高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題1 集合、常用邏輯用語等 第2講 向量運(yùn)算與復(fù)數(shù)運(yùn)算、算法、推理與證明練習(xí)-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第一部分專題一第二講向量運(yùn)算與復(fù)數(shù)運(yùn)算、算法、推理與證明A組1．(2017·全國卷Ⅱ，1)eq\f(3＋i,1＋i)＝(D)A．1＋2i B．1－2iC．2＋i D．2－i[解析]eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(3－3i＋i＋1,2)＝2－i.故選D．2．(文)已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)eq\f(1－3i,1＋i)＝(C)A．2＋i B．2－iC．－1－2i D．－1＋2i[解析]eq\f(1－3i,1＋i)＝eq\f(1－3i1－i,2)＝－1－2i，故選C．(理)若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a、b∈R，則|a＋bi|＝(C)A．eq\f(1,2)＋i B．eq\r(5)C．eq\f(\r(5),2) D．eq\f(5,4)[解析]∵(1＋2ai)i＝－2a＋i＝1－b∴a＝－eq\f(1,2)，b＝－1，∴|a＋bi|＝|－eq\f(1,2)－i|＝eq\r(－\f(1,2)2＋－12)＝eq\f(\r(5),2).3．(2018·濟(jì)南二模)已知數(shù)列{an}，觀察如圖所示的程序框圖，若輸入a1＝1，d＝2，k＝7，則輸出的結(jié)果為(C)A．eq\f(4,9) B．eq\f(5,11)C．eq\f(6,13) D．eq\f(7,15)[解析]由題中程序框圖知，輸出S＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋eq\f(1,5×7)＋…＋eq\f(1,11×13)＝eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,5)＋…＋eq\f(1,11)－eq\f(1,13))＝eq\f(6,13).4．設(shè)向量a，b滿足|a＋b|＝eq\r(20)，a·b＝4，則|a－b|＝(C)A．eq\r(2) B．2eq\r(3)C．2 D．eq\r(6)[解析]向量的數(shù)量積．∵|a＋b|＝eq\r(20)，a·b＝4，∴|a＋b|2－|a－b|2＝4a·b＝16，∴|a－b5．設(shè)x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，則|a＋b|＝(B)A．eq\r(5) B．eq\r(10)C．2eq\r(5) D．10[解析]∵a⊥b，∴a·b＝0，∴x－2＝0，∴x＝2，∴a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝eq\r(10).6．(2018·大連一模)某種樹的分枝生長(zhǎng)規(guī)律如圖所示，第1年到第5年的分枝數(shù)分別為1,1,2,3,5，則預(yù)計(jì)第10年樹的分枝數(shù)為(D)A．21 B．34C．52 D．55[解析]由題意可得，這種樹從第一年的分枝數(shù)分別是1,1,2,3,5，…則2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3，即從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)的和，所以第10年樹的分枝數(shù)是21＋34＝55.故選D．7．下面框圖所給的程序運(yùn)行結(jié)果為S＝28，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于k的條件是(D)A．k＝8? B．k≤7?C．k<7? D．k>7?[解析]開始→k＝10，S＝1，滿足條件→S＝1＋10＝11，k＝10－1＝9，滿足條件→S＝11＋9＝20，k＝9－1＝8，滿足條件→S＝20＋8＝28，k＝8－1＝7.由于輸出S的值為28，故k＝7不再滿足條件，故選D．8．設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝(A)A．eq\o(AD,\s\up6(→)) B．eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))[解析]如圖，eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).選A．9．對(duì)任意向量a，b，下列關(guān)系式中不恒成立的是(B)A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2[解析]由|a·b|＝||a|·|b|·cosθ|，因?yàn)椋?≤cosθ≤1，所以|a·b|≤|a||b|恒成立；由向量減法的幾何意義結(jié)合三角形的三邊關(guān)系可得|a－b|≥||a|－|b||，故B選項(xiàng)不成立；根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律C，D選項(xiàng)恒成立．10．36的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因?yàn)?6＝22×32，所以36的所有正約數(shù)之和為(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，參照上述方法，可求得200的所有正約數(shù)之和為(C)A．201 B．411C．465 D．565[解析]200的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因?yàn)?00＝23×52，所以200的所有正約數(shù)之和為(1＋2＋22＋23)·(1＋5＋52)＝465，所以200的所有正約數(shù)之和為465.11．