第05講復(fù)數(shù)的概念（2個知識點(diǎn)方法練創(chuàng)新練成果練）

第05講復(fù)數(shù)的概念（2個知識點(diǎn)+方法練+創(chuàng)新練+成果練）【目錄】【新知講解】知識點(diǎn)1.數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念知識點(diǎn)2.復(fù)數(shù)的幾何意義【方法練】【創(chuàng)新練】【成果練】【知識導(dǎo)圖】【新知講解】知識點(diǎn)1.數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念1．復(fù)數(shù)的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做復(fù)數(shù)集．2．復(fù)數(shù)相等的充要條件設(shè)a，b，c，d都是實數(shù)，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.3．復(fù)數(shù)的分類z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實數(shù)b＝0,虛數(shù)b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(非純虛數(shù)a≠0,純虛數(shù)a＝0))))總結(jié)：1．a(chǎn)，b∈R，a＋bi＝0?a＝b＝0；a＋bi＞0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,b＝0.))2．兩個虛數(shù)不能比較大?。?．z是復(fù)數(shù)，z2≥0不一定成立，如i2＝－1＜0.4．復(fù)數(shù)問題實數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的最基本、最重要的思想方法．例一、單選題1．（2022下·湖北武漢·高一校聯(lián)考期末）已知，“”是“復(fù)數(shù)為虛數(shù)”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義以及充要條件的定義，可得答案.【詳解】充分性：當(dāng)時，顯然為虛數(shù)，則“”是“復(fù)數(shù)為虛數(shù)”的充分條件；必要性：復(fù)數(shù)為虛數(shù)，則必定，則“”是“復(fù)數(shù)為虛數(shù)”的必要條件，綜上所述，“”是“復(fù)數(shù)為虛數(shù)”的充分必要條件.故選：C.2．（2023下·上海奉賢·高一校考期末）“”是“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”的（

）條件.A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分又不必要【答案】A【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義，可得答案.【詳解】因為復(fù)數(shù)是純虛數(shù)且，所以“”是“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”的必要不充分條件.故選：A例二、解答題3．（2023下·陜西商洛·高一校考期中）已知是虛數(shù)單位，當(dāng)實數(shù)m滿足什么條件時，復(fù)數(shù)分別滿足下列條件？(1)為實數(shù)；(2)為虛數(shù)；(3)為純虛數(shù)；【答案】(1)或(2)且(3)2【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念列出關(guān)于m的方程或不等式，即可求得答案.【詳解】（1）當(dāng)，即或時，復(fù)數(shù)為實數(shù)；（2）當(dāng)，即且時，復(fù)數(shù)為虛數(shù)；（3）當(dāng)，即時，復(fù)數(shù)為純虛數(shù).4．（2023·全國·高一課堂例題）寫出復(fù)數(shù)4，，0，，，6i的實部與虛部，并指出哪些是實數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)．【答案】答案見解析【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，即可得出答案.【詳解】4，，0，，，6i的實部分別是4，2，0，，5，0，虛部分別是0，，0，，，6．4，0是實數(shù)；，，，6i是虛數(shù)，其中6i是純虛數(shù)．知識點(diǎn)2.復(fù)數(shù)的幾何意義1．復(fù)平面2．復(fù)數(shù)的幾何意義3．復(fù)數(shù)的模(1)定義：向量eq\o(OZ,\s\up14(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模．(2)記法：復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模記為|z|或|a＋bi|且|z|＝eq\r(a2＋b2).4．共軛復(fù)數(shù)當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用eq\o(z,\s\up6(－))表示，即如果z＝a＋bi，那么eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi.共軛復(fù)數(shù)的模相等。即|z|=|eq\o(z,\s\up6(－))|總結(jié)：1．從數(shù)與形兩方面理解復(fù)數(shù)意義，掌握復(fù)數(shù)與點(diǎn)和向量的一一對應(yīng)關(guān)系，即：特別提醒：相等向量對應(yīng)同一個復(fù)數(shù)．2．|z|＝1表示復(fù)平面上的單位圓.例一、單選題1．（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）當(dāng)時，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由，可得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.2．（2023上·黑龍江·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)所表示的復(fù)數(shù)為（每個小方格的邊長為1）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示分析判斷.【詳解】由題意可知：點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)所表示的復(fù)數(shù)為.故選：D.3．（2023上·寧夏銀川·高三銀川一中校考階段練習(xí)）復(fù)平面上，以原點(diǎn)為起點(diǎn)，平行于虛軸的非零向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)一定是（

