2024屆吉林省長春實驗中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末預(yù)測試題含解析

2024屆吉林省長春實驗中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末預(yù)測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸出的值為時，則輸入的（）A． B． C． D．2．已知集合，則為（）A． B． C． D．3．定義：如果一個向量列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常向量，那么這個向量列做等差向量列，這個常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列是以為首項，公差的等差向量列.若向量與非零向量）垂直，則（）A． B． C． D．4．設(shè)函數(shù)()有且僅有兩個極值點()，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．5．甲、乙、丙三人每人準備在3個旅游景點中各選一處去游玩，則在“至少有1個景點未被選擇”的條件下，恰有2個景點未被選擇的概率是（）A．17 B．18 C．16．若命題“使”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為()A． B．C． D．7．已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且f(x)＝x2＋2xf′(2)，則函數(shù)f(x)的解析式為()A．f(x)＝x2＋8x B．f(x)＝x2－8xC．f(x)＝x2＋2x D．f(x)＝x2－2x8．隨機變量，且，則（）A．0.20 B．0.30 C．0.70 D．0.809．在的二項展開式中，二項式系數(shù)的最大值為，含項的系數(shù)為，則（）A． B． C． D．10．已知，，且，則的最大值是()A． B． C． D．11．已知全集，集合，，那么集合（）A． B． C． D．12．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，，，，則（）A．2 B． C． D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．極坐標方程化成直角坐標方程是__________.14．從集合{1,2，…，30}中取出五個不同的數(shù)組成單調(diào)遞增的等差數(shù)列，則所有符合條件的不同的數(shù)列個數(shù)是______．15．從長度為、、、的四條線段中任選三條，能構(gòu)成三角形的概率為.16．已知，且，則____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程是（為參數(shù)），把曲線C的橫坐標縮短為原來的，縱坐標縮短為原來的一半，得到曲線直線l的普通方程是，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求直線l的極坐標方程和曲線的普通方程；（2）記射線（）與交于點A，與l交于點B，求的值.18．（12分）已知是函數(shù)（）的一條對稱軸，且的最小正周期為.（1）求值和的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)角為的三個內(nèi)角，對應(yīng)邊分別為，若，，求的取值范圍.19．（12分）已知a，，點在矩陣對應(yīng)的變換下得到點.（1）求a，b的值；（2）求矩陣A的特征值和特征向量；（3）若向量，求.20．（12分）已知函數(shù)（）.（Ⅰ）若曲線在點處的切線平行于軸，求實數(shù)的值；（Ⅱ）當(dāng)時，證明：.21．（12分）已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝4cosθ，直線l與圓C交于A，B兩點．(1)求圓C的直角坐標方程及弦AB的長；(2)動點P在圓C上(不與A，B重合)，試求△ABP的面積的最大值．22．（10分）已知數(shù)列的前項的和，滿足，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項的和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

分析：根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的特征，依次算出每個循環(huán)單元的值，同時判定是否要繼續(xù)返回循環(huán)體，即可求得S的值．詳解:因為當(dāng)不成立時，輸出，且輸出所以所以所以選B點睛：本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)在程序框圖中的應(yīng)用，按照要求逐步運算即可，屬于簡單題．2、C【解題分析】

分別求出集合M，N，和，然后計算.【題目詳解】解：由，得，故集合由，得，故集合，所以故選：C.【題目點撥】本題考查了指數(shù)函數(shù)的值域，對數(shù)函數(shù)的定義域，集合的交集和補集運算，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】

先根據(jù)等差數(shù)列通項公式得向量，再根據(jù)向量垂直得遞推關(guān)系，最后根據(jù)累乘法求結(jié)果.【題目詳解】由題意得，因為向量與非零向量）垂直，所以因此故選：D【題目點撥】本題考查等差數(shù)列通項公式、向量垂直坐標表示以及累乘法，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.4、B【解題分析】

