廣東省揭陽普寧市2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

廣東省揭陽普寧市2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在平行四邊形中，為線段的中點(diǎn)，若，則（）A． B． C． D．2．在二項(xiàng)式的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）．A． B． C． D．3．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過右焦點(diǎn)作實(shí)軸的垂線交雙曲線于，兩點(diǎn)，若是直角三角形，則雙曲線的離心率為()A． B． C． D．4．設(shè)為虛數(shù)單位，則的展開式中含的項(xiàng)為（）A． B． C． D．5．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．6．的展開式中，的系數(shù)為（）A．2 B．4 C．6 D．87．乘積可表示為（）A． B． C． D．8．設(shè)，復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)一定不在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．已知，則中（）A．至少有一個(gè)不小于1 B．至少有一個(gè)不大于1C．都不大于1 D．都不小于110．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：按照上面的規(guī)律，第個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為（）A． B．C． D．11．若點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則被所平分的弦所在的直線方程是，通過類比的方法，可求得：被所平分的雙曲線的弦所在的直線方程是（）A． B．C． D．12．已知，若的必要條件是，則a，b之間的關(guān)系是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，，則的最小值是__________14．將紅、黃、藍(lán)三種顏色的三顆棋子分別放入方格圖中的三個(gè)方格內(nèi)，如圖，要求任意兩顆棋子不同行、不同列，且不在方格圖所在正方形的同一條對角線上，則不同放法共有________種.15．設(shè)集合，，則_______.16．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則的實(shí)部為____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，，，，，后得到如圖的頻率分布直方圖．（1）求圖中實(shí)數(shù)的值；（2）若該校高一年級(jí)共有學(xué)生1000人，試估計(jì)該校高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù)．（3）若從樣本中數(shù)學(xué)成績在，與，兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生，試用列舉法求這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值大于10的槪率．18．（12分）已知函數(shù)，.（1）求的值；（2）求的最小正周期；（3）求的最大值及取得最大值的x的集合.19．（12分）已知函數(shù)（其中，為自然對數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）若函數(shù)無極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：．20．（12分）已知函數(shù)．（1）若曲線在處切線的斜率為，求此切線方程；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍，并證明：．21．（12分）已知橢圓，為右焦點(diǎn)，圓，為橢圓上一點(diǎn)，且位于第一象限，過點(diǎn)作與圓相切于點(diǎn)，使得點(diǎn)，在的兩側(cè).（Ⅰ）求橢圓的焦距及離心率；（Ⅱ）求四邊形面積的最大值.22．（10分）已知函數(shù)f(x)＝3x，f(a＋2)＝81，g(x)＝.(1)求g(x)的解析式并判斷g(x)的奇偶性；(2)求函數(shù)g(x)的值域.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：利用向量的平行四邊形法則，向量共線定理即可得出.詳解：，，故選：B.點(diǎn)睛：(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．2、C【解題分析】

利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為4求得．【題目詳解】解：對于，對于10﹣3r＝4，∴r＝2，則x4的項(xiàng)的系數(shù)是C52（﹣1）2＝10故選．點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)展開式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡單題.二項(xiàng)展開式定理的問題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開式定理的應(yīng)用.3、B【解題分析】分析：由題意結(jié)合雙曲線的結(jié)合性質(zhì)整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由雙曲線的對稱性可知：，則為等腰直角三角形，故，由雙曲線的通徑公式可得：，據(jù)此可知：，即，整理可得：，結(jié)合解方程可得雙曲線的離心率為：.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．4、A【解題分析】

利用二項(xiàng)展開式，當(dāng)時(shí)，對應(yīng)項(xiàng)即為含的項(xiàng).【題目詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理中的通項(xiàng)公式，求解時(shí)注意，防止出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤.5、D【解題分析】因?yàn)?，由題設(shè)可得在上恒成立，令，則，又，且，故，所以問題轉(zhuǎn)化為不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立．令函數(shù)，則，應(yīng)選答案D．點(diǎn)睛：本題的求解過程自始至終貫穿著轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是第一個(gè)轉(zhuǎn)化過程，換元是第二個(gè)轉(zhuǎn)化過程；構(gòu)造二次函數(shù)是第三個(gè)轉(zhuǎn)化過程，也就是說為達(dá)到求出參數(shù)的取值范圍，求解過程中大手筆地進(jìn)行三次等價(jià)的轉(zhuǎn)化與化歸，從而使得問題的求解化難為易、化陌生為熟悉、化繁為簡，彰顯了數(shù)學(xué)思想的威力．6、D【解題分析】