）A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．實部不為零的虛數(shù) D．純虛數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)寫出對應(yīng)復(fù)數(shù)，然后判斷即可.【詳解】由題意可設(shè)，所以對應(yīng)復(fù)數(shù)為，此復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，故選：D.例二、多選題4．（2023上·江蘇南京·高三南京市江寧高級中學(xué)校聯(lián)考期中）已知復(fù)數(shù)，()(為虛數(shù)單位)，為的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的虛部為 B．對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限C． D．若，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)形成的圖形的面積為【答案】BC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)和對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)以及復(fù)數(shù)的幾何意義依次判斷即可.【詳解】對于A：，所以的虛部為，A錯誤；對于B：對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，所以B正確；對于C：，，所以，C正確；對于D：在復(fù)平面內(nèi)表示到點(diǎn)距離小于等于1的所有的點(diǎn)，所以形成的圖形為以為圓心1為半徑的圓，所以面積為，D錯誤，故選：BC例三、填空題5．（2023上·上海虹口·高三校考期中）設(shè)復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）且，若，則．【答案】【分析】由誘導(dǎo)公式、復(fù)數(shù)模的求法列方程求得，結(jié)合角的范圍可得，再應(yīng)用倍角正切公式求值即可.【詳解】由題設(shè)，則，所以，又，則，，所以，則.故答案為：【方法練】一、單選題1．（2021下·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)（），則“”是“z為純虛數(shù)”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】C【分析】利用純虛數(shù)的定義，從充分性和必要性分別討論即可.【詳解】復(fù)數(shù)（）為純虛數(shù)，則，解得：.反之，時，為純虛數(shù).所以“”是“z為純虛數(shù)”的充要條件.故選：C2．（2021下·高一課時練習(xí)）表示復(fù)數(shù)z的虛部，所有滿足的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)所組成的集合為（

）A．過點(diǎn)且平行于軸的一條直線B．過點(diǎn)且平行于軸的一條直線C．分別過點(diǎn)、，且平行于軸的兩條直線D．分別過點(diǎn)，，且平行于軸的兩條直線【答案】C【分析】根據(jù)表示復(fù)數(shù)z的虛部，由求解.【詳解】因為表示復(fù)數(shù)z的虛部，因為，所以或，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2或2，所以點(diǎn)Z的所組成的集合為：分別過點(diǎn)分別過點(diǎn)、，且平行于軸的兩條直線，故選：C二、多選題3．（2020下·山東菏澤·高一校聯(lián)考期末）下列命題中，正確的是（

）A．復(fù)數(shù)的模總是非負(fù)數(shù)B．復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的所有向量組成的集合一一對應(yīng)C．如果復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則與該復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的終點(diǎn)也一定在第一象限D(zhuǎn)．相等的向量對應(yīng)著相等的復(fù)數(shù)【答案】ABD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義逐項判斷后可得正確的選項．【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，對于A，，故A正確．對于B，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量為，且對于平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的任一向量，其對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，故復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的所有向量組成的集合一一對應(yīng)，故B正確．對于B，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量為，且對于平面內(nèi)的任一向量，其對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，故復(fù)數(shù)集中的元素與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的所有向量組成的集合中的元素是一一對應(yīng)，故B正確．對于C，如果復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則與該復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的終點(diǎn)不一定在第一象限，故C錯．對于D，相等的向量的坐標(biāo)一定是相同的，故它們對應(yīng)的復(fù)數(shù)也相等，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，注意復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的坐標(biāo)為，它與終點(diǎn)與起點(diǎn)的坐標(biāo)的差有關(guān)，本題屬于基礎(chǔ)題．4．（2021下·高一課時練習(xí)）下列命題錯誤的是（

