2024屆陜西省西安市高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測試試題含解析

2024屆陜西省西安市高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，|，則（）A． B． C． D．2．已知橢圓的左焦點(diǎn)為A． B． C． D．3．在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B．40 C． D．804．在中，角的對邊分別是，若，則的值為（）A．1 B． C． D．5．已知，并且，則方差（）A．B．C．D．6．已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．7．準(zhǔn)線為的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B． C． D．8．學(xué)校新入職的5名教師要參加由市教育局組織的暑期3期上崗培訓(xùn)，每人只參加其中1期培訓(xùn)，每期至多派2人，由于時(shí)間上的沖突，甲教師不能參加第一期培訓(xùn)，則學(xué)校不同的選派方法有()A．種 B．種 C．種 D．種9．若復(fù)數(shù)滿足,則在復(fù)平面內(nèi),對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．10．函數(shù)的定義城是（）A． B． C． D．11．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲次，正面向上的次數(shù)為，則（）A． B．C． D．12．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C．(1,4) D．(0,3)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)是復(fù)數(shù)，表示滿足的最小正整數(shù)，則對虛數(shù)單位，______.14．已知一組數(shù)據(jù)，，，的線性回歸方程為，則_______.15．在棱長為的正方體中，是棱的中點(diǎn)，則到平面的距離等于_____.16．已知復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的模等于__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）袋中裝有黑色球和白色球共個(gè)，從中任取個(gè)球都是白色球的概率為，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸出個(gè)球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，，摸后均不放回，直到有一個(gè)人摸到白色球后終止，每個(gè)球在每一次被摸出的機(jī)會都是等可能的，用表示摸球終止時(shí)所需摸球的次數(shù).（1）求隨機(jī)變量的分布和均值；（2）求甲摸到白色球的概率.18．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）將的方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）為上一動點(diǎn)，求到直線的距離的最大值和最小值.19．（12分）已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為；（1）計(jì)算；（2）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.20．（12分）已知，．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；（Ⅱ）對一切的時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．21．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)為何值時(shí)，軸為曲線的切線;（2）若存在（是自然對數(shù)的底數(shù)），使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）如圖，已知，分別為橢圓：的上、下焦點(diǎn)，是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)是與在第二象限的交點(diǎn)，且.（1）求橢圓的方程；（2）與圓相切的直線：（其中）交橢圓于點(diǎn)，，若橢圓上一點(diǎn)滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

解出集合M中的不等式即可【題目詳解】因?yàn)?，所以故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查的是解對數(shù)不等式及集合的運(yùn)算，屬于基本題.2、B【解題分析】

代入得，解得,由此可得三角形ABF為直角三角形．OF=5，即c=5.由橢圓為中心對稱圖形可知當(dāng)右焦點(diǎn)為時(shí)，,【考點(diǎn)定位】本題考查橢圓定義，解三角形相關(guān)知識以及橢圓的幾何性質(zhì)．3、D【解題分析】

通過展開二項(xiàng)式即得答案.【題目詳解】在的展開式中,的系數(shù)為，故答案為D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理，難度很小.4、C【解題分析】

在中利用正弦定理和二倍角公式能求出角，再依據(jù)余弦定理列出關(guān)于角的關(guān)系式，化簡即得．【題目詳解】∵，∴由正弦定理可得，即.由于，∴.∵，∴.又，由余弦定理可得，∴.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正余弦定理解三角形以及三角恒等變換．5、A【解題分析】試題分析：由得考點(diǎn)：隨機(jī)變量的期望6、C【解題分析】

先判斷出函數(shù)為奇函數(shù)且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，然后把不等式變形為，再利用單調(diào)性求解即可．【題目詳解】由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)镽．∵，∴函數(shù)為奇函數(shù)．又根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．由得，∴，解得，∴不等式的解集為．故選C．【題目點(diǎn)撥】解答本題的關(guān)鍵是挖掘題意、由條件得到函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解，這是解答抽象不等式（即不知表達(dá)式的不等式）問題的常用方法，考查理解和應(yīng)用能力，具有一定的難度和靈活性．7、A【解題分析】準(zhǔn)線為的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是，選A.8、B【解題分析】

由題意可知這是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題.一類是：第一期培訓(xùn)派1人；另一類是第一期培訓(xùn)派2人，分別求出每類的選派方法，最后根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，求出學(xué)校不同的選派方法的種數(shù).【題目詳解】解:第一期培訓(xùn)派1人時(shí)，有種方法,第一期培訓(xùn)派2人時(shí)，有種方法,故學(xué)校不同的選派方法有，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了分類計(jì)數(shù)原理，讀懂題意是解題的關(guān)鍵，考查了分類討論思想.9、C【解題分析】試題分析：由，可得，∴z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，－2），故選C．考點(diǎn)：考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系．點(diǎn)評：解本題的關(guān)鍵是根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z，然后利用復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為為復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，得出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．10、C【解題分析】

根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零這一原則得出關(guān)于的不等式，解出可得出函數(shù)的定義域．【題目詳解】由題意可得，解得，因此，函數(shù)的定義域?yàn)?，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查對數(shù)型函數(shù)的定義域的求解，求解時(shí)應(yīng)把握“真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不為”，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11、D【解題分析】分析：將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次，正面向上的次數(shù)，由此能求出正面向上的次數(shù)的分布列詳解：將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次，正面向上的次數(shù).故選D.點(diǎn)睛：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的合理運(yùn)用．12、B【解題分析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在解出不等式可得出所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【題目詳解】，，解不等式，解得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，一般是先求出導(dǎo)數(shù)，然后解出導(dǎo)數(shù)不等式，將解集與定義域取交集得出單調(diào)區(qū)間，但單調(diào)區(qū)間不能合并，考查計(jì)算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解題分析】

