2024屆甘肅省酒泉市敦煌中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2024屆甘肅省酒泉市敦煌中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．?dāng)?shù)列an中，則anA．3333 B．7777 C．33333 D．777772．設(shè)隨機(jī)變量，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是（）（注：若，則，）A．7539 B．7028 C．6587 D．60383．設(shè)實(shí)數(shù)，則下列不等式一定正確的是()A． B．C． D．4．如圖分別是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，和是以為圓心，以為半徑的圓與該左半橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，且是等邊三角形，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．5．設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若13a=7b，則m＝()A．5 B．6 C．7 D．86．某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過(guò)切削，加工成一個(gè)體積盡可能大的長(zhǎng)方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（）（）A． B． C． D．7．有不同的語(yǔ)文書(shū)9本，不同的數(shù)學(xué)書(shū)7本，不同的英語(yǔ)書(shū)5本，從中選出不屬于同一學(xué)科的書(shū)2本，則不同的選法有A．21種B．315種C．153種D．143種8．已知的三邊滿足條件，則（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．在三棱錐P-ABC中，，，，若過(guò)AB的平面將三棱錐P-ABC分為體積相等的兩部分，則棱PA與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．11．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．12．設(shè)，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．當(dāng)時(shí)，等式恒成立，根據(jù)該結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，則的值為_(kāi)__________.14．已知，，則________15．已知函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則__________．16．隨機(jī)變量的分布列如下表：01Pab且，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某校從參加高二年級(jí)期末考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取了名學(xué)生，已知這名學(xué)生的歷史成績(jī)均不低于60分（滿分為100分）．現(xiàn)將這名學(xué)生的歷史成績(jī)分為四組：，，，，得到的頻率分布直方圖如圖所示，其中歷史成績(jī)?cè)趦?nèi)的有28名學(xué)生，將歷史成績(jī)?cè)趦?nèi)定義為“優(yōu)秀”，在內(nèi)定義為“良好”．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值及樣本容量；（Ⅱ）根據(jù)歷史成績(jī)是否優(yōu)秀，利用分層抽樣的方法從這名學(xué)生中抽取5名，再?gòu)倪@5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，求這2名學(xué)生的歷史成績(jī)均優(yōu)秀的概率；（Ⅲ）請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為歷史成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)？男生女生合計(jì)優(yōu)秀良好20合計(jì)60參考公式及數(shù)據(jù)：（其中）.18．（12分）設(shè)為正整數(shù)，展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，與滿足（1）求的值；（2）求的展開(kāi)式中的系數(shù)。19．（12分）觀察以下等式：13＝1213+23＝（1+2）213+23+33＝（1+2+3）213+23+33+43＝（1+2+3+4）2（1）請(qǐng)用含n的等式歸納猜想出一般性結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．（2）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an＝n3+n，求S1．20．（12分）2018年6月14日，第二十一屆世界杯尼球賽在俄羅斯拉開(kāi)了帷幕，某大學(xué)在二年級(jí)作了問(wèn)卷調(diào)查,從該校二年級(jí)學(xué)生中抽取了人進(jìn)行調(diào)查,其中女生中對(duì)足球運(yùn)動(dòng)有興趣的占，而男生有人表示對(duì)足球運(yùn)動(dòng)沒(méi)有興趣.（1）完成列聯(lián)表,并回答能否有的把握認(rèn)為“對(duì)足球是否有興趣與性別有關(guān)”？有興趣沒(méi)有興趣合計(jì)男女合計(jì)（2）若將頻率視為概率,現(xiàn)再?gòu)脑撔６昙?jí)全體學(xué)生中,采用隨機(jī)抽樣的方法每飲抽取名學(xué)生,抽取次，記被抽取的名學(xué)生中對(duì)足球有興趣的人數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附:21．（12分）已知分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)為，且的周長(zhǎng)為，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.（1）求橢圓的方程；（2）已知，若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求.22．（10分）已知數(shù)列中，，。（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和。

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

分別計(jì)算a1、a2、a3歸納出an的表達(dá)式，然后令【題目詳解】∵an=11?1︸a3猜想，對(duì)任意的n∈N*，an=11?1【題目點(diǎn)撥】本題考查歸納推理，解歸納推理的問(wèn)題的思路就由特殊到一般，尋找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律進(jìn)行歸納，考查邏輯推理能力，屬于中等題。2、C【解題分析】