）A．是純虛數(shù) B．C．若，則 D．若，則【答案】BCD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念、性質(zhì)，逐一分析各個選項，即可得答案.【詳解】對于A：因為，所以是純虛數(shù)，故A正確；對于B：，所以，故B錯誤；對于C：復(fù)數(shù)不能比大小，故C錯誤；對于D：當(dāng)時，，故D錯誤.故選：BCD三、填空題5．（2022下·河北保定·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）寫出一個模小于8，且實部比虛部小的復(fù)數(shù)：.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的實部，虛部，模的概念寫出滿足條件的復(fù)數(shù)即可.【詳解】設(shè)，則.取，則，所以可取，故滿足條件的復(fù)數(shù)可取，故答案為：（答案不唯一）6．若復(fù)數(shù)z滿足|z+3i|=5（i是虛數(shù)單位），則|z+4|的最大值=．【答案】10【詳解】試題分析：由復(fù)數(shù)模的幾何意義可得復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在以（0，﹣3）為圓心，以5為半徑的圓周上，由此可得|z+4|的最大值是點(diǎn)（0，﹣3）與點(diǎn)（﹣4，0）的距離加上半徑5．解：由|z+3i|=5，所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在以（0，﹣3）為圓心，以5為半徑的圓周上，所以|z+4|的最大值是點(diǎn)（0，﹣3）與點(diǎn)（﹣4，0）的距離加上半徑5，點(diǎn)（0，﹣3）與點(diǎn)（﹣4，0）的距離：=5．|z+4|的最大值：5+5=10故答案為10．四、解答題7．（2021下·高一課時練習(xí)）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)．當(dāng)實數(shù)分別為何值時，點(diǎn)位于第四象限；軸的負(fù)半軸上？【答案】當(dāng)時，點(diǎn)位于第四象限；當(dāng)時，點(diǎn)位于軸的負(fù)半軸上．【分析】由點(diǎn)位于第四象限，得，解不等式組即可得出所求；由點(diǎn)位于軸的負(fù)半軸上，得，從而得出的值.【詳解】解：因為點(diǎn)位于第四象限，所以，解得：；因為點(diǎn)位于軸的負(fù)半軸上，所以，解得：.8．（2021上·江西上饒·高二統(tǒng)考期末）已知m為實數(shù)，i為虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù).（1）當(dāng)復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)時，求m的值；（2）當(dāng)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的復(fù)點(diǎn)在直線的右下方，求m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的性質(zhì)，列出方程組，即可求得答案；（2）根據(jù)題意，可得復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意，列出不等式，即可求得答案.【詳解】（1）由題意得：，解得；（2）復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的右下方的點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足，所以，解得，所以m的取值范圍為.【創(chuàng)新練】一、單選題1．（2020下·重慶萬州·高二重慶市萬州第二高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)，則（

）A．0 B． C．1 D．【答案】D【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)的模的公式計算可得；【詳解】解：因為，所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的計算，屬于基礎(chǔ)題.2．（2021下·高一課時練習(xí)）復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是（

）A． B．且C．且 D．且【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)可出關(guān)于、所滿足的等式與不等式，由此可得出合適的選項.【詳解】要使得復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，若，則；若，則.所以，且.故選：D.二、多選題3．（2021上·上海徐匯·高二上海市徐匯中學(xué)?？计谀┒x：設(shè)非零復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)為M，角(0≤≤2)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，終邊為射線OM，則稱角為復(fù)數(shù)的幅角，記作=argz如圖所示的陰影區(qū)域(含邊界)所對應(yīng)的集合是（

