

解答：到最終一個(gè)為止，拉了奇數(shù)次的燈是亮著的，拉了偶數(shù)次的燈是熄滅的。拉了奇數(shù)次

的燈的號(hào)碼應(yīng)當(dāng)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)，拉了偶數(shù)次的燈的號(hào)碼應(yīng)當(dāng)有偶數(shù)個(gè)約數(shù)。哪些數(shù)有奇數(shù)個(gè)

約數(shù)呢？1的約數(shù)只有1,4的約數(shù)有1,2,4,4=2x2=22,9的約數(shù)是1,3,9,9=3x3

=32,16的約數(shù)有1,2,4,8,16,16=2x2x2x2=24.....我們看到完全平方數(shù)的約

數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)。由于完全平方數(shù)有一個(gè)約數(shù)為n,n2=N,n沒有與它配對(duì)的約數(shù)（大些或

小些的），其余的約數(shù)也成對(duì)消失，所以偶數(shù)+1=奇數(shù)，完全平方數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)，而非完

全平方數(shù)則約數(shù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)。

亮著的燈編號(hào)為：1,4,9,16,25,36,49,64,81,100共10盞。

這道題綜合了奇偶分析和完全平方數(shù)特征方面的內(nèi)容。

22.在海族館工作的父親要出差了，你能依據(jù)他給小強(qiáng)留下的條子推斷出小強(qiáng)父親遠(yuǎn)行回來

的日期和行程嗎？

小強(qiáng)：

海族館的章魚打架斷了一條腕足，只剩下十七條腕足了，我要和館里的叔叔們一起到大

海去捕一條大章魚來。假如你把章魚剩下的腕足條數(shù)分成兩個(gè)自然數(shù)的和，得到一些成對(duì)的

自然數(shù)，其中乘積最大的一對(duì)組成一個(gè)日期，這個(gè)日期是我回來的大致日期。假如把章魚剩

下的腕足條數(shù)分成若干個(gè)自然數(shù)的和，得到很多組和為17的自然數(shù)，其中乘積最大的一組

數(shù)的積是我這次遠(yuǎn)出的行程。

父親

1992年8月18日

解答：①先把17分拆成兩個(gè)自然數(shù)的和，拆得自然數(shù)的積有八種：1x16=16,2x15=30,

3x14=42,4x13=52,5x12=60,6x11=66,7x10=70,8x9=72。可見8x9的積最大,這個(gè)日

期有8,9兩個(gè)數(shù)字組成，或是8月9日，或是9月8日，由于父親在寫條子的日期已是8

月18日，所以回來日期應(yīng)是9月8日。

認(rèn)真觀看一下可以發(fā)覺，把自然數(shù)拆成兩個(gè)小臼然數(shù)的和，要使其積最大，必需兩個(gè)小

自然數(shù)相差最小。

②把17分成若干個(gè)自然數(shù)的和，使這些自然數(shù)的積最大，畢竟是分得多好還是分得少

好呢？看來分的個(gè)數(shù)多一點(diǎn)好，由于多一個(gè)數(shù)，可以多乘一次，乘積就大些，當(dāng)然這些數(shù)中

不應(yīng)有1(想一想，為什么？)，個(gè)數(shù)多的拆法是：17=2+2+2+2+2+2+2+3,但2x2x2=8,

把3個(gè)2改成2個(gè)3,積為3x3=9,所以要盡可能少消失2,多消失3,17=3+3+3+3+3

+2,小的自然數(shù)積為3x3x3x3x3x2=486(千米)，若再削減自然數(shù)的個(gè)數(shù)有3x3x3x3x5=

405,3x3x6x5=270,9x8=72,……，這些分析中以五個(gè)3和一個(gè)2的分拆積最大。

總結(jié)本題的把一個(gè)數(shù)分成若干個(gè)自然數(shù)和，使這些自然數(shù)積最大的閱歷有：①拆分中不

應(yīng)有1,只應(yīng)有3或2；②拆分中盡量增加3的個(gè)數(shù)，削減2的個(gè)數(shù)。