由題意正方形的面積為，再根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，求得陰影部分的面積，利用面積比的幾何概型求得落在陰影部分的概率，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意知，正方形的邊長(zhǎng)為1，所以正方形的面積為又由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)分布密度曲線關(guān)于對(duì)稱，且，又由，即，所以陰影部分的面積為，由面積比的幾何概型可得概率為，所以落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)，以及面積比的幾何概型的應(yīng)用，其中解答中熟記正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)，準(zhǔn)確求得落在陰影部分的概率是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解題分析】

對(duì)4個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【題目詳解】解：由于a＞b＞0，，A錯(cuò)；當(dāng)0＜c＜1時(shí)，ca＜cb；當(dāng)c＝1時(shí)，ca＝cb；當(dāng)c＞1時(shí)，ca＞cb，故ca＞cb不一定正確，B錯(cuò)；a＞b＞0，c＞0，故ac﹣bc＞0，C錯(cuò)．，D對(duì)；故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．4、D【解題分析】

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，結(jié)合橢圓離心率的取值范圍，即可求得橢圓的離心率．【題目詳解】由題意知A，把A代入橢圓(a＞b＞0)，得，∴，整理，得，∴，∵0＜e＜1，∴，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．5、B【解題分析】試題分析：由題意可知,,,即,,解得．故B正確．考點(diǎn)：1二項(xiàng)式系數(shù)；2組合數(shù)的運(yùn)算．6、A【解題分析】試題分析：分析題意可知，問(wèn)題等價(jià)于圓錐的內(nèi)接長(zhǎng)方體的體積的最大值，設(shè)長(zhǎng)方體體的長(zhǎng)，寬，高分別為，，，長(zhǎng)方體上底面截圓錐的截面半徑為，則，如下圖所示，圓錐的軸截面如圖所示，則可知，而長(zhǎng)方體的體積，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)利用率為，故選A.考點(diǎn)：1.圓錐的內(nèi)接長(zhǎng)方體；2.基本不等式求最值.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中的最值問(wèn)題，與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，立意新穎，屬于較難題，需要考生從實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中提取出相應(yīng)的幾何元素，再利用基本不等式求解，解決此類問(wèn)題的兩大核心思路：一是化立體問(wèn)題為平面問(wèn)題，結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識(shí)求解；二是建立目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)思想，選擇合理的變量，或利用導(dǎo)數(shù)或利用基本不等式，求其最值.7、D【解題分析】由題意，選一本語(yǔ)文書(shū)一本數(shù)學(xué)書(shū)有9×7=63種，選一本數(shù)學(xué)書(shū)一本英語(yǔ)書(shū)有5×7=35種，選一本語(yǔ)文書(shū)一本英語(yǔ)書(shū)有9×5=45種，∴共有63+45+35=143種選法.故選D.8、D【解題分析】

由題意首先求得的值，然后確定的大小即可.【題目詳解】由可得：，則，據(jù)此可得.本題選擇D選項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查余弦定理及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.9、C【解題分析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為來(lái)求解，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】，，令，則.，其中，且函數(shù)單調(diào)遞增.①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的,，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，合乎題意；②當(dāng)時(shí)，令，得，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.此時(shí)，函數(shù)在處取得最小值，則，不合乎題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用函數(shù)的在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，解題時(shí)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)處理，然后利用參變量分離法或分類討論思想轉(zhuǎn)化函數(shù)的最值求解，屬于?？碱}，屬于中等題。10、A【解題分析】

由題構(gòu)建圖像，由，想到取PC中點(diǎn)構(gòu)建平面ABD，易證得平面ABD，所以PA與平面所成角即為，利用正弦函數(shù)定義，得答案.【題目詳解】如圖所示，取PC中點(diǎn)為D連接AD，BD，因?yàn)檫^(guò)AB的平面將三棱錐P-ABC分為體積相等的兩部分，所以即為平面ABD；又因?yàn)?，所以，又，所以，且，所以平面ABD，所以PA與平面所成角即為，因?yàn)?，所以，所以．故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查立體幾何中求線面角，應(yīng)優(yōu)先作圖，找到或證明到線面垂直，即可表示線面角，屬于較難題.11、C【解題分析】

根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo).【題目詳解】由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算得到，根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)定義可求得結(jié)果.【題目詳解】，.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的求解，涉及到復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】

由，可得，，結(jié)合已知等式將代數(shù)式將代數(shù)式展開(kāi)，可求出的值.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，得，，所以，所以，，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查恒等式的應(yīng)用，解題時(shí)要充分利用題中的等式，結(jié)合分類討論求解，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.14、【解題分析】

