2023年中考九年級(jí)數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)專題訓(xùn)練-三角形的外接圓與外心

2023年中考九年級(jí)數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)專題訓(xùn)練--三角形的外接圓與外心一、綜合題1．在同一平面直角坐標(biāo)系中，請(qǐng)按要求完成下面問題：（1）△ABC的各定點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），請(qǐng)畫出它的外接圓⊙P，并寫出圓心P點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′BC′，請(qǐng)畫出△A′BC′．2．下面是小董設(shè)計(jì)的“作已知圓的內(nèi)接正三角形”的尺規(guī)作圖過程.已知：⊙O．求作：⊙O的內(nèi)接正三角形．作法：如圖，①作直徑AB；②以B為圓心，OB為半徑作弧，與⊙O交于C，D兩點(diǎn)；③連接AC，AD，CD．所以△ACD就是所求的三角形．根據(jù)小董設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明：證明：在⊙O中，連接OC，OD，BC，BD，∵OC=OB=BC，∴△OBC為等邊三角形（）（填推理的依據(jù)）．∴∠BOC=60°．∴∠AOC=180°-∠BOC=120°．同理∠AOD=120°，∴∠COD=∠AOC=∠AOD=120°．∴AC=CD=AD（）（填推理的依據(jù)）．∴△ACD是等邊三角形．3．如圖，已知給定等邊△ABC及邊AB上點(diǎn)D．（1）作經(jīng)過點(diǎn)B，C，D的⊙O（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡并寫出結(jié)論）．（2）若BC＝6，BD＝4，求OA的長(zhǎng)．（說明：O為（1）小題所作圓的圓心）4．如圖，O為等邊△ABC的外接圓，D為直徑CE延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接AD，AD=AC.（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若CD=6，求陰影部分的面積.5．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作BE的垂線交AB于點(diǎn)F，⊙O是△BEF的外接圓．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）過點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為H，求證：CD=HF；（3）若CD=1，EH=3，求BF及AF長(zhǎng)．6．已知等腰△ABC中，AB＝AC.（1）如圖1，若⊙O為△ABC的外接圓，求證：AO⊥BC；（2）如圖2，若AB=AC=10，BC=12，I為△ABC的內(nèi)心，連接IC，過點(diǎn)I作ID∥BC交AC于點(diǎn)D，求ID的長(zhǎng).7．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC上一點(diǎn)（能與B重合，不與C重合），以DC為直徑的半圓O，交AC于點(diǎn)E．（1）如圖1，若點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，半圓交AB于點(diǎn)F，求證：AE=AF．（2）設(shè)∠B=60°，若半圓與AB相切于點(diǎn)T，在圖2中畫出相應(yīng)的圖形，求∠AET的度數(shù)．（3）設(shè)∠B=60°，BC=6，△ABC的外心為點(diǎn)P，若點(diǎn)P正好落在半圓與其直徑組成的封閉圖形的內(nèi)部，直接寫出DC的取值范圍．8．如圖，△ABC中，∠C＝45°，AB＝2.（1）尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：作△ABC的外接圓⊙O；（2）求△ABC的外接圓⊙O的直徑.9．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．（1）用直尺和圓規(guī)作⊙O，使圓心O在BC邊，且⊙O經(jīng)過A，B兩點(diǎn)上(不寫作法，保留作圖痕跡)；（2）連接A0，求證：AO平分∠CAB．10．如圖，已知△ABC.（1）作△ABC的外接圓，并在AB的上方作弦AD，使AD＝BC.（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）連結(jié)CD，求證：CD∥AB.11．如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1個(gè)單位），△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，（1）請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出△ABC的外接圓的圓心P的位置，并填寫：圓心P的坐標(biāo)：P（,）（2）將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，畫出圖形，并求△ABC掃過的圖形的面積．12．如圖，已知邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC內(nèi)接于⊙O．（1）求⊙O半徑；（2）求BC的長(zhǎng)和弓形BC的面積．13．如圖，在ΔABC中，∠B=∠C=40°，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D和點(diǎn)E同時(shí)出發(fā)，速度相同，到達(dá)C點(diǎn)或B點(diǎn)后運(yùn)動(dòng)停止．（1）求證：ΔABE≌ΔACD；（2）若AB=BE，求∠DAE的度數(shù)；（3）若ΔABD的外心在其內(nèi)部時(shí)，直接寫出∠BDA的取值范圍．14．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，經(jīng)過點(diǎn)A作AE⊥OC，垂足為點(diǎn)D，AE與BC交于點(diǎn)F，與過點(diǎn)B的直線交于點(diǎn)E，且EB=EF．（1）求證：BE是⊙O的切線；（2）若CD=1，cos∠AEB=3515．將圖中的破輪子復(fù)原，已知弧上三點(diǎn)A，B，C.（1）用尺規(guī)作出該輪的圓心O，并保留作圖痕跡；（2）若△ABC是等腰三角形，設(shè)底邊BC=8，腰AB=5，求圓片的半徑R.16．解答題（1）作△ABC的外接圓；（2）若AC=BC，AB=8，C到AB的距離是2，求△ABC的外接圓半徑．