設(shè)a∈R，若復(fù)數(shù)(1＋i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，則a＝－1.[解析](1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，所以a＋1＝0，a＝－1.12．已知a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，則|2a＋3b|等于4eq\r(5).[解析]由a∥b?m＋4＝0，解得m＝－4，故2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，因此|2a＋3b|＝eq\r(－42＋－82)＝4eq\r(5).13．已知△ABC的面積為2eq\r(3)，且B＝eq\f(2π,3)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝4.[解析]設(shè)△ABC的三角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(3),4)ac＝2eq\r(3)，即ac＝8，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|·cos(π－B)＝cacoseq\f(π,3)＝8×eq\f(1,2)＝4.14．執(zhí)行下邊的程序框圖，若輸入的x的值為1，則輸出的y的值為13.[解析]第一次執(zhí)行程序，滿足條件x＜2，x＝1＋1＝2；第二次執(zhí)行程序，不滿足條件x＜2，y＝3×22＋1＝13，輸出y＝13，結(jié)束．答案為13.15．(2018·聊城一模)觀察等式：f(eq\f(1,3))＋f(eq\f(2,3))＝1；f(eq\f(1,4))＋f(eq\f(2,4))＋f(eq\f(3,4))＝eq\f(3,2)；f(eq\f(1,5))＋f(eq\f(2,5))＋f(eq\f(3,5))＋f(eq\f(4,5))＝2；f(eq\f(1,6))＋f(eq\f(2,6))＋f(eq\f(3,6))＋f(eq\f(4,6))＋f(eq\f(5,6))＝eq\f(5,2)；…由以上幾個(gè)等式的規(guī)律可猜想f(eq\f(1,2019))＋f(eq\f(2,2019))＋f(eq\f(3,2019))＋…＋f(eq\f(2018,2019))＝1_009.[解析]從所給四個(gè)等式看：等式右邊依次為1，eq\f(3,2)，2，eq\f(5,2)，將其變?yōu)閑q\f(2,2)，eq\f(3,2)，eq\f(4,2)，eq\f(5,2)，可以得到右邊是一個(gè)分?jǐn)?shù)，分母為2，分子與左邊最后一項(xiàng)中自變量的分子相同，所以f(eq\f(1,2019))＋f(eq\f(2,2019))＋f(eq\f(3,2019))＋…＋f(eq\f(2018,2019))＝eq\f(2018,2)＝1009.B組1．設(shè)復(fù)數(shù)z1＝1＋i，z2＝2＋bi，若eq\f(z2,z1)為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)b等于(D)A．－2 B．－1C．1 D．2[解析]eq\f(z2,z1)＝eq\f(2＋bi,1＋i)＝eq\f(1－i2＋bi,2)＝eq\f(2＋b＋b－2i,2)，若其為實(shí)數(shù)，則有eq\f(b－2,2)＝0，解得b＝2.2．(文)(2018·石景山檢測(cè))已知復(fù)數(shù)z＝(a2－1)＋(a＋1)i，若z是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a等于(B)A．2 B．1C．0 D．－1[解析]∵z為純虛數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0，,a＋1≠0，))∴a＝1.(理)已知復(fù)數(shù)z1＝1＋i，z2＝a＋i，若z1·z2為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為(B)A．－1 B．1C．－2 D．2[解析]∵z1·z2＝(a－1)＋(a＋1)i為純虛數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝0,a＋1≠0))，∴a＝1.3．(2017·全國卷Ⅱ，4)設(shè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則(A)A．a(chǎn)⊥b B．|a|＝|b|C．a(chǎn)∥b D．|a|>|b|[解析]方法一：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·∴a·b＝0.∴a⊥b.故選A．方法二：利用向量加法的平行四邊形法則．在?ABCD中，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，由|a＋b|＝|a－b|知|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|，∴|AC|＝|DB|從而四邊形ABCD為矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故選A．4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a值為1，則輸出的k值為(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]輸入a＝1，則b＝1，第一次循環(huán)，a＝eq\f(－1,1＋1)＝－eq\f(1,2)，k＝1；第二次循環(huán)，a＝eq\f(－1,1－\f(1,2))＝－2，k＝2；第三次循環(huán)，a＝eq\f(－1,1－2)＝1，此時(shí)a＝b，結(jié)束循環(huán)，輸出k＝2.