云南省曲靖市會澤縣第一中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末考試試題含解析

云南省曲靖市會澤縣第一中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末考試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若向量，滿足，與的夾角為，則等于（）A． B． C．4 D．122．焦點為且與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線方程是A． B． C． D．3．雙曲線的焦點坐標是A． B． C． D．4．在如圖所示的計算的值的程序框圖中，判斷框內(nèi)應填入A． B． C． D．5．下列說法中正確的是（）①相關(guān)系數(shù)用來衡量兩個變量之間線性關(guān)系的強弱，越接近于，相關(guān)性越弱；②回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心；③隨機誤差滿足，其方差的大小用來衡量預報的精確度；④相關(guān)指數(shù)用來刻畫回歸的效果，越小，說明模型的擬合效果越好.A．①② B．③④ C．①④ D．②③6．某學校有男、女學生各500名.為了解男女學生在學習興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學生中抽取100名學生進行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是（）A．抽簽法 B．隨機數(shù)法 C．系統(tǒng)抽樣法 D．分層抽樣法7．已知函數(shù)且，則的值為()A．1 B．2 C． D．-28．已知i是虛數(shù)單位，m,n∈R，且m+i=1+ni，則＝()A．i B．1 C．－i D．－19．過點且與平行的直線與圓：交于，兩點，則的長為（）A． B． C． D．10．已知復數(shù)z=2+i，則A． B． C．3 D．511．把邊長為的正沿邊上的高線折成的二面角,則點到的距離是()A． B． C． D．12．已知直線（t為參數(shù)）與圓相交于B、C兩點，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則=________.14．隨機變量的概率分布為，其中是常數(shù)，則__________．15．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是______．16．在平面幾何中有如下結(jié)論：若正三角形的內(nèi)切圓周長為，外接圓周長為，則.推廣到空間幾何可以得到類似結(jié)論：若正四面體的內(nèi)切球表面積為，外接球表面積為，則__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，質(zhì)點P的起點為坐標原點,每秒沿格線向右或向上隨機移動一個單位長.（1）求經(jīng)過3秒后，質(zhì)點P恰在點（1,2）處的概率；（2）定義：點（x,y）的“平方距離”為.求經(jīng)過5秒后，質(zhì)點P的“平方距離”的概率分布和數(shù)學期望.18．（12分）已知函數(shù)，且當時，取得極值為.（1）求的解析式；（2）若關(guān)于的方程在上有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，求的取值范圍．20．（12分）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點的收費標準是每車每次租不超過兩小時免費，超過兩小時的收費標準為2元（不足1小時的部分按1小時計算）.有人獨立來該租車點則車騎游.各租一車一次.設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為；兩人租車時間都不會超過四小時.（Ⅰ）求出甲、乙所付租車費用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量，求的分布列與數(shù)學期望21．（12分）設(shè)函數(shù).（1）求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（2）求該函數(shù)在上的最小值．22．（10分）如圖，在四棱錐中，是邊長為2的正方形，平面平面，直線與平面所成的角為，.（1）若，分別為，的中點，求證：直線平面；（2）求二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

將平方后再開方去計算模長，注意使用數(shù)量積公式.【題目詳解】因為，所以，故選：B.【題目點撥】本題考查向量的模長計算，難度一般.對于計算這種形式的模長，可通過先平方再開方的方法去計算模長.2、A【解題分析】

根據(jù)題目要求解的雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且焦點在y軸上可知，設(shè)雙曲線的方程為，將方程化成標準形式，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，求解出的值，即可求出答案．【題目詳解】由題意知，設(shè)雙曲線的方程為，化簡得．解得．所以雙曲線的方程為，故答案選A．【題目點撥】本題主要考查了共漸近線的雙曲線方程求解問題,共漸近線的雙曲線系方程與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為，若，則雙曲線的焦點在x軸上，若，則雙曲線的焦點在y軸上．3、C【解題分析】分析：由題意求出，則，可得焦點坐標詳解：由雙曲線，可得，故雙曲線的焦點坐標是選C.點睛：本題考查雙曲線的焦點坐標的求法，屬基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】程序運行過程中，各變量值如下表所示：第一圈：S=0+1，i=5，第二圈：S=1+3，i=9，第三圈：S=1+3+5，i=13，…依此類推，第503圈：1+3+5+…+2013，i=2017，退出循環(huán)，其中判斷框內(nèi)應填入的條件是：i?2013，本題選擇D選項.5、D【解題分析】

