Fourier變換教學(xué)課件

Fourier變換目錄Fourier變換基本概念Fourier級數(shù)展開與系數(shù)求解連續(xù)時間信號Fourier變換離散時間信號Fourier變換Fourier變換在信號處理中應(yīng)用快速Fourier變換（FFT）算法01Fourier變換基本概念ChapterFourier變換是一種將時域信號轉(zhuǎn)換為頻域信號的數(shù)學(xué)工具，用于分析信號的頻率特性。Fourier變換具有線性性、時移性、頻移性、共軛對稱性等基本性質(zhì)。連續(xù)時間信號的Fourier變換稱為Fourier積分，離散時間信號的Fourier變換稱為Fourier級數(shù)。定義與性質(zhì)Fourier變換建立了時域與頻域之間的橋梁，實現(xiàn)了信號在時域和頻域之間的轉(zhuǎn)換。通過Fourier變換，可以在頻域中對信號進(jìn)行分析和處理，進(jìn)而在時域中實現(xiàn)信號的合成和重構(gòu)。時域信號描述信號隨時間的變化，頻域信號描述信號隨頻率的變化。頻域與時域關(guān)系周期性信號是指具有固定周期的信號，如正弦波、方波等。對于周期性信號，可以通過Fourier級數(shù)將其分解為一系列不同頻率的正弦波或余弦波的疊加。非周期性信號是指不具有固定周期的信號，如指數(shù)信號、脈沖信號等。對于非周期性信號，可以通過Fourier變換將其轉(zhuǎn)換為頻域中的連續(xù)頻譜，進(jìn)而分析其頻率特性。周期性信號與非周期性信號02Fourier級數(shù)展開與系數(shù)求解Chapter在一個周期內(nèi)，三角函數(shù)系中任意兩個不同的函數(shù)之積的積分為零。正交性使得三角函數(shù)系可以作為一組正交基，用于表示周期函數(shù)。三角函數(shù)系正交性Fourier級數(shù)展開式01Fourier級數(shù)展開式是將周期函數(shù)表示為無窮級數(shù)的方法。02對于周期為T的函數(shù)f(t)，其Fourier級數(shù)展開式為：f(t)=a0+Σ(an*cos(nωt)+bn*sin(nωt))，其中ω=2π/T。03a0,an,bn為Fourier系數(shù)，分別表示直流分量、余弦分量和正弦分量的幅度。通過計算函數(shù)f(t)與三角函數(shù)系中各個函數(shù)的內(nèi)積，可以得到相應(yīng)的Fourier系數(shù)。具體地，a0=(1/T)∫f(t)dt，an=(2/T)∫f(t)cos(nωt)dt，bn=(2/T)∫f(t)sin(nωt)dt。Fourier系數(shù)具有線性性、時移性、頻移性、對稱性等性質(zhì)，這些性質(zhì)在信號處理和分析中具有重要意義。例如，線性性使得我們可以方便地處理和分析復(fù)雜信號；時移性使得我們可以研究信號在不同時間點(diǎn)的特性；頻移性使得我們可以研究信號在不同頻率下的特性；對稱性則與信號的奇偶性有關(guān)。系數(shù)求解方法性質(zhì)系數(shù)求解方法及性質(zhì)03連續(xù)時間信號Fourier變換Chapter頻譜是頻率域中對信號進(jìn)行描述的一種方式，表示信號在不同頻率下的幅度和相位信息。頻譜的概念頻譜的求解頻譜的特點(diǎn)對于連續(xù)時間信號，可以通過Fourier變換將其從時間域轉(zhuǎn)換到頻率域，得到對應(yīng)的頻譜。頻譜能夠直觀地展示信號中各個頻率分量的分布情況，便于分析信號的頻率特性。030201連續(xù)時間信號頻譜分析正弦信號的Fourier變換結(jié)果為單一頻率的譜線，幅度和相位與信號參數(shù)相關(guān)。正弦信號方波信號的Fourier變換結(jié)果為一系列奇次諧波的疊加，幅度逐漸減小。方波信號指數(shù)信號的Fourier變換結(jié)果為連續(xù)的頻譜，幅度隨頻率的增加而減小。指數(shù)信號典型信號Fourier變換舉例