故選B．5．(2018·濰坊一模)若復(fù)數(shù)z＝m(m－1)＋(m－1)(m－2)i是純虛數(shù)，其中m是實(shí)數(shù)，i2＝－1，則eq\f(1,z)等于(D)A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(i,2) D．－eq\f(i,2)[解析]因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝m(m－1)＋(m－1)·(m－2)i是純虛數(shù)，所以m(m－1)＝0且(m－1)(m－2)≠0，所以m＝0，則eq\f(1,z)＝eq\f(1,2i)＝－eq\f(i,2).6．設(shè)向量a，b滿足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，則|a－tb|(t∈R)的最小值為(A)A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(1,2)C．1 D．2[解析]由于|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，于是|a＋b|2＝1，即a2＋2a·b＋b2即a·b＝－eq\f(1,2).|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝(1＋t2)－2ta·b＝t2＋t＋1≥eq\f(3,4)，故|a－tb|的最小值為eq\f(\r(3),2).7．如圖所示將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案，每條邊(包括兩個(gè)端點(diǎn))有n(n>1，n∈N)個(gè)點(diǎn)，相應(yīng)的圖案中總的點(diǎn)數(shù)記為an，則eq\f(9,a2a3)＋eq\f(9,a3a4)＋eq\f(9,a4a5)＋…＋eq\f(9,a2018a2019)＝(C)A．eq\f(2015,2016) B．eq\f(2016,2017)C．eq\f(2017,2018) D．eq\f(2018,2019)[解析]每條邊有n個(gè)點(diǎn)，所以三條邊有3n個(gè)點(diǎn)，三角形的3個(gè)頂點(diǎn)都被重復(fù)計(jì)算了一次，所以減3個(gè)頂點(diǎn)，即an＝3n－3，那么eq\f(9,anan＋1)＝eq\f(9,3n－3×3n)＝eq\f(1,n－1n)＝eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)，則eq\f(9,a2a3)＋eq\f(9,a3a4)＋eq\f(9,a4a5)＋…＋eq\f(9,a2018a2019)＝(eq\f(1,1)－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋(eq\f(1,3)－eq\f(1,4))＋…(eq\f(1,2017)－eq\f(1,2018))＝1－eq\f(1,2018)＝eq\f(2017,2018).故選C．8．中國古代有計(jì)算多項(xiàng)式值的秦九韶算法，下圖是實(shí)現(xiàn)該算法的程序框圖．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的x＝2，n＝2，依次輸入的a為2,2,5，則輸出的s＝(C)A．7 B．12C．17 D．34[解析]由程序框圖知，第一次循環(huán)：x＝2，n＝2，a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；第二次循環(huán)：a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2；第三次循環(huán)：a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3.結(jié)束循環(huán)，輸出s的值為17，故選C．9．設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為eq\x\to(z)，若z＝1－i(i為虛數(shù)單位)，則eq\f(\x\to(z),z)＋z2的虛部為－1.[解析]∵z＝1－i(i為虛數(shù)單位)，∴eq\f(\x\to(z),z)＋z2＝eq\f(1＋i,1－i)＋(1－i)2＝eq\f(1＋i2,1－i1＋i)－2i＝eq\f(2i,2)－2i＝－i，故其虛部為－1.10．(文)(2018·廈門聯(lián)考)劉老師帶甲、乙、丙、丁四名學(xué)生去西安參加自主招生考試，考試結(jié)束后劉老師向四名學(xué)生了解考試情況．四名學(xué)生回答如下：甲說：“我們四人都沒考好．”乙說：“我們四人中有人考得好．”丙說：“乙和丁至少有一人沒考好．”丁說：“我沒考好．”結(jié)果，四名學(xué)生中有兩人說對(duì)了，則這四名學(xué)生中的乙，丙兩人說對(duì)了．[解析]甲與乙的關(guān)系是對(duì)立事件，二人說話矛盾，必有一對(duì)一錯(cuò)，如果選丁正確，則丙也是對(duì)的，所以丁錯(cuò)誤，可得丙正確，此時(shí)乙正確．故答案為乙，丙．(理)(2018·湖北七市聯(lián)考)觀察下列等式：1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(1,2)n(n＋1)；1＋3＋6＋…＋eq\f(1,2)n(n＋1)＝eq\f(1,6)n(n＋1)(n＋2)；1＋4＋10＋…＋eq\f(1,6)n(n＋1)(n＋2)＝eq\f(1,24)n(n＋1)(n＋2)·(n＋3)；……可以推測(cè)，1＋5＋15＋…＋eq\f(1,24)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝eq\f(1,120)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(