逐個(gè)計(jì)算即可.【題目詳解】由題,因?yàn)?故.故答案為：4【題目點(diǎn)撥】本題主要考查新定義與復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題型.14、【解題分析】

樣本數(shù)據(jù)的回方程必經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心，該組數(shù)據(jù)的中心為，代入回歸方程，得到關(guān)于的方程.【題目詳解】設(shè)這組數(shù)據(jù)的中心為，，，，整理得：.【題目點(diǎn)撥】本題考查回歸直線方程經(jīng)過樣本點(diǎn)中心，考查統(tǒng)計(jì)中簡單的數(shù)據(jù)處理能力.15、【解題分析】

由題意畫出正方體，求出的面積，利用等體積法求解到平面的距離.【題目詳解】由題意，畫出正方體如圖所示，，點(diǎn)是中點(diǎn)，所以，在中，，，，所以，，所以，設(shè)到平面的距離為，由，得，解得，.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查求點(diǎn)到平面距離的方法、棱錐體積公式、余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，考查等體積法的應(yīng)用和學(xué)生的轉(zhuǎn)化和計(jì)算能力，屬于中檔題.16、【解題分析】

可設(shè)出復(fù)數(shù)z，通過復(fù)數(shù)相等建立方程組，從而求得復(fù)數(shù)的模.【題目詳解】由題意可設(shè)，由于，所以，因此，解得，因此復(fù)數(shù)的模為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，相等的條件，比較基礎(chǔ).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)分布列見解析，E(X)＝2.(2)P(A)＝.【解題分析】分析：（1）由已知先出白子個(gè)數(shù)，進(jìn)而可得隨機(jī)變量X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）記事件A為“甲摸到白色球”，則事件A包括以下三個(gè)互斥事件：A1＝“甲第1次摸球時(shí)摸出白色球”；A2＝“甲第2次摸球時(shí)摸出白色球”；A3＝“甲第3次摸球時(shí)摸出白色球”，利用互斥事件概率加法公式可得.詳解：設(shè)袋中白色球共有x個(gè)，x∈N*且x≥2，則依題意知＝，所以＝，即x2－x－6＝0，解得x＝3(x＝－2舍去)．(1)袋中的7個(gè)球，3白4黑，隨機(jī)變量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝.隨機(jī)變量X的分布列為X12345P所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝2.(2)記事件A為“甲摸到白色球”，則事件A包括以下三個(gè)互斥事件：A1＝“甲第1次摸球時(shí)摸出白色球”；A2＝“甲第2次摸球時(shí)摸出白色球”；A3＝“甲第3次摸球時(shí)摸出白色球”．依題意知，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，所以甲摸到白色球的概率為P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.點(diǎn)睛：本題考查的知識點(diǎn)是古典概型的概率計(jì)算公式，隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，互斥事件概率加法公式.18、（1）（2）最大值是和最小值是.【解題分析】分析：（1）利用極坐標(biāo)公式化成直角坐標(biāo)方程.(2)先求出直線的直角坐標(biāo)方程為，再利用圓心到直線的距離求到直線的距離的最大值是和最小值是.詳解：（1）因?yàn)榍€的方程為，則，所以的直角坐標(biāo)方程為，即.（2）因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以直線的直角坐標(biāo)方程為，因?yàn)閳A心到直線的距離，則直線與圓相離，所以所求到直線的距離的最大值是和最小值是.點(diǎn)睛：(1)本題主要考查極坐標(biāo)、參數(shù)方程和直角坐標(biāo)的互化，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.(2)解答第2問的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合.19、（1）；（2），證明見解析【解題分析】

（1）根據(jù)已知條件，計(jì)算出的值；（2）由（1）猜想，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明方法，對猜想進(jìn)行證明.【題目詳解】（1）計(jì)算，，，（2）猜想.證明：①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，猜想成立.②假設(shè)猜想成立.即成立，那么當(dāng)時(shí)，，而，故當(dāng)時(shí)，猜想也成立.由①②可知，對于，猜想都成立.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查合情推理，考查利用數(shù)學(xué)歸納法證明和數(shù)列有關(guān)問題，屬于中檔題.20、（Ⅰ）f（x）的極小值是（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）對求導(dǎo)，并判斷其單調(diào)性即可得出極值。（Ⅱ）化簡成，轉(zhuǎn)化成判斷的最值?！绢}目詳解】解：（Ⅰ），，，令，解得：，令，解得：，∴在遞減，在遞增，∴的極小值是；（Ⅱ）∵，由題意原不等式等價(jià)于在上恒成立，即，可得，設(shè)，則，令，得，（舍），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，h（x）取得最大值，，∴，即a的取值范圍是．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)極值的判斷以及函數(shù)最值的問題，在解決此類問題時(shí)通常需要求二次導(dǎo)數(shù)或者構(gòu)造新的函數(shù)再次求導(dǎo)。本題屬于難題。21、（1）（2）【解題分析】

（1）設(shè)曲線與軸相切于點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，列出方程組，即可求解；（2）把不等式成立，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解．【題目詳解】（1）設(shè)曲線與軸相切于點(diǎn)，則，，即，解得，即當(dāng)時(shí)，軸為曲線的切線．（2）由題意知，即，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增.存在，使成立，等價(jià)于，即，又，，故，所以.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及恒成立問題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新