2024屆吉林省四平市公主嶺市第五高級中學數(shù)學高二下期末綜合測試模擬試題含解析

2024屆吉林省四平市公主嶺市第五高級中學數(shù)學高二下期末綜合測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則方程的根的個數(shù)為（）A．7 B．5 C．3 D．22．某班準備從甲、乙、丙等6人中選出4人參加某項活動，要求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加，那么不同的方法有（）A．18種 B．12種 C．432種 D．288種3．拋物線的焦點為，點，為拋物線上一點，且不在直線上，則周長的最小值為A． B． C． D．4．已知函數(shù)，將其圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為（）A． B． C． D．5．扇形OAB的半徑為1，圓心角為120°，P是弧AB上的動點，則的最小值為（）A． B．0 C． D．6．在某項測試中，測量結果與服從正態(tài)分布，若，則（）A．0.4 B．0.8 C．0.6 D．0.217．下列關于正態(tài)分布的命題：①正態(tài)曲線關于軸對稱；②當一定時，越大，正態(tài)曲線越“矮胖”，越小，正態(tài)曲線越“瘦高”；③設隨機變量，則的值等于2；④當一定時，正態(tài)曲線的位置由確定，隨著的變化曲線沿軸平移.其中正確的是（）A．①② B．③④ C．②④ D．①④8．把一枚質地均勻、半徑為1的圓形硬幣拋擲在一個邊長為8的正方形托盤上，已知硬幣平放在托盤上且沒有掉下去，則該硬幣完全落在托盤上（即沒有任何部分在托盤以外）的概率為（）A． B． C． D．9．由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，如圖所示，其中，．由右橢圓的焦點和左橢圓的焦點，確定叫做“果圓”的焦點三角形，若“果圓”的焦點為直角三角形．則右橢圓的離心率為（）A． B． C． D．10．如果小明在某一周的第一天和第七天分別吃了3個水果，且從這周的第二天開始，每天所吃水果的個數(shù)與前一天相比，僅存在三種可能：或“多一個”或“持平”或“少一個”，那么，小明在這一周中每天所吃水果個數(shù)的不同選擇方案共有（）A．種 B．種 C．種 D．種11．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程是（）A． B． C． D．12．已知扇形的圓心角為，弧長為，則扇形的半徑為（）A．7 B．6 C．5 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則最小值為________.14．已知是雙曲線的右焦點，的右支上一點到一條漸近線的距離為2，在另一條漸近線上有一點滿足，則________________．15．不等式的解集為_______．16．從2，4，8中任取2個數(shù)字，從1，3，5中任取2個數(shù)字，一共可以組成_______個沒有重復數(shù)字的四位數(shù).（用數(shù)字作答）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2名男生、4名女生排成一排，問：（1）男生平必須排在男生乙的左邊（不一定相鄰）的不同排法共有多少種？（2）4名女生不全相鄰的不同排法共有多少種？18．（12分）《中華人民共和國道路交通安全法》第47條的相關規(guī)定：機動車行經(jīng)人行橫道時，應當減速慢行；遇行人正在通過人行橫道，應當停車讓行，俗稱“禮讓斑馬線”，《中華人民共和國道路交通安全法》第90條規(guī)定：對不禮讓行人的駕駛員處以扣3分，罰款50元的處罰．下表是某市一主干路口監(jiān)控設備所抓拍的5個月內駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計數(shù)據(jù)：月份12345違章駕駛員人數(shù)1201051009085（1）請利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)少與月份x之間的回歸直線方程；（2）預測該路口7月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù)；（3）交警從這5個月內通過該路口的駕駛員中隨機抽查了50人，調查駕駛員不“禮讓斑馬線”行為與駕齡的關系，得到如下2×2列聯(lián)表：不禮讓斑馬線禮讓斑馬線合計駕齡不超過1年22830駕齡1年以上81220合計302050能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認為“禮讓斑馬線”行為與駕齡有關？參考公式：，.（其中n＝a+b+c+d）P（K2≥k）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）如圖，在矩形中，為CD的中點，將沿AE折起到的位置，使得平面平面．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.20．（12分）用數(shù)學歸納法證明.21．（12分）中，三內角所對的邊分別為，已知成等差數(shù)列．(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)求角的取值范圍．22．（10分）如圖，是圓柱的底面直徑且，是圓柱的母線且，點是圓柱底面面圓周上的點.（1）求證：平面；（2）當三棱錐體積最大時，求二面角的大??；（結果用反三角函數(shù)值表示）（3）若，是的中點，點在線段上，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

令，先求出方程的三個根，，，然后分別作出直線，，與函數(shù)的圖象，得出交點的總數(shù)即為所求結果.【題目詳解】令，先解方程.（1）當時，則，得；（2）當時，則，即，解得，.如下圖所示：直線，，與函數(shù)的交點個數(shù)為、、，所以，方程的根的個數(shù)為，故選A.【題目點撥】本題考查復合函數(shù)的零點個數(shù)，這類問題首先將函數(shù)分為內層函數(shù)與外層函數(shù)，求出外層函數(shù)的若干個根，再作出這些直線與內層函數(shù)圖象的交點總數(shù)即為方程根的個數(shù)，考查數(shù)形結合思想，屬于難題．2、D【解題分析】