函數(shù)()有且僅有兩個極值點，即為在上有兩個不同的解，進而轉(zhuǎn)化為兩個圖像的交點問題進行求解．【題目詳解】解：因為函數(shù)()有且僅有兩個極值點，所以在上有兩個不同的解，即2ax＋ex＝0在上有兩解，即直線y＝－2ax與函數(shù)y＝ex的圖象有兩個交點，設(shè)函數(shù)與函數(shù)的圖象相切，切點為(x0，y0)，作函數(shù)y＝ex的圖象，因為則，所以，解得x0＝1，即切點為(1，e)，此時k＝e，由圖象知直線與函數(shù)y＝ex的圖象有兩個交點時，有即－2a＞e，解得a＜，故選B.【題目點撥】本題考查了函數(shù)極值點的問題，解決此類問題的方法是將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，再通過數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題．5、A【解題分析】

設(shè)事件A為：至少有1個景點未被選擇，事件B為：恰有2個景點未被選擇,計算P(AB)和P(A),再利用條件概率公式得到答案.【題目詳解】設(shè)事件A為：至少有1個景點未被選擇，事件B為：恰有2個景點未被選擇P(AB)=P(B故答案選A【題目點撥】本題考查了條件概率，意在考查學(xué)生對于條件概率的理解和計算.6、B【解題分析】

若原命題為假，則否命題為真，根據(jù)否命題求的范圍．【題目詳解】由題得，原命題的否命題是“，使”，即，解得．選B.【題目點撥】本題考查原命題和否命題的真假關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解題分析】

求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)即可求解.【題目詳解】∵，．令，得，.故.【題目點撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)定義的運用.求解在處的導(dǎo)數(shù)是解題的關(guān)鍵.8、B【解題分析】分析：由及可得．詳解：∵，∴．故選B．點睛：本題考查正態(tài)分布，若隨機變量中，則正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，因此有，（）．9、B【解題分析】

由題意，先寫出二項展開式的通項，由此得出二項式系數(shù)的最大值，以及含項的系數(shù)，進而可求出結(jié)果.【題目詳解】因為的二項展開式的通項為：，因此二項式系數(shù)的最大值為：，令得，所以，含項的系數(shù)為，因此.故選：B.【題目點撥】本題主要考查求二項式系數(shù)的最大值，以及求指定項的系數(shù)，熟記二項式定理即可，屬于?？碱}型.10、A【解題分析】

根據(jù)題中條件，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因為，，所以，；又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故選：A【題目點撥】本題主要考查由基本不等式求最值，熟記基本不等式即可，屬于基礎(chǔ)題型.11、C【解題分析】

先求得集合的補集，然后求其與集合的交集.【題目詳解】依題意，故，故選C.【題目點撥】本小題主要考查集合補集的運算，考查集合交集的運算，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】

先利用正弦定理解出c，再利用的余弦定理解出b【題目詳解】所以【題目點撥】本題考查正余弦定理的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：由極坐標方程可得或，化為直角坐標方程即可.詳解：由極坐標方程可得或，，即或即答案為或.點睛：本題考查極坐標與直角坐標的互化，屬基礎(chǔ)題.14、2【解題分析】

根據(jù)題意，設(shè)滿足條件的一個等差數(shù)列首項為a1，公差為d，d∈N*.確定d的可能取值為1，2，3，【題目詳解】根據(jù)題意，設(shè)滿足條件的一個等差數(shù)列首項為a1，公差為d，必有d∈則a5=a則d的可能取值為1，2，3，…，1．對于給定的d，a1=a5-4d≤30-4d，當(dāng)a1分別取1，2，3，(如：d=1時，a1≤26，當(dāng)a1分別取1，2，3，可得遞增等差數(shù)列26個：1，2，3，4，5；2，3，…，6；…；26，21，…，30，其它同理)．當(dāng)d取1，2，3，…，1時，可得符合要求的等差數(shù)列的個數(shù)為：12故答案為：2．【題目點撥】本題主要考查了合情推理，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)，關(guān)鍵是確定d的取值范圍，屬于難題.15、【解題分析】試題分析：這是的道古典概率題，其基本事件有共4個，由于是任意選取的，所以每個基本事件發(fā)生的可能性是相等的，記事件A為“所選三條線段能構(gòu)成三角形”，則事件A包含2個基本事件，根據(jù)概率公式得：．考點：古典概率的計算16、【解題分析】

