2024屆重慶市直屬校數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆重慶市直屬校數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若函數(shù)在上有小于的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則A．1 B． C．2 D．3．函數(shù)的圖象大致為A． B． C． D．4．某市組織了一次高二調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)，x∈(－∞，＋∞)，則下列命題不正確的是()A．該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?0分B．分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同C．分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同D．該市這次考試的數(shù)學(xué)成績標(biāo)準(zhǔn)差為105．已知雙曲線，兩條漸近線與圓相切，若雙曲線的離心率為，則的值為（）A． B． C． D．6．橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個(gè)三角形，若該三角形內(nèi)切圓的半徑為，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．7．12名同學(xué)合影，站成前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是()A． B． C． D．8．定義在上的函數(shù)滿足為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），其中為的導(dǎo)函數(shù)，若，則的解集為（）A． B． C． D．9．曲線在點(diǎn)處的切線方程是()A． B．C． D．10．已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，且是與的等差中項(xiàng)，則（）A．成等差數(shù)列 B．成等差數(shù)列C．成等差數(shù)列 D．成等差數(shù)列11．設(shè)，，，則()A． B． C． D．12．先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子，骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為，，則滿足的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，且，，則_______.14．正項(xiàng)等差數(shù)列中的，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則______.15．已知數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足.若，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則_______.16．已知是等腰直角三角形，斜邊，是平面外的一點(diǎn)，且滿足，，則三棱錐外接球的表面積為________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）用分析法證明：；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：.18．（12分）已知曲線C的參數(shù)方程為（a參數(shù)），以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（Ⅰ）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若直線l極坐標(biāo)方程為，求曲線C上的點(diǎn)到直線l最大距離.19．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.20．（12分）設(shè)函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，若存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）在某校教師趣味投籃比賽中,比賽規(guī)則是:每場投6個(gè)球,至少投進(jìn)4個(gè)球且最后2個(gè)球都投進(jìn)者獲獎(jiǎng);否則不獲獎(jiǎng).已知教師甲投進(jìn)每個(gè)球的概率都是.(Ⅰ)記教師甲在每場的6次投球中投進(jìn)球的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(Ⅱ)求教師甲在一場比賽中獲獎(jiǎng)的概率.22．（10分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．已知，．（1）若，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，在上有小于的極值點(diǎn)等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)有小于0的根．【題目詳解】由因?yàn)樵谏嫌行∮诘臉O值點(diǎn)，所以有小于0的根，由的圖像如圖：可知有小于0的根需要，所以選擇B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)極值的問題．屬于基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，再由復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式求解即可．【題目詳解】由，得，，故選．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的模的計(jì)算．3、C【解題分析】函數(shù)f（x）=（）cosx，當(dāng)x=時(shí)，是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，屬于排除A，B，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，cosx＞0，＜0，函數(shù)f（x）=（）cosx＜0，函數(shù)的圖象在x軸下方．排除D．故答案為C。4、B【解題分析】分析：根據(jù)密度函數(shù)的特點(diǎn)可得：平均成績及標(biāo)準(zhǔn)差，再結(jié)合正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同，從而即可選出答案.詳解：密度函數(shù)，該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?0分該市這次考試的數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)差為10，從圖形上看，它關(guān)于直線對(duì)稱，且50與110也關(guān)于直線對(duì)稱，故分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同.故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查了正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，以及利用幾何圖形的對(duì)稱性求解.5、A【解題分析】

先由離心率確定雙曲線的漸近線方程，再由漸近線與圓相切，列出方程，求解，即可得出結(jié)果.【題目詳解】漸近線方程為：，又因?yàn)殡p曲線的離心率為，，所以，故漸近線方程為，因?yàn)閮蓷l漸近線與圓相切，得：，解得；故選A?！绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查由直線與圓的位置關(guān)系求出參數(shù)，以及由雙曲線的離心率求漸近線方程，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)，以及直線與圓的位置關(guān)系即可，屬于?？碱}型.6、C【解題分析】