）A．{z||z|=1，≤argz≤} B．{z||z|=1，Imz≥}注：表示復(fù)數(shù)z的虛部C．{z||z|≤1，≤argz≤} D．{z||z|≤1，Imz≥}【答案】CD【分析】根據(jù)題中所給的圖，可以判斷出其模的范圍，根據(jù)陰影區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的范圍，得到其虛部的范圍，結(jié)合復(fù)數(shù)幅角主值的取值范圍，最后得到正確選項.【詳解】因為陰影區(qū)都在單位圓內(nèi)部，所以，所以A、B不正確，因為復(fù)數(shù)的幅角主值取值范圍為，所以，所以C正確，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，陰影區(qū)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍為，即其虛部的取值范圍為，所以D正確，故選：CD.4．（2021下·重慶渝中·高一重慶復(fù)旦中學(xué)校考期末）下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)B．復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限C．復(fù)數(shù)，則D．復(fù)數(shù)與分別表示向量與，則表示向量的復(fù)數(shù)為【答案】ACD【分析】對選項A：將代入復(fù)數(shù)判斷即可；對選項B：求出復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)判再判斷即可；對選項C：將復(fù)數(shù)化簡后求出，再判斷即可；對選項D：由求出向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)，再判斷即可.【詳解】對選項A：當(dāng)時，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，故A正確；對選項B：對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為在軸上，故B錯誤；對選項C：，所以，故C正確；對選項D：，故D正確.故選：ACD三、填空題5．（2021下·福建三明·高二校聯(lián)考期中）已知實數(shù)滿足，則實數(shù)=.【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)相等有，即可求參數(shù)m.【詳解】由題意知：，即，可得.故答案為：6．（2022上·上海崇明·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)和點(diǎn)，若向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，則點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù).【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義計算即可.【詳解】由題知，,所以，所以點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù).故答案為：.四、解答題7．已知復(fù)數(shù)，（是虛數(shù)單位，，）(1)若是實數(shù)，求的值；(2)在（1）的條件下，若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）由題可得虛部為零，分母不為零即得；（2）利用題意得到關(guān)于實數(shù)的不等式，解不等式即得.【詳解】（1）因為是實數(shù)，所以，解得：；（2）由題可知，又因為，，所以，解得或，所以實數(shù)的取值范圍為或.8．（2021下·高一課時練習(xí)）設(shè)，．（1）求、和，并比較與的大小；（2）對任意的兩個復(fù)數(shù)、，你能得到與（1）類似的結(jié)論嗎？并證明你的結(jié)論．【答案】（1）；（2）能，證明見解析.【分析】（1）直接根據(jù)模的計算公式，再進(jìn)行作差比較大?。唬?）利用復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合向量的模進(jìn)行證明不等式成立；【詳解】（1），，，．（2）對任意的兩個復(fù)數(shù)、，設(shè)，則，，根據(jù)向量的加法法則可知，三角形的兩邊之和大于第三邊，，當(dāng)向量同向共線時，取等號，．【成果練】一、單選題1．（2023·高一課時練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的模公式化簡求解.【詳解】因為復(fù)數(shù)z滿足，所以，即，化簡得：，故選：C2．（2020下·云南楚雄·高二校考階段練習(xí)）在，，，，0.618，這幾個數(shù)中，純虛數(shù)的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用純虛數(shù)的定義逐個判定即可．【詳解】解：為實數(shù)，為純虛數(shù)，為虛數(shù)，為純虛數(shù)，0.618為實數(shù)，為實數(shù)，純虛數(shù)只有2個，故選：．二、多選題3．（2021下·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)，其中是的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的實部為 B．的虛部為C．為純虛數(shù) D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限【答案】AD【分析】將復(fù)數(shù)化為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，并求出，再依次判斷各選項即可.【詳解】，所以，復(fù)數(shù)的實部為，故A正確；的虛部為，故B錯誤；不是純虛數(shù)，故C錯誤；在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，故D正確.