由題意得到二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，進(jìn)而可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)榈恼归_式的第項(xiàng)為，令，則，所以的系數(shù)為8.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查求指定項(xiàng)的系數(shù)問題，熟記二項(xiàng)式定理即可，屬于?？碱}型.7、A【解題分析】

根據(jù)對排列公式的認(rèn)識(shí)，進(jìn)行分析，解答即可【題目詳解】最大數(shù)為，共有個(gè)自然數(shù)連續(xù)相乘根據(jù)排列公式可得故選【題目點(diǎn)撥】本題是一道比較基礎(chǔ)的題型，主要考查的是排列與組合的理解，掌握排列數(shù)的公式是解題的關(guān)鍵8、C【解題分析】

在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)考查點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的正負(fù),分情況討論即可.【題目詳解】由題得,在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)為.當(dāng),即時(shí),二次函數(shù)取值范圍有正有負(fù),故在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)可以在一二象限.當(dāng),即時(shí),二次函數(shù),故在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)可以在第四象限.故在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)一定不在第三象限.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)平面的基本定義與根據(jù)參數(shù)范圍求解函數(shù)范圍的問題,屬于基礎(chǔ)題型.9、B【解題分析】

用反證法證明，假設(shè)同時(shí)大于，推出矛盾得出結(jié)果【題目詳解】假設(shè)，，，三式相乘得，由，所以，同理，，則與矛盾，即假設(shè)不成立，所以不能同時(shí)大于，所以至少有一個(gè)不大于，故選【題目點(diǎn)撥】本題考查的是用反證法證明數(shù)學(xué)命題，把要證的結(jié)論進(jìn)行否定，在此基礎(chǔ)上推出矛盾，是解題的關(guān)鍵，同時(shí)還運(yùn)用了基本不等式，本題較為綜合10、D【解題分析】

由圖形間的關(guān)系可以看出，每多出一個(gè)小金魚，則要多出6根火柴棒，則火柴棒的個(gè)數(shù)組成了一個(gè)首項(xiàng)是8，公差是6的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)，求出第n項(xiàng)的火柴根數(shù)即可．【題目詳解】由圖形間的關(guān)系可以看出，每多出一個(gè)小金魚，則要多出6根火柴棒，第一個(gè)圖中有8根火柴棒組成，第二個(gè)圖中有8+6個(gè)火柴棒組成，第三個(gè)圖中有8+1×6個(gè)火柴組成，以此類推：組成n個(gè)系列正方形形的火柴棒的根數(shù)是8+6（n﹣1）∴第n個(gè)圖中的火柴棒有6n+1．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查歸納推理，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是看清隨著小金魚的增加，火柴的根數(shù)的變化趨勢，屬于基礎(chǔ)題．11、A【解題分析】

通過類比的方法得到直線方程是，代入數(shù)據(jù)得到答案.【題目詳解】所平分的弦所在的直線方程是，通過類比的方法，可求得雙曲線的所平分的弦所在的直線方程是代入數(shù)據(jù)，得到：故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了類比推理，意在考查學(xué)生的推理能力.12、A【解題分析】試題分析：不等式的解集為，不等式的解集為，根據(jù)題意可知是的子集，所以有，故選A．考點(diǎn)：絕對值不等式，充要條件的判斷．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

計(jì)算導(dǎo)數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而判斷原函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知：令，則由，所以所以，則在遞減所以，又則所以函數(shù)在遞增所以所以故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)在區(qū)間的最值，難點(diǎn)在于構(gòu)造函數(shù)二次求導(dǎo)，注意細(xì)節(jié)，需要通過判斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)情況才能代值計(jì)算，考查對問題的分析能力，屬中檔題.14、【解題分析】