解答：一個(gè)自然數(shù)除以9的余數(shù)，等于這個(gè)自然數(shù)各個(gè)數(shù)位上數(shù)字和除以9的余數(shù)。這

一來上面求多位數(shù)除以9的余數(shù)問題,便轉(zhuǎn)化為求1至1997這1997個(gè)自然數(shù)中全部數(shù)字之

和是多少的問題。這個(gè)問題的求法有很多，下面分別加以介紹。

由于1至9這9個(gè)數(shù)字之和為45,所以10至19,20至29,30至39,…，80至89,

90至99這些十個(gè)數(shù)各數(shù)位上數(shù)字和分別為：45+10,45+20,45+30,45+40,45+80,

45+90.這一來，1至99這99個(gè)自然數(shù)各數(shù)位數(shù)字和為：45+55+65+...+125+135=900。

由于1至99這99個(gè)自然數(shù)各數(shù)位上數(shù)字和為900,所以100至199,200至299,

800至899,900至999這些100個(gè)數(shù)各數(shù)位上數(shù)字和分別為900+100,900+200,...,900+800,

900+900。這一來，1至999這999個(gè)自然數(shù)各數(shù)位上數(shù)字和為：

900+1000+...+1700+1800=13500o

由于1至999這999個(gè)自然數(shù)各數(shù)上數(shù)字和為13500,所以1000至1999這1000個(gè)自

然數(shù)各數(shù)位數(shù)字和為：13500+1000=14500,這一來1至1999這1999個(gè)自然數(shù)各數(shù)位數(shù)字

和為：13500+14500=28000。1998、1999這兩個(gè)數(shù)各數(shù)位上數(shù)字和為：27、28。

28000-27-28=27945,9能整除27945,故多位數(shù)除以9余0。

此外還有一個(gè)較為省事的求和方法,將0至1999這2000個(gè)自然數(shù)一頭一尾搭配分成如

下的1000組：

(0,1999),(1,1998),(2,1997),(3,1996)

(4,1995),(5,1994),(6,1993),(7,1992)

(996,1003),(997,1002),(998,1001),(999,1000)

以上每一組兩數(shù)之和都是1999,并且每一組兩數(shù)相加時(shí)都不進(jìn)位，這樣1至1999這1999

個(gè)自然數(shù)的全部數(shù)字之和等于：(1+9+9+9)x1000=28000

其余的與上面提到的相同，故從略。

本題還有此外一種解法.由于依次寫出的任意連續(xù)9個(gè)自然數(shù)所組成的多位數(shù)，肯定能

被9整除。而從1至1997一共有1997個(gè)數(shù)，1997+9=221....8,1990、1991、1992、1993、

1994、1995、1996、1997這8個(gè)數(shù)全部數(shù)位上數(shù)字和為19+20+21+22+23+24+25+26=360,

360能被9整除，所以多位數(shù)除以9余0,與前面的結(jié)果相同。

為什么依次寫出的任意連續(xù)9個(gè)自然數(shù)所組成的多位數(shù)肯定能被9整除呢？這是由于任

意連續(xù)的9個(gè)自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字和除以9的余數(shù)，必定是0,1,2,7,8這九個(gè)數(shù)，

而這九個(gè)數(shù)的和為36,36能被9整除，所以任意依次寫出的9個(gè)連續(xù)自然數(shù)組成的多位數(shù)

也肯定能被9整除。

24.將1,2,3,....30從左到右依次排列成一個(gè)51位數(shù)1次456…2930,試求這個(gè)51位

數(shù)除以11的余數(shù)。

解答：被11整除的特征是：這個(gè)數(shù)奇數(shù)位上數(shù)字和與偶數(shù)位上數(shù)字和的差能被11整除.

