甘肅省武威市涼州區(qū)2024屆數(shù)學高二第二學期期末綜合測試試題含解析

甘肅省武威市涼州區(qū)2024屆數(shù)學高二第二學期期末綜合測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知曲線在處的切線與直線平行，則的值為（）A．-3 B．-1 C．1 D．32．已知成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則等于（）A． B． C． D．或3．函數(shù)在上取得最小值時，的值為（）．A．0 B． C． D．4．在直角坐標系中，若角的終邊經過點，則（）A． B． C． D．5．如圖，設、兩點在河的兩岸，一測量者在的同側河岸邊選定一點，測出、的距離是，，，則、兩點間的距離為（）A． B． C． D．6．在三棱錐中，，二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積是（）A． B． C． D．7．定積分（）A． B． C． D．8．在區(qū)間[0,2]上隨機取兩個數(shù)x，y，則xy∈[0,2]的概率是（）．A．1-ln22B．3-2ln9．過點作曲線的切線，則切線方程為（）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，在區(qū)間內任取兩個實數(shù)，，且，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．11．函數(shù)是定義在區(qū)間上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（）A． B．C． D．12．將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，再把圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變）得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)的最大值為 B．函數(shù)的最小正周期為C．函數(shù)的圖象關于直線對稱 D．函數(shù)在區(qū)間上單調遞增二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．三個元件正常工作的概率分別為，，，將兩個元件并聯(lián)后再和串聯(lián)接入電路，如圖所示，則電路不發(fā)生故障的概率為_________．14．已知函數(shù)有兩個極值點，，且，若存在滿足等式，，且函數(shù)至多有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________．15．在中，若，則的最大值為______.16．若函數(shù)與函數(shù)的圖像有兩個不同的交點，則實數(shù)b的取值范圍是________；三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知的內角所對的邊分別為，且.（1）若，角，求角的值；（2）若的面積，，求的值.18．（12分）已知函數(shù)，其中，且曲線在點處的切線垂直于直線．（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調區(qū)間與極值．19．（12分）已知函數(shù)（1）若在區(qū)間[－2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值；（2）若函數(shù)有三個不同零點，求的取值范圍.20．（12分）某周末，鄭州方特夢幻王國匯聚了八方來客.面對該園區(qū)內相鄰的兩個主題公園“千古蝶戀”和“西游傳說”，成年人和未成年人選擇游玩的意向會有所不同.某統(tǒng)計機構對園區(qū)內的100位游客（這些游客只在兩個主題公園中二選一）進行了問卷調查.調查結果顯示，在被調查的50位成年人中，只有10人選擇“西游傳說”，而選擇“西游傳說”的未成年人有20人.(1）根據(jù)題意，請將下面的列聯(lián)表填寫完整；（2）根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，判斷是否有99%的把握認為選擇哪個主題公園與年齡有關.附參考公式與表：.21．（12分）設函數(shù)，曲線在點，（1））處的切線與軸垂直．（1）求的值；（2）若存在，使得，求的取值范圍．22．（10分）已知函數(shù)，.（1）若，求函數(shù)的圖像在點處的切線方程；（2）討論的單調性.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由導數(shù)的幾何意義求出曲線在處的切線的斜率，根據(jù)兩直線平行斜率相等即可得到的值?！绢}目詳解】因為，所以線在處的切線的斜率為，由于曲線在處的切線與直線平行，故，即，故選C．【題目點撥】本題考查導數(shù)的幾何意義，屬于基礎題2、B【解題分析】試題分析：因為成等差數(shù)列，所以因為成等比數(shù)列，所以，由得，，故選B.考點：1、等差數(shù)列的性質；2、等比數(shù)列的性質.3、D【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的單調性分析求解即可.【題目詳解】當時,.根據(jù)正弦函數(shù)的性質可知,當,即時,取得最小值.故選：D【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的最值問題,屬于基礎題.4、C【解題分析】分析：由題意角的終邊經過點，即點，利用三角函數(shù)的定義及誘導公式，即可求解結果.詳解：由題意，角的終邊經過點，即點，則，由三角函數(shù)的定義和誘導公式得，故選C.點睛：本題主要考查了三角函數(shù)的定義和三角函數(shù)誘導公式的應用，其中熟記三角函數(shù)的定義和三角函數(shù)的誘導公式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.5、A【解題分析】

利用三角形的內角和定理求出，再利用正弦定理即可求解.【題目詳解】由三角形的內角和可得，在中，由正弦定理可得，所以，故選：A【題目點撥】本題考查了正弦定理在生活中的應用，需熟記正弦定理，屬于基礎題.6、D【解題分析】