根據(jù)題意，6人中除甲乙丙之外的3人為a、b、c，分2步進行分析：①先在6人中選出4人，要求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加，②將選出的4人全排列，安排4人的順序，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，6人中除甲乙丙之外的3人為a、b、c，分2步進行分析：①先在6人中選出4人，要求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加，若甲、乙、丙三人都參加，在a、b、c三人中任選1人，有3種情況，若甲、乙、丙三人有2人參加，在a、b、c三人中任選1人，有=9種情況，則有3+9=12種選法；②將選出的4人全排列，安排4人的順序，有A44=24種順序，則不同的發(fā)言順序有12×24=288種；故答案為：D．【題目點撥】（1）本題主要考查排列組合的綜合應用，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)排列組合常見解法有：一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復雜問題分類法、小數(shù)問題列舉法.3、C【解題分析】

求△MAF周長的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，設點M在準線上的射影為D，根據(jù)拋物線的定義，可知|MF|=|MD|，因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值.根據(jù)平面幾何知識，可得當D，M，A三點共線時|MA|+|MD|最小，因此最小值為xA﹣（﹣1）=5+1=6，∵|AF|==5，∴△MAF周長的最小值為11，故答案為：C．4、B【解題分析】

由平移變換得到，由偶函數(shù)的性質得到，從而求.【題目詳解】由題意得：，因為為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于對稱，所以當時，函數(shù)取得最大值或最小值，所以，所以，解得：，因為，所以當時，，故選B.【題目點撥】平移變換、伸縮變換都是針對自變量而言的，所以函數(shù)向右平移個單位長度后得到函數(shù)，不能錯誤地得到.5、C【解題分析】

首先以與作為一組向量基底來表示和，然后可得，討論與共線同向時，有最大值為1，進一步可得有最小值.【題目詳解】由題意得,，所以因為圓心角為120°，所以由平行四邊形法則易得，所以當與共線同向時，有最大值為1，此時有最小值.故選：C.【題目點撥】本題主要考查平面向量的數(shù)量積，選擇合適的基底表示相關的向量是求解的關鍵，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).6、B【解題分析】

根據(jù)已知條件,求出正態(tài)分布曲線的對稱軸為,根據(jù)對稱性可求出的值,進而可求【題目詳解】解:測量結果與服從正態(tài)分布正態(tài)分布曲線的對稱軸為故選:B.【題目點撥】本題考查了正態(tài)分布中概率問題的求解.在解此類問題時,結合正態(tài)分布曲線圖像進行求解,其關鍵是找到曲線的對稱軸.7、C【解題分析】分析：根據(jù)正態(tài)分布的定義，及正態(tài)分布與各參數(shù)的關系結合正態(tài)曲線的對稱性，逐一分析四個命題的真假，可得答案．詳解：①正態(tài)曲線關于軸對稱，故①不正確，②當一定時，越大，正態(tài)曲線越“矮胖”，越小，正態(tài)曲線越“瘦高”；正確；③設隨機變量，則的值等于1；故③不正確；④當一定時，正態(tài)曲線的位置由確定，隨著的變化曲線沿軸平移.正確.故選C.點睛：本題以命題的真假判斷為載體考查了正態(tài)分布及正態(tài)曲線，熟練掌握正態(tài)分布的相關概念是解答的關鍵．8、B【解題分析】分析：求出硬幣完全落在托盤上硬幣圓心所在區(qū)域的面積，求出托盤面積，由測度比是面積比得答案.詳解：如圖：要使硬幣完全落在托盤上，則硬幣圓心在托盤內以6為邊長的正方形內，硬幣在托盤上且沒有掉下去，則硬幣圓心在托盤內，由測度比為面積比可得，硬幣完全落在托盤上的概率為.故選B.點睛：本題考查幾何概型概率的求法，正確理解題意是關鍵，是基礎題.9、B【解題分析】

根據(jù)“果圓”關于軸對稱，可得是以為底的等腰三角形，由是直角三角形，得出，.再建立關于，，之間的關系式，求出結果.【題目詳解】解：連接，，根據(jù)“果圓”關于軸對稱，可得是以為底的等腰三角形，是直角三角形，，.又和分別是橢圓和的半焦距，，即.，.即，.故選：B.【題目點撥】本題考查橢圓的標準方程與簡單幾何性質，屬于中檔題.10、D【解題分析】試題分析：小明共有6次選擇，因為第一天和第七天均吃3個水果，所以在這6次選擇中“多一個”和“少一個”的次數(shù)應相同、“持平”次數(shù)為偶數(shù)．當6次選擇均為“持平”時，共有種方案；當6次選擇中有4次“持平”時，選擇“多一個”和“少一個”各一次，共有種方案；當6次選擇中有2次“持平”時，選擇“多一個”和“少一個”各2次，共有種方案；當6次選擇中有0次“持平”時，選擇“多一個”和“少一個”各3次，共有種方案.綜上可得小明在這一周中每天所吃水果個數(shù)的不同選擇方案共有種方案,故D正確.考點：排列組合，考查分類討論思想.11、B【解題分析】