先用同角三角函數(shù)平方和關(guān)系求出，再利用商關(guān)系求出，最后利用二倍角的正切公式求出的值.【題目詳解】因?yàn)?，，所以?【題目點(diǎn)撥】本題考查了同角三角函數(shù)的平方和關(guān)系和商關(guān)系，考查了二倍角的正切公式.15、-3【解題分析】

先判斷函數(shù)的奇偶性，再由題得,化簡(jiǎn)即得m的值.【題目詳解】因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故，所以.故答案為：-3.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷和函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

先由及概率和為1，解得，再利用方差公式計(jì)算.【題目詳解】解：因?yàn)?，又?/p>

所以，.

故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)方差的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見(jiàn)解析.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)頻率之和為1即可求出a的值，由歷史成績(jī)?cè)趦?nèi)的有名學(xué)生即可求出的值；（Ⅱ）根據(jù)分層抽樣具有按比例的性質(zhì)得出良好的有2人，優(yōu)秀有3人，通過(guò)列舉法求解概率；（Ⅲ）補(bǔ)充列聯(lián)表，算出，對(duì)比表格得出結(jié)論【題目詳解】（Ⅰ）由題可得，解得，又歷史成績(jī)?cè)趦?nèi)的有名學(xué)生，所以，解得．（Ⅱ）由題可得，這名學(xué)生中歷史成績(jī)良好的有名，所以抽取的名學(xué)生中歷史成績(jī)良好的有名，歷史成績(jī)優(yōu)秀的有名，記歷史成績(jī)優(yōu)秀的名學(xué)生為，，，歷史成績(jī)良好的名學(xué)生為，，從這名學(xué)生中隨機(jī)抽取名，有，，，，，，，，，，共10種情況，其中這名學(xué)生的歷史成績(jī)均優(yōu)秀的有，，，共種情況，所以這名學(xué)生的歷史成績(jī)均優(yōu)秀的概率為．（Ⅲ）補(bǔ)充完整的列聯(lián)表如下表所示：男生女生合計(jì)優(yōu)秀204060良好202040合計(jì)4060100則的觀測(cè)值，所以沒(méi)有的把握認(rèn)為歷史成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)．【題目點(diǎn)撥】本題屬于常規(guī)概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，屬于每年必考題型，主要涉及知識(shí)點(diǎn)有：頻率分布直方圖：頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積為相應(yīng)區(qū)間的頻率，所以小正方形的面積之和為1；分層抽樣：按比例；系統(tǒng)抽樣：等距離；列聯(lián)表：會(huì)列列聯(lián)表，即判斷兩者是否有關(guān)聯(lián)．18、（1）；（2）-20.【解題分析】分析：（1）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得a和b，再利用組合數(shù)的計(jì)算公式，解方程求得m的值；（2）利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可.詳解：（1）由題意知：，又（2）含的項(xiàng)：所以展開(kāi)式中的系數(shù)為點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)，一般是利用通項(xiàng)公式進(jìn)行，化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k＋1，代回通項(xiàng)公式即可．19、（1）猜想13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；證明見(jiàn)解析（2）2【解題分析】

（1）根據(jù)式子猜想出一般性結(jié)論，然后當(dāng)時(shí)，證明成立，假設(shè)時(shí)，式子也成立，然后對(duì)時(shí)的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而證明結(jié)論成立；（2）對(duì)進(jìn)行分組求和，然后根據(jù)（1）中所得到的求和公式，進(jìn)行求和計(jì)算，得到答案.【題目詳解】（1）猜想13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；證明：當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝1，等式成立；假設(shè)n＝k時(shí)，13+23+33+…+k3＝（1+2+3+…+k）2，當(dāng)n＝k+1時(shí)，13+23+33+…+k3+（k+1）3＝（1+2+3+…+k）2+（k+1）3，可得n＝k+1時(shí)，猜想也成立，綜上可得對(duì)任意的正整數(shù)n，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；（2）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an＝n3+n，S1＝（13+23+…+13）+（1+2+3+…+1）＝（1+2+…+1）2＝552+55＝2．【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的證明，數(shù)列分組求和，屬于中檔題.20、（1）有；（2）.【解題分析】分析：（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表，計(jì)算，判斷有的把握認(rèn)為“對(duì)足球有興趣與性別有關(guān)”.