利用復(fù)數(shù)相等的條件和復(fù)數(shù)的模運算可以求得.【題目詳解】由復(fù)數(shù)相等得：解得：故答案為【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)相等和復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）由為參數(shù)），消去參數(shù)，得曲線的普通方程，然后利用伸縮與平移變換可得的普通方程；（2）分別把代入與的極坐標方程，求得，的值，則的值可求．【題目詳解】（1）將代入直線l的方程，得：化簡得直線l的極坐標方程為.由曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)得曲線C的普通方程為：，伸縮變換，即，代入，得，即故曲線的普通方程為：.（2）由（1）將曲線的普通方程化為極坐標方程為，將（）代入，得，將（）代入得，故.【題目點撥】本題考查參數(shù)方程與普通方程，以及極坐標方程與直角坐標方程的互化，考查直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用，著重考查了運算與求解能力，是中檔題．18、（1），（2）【解題分析】

（1）由三角函數(shù)的輔助角公式，得，求得，又由為對稱軸，求得，進而得到則，得出函數(shù)的解析式，即可求解函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由（1）和，求得，在利用正弦定理，化簡得，利用角的范圍，即可求解答案．【題目詳解】（1），所以.因為為對稱軸，所以，即，則，則，所以.令，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2），所以，則，由正弦定理得，為外接圓半徑，所以，∵，，．【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，以及正弦定理的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題設(shè)條件求解函數(shù)的解析式，熟記三角函數(shù)的恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．19、（1）；（2）矩陣A的特征值為，3，分別對應(yīng)的一個特征值為，；（3）【解題分析】

（1）直接利用矩陣的乘法運算即可；（2）利用特征多項式計算即可；（3）先計算出，再利用計算即可得到答案.【題目詳解】（1）由題意知，，則，解得.（2）由（1）知，矩陣A的特征多項式，令，得到A的特征值為，.將代入方程組，解得，所以矩陣A的屬于特征值的一個特征向量為.再將代入方程組，解得，所以矩陣A的屬于特征值3的一個特征向量為.綜上，矩陣A的特征值為，3，分別對應(yīng)的一個特征值為，.（3）設(shè)，即，所以，解得，所以，所以.【題目點撥】本題考查矩陣的乘法、特征值、特征向量，考查學(xué)生的基本計算能力，是一道中檔題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析【解題分析】

（Ⅰ）由曲線在點處的切線平行于軸，可得，從而得到答案；（Ⅱ）令函數(shù)，要證，即證，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可。【題目詳解】（Ⅰ）由題可得;，由于曲線在點處的切線平行于軸，得，即，解得：；（Ⅱ）當(dāng)時，，要證明，即證：；令，求得；令，解得：，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，從而?！绢}目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，屬于中檔題。21、（1）(x－2)2＋y2＝4；；（2）2＋.【解題分析】

（1）圓C的極坐標方程化為直角坐標方程，直線l的參數(shù)方程代入圓C的的直角坐標方程，利用直線參數(shù)方程的幾何意義，即可求解；（2）要求△ABP的面積的最大值，只需求出點P到直線l距離的最大值，將點P坐標設(shè)為圓方程的參數(shù)形式，利用點到直線的距離公式以及三角函數(shù)的有界性，即可求解.【題目詳解】(1)由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2－4x＝0，所以圓C的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4.設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2.將直線l的參數(shù)方程代入圓C：(x－2)2＋y2＝4，并整理得t2＋t＝0，解得t1＝0，t2＝－.所以直線l被圓C截得的弦AB的長為|t1－t2|＝.(2)由題意得，直線l的普通方程為x－y－4＝0.圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，可設(shè)圓C上的動點P(2＋2cosθ，2sinθ)，則點P到直線l的距離d＝，當(dāng)＝－1時，d取得最大值，且d的最大值為2＋.所以S△ABP＝××(2＋)＝2＋，即△ABP的面積的最大值為2＋.【題目點撥】本題考查