根據(jù)奇函數(shù)的定義或性質求出，然后可求出導函數(shù)，得切線斜率，從而得切線方程【題目詳解】∵是奇函數(shù)，∴，∴，，是奇函數(shù)，，，，切線方程為，即．故選B．【題目點撥】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的奇偶性，本題難度一般．12、B【解題分析】

求得圓心角的弧度數(shù)，用求得扇形半徑.【題目詳解】依題意為，所以．故選B.【題目點撥】本小題主要考查角度制和弧度制轉化，考查扇形的弧長公式的運用，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解題分析】

把所求式子看作兩點間距離的平方，再根據(jù)直線與曲線位置關系求最值【題目詳解】看作兩點之間距離的平方。點A在直線上，點B在曲線上，取所以，即最小值為4.【題目點撥】本題考查兩點間距離公式以及利用導數(shù)求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.14、4【解題分析】

試題分析：雙曲線的右焦點F（，0），漸近線方程為，點P到漸近線的距離恰好跟焦點到漸近線的距離相等，所以P必在過右焦點與一條漸近線平行的直線上，不妨設P在直線上，由方程組得，所以，由方程組得，所以，所以由于，所以．考點：向量共線的應用，雙曲線的方程與簡單幾何性質．【方法點晴】要求的值，就得求出P、Q兩點的坐標，可直接設出P點坐標用點到直線的距離公式，也可結合雙曲線的幾何性質發(fā)現(xiàn)P的軌跡，解方程組即得P、Q兩點坐標，從而求出兩個向量的坐標，問題就解決了．15、【解題分析】

原不等式等價于，解之即可.【題目詳解】原不等式等價于，解得或.所以不等式的解集為【題目點撥】本題考查分式不等式的解法，屬基礎題.16、【解題分析】

先選后排，由分步計數(shù)原理可求得方法數(shù)?！绢}目詳解】從2，4，8中任取2個數(shù)字共有方法數(shù)種，從1，3，5中任取2個數(shù)字共有方法數(shù)種，排成四位數(shù)共有種，由分步計數(shù)原理方法數(shù)為。填216.【題目點撥】利用排列組合計數(shù)時，關鍵是正確進行分類和分步，分類時要注意不重不漏，本題是典型的先選后排分步計數(shù)原理題型。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）根據(jù)定序法確定排列數(shù)，（2）先求相鄰的排列數(shù)（捆綁法），再用全排列相減得結果.詳解：（1）法1：，法2：；（2）．答：分別有360和576種不同的排法.點睛：求解排列、組合問題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法.18、（1）；（2）66人；（3）有的把握認為“禮讓斑馬線”行為與駕齡關．【解題分析】

（1）利用所給數(shù)據(jù)計算、，求出回歸系數(shù)，寫出回歸直線方程；

（2）由（1）中的回歸直線方程計算x=7時的值即可；

（3）由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)計算K2，對照臨界值得出結論．【題目詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)知，，∴，∴，∴所求回歸直線方程為．（2）由（1）知，令，則人.（3）由表中數(shù)據(jù)得，根據(jù)統(tǒng)計有的把握認為“禮讓斑馬線”行為與駕齡關．【題目點撥】本題考查了線性回歸方程與獨立性檢驗的應用問題，是基礎題．19、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）由題可得，即，由平面平面，根據(jù)面面垂直的性質可得平面，從而證明平面平面；（2）結合（1），如圖建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的法向量，由二面角的余弦公式求出余弦值，從而可得到平面與平面所成二面角的正弦值．【題目詳解】（1）證明：設，在矩形中，由為的中點，易求得：，所以．所以．又因為平面平面，平面平面，所以平面．又平面，所以平面平面.（2）設，取中點，連接﹐由，得，所以．又平面平面，平面平面，故平面．如圖，以為坐標原點，分別以，的方向為軸，軸正方向建立空間直角坐標系，依題意得：.，由（1）知平面，故可取平面的法向量為，設平面的法向量為，則，即不妨取，得，設平面與平面所成二面角為θ，，則，所以平面與平面所成二面角的正弦值為.【題目點撥】本題考查立體幾何中面面垂直的證明以及二面角的正弦值的求法，考查利用空間向量解決問題的能力，屬于中檔題．20、見解析.【解題分析】分析：直接利用數(shù)學歸納法的證明步驟證明不等式，（1）驗證時不等式成立；（2）假設當時成立，利用放縮法證明時，不等式也成立．詳解：證明：①當時，左邊，不等式成立.②假設當時，不等式成立，即，則當時，，∵，∴，∴當時，不等式成立.由①②知對于任意正整數(shù)，不等式成立.點睛：本題是中檔題，考查數(shù)學歸納法的證明步驟，注意不等式的證明方法，放縮法的應用，