頻域特性及物理意義頻域與時域的對應(yīng)關(guān)系頻域中的頻率與時域中的時間相對應(yīng)，幅度和相位則分別對應(yīng)信號的振幅和相位。頻域特性的物理意義頻域特性反映了信號在不同頻率下的表現(xiàn)，如諧振、濾波等效應(yīng)，對于電路設(shè)計和信號處理具有重要意義。頻域分析的應(yīng)用頻域分析在通信、音頻處理、圖像處理等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用，如濾波器設(shè)計、調(diào)制解調(diào)等。04離散時間信號Fourier變換Chapter離散時間信號的頻譜是其Fourier變換的結(jié)果，表示信號在不同頻率下的幅度和相位信息。頻譜的定義包括周期性、對稱性、收斂性等，這些性質(zhì)反映了信號在頻域中的表現(xiàn)和特點(diǎn)。頻譜的性質(zhì)通過對信號進(jìn)行Fourier變換，可以得到信號的頻譜，進(jìn)而分析信號的頻率成分和幅度分布。頻譜分析的方法離散時間信號頻譜分析單位步階序列其Fourier變換為1/jw，表示該序列在低頻段有較大的幅度，而在高頻段幅度逐漸減小。單位脈沖序列其Fourier變換為常數(shù)，表示該序列在所有頻率上都有相同的幅度。正弦和余弦序列其Fourier變換為在相應(yīng)頻率處的尖峰，表示該序列只包含單一頻率成分。典型序列Fourier變換舉例頻域采樣定理對于帶寬有限的離散時間信號，當(dāng)采樣頻率大于信號最高頻率的兩倍時，可以從采樣值中完全恢復(fù)出原始信號。內(nèi)插公式在頻域采樣定理的基礎(chǔ)上，可以利用內(nèi)插公式從采樣值中恢復(fù)出原始信號的頻譜。內(nèi)插公式是一種數(shù)學(xué)方法，通過已知的離散點(diǎn)來估計未知的連續(xù)函數(shù)值。頻域采樣定理及內(nèi)插公式05Fourier變換在信號處理中應(yīng)用Chapter03濾波器設(shè)計利用頻域分析設(shè)計不同類型的濾波器，如低通、高通、帶通和帶阻濾波器等，實現(xiàn)對特定頻率信號的提取或抑制。01頻域分析基本概念通過Fourier變換將信號從時域轉(zhuǎn)換到頻域，便于分析信號的頻率特性。02線性時不變系統(tǒng)頻率響應(yīng)系統(tǒng)在頻域中的表現(xiàn)，即系統(tǒng)對不同頻率信號的放大或衰減程度。線性時不變系統(tǒng)頻域分析123將低頻信號加載到高頻載波上，以便在通信系統(tǒng)中進(jìn)行傳輸。調(diào)制方式包括幅度調(diào)制、頻率調(diào)制和相位調(diào)制等。調(diào)制原理從已調(diào)信號中提取出原始低頻信號的過程。解調(diào)方法需與調(diào)制方式相對應(yīng)，如幅度解調(diào)、頻率解調(diào)和相位解調(diào)等。解調(diào)原理通過模擬電路或數(shù)字信號處理技術(shù)實現(xiàn)調(diào)制和解調(diào)過程，如乘法器、解調(diào)器等電路或算法。調(diào)制與解調(diào)實現(xiàn)調(diào)制與解調(diào)原理及實現(xiàn)時域中的卷積對應(yīng)于頻域中的乘積，反之亦然。該定理揭示了信號在時域和頻域之間的內(nèi)在聯(lián)系。卷積定理表述利用卷積定理可以簡化信號處理過程中的某些計算，如濾波、相關(guān)分析等。通過快速卷積算法可提高計算效率。卷積在信號處理中的應(yīng)用卷積和相關(guān)在數(shù)學(xué)表達(dá)式上相似，但物理意義不同。在信號處理中，卷積用于描述系統(tǒng)對輸入信號的響應(yīng)，而相關(guān)用于衡量兩個信號之間的相似程度。卷積與相關(guān)性的關(guān)系卷積定理在信號處理中應(yīng)用06快速Fourier變換（FFT）算法Chapter直接計算DFT需要進(jìn)行N^2次復(fù)數(shù)乘法和N(N-1)次復(fù)數(shù)加法，計算量大，不實用。利用DFT中旋轉(zhuǎn)因子W_N的周期性和對稱性，將DFT分解為多個較小的DFT進(jìn)行計算，從而降低計算量。DFT計算量分析及優(yōu)化思路優(yōu)化思路DFT計算量分析基-2FFT算法原理及流程將N點(diǎn)序列x(n)按照奇偶性分解為兩個N/2點(diǎn)序列x_even(n)和x_odd(n)。流程原理：基-2FFT算法采用分治策略，將N點(diǎn)DFT分解為兩個N/2點(diǎn)DFT進(jìn)行計算，通過遞歸實現(xiàn)快速計算。分別對x_even(n)和x_odd(n)進(jìn)行N/2點(diǎn)DFT計算，得到X_even(k)和X_odd(k)。利用旋轉(zhuǎn)因子W_N的性質(zhì)，將X_even(k)和X_odd(k)組合得到N點(diǎn)DFT的結(jié)果X(k)?；?4FFT算法與基-2FFT算法類