利用等面積法得出、、的等式，可得出、的等量關(guān)系式，可求出橢圓的離心率.【題目詳解】由橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積為，該三角形的周長為，由題意可得，可得，得，因此，該橢圓的離心率為，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓離心率的計(jì)算，解題時(shí)要結(jié)合已知條件列出有關(guān)、、的齊次等式，通過化簡計(jì)算出離心率的值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.7、C【解題分析】試題分析：第一步從后排8人中選2人有種方法，第二步6人前排排列，先排列選出的2人有種方法，再排列其余4人只有1種方法，因此所有的方法總數(shù)的種數(shù)是考點(diǎn)：排列組合點(diǎn)評(píng)：此類題目的求解一般遵循先選擇后排列，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理的方法8、C【解題分析】

由，以及，聯(lián)想到構(gòu)造函數(shù)，所以等價(jià)為，通過導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性，由單調(diào)性定義即可得出結(jié)果。【題目詳解】設(shè)，等價(jià)為，，故在上單調(diào)遞減，所以，解得，故選C?！绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的問題，利用單調(diào)性定義解不等式，如何構(gòu)造函數(shù)是解題關(guān)鍵，意在考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力。9、D【解題分析】

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（0）＝﹣2，再求出f（0），由直線方程的點(diǎn)斜式得答案．【題目詳解】f′（x）＝，∴f′（0）＝﹣2，又f（0）＝﹣1∴函數(shù)圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程是y+1＝﹣2（x﹣0），即故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，過曲線上某點(diǎn)的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，是中檔題．10、B【解題分析】

由于是與的等差中項(xiàng)，得到，分，兩種情況討論，用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式代入，得到，即，故得解.【題目詳解】由于是與的等差中項(xiàng)，故由于等比數(shù)列，若：，矛盾；若：，即成等差數(shù)列故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差、等比數(shù)列綜合，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.11、C【解題分析】

分別求出，，的范圍，從而得到答案．【題目詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖像可得，，；由于，則，則；所以；故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查指數(shù)、對(duì)數(shù)值的大小比較，解題的關(guān)鍵利用指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求出值的范圍，屬于中檔題．12、B【解題分析】

先化簡，得到或.利用列舉法和古典概型概率計(jì)算公式可計(jì)算出所求的概率.【題目詳解】由，有，得或，則滿足條件的為，，，，，，，，，所求概率為．故選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，考查列舉法求得古典概型概率有關(guān)問題，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.1【解題分析】

利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性得出，可求出的值，再利用可得出答案．【題目詳解】由于，由正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性可得，所以，因此，，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查正態(tài)分布在指定區(qū)間上的概率的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是充分利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性，利用已知區(qū)間上的概率來進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題．14、4【解題分析】

先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到，根據(jù)題意，得到，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，所以，又，是函?shù)的極值點(diǎn)，所以，是方程的兩實(shí)根，因此，因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)等差數(shù)列，所以，解得，因此.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查由函數(shù)極值點(diǎn)求參數(shù)，以及等差數(shù)列的性質(zhì)，熟記函數(shù)極值點(diǎn)的定義，以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.15、【解題分析】

利用將變?yōu)?，整理發(fā)現(xiàn)數(shù)列{}為等差數(shù)列，求出，進(jìn)一步可以求出，再將，代入，發(fā)現(xiàn)可以裂項(xiàng)求的前99項(xiàng)和?！绢}目詳解】當(dāng)時(shí)，符合，當(dāng)時(shí)，符合，【題目點(diǎn)撥】一般公式的使用是將變?yōu)?，而本題是將變?yōu)?，給后面的整理帶來方便。先求，再求，再求，一切都順其自然。16、【解題分析】

在平面的投影為的外心，即中點(diǎn)，設(shè)球半徑為，則，解得答案.【題目詳解】，故在平面的投影為的外心，即中點(diǎn)，故球心在直線上，，，設(shè)球半徑為，則，解得，故.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三棱錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析.【解題分析】