根據(jù)題意，用間接法分析，先計(jì)算三顆棋子分別放入方格圖中的三個(gè)方格內(nèi)任意兩顆棋子不同行、不同列的放法數(shù)目，再排除其中在同一條對角線上的數(shù)目，分析即可得出答案.【題目詳解】解：根據(jù)題意，用間接法分析：若三顆棋子分別放入方格圖中的三個(gè)方格內(nèi)，且任意兩顆棋子不同行、不同列，第一顆棋子有種放法，第二顆棋子有種放法，第三顆棋子有種放法，則任意兩顆棋子不同行、不同列的放法有種，其中在正方形的同一條對角線上的放法有種，則滿足題意的放法有種.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

解出集合中的方程，然后直接求【題目詳解】解：由已知，故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的交集運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.16、；【解題分析】

對復(fù)數(shù)進(jìn)行四運(yùn)算，化簡成，求得的實(shí)部.【題目詳解】因?yàn)?，所以的?shí)部為.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及實(shí)部概念.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）a=0.1．（2）850（人）．（3）．【解題分析】試題分析：（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)能求出的值；（2）先求出數(shù)學(xué)成績不低于分的概率，由此能求出數(shù)學(xué)成績不低于分的人數(shù)；（3）數(shù)學(xué)成績在的學(xué)生為分，數(shù)學(xué)成績在的學(xué)生人數(shù)為人，由此利用列舉法能求出這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值大于的概率．試題解析：（1）由頻率分布直方圖，得：0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1，解得a=0.1.（2）數(shù)學(xué)成績不低于60分的概率為：0.2+0.3+0.25+0.1=0.85，∴數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù)為：1000×0.85=850（人）．（3）數(shù)學(xué)成績在[40，50）的學(xué)生為40×0.05=2（人），數(shù)學(xué)成績在[90，100]的學(xué)生人數(shù)為40×0.1=4（人），設(shè)數(shù)學(xué)成績在[40，50）的學(xué)生為A，B，數(shù)學(xué)成績在[90，100]的學(xué)生為a，b，c，d，從樣本中數(shù)學(xué)成績在[40，50）與[90，100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生，基本事件有：{AB}，{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，{ab}，{ac}，{ad}，{bc}，{bd}，{c，d}，其中兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值大于10的情況有：{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，共8種，∴這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值大于10的槪率為．考點(diǎn)：頻率分布直方圖；古典概型及其概率的求解．18、（1）0；（2）最小正周期為；（3）最大值為2，取得最大值的x的集合為.【解題分析】

（1）直接代入求值；（2）運(yùn)用輔助角公式化簡函數(shù)解析式，運(yùn)用最小正周期公式求解即可；（3）由（2）可知函數(shù)化簡后的解析式，可利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，可以求出函數(shù)的最大值以及此時(shí)x的集合.【題目詳解】（1）；（2）；最小正周期為；（3）因?yàn)?；所以?dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)的最大值為2，取得最大值的x的集合為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦型函數(shù)的最小正周期和最大值問題，運(yùn)用輔助角公式是解題的關(guān)鍵.19、（1）實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）見解析.【解題分析】分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)無極值，所以在上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減.即或在時(shí)恒成立，求導(dǎo)分析整理即可得到答案；（2）由（Ⅰ）可知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即.欲證，只需證即可，構(gòu)造函數(shù)=（），求導(dǎo)分析整理即可.詳解：（Ⅰ）函數(shù)無極值，在上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減.即或在時(shí)恒成立；又，令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，顯然不成立；所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即.欲證，只需證即可.構(gòu)造函數(shù)=（），則恒成立，故在單調(diào)遞增，從而.即，亦即.得證.點(diǎn)睛：可以從所證不等式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合已有的知識(shí)利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而使不等式得到證明，其一般步驟是：構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)→研究單調(diào)性或最值→得出不等關(guān)系→整理得出結(jié)論．20、（1）；（2）,證明見解析.【解題分析】

（1）在處切線的斜率為，即，得出，計(jì)算f(e)，即可出結(jié)論（2）①有兩個(gè)極值點(diǎn)得=0有兩個(gè)不同的根，即有兩個(gè)不同的根，令，利用導(dǎo)數(shù)求其范圍，則實(shí)數(shù)a的范圍可求；有兩個(gè)極值點(diǎn)，利用在(e,+∞)遞減，，即可證明【題目詳解】（1）∵，∴，