運用相關(guān)系數(shù)、回歸直線方程等知識對各個選項逐一進行分析即可【題目詳解】①相關(guān)系數(shù)用來衡量兩個變量之間線性關(guān)系的強弱，越接近于，相關(guān)性越強，故錯誤②回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心，故正確③隨機誤差滿足，其方差的大小用來衡量預報的精確度，故正確④相關(guān)指數(shù)用來刻畫回歸的效果，越大，說明模型的擬合效果越好，故錯誤綜上，說法正確的是②③故選【題目點撥】本題主要考查的是命題真假的判斷，運用相關(guān)知識來進行判斷，屬于基礎(chǔ)題6、D【解題分析】試題分析：由于樣本中男生與女生在學習興趣與業(yè)余愛好方面存在差異性，因此所采用的抽樣方法是分層抽樣法，故選D.考點：抽樣方法.7、D【解題分析】分析：首先對函數(shù)求導，然后結(jié)合題意求解實數(shù)a的值即可.詳解：由題意可得：，則，據(jù)此可知：.本題選擇D選項.點睛：本題主要考查導數(shù)的運算法則及其應用，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.8、A【解題分析】

先根據(jù)復數(shù)相等得到的值，再利用復數(shù)的四則混合運算計算.【題目詳解】因為，所以，則.故選A.【題目點撥】本題考查復數(shù)相等以及復數(shù)的四則混合運算，難度較易.對于復數(shù)的四則混合運算，分式類型的復數(shù)式子，采用分母實數(shù)化計算更加方便.9、D【解題分析】

由題意可得直線，求得圓心到直線距離，再由弦長公式即可求解【題目詳解】設(shè)直線過點，可得，則直線圓的標準方程為，圓心為，圓心到直線距離，，故選D【題目點撥】本題考查用設(shè)一般方程求平行直線方程以及幾何法求圓的弦長問題10、D【解題分析】

題先求得，然后根據(jù)復數(shù)的乘法運算法則即得.【題目詳解】∵故選D.【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的運算法則，共軛復數(shù)的定義等知識，屬于基礎(chǔ)題..11、D【解題分析】

取中點，連接，根據(jù)垂直關(guān)系可知且平面，通過三線合一和線面垂直的性質(zhì)可得，，從而根據(jù)線面垂直的判定定理知平面，根據(jù)線面垂直性質(zhì)知，即為所求距離；在中利用勾股定理求得結(jié)果.【題目詳解】取中點，連接，如下圖所示：為邊上的高，即為二面角的平面角，即且平面為正三角形為正三角形又為中點平面，平面又平面即為點到的距離又，本題正確選項：【題目點撥】本題考查立體幾何中點到直線距離的求解，關(guān)鍵是能夠通過垂直關(guān)系在立體圖形中找到所求距離，涉及到線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應用，屬于中檔題.12、B【解題分析】

根據(jù)參數(shù)方程與普通方程的互化方法，然后聯(lián)立方程組，通過弦長公式，即可得出結(jié)論．【題目詳解】曲線（為參數(shù)），化為普通方程，將代入，可得，∴，故選B．【題目點撥】本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標方程化為直角坐標方程的方法，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解題分析】，所以點睛：分段函數(shù)的考查方向注重對應性，即必須明確不同的自變量所對應的函數(shù)解析式是什么.函數(shù)周期性質(zhì)可以將未知區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上.解決此類問題時，要注意區(qū)間端點是否取到及其所對應的函數(shù)值，尤其是分段函數(shù)結(jié)合點處函數(shù)值.14、【解題分析】