（1）利用分析法逐步平方得出成立，可證明出原不等式成立；（2）先驗(yàn)證時(shí)等式成立，然后假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，可得出，然后再等式兩邊同時(shí)加上，并在所得等式右邊提公因式，化簡后可得出所證等式在時(shí)成立，由歸納原理得知所證不等式成立.【題目詳解】（1）要證明成立，只需證明成立，即證明成立，只需證明成立，即證明成立，因?yàn)轱@然成立，所以原不等式成立，即；（2）①當(dāng)時(shí)，，等式左邊，右邊，等式成立；②設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，即成立，綜上所述，．【題目點(diǎn)撥】本題考查分析法與數(shù)學(xué)歸納法證明不等式以及等式問題，證明時(shí)要熟悉這兩種方法證明的基本步驟與原理，考查邏輯推理能力，屬于中等題.18、（1）（2）【解題分析】

（1）利用平方和為1消去參數(shù)得到曲線C的直角坐標(biāo)方程，再利用，整理即可得到答案；（2）將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出圓心到直線的距離，加上半徑即可得到最大距離.【題目詳解】（1）由，得，兩式兩邊平方并相加，得，所以曲線表示以為圓心，2為半徑的圓.將代入得，化簡得所以曲線的極坐標(biāo)方程為（2）由，得，即，得所以直線的直角坐標(biāo)方程為因?yàn)閳A心到直線的距離，所以曲線上的點(diǎn)到直線的最大距離為.【題目點(diǎn)撥】本題考查直角坐標(biāo)方程，參數(shù)方程及極坐標(biāo)方程之間的互化，考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19、(1).(2)證明見解析.【解題分析】試題分析：（I）當(dāng)時(shí)，，整理得，當(dāng)n=1時(shí)，有.數(shù)列是以為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列．即可求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（II）由（I）有，則,用裂項(xiàng)相消法可求其前n項(xiàng)和.試題解析：（I）當(dāng)時(shí)，有，解得.當(dāng)時(shí)，有，則整理得：數(shù)列是以為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列．即數(shù)列的通項(xiàng)公式為：．（II）由（I）有，則故得證.20、（1）見解析；（2）【解題分析】

(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)a分類討論得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)進(jìn)而得到單調(diào)性；（2）對(duì)a分情況討論，在不同的范圍下，得到函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而去掉絕對(duì)值，再構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.【題目詳解】（1）∵，（）①若，則，故在為增函數(shù)②若時(shí)，則，，故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)（2）①若，則由（1）知在為增函數(shù)，又，所以對(duì)恒成立，則設(shè)，（），則等價(jià)于，，，故在遞減，在遞增，而，顯然當(dāng)，，故不存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意都有恒成立，故不滿足條件②若，則，由（1）知在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，∵，∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)∴設(shè)，，此時(shí)等價(jià)于，（i）若，∵∴，在為增函數(shù)，∵，∴，故不存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意都有恒成立，故不滿足條件（ii）若，易知在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，∵，∴，，故存在正實(shí)數(shù)，（可?。┦沟脤?duì)任意都有恒成立，故滿足條件【題目點(diǎn)撥】這個(gè)題目考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用，以及分類討論思想；對(duì)于函數(shù)恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；或者直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0；或者分離成兩個(gè)函數(shù)，使得一個(gè)函數(shù)恒大于或小于另一個(gè)函數(shù)。21、(Ⅰ)X的分布列X

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P

數(shù)學(xué)期望；(Ⅱ).【解題分析】

試題分析：(Ⅰ)先定出X的所有可能取值，易知本題是6個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功的次數(shù)的離散概率分布，即為二項(xiàng)分布.由二項(xiàng)分布公式可得到其分布列以及期望.(Ⅱ)根據(jù)比賽獲勝的規(guī)定，教師甲前四次投球中至少有兩次投中，后兩次必須投中，即可能的情況有1.前四次投中2次（六投四中）；2.前四次投中3次（六投五中）3.前四次都投中（六投六中）.其中第1種情況有種可能，第2中情況有（或）種可能.將上述三種情況的概率相加即得到教師甲獲勝的概率.試題解析：(Ⅰ)X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,6.依條件可知，X的分布列為：X

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