答案解析部分1．【答案】（1）解：如圖，⊙P為所作，P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）；（2）解：如圖，△A′BC′為所作2．【答案】（1）解：（2）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等3．【答案】（1）解：如圖，⊙O即為所求．（2）解：設(shè)線段BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，線段BD的垂直平分線交BD于點(diǎn)F，∴BD＝DF＝12∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC＝6，點(diǎn)A，O，E在同一條直線上，∴∠BAE＝30°，AF＝4，在Rt△AOF中，cos30°＝AFAO解得AO＝83經(jīng)檢驗(yàn)，AO＝83∴OA的長(zhǎng)為834．【答案】（1）證明：連接OA，如圖所示：∵⊙O為等邊△ABC的外接圓，D為直徑CE延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，∴∠ACD=12∠ACB=30°∵AD=AC，∴∠D=∠ACD=30°，∴∠DAC=180°?30°?30°=120°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠ACD=30°，∴∠OAD=120°?30°=90°，∴AD⊥OA，∴AD是⊙O的切線；（2）解：由（1）得：CD⊥AB，∠D=30°，∵AD=AC，∴DF=CF=1∴AF=3∴AD=2AF=23∵∠OAD=90°，∠D=30°，∴∠AOD=60°，OA=3∴S陰影5．【答案】（1）證明：如圖，連接OE．∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，∴BF是圓O的直徑．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切線；（2）證明：如圖，連結(jié)DE．∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE．在△CDE與△HFE中，∠CDE=∠HFE∠C=∠EHF=∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF（3）由（2）得CD=HF，又CD=1，∴HF=1，在Rt△HFE中，EF=32+1∵EF⊥BE，∴∠BEF=90°，∴∠EHF=∠BEF=90°，∵∠EFH=∠BFE，∴△EHF∽△BEF，∴EFBF=HFEF，即10BF∴BF=10，∴OE=12∴Rt△OHE中，cos∠EOA=45∴Rt△EOA中，cos∠EOA=OEOA=4∴5OA=4∴OA=254∴AF=254﹣5=6．【答案】（1）證明：連接OB、OC，∵AB＝AC，∴A在BC的垂直平分線上又∵OB＝OC，∴O也在BC的垂直平分線上∴AO⊥BC（2）解：連接AI并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)I分別作IG⊥AC于點(diǎn)G，IH⊥AB于點(diǎn)H∵AB=AC，I為△ABC的內(nèi)心，∴AF⊥BC，BF=CF=6，∴AF=設(shè)IH=IF=IG=r，由S可得：1∴r=3設(shè)CF=CG=a，則AH=AG=10?a，BF=BH=12?a∴10?a+12?a=10解得：a=6即CG=6∵ID∥BC，CI平分∠ACB∴∠1=∠2=∠3∴設(shè)ID=DC=x，DG=6?x在Rt△IGD中，I∴32+∴ID=7．【答案】（1）解：如圖1：連接BE，CF，∵此時(shí)BC為直徑，∴∠BEC=∠CFB=90°，∴∠AEB=∠AFC=90°，又∵∠A=∠A，AB=AC，∴△ABE≌△ACF，∴AE=AF（2）解：如圖2：連接OT、OE、ET，∵AB=AC，∠B=60°，∴∠C=60°，∵OE=OC，∴∠EOC=∠OEC=60°，∵AB是圓的切線，∴OT⊥AB，∵∠BOT=90°-60°=30°，∴∠TOE=90°，∵OT=OE，∴∠TEO=45°，∴∠AET=180°-45°-60°=75°（3）4＜DC≤6．8．【答案】（1）解：如圖，⊙O為所作；（2）解：∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴△OAB為等腰直角三角形，∴OA＝22AB＝22×2＝∴△ABC的外接圓⊙O的直徑為229．【答案】（1）解：如圖，⊙O為所作；（2）證明：∵OA=OB，∴∠OAB=∠B=30°，而∠CAB=90°-∠B=60°，∴∠CAO=∠BAO=30°，∴OC平分∠CAB．10．【答案】（1）解：如圖，⊙O，線段CD即為所求.（2）解：理由：∵AD=BC，∴AD=∴∠ACD=∠CAB，∴CD∥AB.11．【答案】（1）5；3（2）解：根據(jù)圖中信息由勾股定理可得：AC=22+62=210，∴12．【答案】（1）解：連結(jié)OB，OC，作OM⊥BC于M，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=60°，∴∠BOC=120°．又∵OM⊥BC，∴BM=CM=3．又∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°．∴⊙O半徑=3cos30（2）解：∵由（1）知∠BOC=120°，OB=23，∴弧BC的長(zhǎng)=120π×23180弓形BC的面積=S扇形BOC﹣S△BOC=120π×(23)218013．【答案】（1）解：∵點(diǎn)D、點(diǎn)E分別從點(diǎn)B、點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，在線段BC上作等速運(yùn)動(dòng)，∴BD=CE，∴BC?BD=BC?CE，即BE=CD，∵∠B=∠C=40°，∴AB=AC，∴ΔABE≌ΔACD(SAS)（2）解：∵∠B=∠C=40°，AB=BE，∴∠BEA=∠EAB=∵ΔABE≌ΔACD，∴AD=AE，∴∠ADC=∠BEA=70°，∴∠DAE=（3）50°<∠BDA<90°．14．【答案】（1）證明：∵B、C在⊙O上，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵EF=EB，∴∠EBC=∠EFB，又∵∠AFC=∠EFB，∴∠AFC=∠EBC，∵AE⊥OC，∴∠AFC+∠OCB=90°，∴∠EBC+∠OBC=90°，即BE⊥OB，又OB是⊙O的半徑，∴EB是⊙O的切線（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，則OA=OC=r，又CD=1，∴OD=r﹣1，∵∠AOD+∠EAB=90°，∠AEB+∠EAB=90°，∴∠AOD=∠AEB，∴cos∠AOD=cos∠AEB=35∴在Rt△AOD中，cos∠AOD=ODOA=35，即r?1r解得：r=52∵AB是⊙O的直徑，∴AB=5，在Rt△AEB中，cos∠AEB=BEAE=3∴AE=53又AE2=AB2+BE2，即（53BE）2=BE2+52解得：BE=1515．【答案】（1）解：如圖所示：分別作弦AB和AC的垂直平分線，交于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為所求的圓心（2