取的中點為，由二面角平面角的定義可知；根據(jù)球的性質可知若和中心分別為，則平面，平面，根據(jù)已知的長度關系可求得，在直角三角形中利用勾股定理可求得球的半徑，代入球的表面積公式可得結果.【題目詳解】取的中點為由和都是正三角形，得，則是二面角的平面角，即設球心為，和中心分別為由球的性質可知：平面，平面又，，外接球半徑：外接球的表面積為：本題正確選項：【題目點撥】本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問題，關鍵是能夠利用球的性質確定球心的大致位置，從而可利用勾股定理求解出球的半徑.7、A【解題分析】

先根據(jù)定積分的幾何意義計算定積分，即求被積函數(shù)與，所圍成的圖形的面積，在求出，可得答案.【題目詳解】解：由定積分的幾何意義可知是由曲線與，所圍成的圖形的面積，也就是單位圓的，故，，故，故選：A.【題目點撥】本題主要考查定積分的有關計算，屬于基礎題，注意運算準確.8、C【解題分析】試題分析：由題意所有的基本事件滿足0≤x≤20≤y≤2，所研究的事件滿足0≤y≤2x，畫出可行域如圖，總的區(qū)域面積是一個邊長為2的正方形，其面積為4，滿足0≤y≤2x的區(qū)域的面積為考點：幾何概型9、C【解題分析】

設出切點坐標求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)在時的導數(shù)值，即切線的斜率，然后由直線方程的點斜式得切線方程，代入已知點的坐標后求出切點的坐標，則切線方程可求．【題目詳解】由，得，

設切點為

則，

∴切線方程為，

∵切線過點，

∴?ex0＝ex0(1?x0)，

解得：．

∴切線方程為，整理得：.故選C.．【題目點撥】本題考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點的切線方程，過曲線上某點處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點處的導數(shù)值，是中檔題．10、A【解題分析】分析：首先，由的幾何意義，得到直線的斜率，然后得到函數(shù)圖象上在區(qū)間內任意兩點連線的斜率大于1，從而得到在內恒成立，分離參數(shù)后，轉化成在內恒成立，從而求解得到a的取值范圍.詳解：的幾何意義為：表示點與點連線的斜率，實數(shù)，在區(qū)間，故和在區(qū)間內，不等式恒成立，函數(shù)圖象上在區(qū)間內任意兩點連線的斜率大于1，故函數(shù)的導數(shù)大于1在內恒成立，由函數(shù)的定義域知，在內恒成立，即在內恒成立，由于二次函數(shù)在上是單調增函數(shù)，故時，在上取最大值為15，.故選：A.點睛：本題重點考查導數(shù)的應用，函數(shù)的幾何性質等知識，注意分離參數(shù)在求解中的靈活運用，屬于中檔題.11、D【解題分析】

構造函數(shù)，對函數(shù)求導得到函數(shù)的單調性，進而將原不等式轉化為，，進而求解.【題目詳解】根據(jù)題意，設，則導數(shù)；函數(shù)在區(qū)間上，滿足，則有，則有，即函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；，則有，解可得：；即不等式的解集為；故選：D．【題目點撥】這個題目考查了函數(shù)的單調性的應用，考查了解不等式的問題；解函數(shù)不等式問題，可以直接通過函數(shù)的表達式得到結果，如果直接求解比較繁瑣，可以研究函數(shù)的單調性，零點等問題，將函數(shù)值大小問題轉化為自變量問題.12、D【解題分析】

根據(jù)平移變換和伸縮變換的原則可求得的解析式，依次判斷的最值、最小正周期、對稱軸和單調性，可求得正確結果.【題目詳解】函數(shù)向右平移個單位長度得：橫坐標伸長到原來的倍得：最大值為，可知錯誤；最小正周期為，可知錯誤；時，，則不是的對稱軸，可知錯誤；當時，，此時單調遞增，可知正確.本題正確選項：【題目點撥】本題考查三角函數(shù)平移變換和伸縮變換、正弦型函數(shù)的單調性、對稱性、值域和最小正周期的求解問題，關鍵是能夠明確圖象變換的基本原則，同時采用整體對應的方式來判斷正弦型函數(shù)的性質.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：組成的并聯(lián)電路可從反面計算，即先計算發(fā)生故障的概率，然后用對立事件概率得出不發(fā)生故障概率．詳解：由題意．故答案為．點睛：零件不發(fā)生故障的概率分別為，則它們組成的電路中，如果是串聯(lián)電路，則不發(fā)生故障的概率易于計算，即為，如果組成的是并聯(lián)電路，則發(fā)生故障的概率易于計算，即為．14、【解題分析】分析：首先確定的范圍，然后結合函數(shù)的性質整理計算即可求得最終結果.詳解：由可得：，由于，故，由可知函數(shù)的單調性與函數(shù)的單調性相同：在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，很明顯是函數(shù)的一個零點，則滿足題意時應有：，由韋達定理有：，其中，則：，整理可得：，由于，故，則.即實數(shù)的取值范圍為.點睛：本題主要考查導函數(shù)研究函數(shù)的性質，等價轉化的數(shù)學思想等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.15、【解題分析】