故選:AD4．（2022·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)，滿足，且在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為A，所對應(yīng)的點(diǎn)為B，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的虛部為2i B．點(diǎn)A在第二象限C．點(diǎn)B的軌跡是圓 D．點(diǎn)A與點(diǎn)B距離的最大值為【答案】BC【分析】A.利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念判斷；B.利用復(fù)數(shù)的幾何意義判斷；C.利用復(fù)數(shù)模的模的幾何意義判斷；D.利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷.【詳解】的虛部為2，故A項錯誤；點(diǎn)A的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)A在第二象限，B項正確；由，可知點(diǎn)B的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，故C項正確；，故D項錯誤．故選：BC．三、填空題5．（2021下·高一課時練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)在直線上，則實數(shù)的值為．【答案】【分析】求出復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入即可求解.【詳解】因為對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，因為復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)在直線上，所以，解之得：．故答案為：.6．（2023下·北京順義·高一統(tǒng)考期末）已知是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，，其中是虛數(shù)單位，則．【答案】【分析】由共軛復(fù)數(shù)的定義結(jié)合模長公式計算即可.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：7．（2020·高一課時練習(xí)）若方程有實數(shù)解，則實數(shù)的值為.【答案】或【解析】設(shè)方程的實根為，由復(fù)數(shù)相等的定義求解．【詳解】設(shè)方程的實根為，則可化為，可得，解得，或.故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)系數(shù)方程有實數(shù)解問題，解題方法是將實數(shù)解代入方程后由復(fù)數(shù)相等的定義求解．8．（2021下·高一課時練習(xí)）若復(fù)數(shù)，，且、在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)為、，則這兩點(diǎn)之間的距離為．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)，，可得在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)為、，代入兩點(diǎn)間距離公式，即可得答案.【詳解】因為復(fù)數(shù)，，所以，，所以這兩點(diǎn)之間的距離.故答案為：四、解答題9．（2021下·新疆巴音郭楞·高二校考期中）實數(shù)m取什么值時，復(fù)數(shù)是（1）實數(shù)；（2）模長等于2；（3）在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)落在直線上.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的分類，令其虛部為零，即可得解；（2）根據(jù)模長等于2，列出方程，解之即可得解；（3）將復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)代入，即可得解.【詳解】解：（1）因為復(fù)數(shù)是實數(shù)，所以，所以；（2），解得；（3）復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，又因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)落在直線上，所以，解得.10．（2022·高一課時練習(xí)）化簡：．【答案】【分析】根據(jù)求解.【詳解】因為，所以，，，.11．（2024上·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是虛數(shù)，(1)求證為實數(shù)的充要條件為；(2)若，推測為實數(shù)的充要條件；(3)由上結(jié)論，求滿足條件，及實部與虛部均為整數(shù)的復(fù)數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)(3)或．【分析】（1）（必要性）設(shè)，帶入中，化簡為標(biāo)準(zhǔn)形式，再由實數(shù)的定義即可得到；（充分性）由，得出，帶入中即可得到為實數(shù).（2）設(shè)帶入中，再由實數(shù)的定義可知虛部為零，得到，即可知為實數(shù)的充要條件是.（3）由題設(shè)知，為虛數(shù)，由（2）知，設(shè)，帶入中，可得由題意即可求得的取值范圍，進(jìn)而求得實部與虛部均為整數(shù)的復(fù)數(shù).【詳解】（1）（必要性）設(shè)，知為實數(shù)，則，即易得．（充分性）反之，若，∴為實數(shù)．（2）設(shè)為實數(shù)．易得，即．反之，由得為實數(shù)．∴為實數(shù)的充要條件是．（3）由題設(shè)知，為虛數(shù)，否則不等式不成立，且為實數(shù)．由（2）知，，設(shè)，則由知．取或2或3，及，易得相應(yīng)的