從這個(gè)特征的導(dǎo)出過程中我們還可以看出：一個(gè)數(shù)奇數(shù)位上數(shù)字和與偶數(shù)位上數(shù)字和的差除

以11的余數(shù)，與原數(shù)除以11的余數(shù)是相等的。采用這一性質(zhì)便可求出問題的結(jié)果來。

由于51位數(shù)123456...282930的奇數(shù)位上的數(shù)字分別是0,9,8,7,6,5,4,3,2,

1,0,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,9,7,5,3,1,這些數(shù)字之和為：1+3+5+7+9+

(1+2+3+44-5+6+7+8+9)*2=115

這個(gè)數(shù)的偶數(shù)位上的數(shù)字分別是3,2,2,2,2,....2,1,1,....1,8,6,4,2,

這些數(shù)字之和為：

2x10+1x10+3+8+6+4+2=53

115-53=62,62-11=5...7

所以這個(gè)51位數(shù)除以11的余數(shù)是7。

上述18位數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字和為(9+8+7+6+5+4+3+2+1=)45,偶數(shù)位上的數(shù)字和為

(9x9=)81.現(xiàn)在是偶數(shù)位上的數(shù)字和大于奇數(shù)位上的數(shù)字和，81-45=36,36X1=3…3。應(yīng)

當(dāng)怎么計(jì)算呢？請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)腦筋想一想，告知你們答案為8,即上述那個(gè)18位數(shù)除以11余

8。

25.將1至9這九個(gè)數(shù)字，按圖1所示的次序排成一個(gè)圓圈。請(qǐng)你在某兩個(gè)數(shù)字之間剪開，

分別按順時(shí)針和逆時(shí)針次序形成兩個(gè)九位數(shù)(例如，在1和7之間剪開，得到兩個(gè)九位數(shù)是

193426857和758624391)。假如要求剪開后所得到的兩個(gè)九位數(shù)的差能被396整除，那么剪

開處左右兩個(gè)數(shù)字的乘積是幾？

解答：396=4x9x11,而4、9、11兩兩互質(zhì)，依據(jù)前面提到的有關(guān)整除的性質(zhì)，考慮被

396整除，只要分別考慮被4、9、11整除就行了。

719

前面提到假如一個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和是9的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)肯定能被9整除。

現(xiàn)在無論從哪兩個(gè)數(shù)字之間剪開，按順時(shí)針或逆時(shí)針次序所得到的兩個(gè)九位數(shù)，其各個(gè)數(shù)位

上的數(shù)字和，都是1至9九個(gè)數(shù)字之和45,45能被9整除，因此兩個(gè)九位數(shù)肯定能被9整

除，那么這兩個(gè)九位數(shù)之差當(dāng)然也能被9整除。

再考慮除以11的狀況.考慮一個(gè)數(shù)能否被11整除，只要考慮這個(gè)數(shù)奇數(shù)位上數(shù)字和與

偶數(shù)位上數(shù)字和之差除以11的余數(shù)?，F(xiàn)在無論從哪兩個(gè)數(shù)字之間剪開后所得到的兩個(gè)九位

數(shù)，它們數(shù)字的挨次恰好是相互顛倒的，因此這兩個(gè)九位數(shù)的奇數(shù)位上數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字

和之差是完全一樣的，換句話說，這兩個(gè)九位數(shù)除以11的余數(shù)相同，從而它倆的差肯定能

被11整除。

最終考慮所得兩個(gè)九位數(shù)之差能否被4整除。從一個(gè)數(shù)能被4整除的特征可以知道，只

要這兩個(gè)九位數(shù)的末兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)之差能被4整除，那么這兩個(gè)九位數(shù)的差肯定能

被4整除。因此只需考慮：剪開處左面兩個(gè)數(shù)字組成的兩位數(shù)與右面兩個(gè)數(shù)字顛倒挨次后組

成的兩位數(shù)之差能否被4整除。只要這個(gè)差能被4整除，所得