先由題得，再化簡得=，再利用三角函數(shù)的圖像和性質求出最大值.【題目詳解】在△ABC中，有,所以==,當即時取等.故答案為：【題目點撥】本題主要考查三角恒等變換和三角函數(shù)的圖像和性質，意在考查學生對這些知識的理解能力掌握水平.解題的關鍵是三角恒等變換.16、【解題分析】

作出函數(shù)的圖象和直線，由圖形觀察可知它們有兩交點的情形。【題目詳解】作出函數(shù)的圖象和直線，如圖，當直線過點時，，當直線與函數(shù)圖象相切時，，，，（舍去），∴函數(shù)與函數(shù)的圖像有兩個不同的交點時。故答案為：【題目點撥】本題考查直線與函數(shù)圖象交點個數(shù)問題，解題時用數(shù)形結合思想，即作出函數(shù)圖象（半個橢圓）及直線當平移直線時觀察它與函數(shù)圖象的交點情況．本題解題時要特別注意函數(shù)圖象只是橢圓的上半部分，不能誤認為是整個橢圓，那就會得出錯誤結論．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或.(2)【解題分析】

（1）根據(jù)正弦定理，求得，進而可求解角B的大?。唬?）根據(jù)三角函數(shù)的基本關系式，求得，利用三角形的面積公式和余弦定理，即可求解。【題目詳解】（1）根據(jù)正弦定理得，.，，或.（2），且，.，，.由正弦定理，得.【題目點撥】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關系，熟練掌握定理、合理運用是解本題的關鍵．其中在中，通常涉及三邊三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，當涉及兩邊及其中一邊的對角或兩角及其中一角對邊時，運用正弦定理求解；當涉及三邊或兩邊及其夾角時，運用余弦定理求解.18、(1)(2)在(0,5)內為減函數(shù)；在(5，＋∞)內為增函數(shù)．極小值f(5)＝－ln5.無極大值．【解題分析】試題分析：（1）由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于直線可得，可求出a的值；（2）根據(jù)（1）可得函數(shù)的解析式和導函數(shù)的解析式，分析導函數(shù)的符號，進而可得函數(shù)f（x）的單調區(qū)間與極值．試題解析：（1）對求導得，由在點處的切線垂直于直線知，解得．（2）由（1）知，則，令，解得或．因為不在的定義域內，故舍去．當時，，故在上為減函數(shù)；當時，，故在上為增函數(shù)．由此知函數(shù)在時取得極小值，．考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值19、（1）見解析；（2）【解題分析】分析：（1）求出導數(shù)，由不等式求得增區(qū)間，由不等式得減區(qū)間，結合區(qū)間端點處的函數(shù)值從而求得最大值和最小值．（2）由（1）可求得的極大值和極小值，要使函數(shù)有三個零點，則極大值大于0，且極小值小于0，做賬昢的范圍．也可把問題轉化為方程有三個解，只要求得的極大值和極小值，就可得所求范圍．詳解：(1)因為所以函數(shù)的單調減區(qū)間為又由，，點睛：函數(shù)的導數(shù)是，解不等式可得增區(qū)間，解不等式可得減區(qū)間，從而可得極值，而要求函數(shù)在某個閉區(qū)間上的最值時，可求得函數(shù)在相應開區(qū)間上的極值，再求出區(qū)間兩端點處的函數(shù)值，比較可得最大值和最小值．20、（1）見解析；（2）沒有99%的把握認為選擇哪個主題公園與年齡有關【解題分析】

（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫好列聯(lián)表.（2）計算的觀測值，由此判斷“沒有99%的把握認為選擇哪個主題公園與年齡有關”.【題目詳解】（1）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，列出列聯(lián)表如下：選擇“西游傳說”選擇“千古蝶戀”總計成年人104050未成年人203050總計3070100（2）的觀測值是.因為，所以沒有99%的把握認為選擇哪個主題公園與年齡有關.【題目點撥】本小