根據(jù)隨機變量分布列概率和為1求出，求出，再由方差性質(zhì)，即可求解.【題目詳解】由題意得，則，∴，，，則，，∴.故答案為:【題目點撥】本題考查離散型隨機變量分布列性質(zhì)、期望、方差以及方差的性質(zhì)，考查計算求解能力，屬于中檔題.15、【解題分析】分析：先求出函數(shù)的定義域，函數(shù)的導函數(shù)，令導函數(shù)小于0求出的范圍，寫成區(qū)間形式，可得到函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.詳解：函數(shù)的定義域為，，令，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故答案為.點睛：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于簡單題.利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟為：求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間.16、【解題分析】分析：平面圖形類比空間圖形,二維類比三維得到,類比平面幾何的結(jié)論,確定正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比,即可求得結(jié)論.詳解：平面幾何中，圓的周長與圓的半徑成正比，而在空間幾何中，球的表面積與半徑的平方成正比，因為正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比是，，故答案為.點睛：本題主要考查類比推理，屬于中檔題.類比推理問題，常見的類型有：（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比；（2）平面與空間的類比；（3）橢圓與雙曲線的類比；（4）復數(shù)與實數(shù)的類比；（5）向量與數(shù)的類比.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解題分析】

（1）通過分析到達點（1,2）處的可能，通過獨立重復性試驗概率公式可得答案；（2）的可能取值為13,17,25，分別計算概率，于是可得分布列和數(shù)學期望.【題目詳解】（1）經(jīng)過3秒后，質(zhì)點P恰在點（1,2）處可由三種情況得到：，，，每一種情況的概率為：，故質(zhì)點P恰在點（1,2）處的概率為；（2）由題意的可能取值為13,17,25；而，，，故的概率分布列為：131725P所以數(shù)學期望.【題目點撥】本題主要考查獨立性重復性試驗的概率計算，分布列與數(shù)學期望，意在考查學生的分析能力，計算能力和邏輯推理能力.18、（1）（2）【解題分析】分析：(1)先根據(jù)導數(shù)幾何意義得，再與函數(shù)值聯(lián)立方程組解得的解析式；(2)先化簡方程得，再利用導數(shù)研究函數(shù)在上單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖像確定條件，解得結(jié)果.詳解：（1），由題意得，，即，解得，∴.（2）由有兩個不同的實數(shù)解，得在上有兩個不同的實數(shù)解，設(shè)，由，由，得或，當時，，則在上遞增，當時，，則在上遞減，由題意得，即，解得，點睛：涉及函數(shù)的零點問題、方程解的個數(shù)問題、函數(shù)圖像交點個數(shù)問題，一般先通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，再借助函數(shù)的大致圖象判斷零點、方程根、交點的情況，歸根到底還是研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值，然后通過數(shù)形結(jié)合的思想找到解題的思路.19、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）對求導并因式分解，對分成四種情況，討論函數(shù)的單調(diào)性.（2）先將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為，當時，，符合題意.當時，由分離常數(shù)得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求得的值域，由此求得的取值范圍.【題目詳解】解：（1），①當時，，令得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．②當時，由，當時，；當時，，故，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，增區(qū)間為，沒有減區(qū)間．③當時，令得或，此時函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為．④當時，令得：或，此時函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為．（2）由①當時，，符合題意；②當時，若，有，得令，有，故函數(shù)為增函數(shù)，，故，由上知實數(shù)的取值范圍為．【題目點撥】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導數(shù)研究不等式恒成立問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查分類討論的數(shù)學思想方法，綜合性很強，屬于難題.20、（Ⅰ）（Ⅱ）ξ

0

2

4

6

8

P

數(shù)學期望Eξ=×2+×4+×6+×8=【解題分析】（1）由題意得，甲，乙在三小時以上且不超過四小時還車的概率分別為．記甲、乙兩人所付得租車費用相同為事件，則．所以甲、乙兩人所付租車費用相同的概率為．（2）的可能取值為0，2，4，6，8，，，，分布列如下表：

0

2

4

6

8

考點：離散型隨機變量的分布列及概率．21、（1）遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）-10【解題分析】

（1），解得單調(diào)區(qū)間即可；（2）由(1)的單調(diào)性知,在上的最小值只可能在處取,代入求值即可【題目詳解】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.(2)由(1)的單調(diào)性知,在上的最小值只可能在處取,在上的最小值為.【題目點撥】本題考查導數(shù)的綜合運用：求單調(diào)區(qū)間，極值，最值，考查運算能力，屬于中檔題．22、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

（1）由平面平面得到平面，從而，根據(jù)，得到平面，得到，結(jié)合，得到平面；（2）為原點，建立空間坐標系，得到平面和平面的法向量